2017届高三一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语1-2

大一轮复习数学（文) 第一章集合与常用逻辑用语1．集合与元素（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＊(或N＋）Z Q R2.关系自然语言符号语言Venn图子集集合A 中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B）A⊆B（或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B（或B A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B3。

集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝A∩B＝{x|x∈A且x∈B｝∁U A＝{x｜x∈U，且x∉A｝4.（1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个,真子集有2n－1个．（2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1){x｜y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y）｜y＝x2＋1}．（×）（2）若{x2，1｝＝{0,1｝，则x＝0，1.( ×）(3）｛x｜x≤1｝＝{t｜t≤1}．( √)（4）对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B）恒成立．（√)（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×）(6)含有n个元素的集合有2n个真子集．( ×)1．（2015·四川)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝｛x|1＜x＜3｝，则A∪B等于( ）A．{x｜－1＜x＜3｝B．{x｜－1＜x＜1}C．｛x｜1＜x＜2｝D．{x｜2＜x＜3}答案A解析借助数轴知A∪B＝{x|－1＜x＜3｝．2．已知集合A＝{x｜x2－x－2≤0},集合B为整数集，则A∩B等于（)A．｛－1，0,1,2} B．{－2,－1，0，1}C．｛0,1} D．｛－1，0｝答案A解析因为A＝｛x|x2－x－2≤0}＝{x｜－1≤x≤2}，又因为集合B 为整数集,所以集合A∩B＝{－1,0,1，2｝，故选A。

2017版高考数学一轮复习-第一章-集合与常用逻辑用语-1.3-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-文D且f (n )≤n ”的否定形式是______________． 答案 ∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．4．(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.5．(教材改编)给出下列命题：①∀x ∈N ，x 3>x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案 ①②③题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 (1)已知命题p 1：y ＝ln[(1－x )·(1＋x )]为偶函数；命题p 2：y ＝ln 1－x 1＋x为奇函数，则下列命题①p 1∧p 2；②p 1∨(綈p 2)；③p 1∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中，是假命题的是________．(2)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．答案 (1)④ (2)②③解析 (1)对于命题p 1：令f (x )＝y ＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )>0得－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，∵f (－x )＝ln[(1＋x )·(1－x )]＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴命题p1为真命题；对于命题p2：令g(x)＝y＝ln 1－x1＋x，易知g(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，g(－x)＝ln 1＋x1－x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，命题p2为真命题，故p1∧(綈p2)为假命题．(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题①p∧q；②(綈p)∧(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)中，为真命题的是________．(2)若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a<x<b}，则在命题“p∧q”“p∨q”“綈p”“綈q”中，是真命题的有________．答案(1)④(2)綈p、綈q解析(1)p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题．从而p∧q为假，(綈p)∧(綈q)为假，(綈p)∧q为假，p∧(綈q)为真，④正确．(2)依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为假，“ 綈p ”为真，“綈q ”为真．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假例2 (1)下列命题中，为真命题的是________． ①∀x ∈R ，x 2≥0; ②∀x ∈R ，－1<sin x <1； ③∃x 0∈R,020;x < ④∃x 0∈R ，tan x 0＝2.(2)下列四个命题p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，001()()23；x x 1< p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x . 其中真命题是________．答案 (1)①④ (2)p 2，p 4解析 (1)∀x ∈R ，x 2≥0，故①正确；∀x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故②错；∀x ∈R,2x>0，故③错，故④正确．(2)根据幂函数的性质，对∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，故命题p 1是假命题；由于log 12x －log 13x ＝lg x －lg 2－lg x －lg 3＝lg x lg 2－lg 3lg 2lg 3，故对∀x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ，所以∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0，命题p 2是真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，log 12x >1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x 不成立，命题p 3是假命题；∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，log 13x >1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x ，命题p 4是真命题． 故p 2，p 4为真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________．(2)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p为______________．答案(1)对任意实数x，都有x≤1(2)∃x∈A,2x∉B解析(1)利用存在性命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．(2)命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题．∴綈p：∃x∈A,2x∉B.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．②对原命题的结论进行否定．(1)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； ②q ：所有的正方形都是矩形；③r ：∃x 0∈R ，200220＋＋；x x ④s ：至少有一个实数x 0，使310.＋＝x 解 ①綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题． ②綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． ③綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．④綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为______________．答案 ∀n ∈N ，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”．题型三 由命题的真假求参数的取值范围例4 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为_______________________________________． 答案 m ≥2解析 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4<0，－2<m <2. 因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧ m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.引申探究1．本例条件不变，若p ∧q 为真，则实数m 的取值范围为________．答案 (－2,0)解析 依题意，当p 是真命题时，有m <0； 当q 是真命题时，有－2<m <2，⎩－2<m <2，2．本例条件不变，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数m 的取值范围为________________．答案 (－∞，－2]∪[0,2)解析 若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p 、q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎨⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，∴m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎨⎧ m ≥0，－2<m <2， ∴0≤m <2.∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．3．本例中的条件q 变为q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1<0，其他不变，则实数m 的取值范围为________． 答案 [0,2]解析 依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0， ∴m >2或m <－2.⎩－2≤m≤2∴m的取值范围是[0,2]．思维升华根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a ＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是______________．(2)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋1 2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是______________．答案(1){a|a≤－2或a＝1} (2)(－1,3)解析(1)∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，∴a≤－2或a＝1.(2)依题意可知“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4×2×12<0，即(a＋1)(a－3)<0，解得－1<a<3.1．常用逻辑用语及其应用一、命题的真假判断典例已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么下列说法判断正确的是________．①“綈p”是假命题；②q是假命题；③“p或q”为假命题；④“p且q”为真命题．解析由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，所以命题q为假命题．综上可知：綈p为真命题，p且q为假命题，p或q为假命题．答案②③温馨提醒判断与一元二次不等式有关命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解)，然后再利用逻辑用语进行判断．二、求参数的取值范围典例已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q 都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]温馨提醒含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．三、利用逻辑推理解决实际问题典例(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一温馨提醒在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．[方法与技巧]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．[失误与防范]1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p 或非q.3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)中，为真命题的是________．答案④解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．2．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的____________条件．答案充分不必要解析由“綈p为真”可得p为假，故p∧q为假；反之不成立．3．已知命题p：“x>2是x2>4的充要条件”，命题q：“若ac2>bc2，则a>b”，那么下列关于命题的真假判断正确的是________．①“p或q”为真；②“p且q”为真；③p真q假；④p，q均为假．答案①解析由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此①正确．4．下列命题中的假命题是________．(填序号)．①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x0∈R，lg x0<1；④∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5. 答案 ②解析 ①中，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；②中，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；③中，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；④中，当x ∈R 时，tan x ∈R ，故∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5. 5．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下面为真命题的是______(填序号)．①(綈p )∧(綈q ); ②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q );④p ∧q .答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，a x<log a x，故p为假命题．命题q，由等差数列的性质，当m＋n＝p＋q时，a n＋a m＝a p＋a q成立，当公差d＝0时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m＋n ＝p＋q成立，故q是真命题．故綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．6．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下面为真命题的是________．(填序号)①p∧q; ②(綈p)∧q；③p∨(綈q); ④(綈p)∧(綈q)．答案②解析p是假命题，q是真命题，所以②正确．7．命题p：∃x0>0，x0＋1x0＝2，则綈p为__________________．答案 ∀x >0，x ＋1x≠2 解析 “∃”的否定为“∀”，“＝”的否定为“≠”．8．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是______________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题，若命题p 为真命题，则m ≤－1，若q 为真命题，则Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2，若命题p 和命题q 都是真命题，则－2<m ≤－1，∴若“p ∧q ”为假命题，则m ≤－2或m >－1.9．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是__________．答案 [9，＋∞)解析 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p ：A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}．∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10且等号不能同时取到，解得m ≥9. 10．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.11．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎨⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3，所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3.12．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案①③解析①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.B组专项能力提升(时间：15分钟)13．若命题p：∃x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则实数a的取值范围是________．答案a≥2解析若命题p：∃x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则綈p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即(2＋a )x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，当a ＝－2时不成立，舍去，则有⎩⎨⎧ 2＋a >016－42＋a a －1≤0，解得a ≥2.14．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题．对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题．4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．15．下列结论正确的是________．①若p：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1<0；②若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；③“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题．答案④解析∵x2＋x＋1<0的否定是x2＋x＋1≥0，∴①错；若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴②错；f(x)为奇函数，但f(0)不一定有意义，∴③错；命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，④对．16．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m ＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.17．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎨⎧ Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，所以命题p 为真时，m <－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，得－2<m <3，所以命题q 为真时，－2<m <3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧ m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎨⎧ m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m <3，所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m <3.18．有下列命题：①在函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(－1,1)对称； ③已知命题p ：对任意的x ∈R ，都有sin x ≤1，则綈p ：存在x 0∈R ，使得sin x 0>1；④在△ABC 中，若3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则角C 等于30°或150°.其中的真命题是________．答案 ③解析 对于①，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x ，相邻两个对称中心的距离为T 2＝π2，①错；对于②，函数y ＝x ＋3x －1的图象关于点(1,1)对称，②错；对于③，根据全称命题的否定，③很明显是对的；对于④，由3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B＋3cos A ＝1，两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，则A ＋B ＝π6或5π6，而3sin A ＋4cos B ＝6≤4＋3sin A ，故sin A ≥23>12，即A >π6， ∴A ＋B ＝5π6，故C ＝π6，④错．。

§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠4．(2018·某某质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0 答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母X 围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2018·某某省某某一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2018·某某模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2B．1<b ≤2C ．b ≤1D．b <1 答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2018·某某模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析 对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C. (2)(2018·某某质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0 答案 C解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A ，B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x>0，选项D 为真命题，故选C.(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 答案 B解析 因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.题型三 充分、必要条件的应用例4已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值X 围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值X 围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－1,1]解析 依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， 所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四 命题中参数的取值X 围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 对于含量词的命题中求参数的取值X 围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值X 围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值X 围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值X 围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值X 围是c >1.综上可知，c 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数X 围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质． 例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围为__________． 答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值X 围为[9，＋∞)．素养提升 例题中得到实数m 的X 围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．2．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.3．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2018·某某模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2018·某某河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值X 围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值X 围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92D ．{3} 答案 A解析 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值X 围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值X 围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3. 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是____________．答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件． 14．(2018·某某某某一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值X 围是______________．答案 (－∞，－3] 解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。

第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例1】设集合A ＝{a ＋1，a －3，2a －1，a 2＋1}，若－3∈A ，求实数a 的值. 【解析】令a ＋1＝－3⇒a ＝－4，检验合格； 令a －3＝－3⇒a ＝0，此时a ＋1＝a 2＋1，舍去； 令2a －1＝－3⇒a ＝－1，检验合格； 而a 2＋1≠－3；故所求a 的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A 的元素，但A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a 的值以后，又需要由元素的互异性检验a 是否符合要求.【变式训练1】若a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求a 和b 的值.【解析】由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+a b a b b a ,1,0 或②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0b a a b b a 显然①无解；由②得a ＝－1，b ＝1.题型二 集合的基本运算【例2】已知A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a .【解析】由已知得A ＝{3，5}.当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a ≠0时，B ＝{1a}.要使B ⊆A ，则1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或15.综上，a ＝0或13或15.【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于()A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁R M∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.【解析】(1)逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题；否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题.(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是()A.若⌝p，则⌝qB.若⌝q，则⌝pC.若q，则pD.若⌝q，则p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若⌝p是⌝q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜5或－5＜x＜－3}.由题设有：⌝q⇒⌝p且⌝p不能推出⌝q，所以p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.因为m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(3，5)，故由2＋m≤5且2－m≥3⇒0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是()A.0≤a≤2B.－2＜a＜2C.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列.【证明】(1)(充分性)若{a n}为等差数列，设其公差为d，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1a n－1－1a n)]＝1d(1a1－1a n)＝a n－a1da1a n＝n－1a1a n.(2)(必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减得1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1－n －1a 1a n ⇒a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.①于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，②由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2). 又由1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3⇒a 3－a 2＝a 2－a 1，所以n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练3】设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x sin x ＜1，因为x ∈(0，π2)，所以x sin x ＞x sin 2x ，由此可得x sin 2x ＜1，即必要性成立.若x sin 2x ＜1，由于函数f (x )＝x sin 2x 在(0，π2)上单调递增，且π2sin 2π2＝π2＞1，所以存在x 0∈(0，π2)使得x 0sin 2x 0＝1.又x 0sin x 0＞x 0sin 2x 0＝1，即x 0sin x 0＞1，所以存在x 0′∈(0，x 0)使得x 0′sin 2x 0′＜1，且x 0′sin x 0′≥1，故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包含关系：P ⊆Q ，即P Q 或P ＝Q ，必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于P ＝Q .4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ，则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例1】判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12；(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【解析】(1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12.(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧⌝q ”是假命题C.命题“⌝p ∨q ”是真命题D.命题“⌝p ∧⌝q ”是假命题【解析】选D.先判断命题p 和q 的真假，再逐个判断.容易知命题p 是真命题，如x ＝π4，⌝p 是假命题；因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，⌝q 是真命题.所以“p ∧q ”是假命题，A 错误；“p ∧⌝q ”是真命题，B 错误；“⌝p ∨q ”是假命题，C 错误；“⌝p ∧⌝q ”是假命题，D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定 【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. 【解析】(1) ⌝p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题.(2) ⌝q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3) ⌝r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，是真命题. (4)⌝s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3x ＞0，则⌝p 为 .【解析】∃x 0∈(1，＋∞)，log 3x 0≤0. 题型三 命题的真假运用【例3】若r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x ∈R ，r (x )为假命题”且“对任意的x ∈R ，s (x )为真命题”，求实数m 的取值范围.【解析】因为由m ＜sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)恒成立，得m ＜－2；而由x 2＋mx ＋1＞0恒成立，得m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.依题意，r (x )为假命题且s (x )为真命题，所以有m ≥－2且－2＜m ＜2， 故所求m 的取值范围为－2≤m ＜2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出，然后由r (x )为假命题(取A 的补集)，s (x )为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立.已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).【解析】②④.对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg 3，显然也无实数解； 对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π， 即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.。