初中平面几何证明题

初中数学平面几何的证明题目平面几何是数学中非常重要的一个分支，它研究的是平面上的点、线、面及其之间的关系和性质。

证明题目是平面几何中常见的一种题型，它要求我们通过逻辑推理和几何知识的运用来验证或证明某个几何命题的正确性。

在初中数学学习中，我们会遇到一些基本的平面几何的证明题目，下面我将选取一些典型的例子进行阐述。

1. 证明等腰三角形底角相等等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

我们要证明的是等腰三角形的底角相等。

证明：设等腰三角形ABC中，AB = AC，从点A作BD⊥AC于D，则BD = DC。

∵△ABD ≌△ACD（公共边AC， AB = AC，∠BDA = ∠CDA = 90°）∴∠BAD = ∠CAD2. 证明三角形内角和等于180°三角形是由三条线段构成的闭合图形，它有三个内角。

我们要证明的是任意三角形三个内角的和等于180°。

证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。

∵直线AB，BC可延长，可得到直线AC。

∵在AB、BC同侧取点D、E∵∠ABD = ∠ECB（两边平行，对顶角相等）∵∠BAC + ∠ACB + ∠ABD + ∠ECB = 180°（直线AC上的内角和为180°）∵∠A + ∠B + ∠C = 180°3. 证明直角三角形斜边上的中线等于半斜边直角三角形是指一个内角为90°的三角形。

我们要证明的是直角三角形斜边上的中线等于半斜边。

证明：设△ABC为直角三角形，∠B = 90°，D为AC的中点。

则BD = DC（D为AC的中点）由△ABC的相似性可得：△BDA ∼△BAC∴ BD/BA = DA/AC∴ BD/BA = 1/2∴ BD = 1/2 BA4. 证明平行线的对应角相等平行线是在同一个平面内，方向相同或者相反且不相交的两条直线。

我们要证明的是平行线的对应角相等。

证明：设直线l1 ∥ l2，交直线m∵∠1 + ∠2 = 180°（同旁内角和为180°）∵∠1 + ∠3 = 180°（同旁内角和为180°）∴∠2 = ∠3通过以上几个例子，我们可以看出，平面几何的证明题目，需要运用基本的几何知识和推理方法，在观察、分析和运算等方面进行逻辑推理，严谨而准确地证明某个几何命题的正确性。

第一题、如图，F为。

0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。

"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。

而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。

于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。

又PA= PF,故CD 平分Z A DF。

3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。

上两点，且在AB同侧，。

在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。

“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。

又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。

于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。

K第三题、如图，AB为。

直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。

于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。

“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。

于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。

所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。

初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。

*12.两圆的内(外)公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。

*6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

平面几何的证明题压轴题1. 问题描述给定平行四边形ABCD，证明以下结论：2. 证明过程步骤 1：作AE ⊥ AD，BF ⊥ AB，连接CF。

作AE ⊥ AD，BF ⊥ AB，连接CF。

作AE ⊥AD，BF ⊥AB，从而得到四边形AEBF是一个矩形。

步骤 2：作CF的中线DG，连接AG，BG。

作CF的中线DG，连接AG，BG。

作CF的中线DG，连接AG，BG，从而得到DG平分CF，并且DG ⊥ CF。

步骤 3：将四边形AEBF分为三个三角形：△AED，△BEF和△AFB。

将四边形AEBF分为三个三角形：△AED，△BEF和△AFB。

根据步骤1，我们知道△AED和△BEF是直角三角形。

步骤 4：分别证明△AED和△BEF为全等三角形。

分别证明△AED和△BEF为全等三角形。

根据步骤2，DG ⊥CF，所以△DEG和△FBG是全等三角形。

又因为△DEA和△BFA是直角三角形，且对边相等（DE = BF），根据勾股定理，△DEA和△BFA是全等三角形。

因此，根据全等三角形的性质，△AED和△BEF也是全等三角形。

步骤 5：根据全等三角形的性质，得到对应的边相等。

根据全等三角形的性质，得到对应的边相等。

根据步骤4，△AED和△BEF是全等三角形，所以对应的边相等：AE = BF，AD = BE步骤 6：得出结论。

得出结论。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。

因此，由步骤5得出的结论，可以证明平行四边形ABCD的对边相等：AB = CD，AD = BC3. 结论通过以上证明过程，我们可以得出平行四边形ABCD的对边相等的结论：AB = CD，AD = BC。

专题37平面解析几何解答题（第二部分）一、解答题1．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.2．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．3．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP u u u v u u u v .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．5．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF ==（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e6．已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．7．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点，且离心率e =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.8．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9．设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b +=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为 ()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足 2BM MA =，直线OM （Ⅰ）求E 的离心率e ； （Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为 72，求E 的方程.10．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r ，求MFN △面积的最小值．11．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB V 面积的最大值．12．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.13．已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.14．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．15．在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 16．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．17．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u v u u u v ，求|AB |．18．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．19．已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.。

九年级几何证明题(含答案)１.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG求证：ABC AEG S S △△证明:∵S △ABC =1/2AB ×AC ×sin ∠BACS △AGE =1/2AG ×AE ×sin ∠GAE又∠GAE=180°-∠BAC∴sin ∠GAE=sin （180°-∠BAC ）=sin ∠BAC又AB= AG ，AC= AE∴S △ABC = S △AGE２.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG 。

若O 为EG 的中点求证:BC=2AO证明:延长AO 至M ，使OM=AO ，则AM=2AO∵GO=EO∴AEMG 是平行四边形∴EM=AG=AB ，EM ∥AG∴∠EAG+∠AEM=180°又∵∠EAG+∠BAC=180°∴∠AEM=∠BAC又∵AE=AC∴△AEM ≌△CAB∴AM=BC∴BC=2AO３. 如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点，OA 的延长线交BC 于点H求证：AH ⊥BC证明:延长AO 至M ，使OM=AO ，则AM=2AO∵GO=EO∴AEMG 是平行四边形∴EM=AG=AB ，EM ∥AG∴∠EAG+∠AEM=180°又∵∠EAG+∠BAC=180°∴∠AEM=∠BAC又∵AE=AC∴△AEM ≌△CAB∴∠EAM=∠ACB又∵∠EAM+∠CAH=90°∴∠ACB+∠CAH=90°∴∠AHC=90°即AH ⊥BCO MMN O线交EG 于点O求证：O 为EG 的中点 证明：过点E 作EN ⊥AO 于N ，过点G 作GM 垂直AO 交延长线于M ∵AH ⊥BC ∴∠ACB+∠CAH=90°∵∠EAN+∠CAH=90°∴∠ACB=∠EAN∵∠ANE=∠CHA=90°，AE=AC∴△ANE ≌△CHA∴AH=EN同理可证△ABH ≌△GAM∴AH=GM∴EN=GM∵∠M=∠ENO ，∠GOM=∠EON∴△GOM ≌△EON∴GO=EO即O 为EG 的中点。

八年级数学下册几何证明题练习1.已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N ，分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ； (1)证明：MN 垂直平分ED ； (2))若∠EBD=∠DCE=45°，判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论；2.四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC ；(1)如图1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及GCEC的值； (2)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF 绕点B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=2，当E ，F ，D 三点共线时，求DF 的长；3.已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的关系为-----------------------------------------------； （2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由； （3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．4.如图正方形ABCD ，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ；(1)如图l ，写出线段AF 、BF 、EF 之间的数量关系：------------------------------；(不要求写证明过程)（2）如图2，若点G 是BC 的中点，求GFEF的比值； （3）如图3，若点O 是BD 的中点，连OE ，求EFOF的比值；5.在△ABC中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）.（1）如图1，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四边形；（2）如图2，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND.求证：∠EMD=∠FND.6.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC 为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．7.菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=∠B；⑴如果∠B=60°，求证：AE=AF；⑵如果∠B=α（0°<α<90°），（1）中的结论：AE=AF是否依然成立，请说明理由；⑶如果AB长为5，菱形ABCD面积为20，BE=a，求AF的长；（用含a的式子表示）F EDC B A8.在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A ⇒B ⇒C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ． （1）如图1，当点M 在AB 边上时，连接BN ： ①求证：△ABN ≌△ADN ； ②若∠ABC=60°，AM=4，求点M 到AD 的距离； （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．9. 如图，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动． （1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E 在线段BC 上，且BE=2cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？10. 如图，矩形ABCD 中，AB=6 ，∠ABD=30°，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB 上运动，设点P 运动的时间是t 秒，以AP 为边作等边△APQ （使△APQ 和矩形ABCD 在射线AB 的同侧）.(1)当t 为何值时，Q 点在线段BD 上？当t 为何值时，Q 点在线段DC 上？当t 为何值时，C 点在线段PQ 上？(2)设AB 的中点为N ，PQ 与线段BD 相交于点M ，是否存在△BMN 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ⑶（选做）设△APQ 与矩形ABCD 重叠部分的面积为s ，求s 与t 的函数关系式.。

初中数学练习题平面几何证明平面几何证明是数学学习中的一项重要内容，通过证明可以帮助我们理解和掌握几何形状和性质。

下面，我们将通过几个常见的初中数学练习题来进行平面几何证明。

1. 题目：已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC中点，连接AD。

证明：AD⊥BC。

证明过程：首先，根据已知条件AB=AC，可以得出△ABC是等腰三角形，即∠B=∠C。

其次，连接AB和AC，分别延长两条线段，交与BC于E、F。

则△ABE与△ACF为等腰三角形，可得∠BAE=∠CAF。

再次，由于D为BC中点，根据中位线定理可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。

综合以上三个角的关系，我们可以得到∠B=∠C，∠BAE=∠CAF 和∠BAD=∠CAD。

通过上述几个角的对应关系，我们可以得出△ADE与△ABC全等（∠B=∠C，∠BAE=∠CAF和∠BAD=∠CAD），由全等三角形的性质可知，AD=AB=AC。

因此，△ABC中，AB=AC，AD=AB=AC，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC。

2. 题目：已知四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，连接AD和BC，证明：AD=BC。

证明过程：根据题目已知条件AC=BD，AC⊥BD，我们可以得到△ABC和△ADC为等腰直角三角形。

首先，根据等腰三角形的性质，我们知道∠BAC=∠ACB和∠ACD=∠CAD。

其次，由于AC⊥BD，我们可以得到∠BAC+∠ACD=90°和∠ACB+∠CAD=90°。

综合以上的角关系，我们可以得到∠BAC+∠ACB+∠ACD+∠CAD=180°。

根据四边形内角和定理，我们知道四边形的内角和等于360°，即∠BAC+∠ACB+∠ACD+∠CAD=360°。

因此，∠BAC+∠ACB+∠ACD+∠CAD=180°和∠BAC+∠ACB+∠ACD+∠CAD=360°。

由此可得∠BAC+∠ACB+∠ACD+∠CAD=180°=360°，即∠BAC+∠ACB+∠ACD+∠CAD是一个平角。

初中几何证明题(精选多篇)第一篇：初中几何证明题初中几何证明题己知m是△abc边bc上的中点，,d,e分别为ab,ac上的点，且dm⊥em。

求证:bd+ce≥de。

1.延长em至f,使mf=em,连bf.∵bm=cm,∠bmf=∠cme,∴△bfm≌△cem(sas),∴bf=ce，又dm⊥em，mf=em,∴de=df而∠dbf=∠abc+∠mbf=∠abc+∠acb<180°，∴bd+bf>df，∴bd+ce>de。

2.己知m是△abc边bc上的中点，,d,e分别为ab,ac上的点，且dm⊥em。

求证:bd+ce≥de如图过点c作ab的平行线，交dm的延长线于点f;连接ef因为cf//ab所以，∠b=∠fcm已知m为bc中点，所以bm=cm又，∠bmd=∠cmf所以，△bmd≌△cmf(asa)所以，bd=cf那么，bd+ce=cf+ce (1)且，dm=fm而，em⊥dm所以，em为线段df的中垂线所以，de=ef在△cef中，很明显有ce+cf>ef (2)所以，bd+ce>de当点d与点b重合，或者点e与点c重合时，仍然采用上述方法，可以得到bd+ce=de综上就有：bd+ce≥de。

3.证明因为∠dme=90°，∠bmd<90°，过m作∠bmd=∠fmd，则∠cme=∠fme。

截取bf=bc/2=bm=cm。

连结df,ef。

易证△bmd≌△fmd，△cme≌△fme所以bd=df，ce=ef。

在△dfe中，df+ef≥de，即bd+ce≥de。

当f点落在de时取等号。

另证延长em到f使mf=me，连结df，bf。

∵mb=mc，∠bmf=∠cme，∴△mbf≌△mce，∴bf=ce，df=de，在三角形bdf中，bd+bf≥df，即bd+ce≥de。

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：(1)正向思维。

初二平面几何考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是线段的性质？A. 线段是直线的一部分B. 线段有两个端点C. 线段可以无限延长D. 线段的长度是固定的答案：C2. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°答案：B3. 如果一个角是直角三角形的一个锐角的2倍，那么这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 25厘米答案：A5. 一个正六边形的内角是多少度？A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°答案：B二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个正方形的对角线长度是边长的________倍。

答案：√27. 如果一个角是30°，那么它的补角是________度。

答案：1508. 直角三角形中，如果一个锐角是45°，那么另一个锐角是________度。

答案：459. 一个圆的周长是它的直径的________倍。

答案：π10. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是________三角形。

答案：直角三、简答题（每题5分，共10分）11. 请说明什么是等腰三角形，并给出一个例子。

答案：等腰三角形是指至少有两边长度相等的三角形。

例如，一个三角形的三边长分别为3厘米、3厘米和5厘米，那么它就是一个等腰三角形。

12. 请解释什么是相似三角形，并给出一个判定条件。

答案：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。

一个判定条件是如果两个三角形的三个对应角都相等，那么这两个三角形是相似的。

四、计算题（每题15分，共30分）13. 如图所示，三角形ABC是一个直角三角形，其中∠C是直角。

一、垂直平分线的性质证明：定理：如果一条线段的中点同时也是这条线段的垂直平分线的一个端点，则这条线段与另一条线段垂直。

证明：设线段AB的中点为M，且AM=BM。

设另一条线段CD与AB相交于点E。

根据垂直平分线的定义，我们知道AM垂直于CD，并且ME=EM（因为M是CD的垂直平分线的一个端点）。

现在我们需要证明AB与CD垂直，即证明∠AEC=90°。

由于三角形AME和BME中AM=BM，ME=EM，所以三角形AME和BME是等腰三角形。

因此，∠AME=∠BME，而∠AME和∠BME互补，所以∠AEM+∠BEM=90°。

又因为ME=EM，所以∠AEM=∠BEM，即∠AEM=∠BEM=∠AEC/2+∠BEC/2=90°/2=45°。

因此，∠AEC=90°，证明了AB与CD垂直。

二、角平分线的性质证明：定理：如果一条线段的中点同时也是这条线段的角平分线的一个端点，则这条线段与另一条线段平分的两个角相等。

证明：设线段AB的中点为M，且AM=BM。

设另一条线段CD与AB相交于点E，且∠CED与∠BEA为两个相等的角。

我们需要证明∠CEM=∠BEM。

根据角平分线的定义，我们知道∠AEM=∠BEM，且∠CEM=∠AEM/2（因为M是AB的角平分线的一个端点）。

现在我们需要证明∠CEM=∠AEM/2。

由于∠CED与∠BEA相等，所以∠CED=∠BEA。

又因为AM=BM，所以∠CMA=∠BMA。

因此，∠CEM+∠CMA=∠AEM/2+∠BMA=∠CED+∠CEM=∠BEA+∠CEM=∠BEM+∠CEM。

通过消去公共角∠CEM，我们得到∠CMA=∠BMA=∠BEM。

因此，∠CEM=∠BEM，证明了∠CEM=∠BEM。

综上所述，我们证明了角平分线的性质。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）AP C DB A F GC EB O D3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）D 2C 2 B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C BD A A 14、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．F3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）D4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2．1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．APCBACBP D A CBPD4中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠＝200，求∠BED的度数．参考答案经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心。

与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理。

例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N 。

作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上。

(杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP ′=MP =MB ,NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心,点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC , ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC 。

从而,P ′点与A ,B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B ：P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ,S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似。

(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）分析：设O 1，O 2,O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心,作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A , ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C 。

∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3。

∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21（∠O 2O 1S +∠SO 1K )=21（∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ;同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .A B C P P MN 'A B C K P O O O ....S 123二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 例3．AD ,BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明:在△PAD ，△PBE ,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. （第26届莫斯科数学奥林匹克）分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ,C ，D ，E ,F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′,E ′，F ′。

平面几何100题1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。

在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。

证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。

2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。

证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。

3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90⁰，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。

△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。

求证：点N 在直线21O O 上。

4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。

5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。

设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。

证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。

6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。

7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。

直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。

求证：△APQ 的垂心在MN 上。

8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90⁰，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。

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共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。

几何计算-1命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。

若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.所以，矩形DECF的面积150.几何证明-1命题在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。

证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。

易证ΔAPO≌ΔORD，所以 DR=OP,AP=OR，故 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。

同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。

因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。

证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证RtΔAPO≌RtΔORD，故得 DR=OP,AP=OR，即 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。

同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。

因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。

几何不等式-1命题设P是正△ABC内任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的内接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。

浅谈初中数学平面几何证明题教学【摘要】初中数学教学中，平面几何证明题是一个重要的环节，可以帮助学生提高逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文从引言、正文和结论三个部分展开探讨。

在引言中，我们探讨了初中数学教学的重要性以及数学证明题在学习中的作用。

在我们分析了平面几何证明题的特点，提出了教学方法与策略，并通过案例分析和实践经验分享了教学经验。

解析了知识点难点，并探讨如何提高学生的学习兴趣。

在我们总结了初中数学平面几何证明题教学的意义，评估了教学效果并展望未来发展方向，同时反思并总结了教学过程中的问题和解决方法。

通过本文的探讨，可以帮助教师更好地开展初中数学平面几何证明题的教学工作。

【关键词】初中数学教学、数学证明题、平面几何、教学方法、案例分析、实践经验、知识点、难点、学习兴趣、教学意义、教学效果评估、展望、总结、反思。

1. 引言1.1 初中数学教学的重要性初中数学教学在整个学习过程中占据着重要的地位，它不仅为学生打下了坚实的数学基础，更培养了他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

在数学学科中，初中数学作为学生最先接触的数学学科之一，承担着培养学生数学思维和能力的重要任务。

数学是一门抽象的学科，也是一门逻辑性强、规则性严谨的学科。

初中数学教学的重要性不言而喻。

初中数学教学是学生数学思维能力的重要训练环节。

通过学习初中数学，学生接触和掌握了许多基本知识和解题方法，培养了他们的逻辑思维和分析问题的能力。

数学证明题在其中扮演着重要的角色，它要求学生深入理解数学知识，善于运用逻辑推理和推断，从而提高他们的数学思维能力。

初中数学教学对学生未来学习和发展起着至关重要的作用。

数学是一门应用广泛的学科，它与许多其他学科和实际生活中都有密切的联系。

通过初中数学的学习，学生不仅能够为将来更深入的学习打下基础，还能够应用数学知识解决实际问题，提升自己的综合素质和竞争力。

初中数学教学的重要性在于它不仅为学生的数学学习奠定基础，更培养了他们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为他们未来的学习和发展打下了坚实的基础。