北师大新版初三上第四章相似图形培优一 •填空题（共10小题）_1. （2011?苏州）如图，已知△ ABC 是面积为 的等边三角形，△ ABC ADE , AB=2AD , / BAD=45 ° AC 与DE 相交于点卩，则厶AEF 的面积等于 _____________________________ （结果保留根号）.in 92. （ 2015?曲靖）若厶 ADE ACB ，且=''，DE=10，贝U BC=AC 34. （ 2015?重庆）已知△ ABC DEF ，若△ ABC 与厶DEF 的相似比为 2: 3，则厶ABC 与△ DEF 对应边上中线的比为 __________ .5. （ 2015?重庆）已知△ ABC DEF ，△ ABC 与厶DEF 的相似比为 4: 1，则厶ABC 与厶 DEF 对应边上的高之比为 ____________ .6. （ 2015?本溪）在厶 ABC 中，AB=6cm ，AC=5cm ，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上.若△ ADE与厶ABC 相似，且S ^ADE : S 四边形BCED =1 : 8，则AD= __________ cm .7.（ 2010?湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为 1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ ABC 与厶A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标 是 _______ .8. （ 2015秋？九江期末）如图，E （- 6, 0）, F （- 4, - 2）,以O 为位似中心按比例尺 1 : 2把厶EFO缩小到第一象限，则点 F 的对应点F'的坐标为 _____________________________ .其中AB=5， BC=6，CA=9，DE=3，那么△ DEF 的C周长是ABC DEF ，■ » Un L> L _「节-liT 丄(■_ II H S-I 4 4* 4 J I-9. （2015秋？乐至县期末）如图，△ ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ ABC的位似图形△ A'BC，并把△ ABC的边长放大到原来的2倍.设B的坐标是（3,- 1）,则点B的坐标是________________________ .V AO -10. （2010?津南区一模）如图，△ ABC与厶DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD ,S A ABC =8，贝U S A DEF等于______ .二.解答题（共20小题）—2 弋11. （2012?金山区一模）已知丄'-,（1）求一的值；（2）若：,i ' 「，求x2 3 4 z值.12. （2013?谯城区校级模拟）已知」=「'=「=k，求k的值.c b a13. （2012秋？金安区校级月考）已知x= “：，求x的值.a+b b+c a+c“.K+Z y+z x+y . 十」古14. 已知------ =------ = =k ,求k值.y K z15. （2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF : BF=1 : 2，点D是BC延长线上一点，BC: CD=2 : 1,连接FD与AC交于点N,求FN : ND的值.C16. （2013秋?北京校级期中） 已知：如图，△ ABC 中，DE // BC , AD + EC=9 , DB=4 , AE=5 , 求AD 的长.17. （2015秋？黄岛区期中）如图，一个矩形广场的长为 60m ,宽为40m ，广场内两条纵向 小路的宽均为1.5m ，如果设两条横向小路的宽都为 x m ,那么当x 为多少时，小路内外边 缘所围成的两个矩形相似？18. （2013春?武威校级月考）如图，四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 a B 的大小和EH 的长度x .19. （2016?兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边 AD 、CD 上的点,AE=ED ，DF= - DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G . 20. （2013?益阳）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE 丄 AB 于 E .求证：△ ABD s △ CBE .B C（1）求证：△ ABE DEF ;D21. （2015?常州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且22. （2015?湘潭）如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90° △ ACD 沿AD 折叠，使得点 C 落在斜 边AB 上的点E 处.(1) 求证：△ BDEBAC ;（2）已知AC=6 , BC=8，求线段 AD 的长度.角形，其中线段 BD 交AC 于点G ,线段AE 交CD 于点F ,求证: (1 )△ ACE ◎△ BCD ;(2) I 'I .24. （2013?陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD 的高度.如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段 AB ,并测得AB=1.25m ，已知李明直立时的身高为 1.75m ，求路灯的高CD 的长.（结果精确到0.1m ）.B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与厶DCE 都是等边三DB C E25. （2015?邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.26. （2015?蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B •已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）.27. （2012?西城区模拟）如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC,小明（用线段DE表示）的影子是EF,在M处有一颗大树，它的影子是MN .（1 ）指定路灯的位置（用点P表示）；（2）在图中画出表示大树高的线段；（3 ）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树.28. （2015秋？江北区期末）如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下 2.1m 长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m ,窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度.（即AB的值）29. （2009?杭州）如图是一个几何体的三视图.（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程.30. （2016春？建湖县校级月考）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体.（1）请画出这个几何体的左视图和俯视图；（用阴影表示）（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体?参考答案与试题解析一•填空题（共10小题）1. （2011?苏州）如图，已知△ ABC是面积为「的等边三角形，△ ABC s\ ADE , AB=2AD , /主视團左视图单位：厘米2第7页（共31页）BAD=45 ° AC 与DE 相交于点卩，则厶AEF 的面积等于'-忑（结果保留根号）•【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质. 【专题】计算题.【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE 的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积.【解答】 解：•••△ ABC ADE , AB=2AD ,• .=^— , SA ASC AB 2 AB =2AD, ABC =';,如图，在△ EAF 中，过点F 作FH 丄AE 交AE 于H , •••/ EAF= / BAD=45 ° / AEF=60 ° •••/ AFH=45 ° / EFH=30 ° • AH=HF ,作CM 丄AB 交AB 于M ,•••△ ABC 是面积为 二的等边三角形,•••丄X AB X CM=:,2/ BCM=30 °设 AB=2k , BM=k , CM= ■:k , • k=1 , AB=2 ,•AE= AB=1,设 AH=HF=x ,则 EH=xtan30解得x故答案为:【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点， 解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE 的面积，然后问题可解.AD 22-（ 2015?曲靖）若^ ADE 心 A CB ，且；亠「，DE =10，则 BC=4故答案为：15.【点评】本题考查的是相似三角形的性质， 掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键.3. （ 2014?阜新）已知△ ABC DEF ，其中 AB=5 , BC=6 , CA=9 , DE=3，那么△ DEF 的 周长是 【考点】 【专12 .相似三角形的性质. 计算题.【分析】根据相似的性质得_工二=，即门「為，「然后利用比例的性质计算即可.【解答】 解：•••△ ABC s\ DEF , .△壮C 的周长=AB 囲 5+6+9=5...x + 'J x=1.AEF 」x 1 x3-~2 r【考点】 相似三角形的性质.【分析】 根据△ ADE ACB ，得到二-= AC二，代入已知数据计算即可.【解答】 解：•••△ ADE ACB ,=-卫，又丄,DE=10 ,AC BC AC 3.BC=15.C…二仁二….-，二上壬上=二，•••△ DEF 的周长=12 .故答案为：12.【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.4. （2015?重庆）已知△ ABC DEF，若△ ABC与厶DEF的相似比为2: 3,则厶ABC与△ DEF对应边上中线的比为2: 3 .【考点】相似三角形的性质.【分析】相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可.【解答】解：•••△ ABC DEF , △ ABC与厶DEF的相似比为2: 3,• △ ABC与厶DEF对应边上中线的比是2：3, 故答案为：2: 3.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比.5. （2015?重庆）已知△ ABC DEF, △ ABC与厶DEF的相似比为4: 1,则厶ABC与厶DEF对应边上的高之比为4: 1 .【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.【解答】解：•••△ ABC DEF , △ ABC与厶DEF的相似比为4: 1,• △ ABC与厶DEF对应边上的高之比是4: 1 ,故答案为：4: 1.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比.6. （2015?本溪）在厶ABC 中，AB=6cm , AC=5cm，点D、E 分别在AB、AC 上.若△ ADE 与厶ABC 相似，且S^ADE: S四边形BCED=1 : 8，则AD= 2或'_cm .3【考点】相似三角形的性质.【专题】压轴题；分类讨论.【分析】由于△ ADE与厶ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论.【解答】解：T S A ADE : S四边形BCED = 1 : 8,•§△ ADE : S A ABC=1 : 9,•△ ADE与厶ABC相似比为：1: 3,①若/ AED对应/ B时,则；■/ AC=5cm ,• AD= cm;3②当/ADE对应/ B时UAB_3■/ AB=6cm ,/• AD=2cm ;【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例,比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键.7. （2010?湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ ABC与厶A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9, 0） .【考点】位似变换.【专题】网格型.【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心.【解答】解：连接BB i, A I A，易得交点为（9, 0）.故答案为：（9, 0）.【点评】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点.相似三角形的面积& （ 2015秋?九江期末）如图，E （- 6, 0）, F （- 4, - 2）,以O为位似中心按比例尺1 : 2把厶EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F'的坐标为（2, 1）.【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】以O为位似中心，按比例尺1 : 2,把厶EFO缩小，结合图形得出，则点F的对应点F'的坐标是E （- 4，- 2）的坐标同时乘以- —计算即可.2【解答】解：根据题意可知，点F的对应点F'的坐标是F （- 4，- 2）的坐标同时乘以--，2所以点F'的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）.【点评】本题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（- kx， - ky）.9. （2015秋？乐至县期末）如图，△ ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ ABC的位似图形△ A'BC，并把△ ABC 的边长放大到原来的2倍.设B的坐标是（3，- 1），则点B的坐标是（-3，丄 _.【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】作BD丄x轴于D，B D '丄x轴于D 根据相似三角形的性质求出CD，BD的长,得到点B的坐标.【解答】解：作BD丄x轴于D, B'D'丄x轴于D',•••点C的坐标是（-1, 0）, B的坐标是（3,- 1）,••• CD =4, B'D=1 ,由题意得，△ ABC s A B C,相似比为1: 2,.BD = CD =1…匕= =：.，• CD=2 , BD=-,•点B的坐标是「3,"故答案为：（—3,」_）.2【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质, 和相似三角形的性质是解题的关键.10. （2010?津南区一模）如图，△ ABC与厶DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD , S^ ABC =8，贝V S^ DEF 等于18.【考点】位似变换.【专题】计算题.【分析】△ ABC与厶DEF是位似图形，由OA=2AD可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方.【解答】解：•••△ ABC与厶DEF是位似图形且OA=2AD .•••两位似图形的位似比为2: 3,•••两位似图形的面积比为4: 9,又•••△ ABC的面积为8,得厶A'B'C的面积为18.故答案为18.【点评】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方.二.解答题（共20小题）11. （2012?金山区一模）已知（1）求一的值；（2）若：「'，，求x2 3 4 z值.【考点】比例的性质；二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】（1）设x=2k, y=3k , z=4k，代入后化简即可；2（2）把x=2k, y=3k, z=4k代入得出2k+3=k，求出方程的解，注意无理方程要进行检验.【解答】解由「•…一，设x=2k , y=3k , z=4k,2 3 4掌握位似的两个图形是相似形（1）『£ - 4k （2）…厂■了化为三上上2 2••• 2k+3=k，即k - 2k—3=0,••• k=3 或k= - 1,经检验，k= - 1不符合题意，• k=3，从而x=2k=6 ,即x=6 .【点评】本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用, 解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验.12. （2013?谯城区校级模拟）已知二一=止=二^=k，求k的值.c b a【考点】比例的性质.【专题】分类讨论.【分析】分a+b+c z 0时，利用合比性质解答即可，a+b+c=0时，用c表示出a+b,计算即可得解.【解答】解：① a+b+c z 0 时,=「- = ：“" =k , c b a• k= _ _ ； ' =2；a+b+c '②a+b+c=0 时，a+b= - c, a+c= - b, b+c= - a,所以，k=——= - 1,c综上所述，k的值为2或-1.【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错点在于要分情况讨论.13. （2012秋？金安区校级月考）已知x= “■，求x的值.a+b b+c a+c【考点】比例的性质.【专题】计算题.【分析】应为a、b、c的关系不明确，所以分①a+b+c z 0时，利用合比性质列式进行计算即可得解，②a+b+c=0时，分别用两个字母表示出第三个字母，进行计算即可求解.cab a+b+c 1x=a+b b+c a+c 2 (a+b+c) 2②a+b+c=0 时，a+b= - c, b+c= - a, a+c= - b,=-1,故答案为：;或-1.【点评】本题考查了比例的性质，注意要分两种情况讨论求解, 而导致出错. 注意【解答】解：①a+b+c z 0时,…x=—a+b b+c a+cx的值为l或-1综上所述,同学们容易漏掉第二种情况14•已知」=_==：" =k，求k值.y x z【考点】比例的性质.【分析】分x+y+z=O时求解，x+y+z z 0时，利用合比性质解答.【解答】解：①x+y+z=0时，x+y= - z,所以，k= - 1,...k= [ m …「=2x+jH-z所以，k值为-1或2.【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错题，要注意分情况讨论.15. （2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF : BF=1 : 2，点D是BC延长线上一点，BC: CD=2 : 1,连接FD与AC交于点N,求FN : ND的值.【考点】平行线分线段成比例.【专题】证明题.【分析】过点F作FE// BD，交AC于点E，求出工=丄，得出FE=_BC，根据已知推出BC 3 3CD=* BC，根据平行线分线段成比例定理推出—=—，代入化简即可.2 ND CD【解答】解：过点F作FE / BD，交AC于点E，• EF = AF…---- ，BC AB•/ AF : BF=1 : 2，即FE= BC，3•/ BC : CD=2 : 1，• CD=—BC，2•/ FE // BD，② x+y+z z 0 时,丄二=v；_=：匕丁=ky K z1-3 1=3一一一一AFABFE丽1-BC•『」=「二= =而 CD 1BC 3B L J即FN: ND=2 : 3.=：=' -r.u•••△ BCF s\ BDA ,•••!_=二=，/ BCF= / BDA ,AD BD 3• FC // AD , • △ CNFAND ,•空=匹=2【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例, 此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目.16. （2013 秋?北京校级期中） 已知：如图，△ ABC 中，DE // BC , AD + EC=9 , DB=4 , AE=5 , 求AD 的长.【考点】平行线分线段成比例. 【专题】计算题.证法二、连接 CF 、 •/ AF : BF=1 : 2, BC : CD=2 : 1 ,AD【分析】根据平行线分线段成比例定理得出厶丄二’，代入得出二= ,求出AD即可.BD EC 4 9-AD【解答】解：I DE // BC ,•匸=1 一…---- ---- ,BD EC■/ AD+EC=9, DB=4 , AE=5 ,• EC=9 - AD ,~ 9 - AD ?解得：AD=4或5,答：AD的值是4或5.【点评】本题考查了平行线分线段定理的应用，关键是得出比例式二=厂，注意：根据平DB EC行线得出的比例是对应成比例，题目比较好，难度不大.17. （2015秋？黄岛区期中）如图，一个矩形广场的长为60m,宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m,那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？【考点】相似多边形的性质.【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出【解答】解：•••小路内外边缘所围成的两个矩形相似，.60 = &0 - 3•、= __三，解得，x=1m,答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似.【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质:的关键.x的值即可.对应边的比相等是解题18. （2013春?武威校级月考）如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a B的大小和EH 的长度x.xcm H【考点】相似多边形的性质.【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出a= / C=83 ° / F= / B=78 °再根据四边形的内角和等于360。
