氢原子与类氢原子的波函数与能级

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氢原子与类氢原子的波函数与能级

1
故径向本征波函数的归一化的表达式应写为：
r 0
Rn2,l
(r)r 2dr
1
E＜0时库仑场中电子状态的定态波函数为:
n,l,m(r, ,) Rn,l (r)Yl,m( ,)
n 1,2,3
n --- 称为主量子数。
l 0,1,2,3(n 1) l ---- 称为角量子数。
m 0,1,2,3 l m ---- 称为磁量子数。
1﹑定态薛定格方程:
[ 2 2 U (r )] E
U(r) Ze2
4 0r
2m
( U( r )为中心力场 )
该方程的极坐标形式为：
2 2mr 2
r
r 2
r
1
s in
s in
1
sin2
2
2
Ze2 E
4 0r
2﹑分离变量:
设： (r,,) R(r)Y (,)
1 r2
r
(r 2
dR(r dr
4 0r
r2
R(r)
0
①
和
1
s in
s in
Y
( ,
)
1
sin 2
2Y ( ,) 2
Y ( ,)
②
二﹑方程的解:
1﹑方程②就是角动量平方算符的本征值方程。
Lˆ2
2
s in
s in
s
in
2 2
2
2
Lˆ2Yl,m(,) l(l 1)2Yl,m(,)
(sin
)
s
1 in2
2 2
22 ,
二.角动量平方算符的本征值与本征函数:
1.角动量平方算符的本征值方程:

类氢原子能级、波函数

x, pˆ x i
(2). 泊松括号的运算规则
（1）A, B B, A
（2）A, B A, B
为常数
（3）A, B C A, B A, C
（4）A, BC A, BC BA, C
例：计算 Lˆx Lˆy
解： Lˆx ypˆ z pˆ z y Lˆy zpˆ x xpˆ z
(1). 坐标和动量算符的对易关系
已知动量算符为
pˆ x
i
x
考察综合算符 xpˆ x pˆ x x 作用在波函数的结果
(xpˆ x
pˆ x
x)(x)
ix
x
(x)
i
x
x(x)
ix (x) i(x) ix (x)
i(xx)

因此有 xpˆ x pˆ x x i 不对易
坐标和动量算符的对易关系可写为
类氢原子能级、波函数
En
Z 2e4
2 2 n 2
nlm (r,,) Rnl (r)Ylml (,)ms n,l, ml , ms
3.3 自旋角动量
自旋是粒子固有属性 (1) 自旋角动量的平方取值
S 2 s(s 1)2
s
称为自旋量子数.对于电子:
s
1 2
质子: s 1
2
光子: s 1
(2) 自旋角动量的z轴方向的分量取值
Sz ms
ms 称为自旋分量的量子数
ms s,s 1,s 2,s 3,, s
对于电子:
1 ms 2 ,
1 2
光子:
ms 1, 1
(3).电子运动的磁矩
z
电子绕核运动形成磁矩
B
轨道磁矩为:
l
e 2m
L

量子力学-氢原子和类氢离子

角动量及其算符(1)
9
二、角动量的本征值与本征函数（2）
角动量及其算符(2)
x r sin cos 在球坐标下， y r sin sin z r cos ˆ 则 l x i(sin cot cos ), ˆ l y i( cos cot sin ) ˆ l z i 形式简洁
( 2) ( 3)
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有：将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：
r sin cos x r sin sin s y r cos z
d lm ( ) （1－cos ) P (cos ) m l d (cos ) 1 m ( ) exp(im ) 2
2 2 2 d | Y ( , ) | sin d 1 lm 0 0
4
|m| 2
m

一、氢原子(3)
2、氢原子能级图
6
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n ,
2
n 1, 2,3, ,
l 0,1, 2, ,( n 1); m l , l 1, , l 1, l ; 波函数 nlm ( r, , ) Rnl ( r )Ylm ( , ) n 2，l 0,1 当l 0 m 0；当l 1 m 1,0, 1, ( nlm) (200),(210),(211),(21 1) E2 200 R20Y00； 210 R21Y10； 211 R21Y11；

第四章氢原子和类氢原子的波函数和能级

s2
[( s )( s 1) l ( l 1)]b s 2
1

[ ( s )]b s 1 0
0

即
b0 0 s 1
令 ν'=ν-1 第一个求和改为:
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并，代回上式得：
可见若 f (ρ) 是无穷级数，则波函数 R不满足有限性条件，所以必须把级数从某项起截断。
u( ) e / 2 f ( ) R e / 2

e / 2

令则
最高幂次项的 νmax = nr
bnr 0 于是递推公式改写为 bnr 1 0

8 | E | 2
2Z 8 Z 2 e 4 2 Ze 2 2 2 2 n 2 n 2 na0
其中
2 a0 e 2
第一Borh 轨道半径
注意到：
2Z r r a0 n
l
则径向波函数公式：
Rnl ( r ) N nl e
Z r a0 n

0
b l 1
n l 1
b0
l 1

0
b b0
n l 1 (n l 1)( n l 2) 2 f ( ) b0 1 2!(2l 2)( 2l 3) 1!(2l 2) (n l 1)( n l 2) 1 n l 1 n l 1 (1) (n l 1)!(2l 2)( 2l 3) (n l ) (2l 1)!(n l 1)! l 1 2l 1 b0 Ln 1 ( ) 2 [( n l )!]

较强磁场中氢原子的能级（n ＝2~7）及其波函数

较强磁场中氢原子的能级（n ＝2~7）及其波函数江俊勤【摘要】基于简并微扰论和Mathematica软件平台，发展了一种简单可靠、全自动的计算方法研究磁场中的原子能级结构。

考虑自旋磁矩和感生磁矩，计算了处在较强磁场中氢原子 n ＝2~7的能级和波函数。

讨论了简并微扰论的适用条件和能级分裂，绘制了概率角分布图和电子云图。

数值结果表明：对于较强磁场，本方法是可靠和快捷的；一般情况下，磁场对能级的一级修正可以使简并完全解除(n ＝2~7)，但在一定条件下，会出现新的简并---偶然简并。

%A simple and reliable method for investigating the behavior of atomic system in the magnetic field has been developed based on the perturbation theory and MATHEMATICA.Considering the spin magnetic moment and the induced magnetic moment,the energy levels (n =2 ~7)and wave functions of the hydrogen atom in the intermediate strong magnetic field were automatically calculated.The applicable condition of perturbation method and the energy level splitting are discussed.The probability angle distribution and the electron cloud are plotted.The numerical results show that for the intermediate strong magnetic field,the present method is reliable and fast.In general,the degeneracy of energy levels (n =2~7)can be completely removed;but under certain conditions,there is new degeneracy-accidental degeneracy.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】7页(P43-49)【关键词】氢原子;较强磁场;微扰理论;能级与波函数;偶然简并;电子云【作者】江俊勤【作者单位】广东第二师范学院物理系，广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O562.1氢原子和类氢原子处于外磁场时能级结构的变化,是物理学的基本问题.特别是,发现白矮星和中子星内部存在着超强磁场,激发了人们对强磁场中氢原子和类氢原子的能级和波函数的研究热情[1－12].为了计算强磁场中类氢原子的能级和波函数,人们发展了各种方法,例如绝热近似法[5],变分法[6],B－条样法[7],等等.但是变分法和B－条样等方法的计算是十分复杂的,而且变分法结果的可靠性严重依赖于试探波函数.在微扰法适应的条件下(磁场不太强,称之为“较强磁场”),用微扰法既经典又简单,因此近年来微扰法被多位作者用于计算氢原子的能级[8－12].其中,文献[8]把微扰法和变分法相结合计算了氢原子较低能态的能级,虽然在实际计算中没有把整个B2项作为微扰,但在叙述其方法时多次强调当B＜106T时B2项可以作为微扰,这给后来的文献造成不良影响;文献[9－11]在文献[8]的影响下,完全没有考虑微扰法的适用条件,在强磁场B≤106T时用微扰法计算了氢原子的能级,而且在未做具体数值检验的情况下就断定一级修正可使简并完全解除;文献[12]用微扰法对氢原子能级进行了具体的数值计算,并注意到了微扰法的适用条件(B≤1.88×104T),但仅仅计算到n＝2的能级.分析这些文献,可发现有三个问题尚须做进一步的改进或澄清:(a)现有文献中,微扰法的实施过程仍需要人工或半人工操作,不容易对高激发态(较大n)的能级和波函数进行具体的数值计算,这可能是最近文献[12]只给出n＝2能级数值结果的原因.(b)对于高激发态,适合用微扰法计算的磁场有怎样的要求?当B≥104T时微扰法仍然适用吗?(c)强磁场一定使能级简并完全解除吗?当磁场强度达到一定程度时,会不会因上下能级发生交错而出现新的简并——偶然简并?为此,本文发展了一种基于简并微扰论和Mathematica软件平台的全自动数值计算方法,对氢原子n＝2～7的能级和波函数进行定量研究,用具体的数值回答上述三个问题.当外磁场的强度到达一定范围时,B2项的贡献不能忽略,设该项可作为微扰项(具体条件见后面)在通常实验室中,磁场B＜105Gs(即B＜10 T),B2项(感生磁矩与外磁场的作用项,也称为抗磁项)可以略去.在均匀磁场中,当考虑自旋磁矩和感生磁矩时,则氢原子的哈密顿量为对氢原子,除去微扰项后,哈密顿量为其中μB＝eћ/(2μc)＝0.578 838×10－4e V/T,称为玻尔磁子;Rnl(r)为径向波函数,Ylm(θ,φ)为球谐函数, χms(sz)为二分量自旋波函数.根据径向波函数和球谐函数的定义式,给定一组量子数(n,l,m,ms)就可以求得相应的量子态ψnlmms(r,θ,φ),借助通用软件Mathematica可快速完成.若记φk＝ψnlmms(r,θ,φ),则对于给定的φk′和φk,两态间的微扰矩阵元为式中a＝0.529×10－8cm,为玻尔半径;λ＝eBa2/(4cћ),是为了便于与B项的贡献做比较而引入的.这样,只要给定B值和两组量子数((n,l′,m′,m′s))和(n,l,m,ms),由Mathematica可以快捷地得到相应的一个微扰矩阵元(这是实现自动化的第一步). 由于电子自旋磁矩的作用只是将能级分成独立的两组ms＝－1/2或ms＝＋1/2,所以本文只考虑ms＝－1/2态(ms＝＋1/2态的计算和讨论方法相同).对于ms＝－1/2态,在没有外磁场时,简并度为n2.计入磁场B项(即H∧0的第三、四项)对能级的贡献之后,简并度减少为n－m,原来的n2维态空间在磁场B项的作用下分解为2n－1个不变子空间(以下简称为“子空间”),各子空间的维数分别为;相应地,我们把原来的n2维态空间称为“全空间”.按照传统的简并微扰理论,微扰计算是在各个子空间里进行的,但数学的理论和本文的实际计算都表明:在各子空间里独立计算得到的本征值和本征矢量之全体(共n2组)与在全空间里一次性计算得到的n2组本征值和本征矢量,是完全相同(等价)的,它们分别是B2项对能量的一级修正和零级近似波函数.在人工计算的条件下,在各子空间里独立计算可以减少计算量,但对于较高能态的计算仍然是十分繁杂的,而且欠缺整体观,容易顾此失彼.本文,我们把微扰计算建立在大众化的软件平台Mathematica之上,并且直接在n2维全空间里计算B2项对能量的一级修正和零级近似波函数.与在各子空间里独立计算的方法[9－10]相比,本方法有十分明显的优势,在全空间里统一处理n2个能级不但显得简单清晰,而且有利于实现过程自动化,因为ψnlm(r,θ,φ)中角量子数和磁量子数的排列有很强的规律性:l ＝0,1,…,n－1;m＝－l,－(l－1),…,－1,0,1,…,(l－1),l;用循环命令容易实现这种排列,所以根据式(5)和式(6)容易全自动化快速地获得n2阶微扰矩阵H′(这是实现自动化的第二步,也是最重要的环节).对于较高阶(例如100阶)方阵的特征值和特征矢量的计算,只需使用Mathematica 一个内设命令就可以自动快速地求得高精度的数值结果.有了特征值和特征矢量(即一级修正能量和零级波函数)就可以绘制能级图、电子云和概率角分布图.从而实现了全过程的自动化快速计算.1.1 较低激发态(n＝2,3,4)对于n＝3态,微扰矩阵H′比较简单(只是9阶),适合用来说明本文的方法.零级近似波函数为9个本征态的线性组合先考虑B＝1000 T,此时BμB＝0.057 883 8 e V.由式(5)和式(6),可自动快速地获得微扰矩阵H′(矩阵元和本征值均以BμB为单位): 乘以BμB后得到以eV为单位(下同)的能量一级修正值,分别为E′＝0.009 630 97,0.008 854 48,0.008 854 48,0.006 640 86,0.006 640 86, 0.004 427 24,0.004 427 24,0.004 427 24和0.002 543 93.而能量的零级近似值为E(0)nmms＝－1.684 75,－1.626 87,－1.568 99,－1.511 11,－1.453 23.合并E′与E(0)nmms(也由Mathematica自动完成,这对于较高能态是很重要的),得到了一级修正后的总能级E＝－1.678 12,－1.622 45,－1.618 02,－1.446 59,－1.566 45,－1.564 57,－1.559 36,－1.502 26,－1.506 68.将它们绘制成能级图,如图1所示.为了便于对比,也将能量的零级近似值绘制在图1里.由图1可见,一级修正后总能级(9个)是彼此分开的,简并完全解除.H′有9个9维的本征矢量,可写成一个9阶方阵V:V的第j行就是式(7)中的v1(j),v2(j),…,v9(j).由式(9)可知,虽然微扰计算是在n2维全空间里进行的,但是实际起作用的本征态(vk(j)≠0才起作用)只是来自各自的n－m维子空间;对于n＝3,大多数零级波函数仅由单个本征态构成,只有两个是由不同本征态线性叠加而成的:Ψ5＝0.402 024φ1＋0.915 629φ7＝0.402 024ψ300＋0.915 629ψ320,应于能级E＝－1.566 45 e V;Ψ7＝0.915 629φ1－0.402 024φ7＝0.915 629ψ300－0.402 024ψ320,应于能级E＝－1.559 36 e V.Ψ5和Ψ7是同一个子空间里的态矢(子空间维数n－m ＝3－0＝3),而且在ψ310上的投影都为零.有了波函数就可绘制相应的电子云和概率角分布图.电子云(概率密度分布)仅以E＝－1.566 45 eV(即Ψ5态)为例, Ψ52与φ无关,只需绘制xoz平面上(φ＝0)的电子云,如图2所示.概率角分布则仅以E＝－1.559 36 eV(即Ψ7态)为例,将|Ψ7|2r2sinθd r dθdφ对r 从0到＋∞积分,得电子在(θ,φ)方向附近立体角dΩ＝sinθdθdφ内的概率角分布,如图3所示.微扰法是有较苛刻的前提条件的,那就是:作为微扰项的H′对能级的贡献应该远小于H0对能级的贡献,可以用下式描述:“＜＜1”(远小于1)是一个定性的概念,一般可认为:当δ＜5%时微扰法有很好的计算结果,当δ＜15%时微扰法仍有比较准确的计算结果.δ越大,准确性越差.如果磁场很强,H′对能级的贡献接近于(甚至超过)H0对能级的贡献,即式(10)不成立,微扰法就不适用了.图1所示结果当然满足式(10):δ≤0.61%.现在考虑B＝5 000 T,此时δ≤14.6%,因此可认为n＝3时微扰法适用条件是B≤5 000 T.值得再次强调:上述从计算微扰矩阵元到绘制能级图和概率角分布图的全过程都由Mathematica自动快速完成,一气呵成,而且适合于不同激发态(只需改变n的值). 对于n＝2能态,在同样的磁场下,H′对能级的贡献没有n＝3能态那么大,当B＝1.8×104T,仍可用微扰法计算(δ≤14.1%),能级简并也完全解除(略去能级图).对于n＝4态,在同样的磁场下,H′对能级的贡献明显增大,取B≤2 000 T,微扰法适用(略去能级图):δ≤14.5%.1.2 较高激发态(n＝5,6,7)对于n＝5态,当B＝887.439 T时,能级分裂情况如图4所示.对于n＝6态,当B＝400 T时,能级的分裂情况如图5所示.由图4和图5可见,当磁场到达一定强度时,B2项的贡献会使原来上下分明的能级(属于不同的子空间,简并度为n－|m|)进一步分裂而发生交错,如果磁场强度合适,就会出现新的简并——偶然简并.图4中较粗的线实际上是两条重叠线加一条靠得很近的线:－0.584 394、－0.584 389和－0.582 101.前两个数在误差范围内可以认为完全相同(精确到小数点后五位,两个数就完全一样:－0.584 39),即可以认为能级简并.所对应的两个量子态分别为Ψ18＝－0.941 965ψ51－1＋0.335 711ψ53－1,应于能级E＝－0.584 394 eV; Ψ19＝0.328 915ψ500＋0.647 32ψ520＋0.687 598ψ540,应于能级E＝－0.584 389 eV.Ψ18与Ψ19来自两个不同的子空间,Ψ18属于m＝－1子空间(由4维子空间里的两个本征态线性叠加而成),而Ψ19属于m＝0子空间(由5维子空间里的三个本征态线性叠加而成).所以,在各个子空间里孤立地讨论能级分裂是不全面的,子空间里能级完全分裂不一定能保证全空间能级也完全分裂.要特别说明的是:在图4和图5中,虽然上下能级发生交错(B2项的贡献超过了BμB),但微扰法仍然是有效的,因为(10)式仍成立.对于n＝5和6,如果磁场强度低一些,例如B＝200 T,能级就不会发生交错,限于篇幅,不再给出相应的能级图.对于n＝7态,当B＝100 T时分裂情况如图6所示,由于磁场强度不太高,分裂后能级仍然上下级分明(没有发生交错),简并也完全解除,但由于能级较多,没法大幅度拉开距离.本文发展了一种基于Mathematica软件平台的全自动微扰计算方法,在考虑自旋磁矩和感生磁矩与外在考虑自旋磁矩和感生磁矩与外磁场相互作用情况下,对处在较强磁场中氢原子n＝2～7的能级结构进行了全面的研究.现总结如下:(1)只需输入n和B,从计算微扰矩阵元到求出能级和波函数、绘制整体能级图、电子云图以及概率角分布图,都是全自动化进行的.(2)感生磁矩与外磁场相互作用项(即B2项)贡献的大小,不但取决于磁场的强度,还与量子态密切相关.所以微扰法适用的条件与量子态有关,n越大B越小,如表1所示.由表1可见,对于n＝2态,用本文的式(10)定义的δ＜15%作为微扰法适用的条件,与文献[12]是一致的(文献[12]只计算n＝2的能级).本文把微扰计算建立在Mathematica软件平台之上,而且直接在n2维全空间里处理问题,实现了全过程自动化,省去了大量的人工操作,使得对高激发态(较大n)的能级结构的研究变得简单快捷,是高效可靠的微扰方法.本方法不但适合于研究较强磁场(例如实验室里研究半导体材料的磁场或白矮星的磁场)中原子的能级结构,还可推广到其他外场(例如电场或电场磁场并存)时原子能级结构的研究.(3)在微扰论适用的条件下,较强磁场的一级修正一般来说可以使氢原子能级简并完全解除(n＝2～7),但在一定条件下,出现了新的简并——偶然简并.能级分裂不宜只在子空间里讨论,还应该考虑可能出现的偶然简并.【相关文献】[1]PRADDAUDE H C.Energy levels of hydrogen-like atom in a magnetic field[J].Phys Rev,1972,A6: 1321.[2]KASCHIEV M S.Hydrogen atom H and H＋2molecule in strong magnetic field[J].Phys Rev,1980, A22:557.[3]CHEN Y,GIL B,MATHIEU H.Expansion-variational studies of hydrogen-like systems in arbirary magnetic field[J].Phys Rev,1986,B346:912.[4]LIU C R,STARACE A F.Atomic hydrogen in uniform magnetic field:low-lying energy levels for fields above 109G[J].Phys Rev,1987,A35:647.[5]SHI Yu-zhu,LI Li-ping.An alternative of adiabatic variational calculation of hydrogen energy in a strong magnetic field[J].Acta Physica Sinica,1998,A47:1241.[6]HE Xing-hong,ZHOU Feng-qing,LI Bai-wen.Spectrum characteristic of an atom in a strong magnetic field[J].Acta Physica Sinica,1992,A41:1244.[7]JIN Hua-xi.Energy levels of the hydrogen atom in arbirary magnetic field obtained by using B-spline basis set[J].Phys Rev,1992,A46:5806.[8]胡先权,郑瑞伦.高强度均匀静磁场中氢原子能级的计算[J].原子与分子物理学报,1996,13(1):9－16.[9]郑立贤,陈浩.均匀磁场中氢原子低能级简并的解除[J].大学物理,2002,21(12):17.[10]钟鸣,陈浩,郑立贤.均匀磁场中氢原子微扰矩阵元的普遍表达式及较高能级简并的解除[J].华南师范大学学报:自然科学版,2004(3):76－81.[11]张昌莘.在均匀强磁场中氢原子塞曼效应久期方程的简化公式[J].原子与分子物理学报,2006,23(1): 157－162.[12]张昌莘,黄时中,席伟,等.微扰法计算较强度磁场中氢原子的能级[J].原子与分子物理学报,2012,29 (5):867－871.。

强电、磁场效应中的氢及类氢原子

强电、磁场效应中的氢及类氢原子强电、磁场效应是指外加的静电场、静磁场和交变电磁场的场强大到已不能作为微扰时对原子分子体系的物理和化学性质的影响。

实验表明髙激发态里德伯原子的能级特性与外场异常敏感而且复杂。

而理论研究也很困难，在弱外场下，可用微扰法求解薛定谔方程计算能级的劈裂、移动和展宽，得到与实验一致的结果。

强外场下就不能用微扰法，需要严格求解含外场的薛定谔方程，这变得很困难。

这种困难主要在于外场的静电力、洛伦兹力和核的库仑力具有各自不同的对称性。

大多数理论计算仍集中在氢原子，或以氢原子为模型的适当修正，如碱金属原子。

由于在均匀外电场中的哈密顿量在抛物坐标中变量是可分离的，相对计算容易一些。

本文简单的记述国内关于强电、磁场中氢以及类氢原子的部分研究。

一、强电场中的氢及类氢原子高激发态里德伯原子在电场下行为主要有电离和斯塔克效应这两方面的情况。

由于氢原子和类氢离子基态s 电子波函数是球对称的它的点和分布中心和原子核是重合的。

可以证明：任意一个具有确定角动量量子数l 态的固有电偶极矩也为零。

但是每一个n ≠1的激发态，由于对l 是简并的，不同l 态线型叠加的结果使固有电偶极矩不为零。

对其他多电子原子，如碱金属原子，由于轨道贯穿和极化效应，使能级对l 的简并破坏，它们的固有电偶极矩也为零。

在均匀电场作用下，原子被计划，电子云中心不再与核重合，原子还能产生电偶极矩。

除了原子具有的固有电偶极矩d 0之外，外场诱导的电偶极矩d 1正比于场强E 。

原子具有的总电偶极矩d = d 0+ d 1，在外电场强度E 作用下产生的能级分裂为∆E e =-d *E ，这就是斯塔克效应。

关于类氢原子在强电场中的电离[1]，前人有过研究。

方法是分离变量，即恒电场下类氢原子的薛定谔方程在旋转抛物座标下形式上分离变量，得到如下联立常微分方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈---++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈---++044120441222222121221212χηηηβξχχξξξβξχm E d d m E d d 联立条件为Z =+21ββ。

氢原子能级能量大小-概述说明以及解释

氢原子能级能量大小-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：氢原子能级能量大小是研究原子结构和原子能级间相互作用的重要内容之一。

在物理学和化学领域，氢原子被广泛地用作理论模型，以帮助我们理解更复杂的原子和分子系统。

氢原子能级能量的计算和研究可以揭示原子的量子行为，从而推进我们对于一系列物理现象的认识。

氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单的原子系统。

这个简单的系统具有许多特殊性质，使得它成为研究原子性质的理想模型。

氢原子中的能级是指电子在不同的轨道上的能量状态，它们决定了原子的化学和物理性质。

了解氢原子能级能量大小的计算方法对我们理解原子的基本结构和相互作用至关重要。

计算氢原子能级能量的方法主要基于量子力学的理论框架。

根据波尔模型，氢原子能级的能量与电子的轨道半径有关。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子的波函数和能级能量。

这些能级被标记为n=1，2，3，…，对应于不同的轨道半径和能量大小。

研究氢原子能级能量大小的结果具有广泛的应用和意义。

首先，它可以帮助我们理解原子光谱现象，即原子在光的作用下吸收或发射光的特定频率。

其次，了解氢原子能级能量的分布可以为化学反应提供基础，因为反应的发生往往涉及到能级之间的跃迁和能量的变化。

最后，在光谱学、量子力学和材料科学等领域，研究氢原子能级能量大小的结果为我们设计新材料和制造新器件提供了重要参考。

综上所述，氢原子能级能量大小的研究对于我们深入理解原子的量子行为和相互作用具有重要意义。

通过计算和分析能级能量，我们可以揭示原子的基本结构，并将其应用于各个领域的科学研究和技术发展中。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行论述，分别是引言、正文和结论。

引言部分将对整篇文章进行概述，介绍氢原子能级能量大小的研究背景和重要性。

本部分还将介绍文章的结构和组织方式，为读者提供一个整体的认知框架。

正文部分是本文的核心内容，将详细阐述氢原子能级的定义、重要性以及能级能量的计算方法。

氢原子量子力学理论

由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题，从而给出其薛定谔方程。氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：

第六节量子力学对氢原子的描述(原子物理中的)

Y
Z
对于p态 l 对于态(l=1,m=0,±1） ± ρy
3 = 3 cos2 θ cos θ ω10 = 4π 4π
2
X
X Y
2
Z
X
Z
ω11 = Y 11
2
3 3 2 iϕ sinθe = sin θ = 8π 8π
2
ρx
Z
X
Y
Z
ω1−1 = Y1−1
2 2 2 0 ∞
π 2π
0 0
∫
Y(θ,ϕ) sin θdθdϕ
2
∞
∫R
0
π
2 nl
(r)r dr =1
2
2Z (n −l −1)! Cnl = − na 2n[(n +l)!]3 0
3
1 2
2 n
l
∫ Θlm(θ) sin θdθ =1
x= r sinθcosϕ θ ϕ
cosθ = z/r θ tgϕ = y/x ϕ r2=x2+y2+z2
将上三式写成球极坐标形式：将上三式写成球极坐标形式：
ˆ L x = i h (sin ˆ L
y= r sinθsinϕ θ ϕ z= r cosθ θ
ϕ
∂ ∂ + cot θ cos ϕ ) ∂ϕ ∂θ ∂ ∂θ
H χ Hδ
4341 4102
波长埃
巴尔末线系的前4 巴尔末线系的前4条谱线
氢光谱
证明存在能级的实验
原子的线状光谱夫兰克——赫兹实验夫兰克——赫兹实验
2）角动量）
将上式写成分量算符的形式
ˆ = y p − zp = − ih ( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx ∂y ∂z

大学课件量子力学氢原子

c[ d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 ] c * [ d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1 ]
令c = 1，得：
d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1
令c = i，得：
[ d 1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 ) * 1 c d (Fˆ 1 ) * 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
2
2
r 2
(r )
V
(
r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节已经
解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
nlm
(r )
Rnl
(r )Ylm
(
,
)
V(r) e2 r
r x2 y2 z2
（I）能级
1. 基态及电离能
[ r] re 3/ 2 2
1
1
1 3 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R31(r)
2 a0
( r ) e 3/ 2 1 1 81 15 a0
2
3
1 a0
r
W10 (r ) R102 (r )r 2 r e 4 2 2r / a0
a03
的归一化
求最可几半径极值
dW10(r ) dr
4 a03
（1）二体问题的处理
（I）基本考虑二体运动动, 二粒子作为一个整体的质心运动。

量子力学课件(9)(氢原子)

（2）波函数及其能级的简并度
1.氢原子的波函数
n =1
2 R10 = a3/ 2 e−r / a
n=2 R20 (r) = 2( R21(r) = ( n =3 R30 (r) = 2( R31(r) = (
1 3/2 3a 1 3/2 2a
)
(2 − r)e
1 a
− 21a r
1 1 3/2 1 r − 2a r 2a 3 a
F1
1.0
0.8
0.6
w(r)
0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10
r/a
0.6
F1 F2
0.5
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
r/a
0.6
0.5
1s 2s 3s
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
线系的理论解释。即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
电子在原子内部运动形成了电流，成了电流，其电流密度代入球坐标中梯度表示式
ψ nlm = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
原子处于定态
r r ih J e = − eJ = − e [ψ nlm ∇ ψ nlm * −ψ nlm * ∇ ψ nlm ] 2µ
)
e
)
[1−
2 r 3a
r + ( ) ]e
2 r 2 27 a
−31a r

量子力学氢原子与类氢原子的波函数与能级

a 402 ----称为玻尔半径
ne2 n称为主量子数.且有 l (n-1).
Nnl(n2)a32(nn[n(ll1))!! ]3 ----归一化系数
L 2 n l 1 1 (2 rn ) a n l 0 1( 1 ) 1 (n l [1 n (l) )!! ( ]2 2 ( l2 r 1 n ) )!a!
通常还使用符号s , p , d , f , g , h .... 等依次表示 l = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .... 等具体数值。
§14 量子力学中的氢原子解法简介
一﹑二体问题的简化:
氢原子的能量
E2pm 1212pm 2 22U(r1r2)
z m1 r1 R
r m2 c
1.角动量平方算符的本征值方程:
L ˆ 2 Y l( m ,) L 2 Y l( m ,) 2 2 ,Y l( m ,)
利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数 Y( , ) 为有
限的条件下可求得:
L ˆ 2 Y l,m (,) l ( l 1 ) 2 Y l,m (,)
----缔合拉盖尔多项式
形R式n可,l(写r)为的:归一化的 Rn2l(r)r2dr1
r0
3. 氢原子中电子状态的波函数:
( r ,,) R n ( r ) lY l( m ,)
这里n l m 为决定征值只与主量子数 n
有n 关l,(所m r,以,En)是的简三并个的量.子简数并.度由为于:能量本
0
2 0 Y l* ,m (,)Y l,m (,)sid n d 1
故径向波函数的归一化的表达式应写为：
r 0Rn2,l(r)r2dr1
E＜0时库仑场中电子状态的定态波函数为:

结构化学第二章1

3d xy
4。原子核外出现电子的概率密度。
峰数=n －l
节面
5。原子轨道轮廓图

原子轨道轮廓图, 它可定性地反映原子波函数在3维空间大小，正负及分布情况，节面情况。
6。原子轨道等值线图

原子轨道Ψ是γ, θ, φ的函数, 它在原子核周围空间各点数值随γ, θ, φ变化, 将计算获得的数值相等的点用曲线连接起来, 就形成3维的等值线图

或以径向部分R（r），角度部分Y，分别作图如氢原子的1S原子轨道
径向部分：
R r 2
1 r / a0 3 e a0
r 0
1 R0 2 3 a0
r
R 0
角度部分：
Y ,
1 4π
Ψ 1s r , , 是一种球形对称分布
z y x
第三节波函数和电子云图形

波函数（，原子轨道）和电子云（2在空间的分布）是三维空间坐标的函数，将它们用图形表示出来，使抽象的数学表达式成为具体的图象，对于了解原子的结构和性质，了解原子化合为分子的过程都具有重要的意义．这两种图形一般只用来表示S轨道的分布，因为S态的波函数只与r有关，而与θ，φ无关。而要全面了解原子轨道图形，则要将波函数分解成：径向部分和角度部分来讨论。

e2 4 0 r
( r , , )
Er , ,
二.
变数分离法解方程
(r , , ) R(r )( )( )
R(r ) Y ( , ) R(r ) 径向部分
1. 变数分离法 : 把一个偏微分方程化成若干个只含有一个变量的常微分方程
Y ( , ) ( )( )
３．角度分布图

2013年结构化学自测题有答案版

(1) 微观粒子运动的量子力学共性有能量量子化，波粒二象性和测不准关系。

测不准关系式为vx。

Vpx》h，这一关系的存在是微粒具有波粒二象性的结果。

(2) 一个原子中的电子的运动状态由主量子n、角l、磁m、自旋ms量子数来表示；一个原子的能态由原子角量子L、自旋S、总量子J量子数来表示。

(3) 激光器给出一功率为1KW,波长为10.6的红外光束，它每秒发射的光子数=5.33x10^22个。

若输出的光子全被的水吸收,它将水温从20℃升高到沸点需时335 s 。

（4）量子力学的几个假设有状态和波函数假设，物理量和线性厄米算符假设，本证方程假设，状态叠加原理假设和schrodinger方程假设。

（5）函数称为的共轭函数。

（6）微观粒子的运动状态可用波函数描述，波函数必须满足单值，连续可积和平方可积三个条件，称之为品优函数。

（9）若力学量算符作用到函数上，有，且是一常数，则所述方程称为本证方程，称为本证值，就是属于力学量算符、本征值的本证函数。

(10) 属于立方晶系的晶体可抽象出的点阵类型有简单立方Cp、体心立方cI、面心立方cF。

(11) 分子的形状和大小由分子内部原子间的键长、健角、扭角、原子的范德华半径等决定。

(12)在边长a的立方势箱中运动的粒子,其能级的简并度是3, 的简并度是4。

(13) CsCl 晶体中负离子的堆积型式为简单立方，正离子填入立方体空隙中。

(15) 粒子处于定态是指粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态。

(16) 氢原子1s电子的电离能是13.6eV , He+ 1s电子的电离能应是54.4eV。

(17) 求解氢原子薛定谔方程时,经常采用的近似有核固定和以电子质量代替折合质量。

(18) 晶胞按对称性可划分出七种晶系，按正当晶胞的形状和带心型式进行分类可划分出 14种点证形式。

(19) 已知径向分布函数为D（r），电子出现在半径等于x nm，厚度为1nm 球壳内的概率P= S（x+1）D(r)dr(20) 采用原子单位后，的哈密顿算符= -1/2v^2-1/ra-1/rb+1/R。

量子力学课件(9)(氢原子)

类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+, Li++, Be+++ 等）也都适用，只要把核电荷 +e 换成 Ze，μ 换成相应的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：
En
e4 Z 2
2
2
n
2
n 1, 2,3,
即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
21a r
3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei 3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei
假设存在
(r, , ) R(r )Ylm ( , )
代入上式，可以化解为一个径向的常微分方程：
1 2 l (l 1) 2 e2 [ r ]R(r ) ER(r ) 2 2 2me r r 2me r 4 0r
2
对于E〈0的情形，常微分方程的本征函数和本征值有解析解，详细见附录C
Z
z

y
x z
例3. = 1, m = 0 时，W1,0() = {3/4π} cos2。正好与例2相反，在 = 0时，最大；在 =π/2时，等于零。
y
x
m = +2
m = +1
m=0
=2
m = -2
m = -1
11.5 波函数
T=0时，氢原子被制备在本征态：
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )

H原子量子

7. 原子从2态跃迁到1态时发射或吸收光子的能量hν hν = En 2 − En1 , ∴ν = (或 :ν = 1
λ
=
En 2 − En1 2π me Z 1 1 [ − 2] = hc (4πε 0 )2 h3c n12 n2
2 4 2
En 2 − En1 13.6 ×1.6 ×10−19 1 1 1 1 [ 2 − 2 ] = RH [ 2 − 2 ]) = hc hc n1 n2 n1 n2
实验值RH = 1.0967758 ×107 m−1 , 两者已十分接近(误差原因略)
玻尔理论小结: ①量子化定态陈述:原子只能停留在一些稳定的状态(定态),在定态时原子不发出也不吸收能量; 在定态时原子能量只能具有一系列彼此分离的值(能量量子化), 所在的“轨道”也是有一定大小的彼此分离的(“轨道”量子化); 无论何原因导致原子能量变化都会使原子跃迁到另一个定态.(从大轨道跳到小轨道,能量变小,多余能量会以光子放出),电子最小圆轨道半径0.0529nm r=0.0529n2/Z. ②辐射的频率法则:定态间跃迁时发射或吸收的的频率是一定的, 规则是: hν=E2-E1 , E2>E1时发射,反之吸收. ③氢原子的光谱项: T=R/ n2, 与原子内部能量E的关系: RH=1.097×107m-1 E = -hcT = -hcR/ n2 =-13.6/ n2 ④电子轨道角动量量子化条件:2π rmv=nh, L= nh/2π
6. 原子总能量表达式将r = 4πε 0 n2 h2 1 Ze2 代入原子总能量得: E − = 4π 2 mZe2 4πε 0 2r 2π 2 me4 Z 2 , n = 1, 2,3....... ⇒ 能量量子化 (4πε 0 )2 n2 h2

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LxLy LyLx =iLz
[Ly, Lz]=iLx
[Lx, Ly]=iLz
LzLx LxLz =iLy
∧ ∧
[Lz, Lx]=iLy
∧
L L =i L ×
该式给出角动量算符的一般定义. 该式给出角动量算符的一般定义.
2)
[ L2 , Lx ] = 0 [ L2 , Ly ] = 0 [ L2 , Lz ] = 0
2 Zr n l +1 [( n + l )!]2 (2 Zr na )ν ν +1 2 l +1 Ln +1 = ∑ (1) (n l 1 ν )!(2l + 1 +ν )!ν na ν =0
----缔合拉盖尔多项式 ----缔合拉盖尔多项式
波函数的归一化: 波函数的归一化:
∫ Ψ (r )
Ψ n,l , m (r ,θ ,φ ) = Rn,l (r )Yl , m (θ ,φ )
n = 1,2,3 l = 0,1,2,3 (n 1) m = 0,±1,±2,±3 ± l
称为主量子数. n --- 称为主量子数. l ---- 称为角量子数. 称为角量子数. m ---- 称为磁量子数. 称为磁量子数.
即角动量平方算符的本征值为: 即角动量平方算符的本征值为:
L2 = l (l + 1) 2
l = 0,1,2,3,
称为角量子数. 称为角量子数.
角动量平方算符的本征函数为= Nl ,m Plm (cosθ )eim
Plm (cosθ )
----缔合勒让德多项式 ----缔合勒让德多项式
2 r
2 2 2 2 R + r + U (r ) Ψ ( R , r ) = E0 Ψ ( R , r ) 2m 2M
设: Ψ ( R , r )
2
= ( R )ψ ( r )
并代入原方程可得: 并代入原方程可得:
2 2 1 1 2 R ( R) + r + U (r )ψ (r ) = E0 ψ ( r ) 2m 2M ( R) 2 2 ⑴ R ( R) = ( E0 E ) ( R) 2M
2、分离变量: 分离变量:
Ψ (r , θ , ) = R (r )Y (θ , ) 将其代入原方程, 2 将其代入原方程,并用 R (r )Y (θ , ) 2 2mr
设: 去除方程两边,移项以后可得: 去除方程两边,移项以后可得:
1 d 2 dR(r ) 2mr 2 Ze 2 r + 2 E + R (r ) dr dr 4πε 0 r 1 1 Y (θ , ) 1 2Y (θ , ) = sin θ + 2 Y (θ , ) sin θ θ θ sin θ 2
角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的, 角动量平方算符与其各分量算符是可以同时测量的,且具有共同的本征函数系. 有共同的本征函数系. 6.球坐标系中角动量算符的表示: 球坐标系中角动量算符的表示 6.球坐标系中角动量算符的表示:
L = i (sin φ ) + ctgθ cos φ x θ φ L = i ( cos φ + ctgθ sin φ ) y θ φ = i L z φ
2
d r = ∫ Ψ (r ,θ , )Ψ (r ,θ , )r sin θ drd θ d =1
* 2
2
∫
∞
r =0
R (r )r dr∫
2 n,l
π
θ =0
∫
2π =0
Y (θ , )Yl ,m (θ , ) sinθdθd = 1
* l ,m
注意到球谐函数是已经归一化的,所以有: 注意到球谐函数是已经归一化的,所以有:
2 2 2
L2Yl , m (θ ,φ ) = l (l + 1) 2Yl , m (θ ,φ )
λ = l (l +1)
l = 0,1,2,3
2、方程①的解: 、方程①的解: 代入方程①可得: 把λ=l( l +1 )代入方程①可得: (
1 2 dR (r ) 2m Ze 2 l (l + 1) (r ) + 2 (E + ) R(r ) = 0 2 2 r r dr 4πε 0 r r
Z 2me4 1 En = 2 2 (4πε 0)2 n2
(n =1,2,3,) ----- 系统的能量
具有分立谱. 具有分立谱.
②径向本征波函数: 径向本征波函数: 这时电子只能在核的附近运动,处于束缚态. 这时电子只能在核的附近运动,处于束缚态.
Zr na e l
Rn , l ( r ) = N n , l
2 Zr 2l +1 2 Zr Ln +1 na na
4πε 0 2 a= ----称为玻尔半径 ----称为玻尔半径 2 ne 3 2 Z ( n l 1) ! 归一化系数: 归一化系数: N nl = na 2 n[( n + l ) ! ]3
(nn称为主量子数.且有 l ≤(n-1). 称为主量子数.
1 1 2 2 2 2 = = L (sin θ )+ 2 θ ,φ sin θ θ θ sin θ φ 2
2
二.角动量平方算符的本征值与本征函数: 角动量平方算符的本征值与本征函数:
1.角动量平方算符的本征值方程: 1.角动量平方算符的本征值方程: 角动量平方算符的本征值方程
§3 量子力学中的氢原子解法简介
一、二体问题的简化: 二体问题的简化:
氢原子的能量
2 p12 p2 E= + + U (r1 r2 ) 2m1 2m2
z m 1 r1 R
r c r2
m2
引入质心坐标和相对坐标: 引入质心坐标和相对坐标:
o x
y 定义: 定义:总质量M与折合质量m:
m1r1 + m2 r2 R= m1 + m2
该方程左边只与r有关,而右边只与θ 该方程左边只与r有关,而右边只与θ,φ有关.所以, 有关.所以, 如果两边能相等,那么只有他们同等于一个常数.并以λ 如果两边能相等,那么只有他们同等于一个常数.并以λ来表示该常数,则有: 示该常数,则有:
和 1 Y (θ , ) 1 2Y (θ , ) = λY (θ , ) ② sin θ + 2 2 sin θ θ θ sin θ 二、方程的解: 方程的解:
1、方程②就是角动量平方算符的本征值方程. 、方程②就是角动量平方算符的本征值方程.
1 2 dR (r ) 2m Ze 2 λ (r ) + 2 (E + ) 2 R (r ) = 0 ① 2 r r dr 4πε 0 r r
2 = L sin θ 2 sin θ θ θ sin θ 2
j y py
k z pz
L=i Lx + jLy +kLz
= yp zp =i(y z ) Lx z y z y = zp xp =i(z x ) Ly x z x z = xp yp =i(x y ) Lz y x y x
4.角动量平方算符: 4.角动量平方算符: 角动量平方算符
m2 r r1 = R + m1 + m2
m1r r = r1 r2 r2 = R m1 + m2 2 2 pm pM + + U (r ) E= 2 M 2m
M = m1 + m2 m1m2 m= m1 + m2
定态薛定格方程为: 定态薛定格方程为:
p
2 M 2
2 R
p
2 m 2
( R ) = ce
i P R ( E0 E ) t
[
]
即质心按能量为( 即质心按能量为(E0-E)的自由粒子的方式运动. )的自由粒子的方式运动.
L2 = 2[( y z ) 2 + ( z x ) 2 + ( x y ) 2 ] z y x z y x
5.与角动量算符有关的对易关系: 5.与角动量算符有关的对易关系: 与角动量算符有关的对易关系 1)
LL = L =L2 +L2 +L2 x y z
∧ ∧
∧ 2
LyLz LzLy =iLx
即:
2 2 r + U (r )ψ (r ) = Eψ (r ) 2m
⑵
方程( 方程(1)是一个描写质心运动情况的定态薛定格方程. 是一个描写质心运动情况的定态薛定格方程. 它说明:质心的状态与自由粒子的状态是相同的. 因此有: 它说明:质心的状态与自由粒子的状态是相同的. 因此有:
∫θ ∫
=0
π
2π =0
Yl*m (θ , )Yl ,m (θ , ) sin θdθd = 1 ,
∞
故径向本征波函数的归一化的表达式应写为: 故径向本征波函数的归一化的表达式应写为:
∫
r =0
R n2,l ( r ) r 2 dr = 1
E<0时库仑场中电子状态的定态波函数为: < 时库仑场中电子状态的定态波函数为电子状态的定态波函数为:
2 L2Ylm (θ ,φ ) = L2Ylm (θ ,φ ) = 2 θ , Ylm (θ , )
利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数Y(θ 利用分离变量法可以求解该微分方程,在保证函数Y(θ,φ)为 Y( 有限的条件下可求得: 有限的条件下可求得:
2Y (θ , φ ) = l ( l + 1) 2Y (θ , φ ) L l ,m l ,m
§2,电子在库仑场中的运动一、定态薛定格方程: 定态薛定格方程:
1、定态薛定格方程: 定态薛定格方程:
2 2 [ + U ( r )]Ψ = EΨ 2m

氢原子与类氢原子的波函数与能级

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