最新高中毕业班摸底测试数学理科试题

山西省晋中市2024年数学（高考）统编版摸底(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知为锐角，且，则（）A．B．C．D．第(2)题如图，在长方形中，，点P满足，其中，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题已知，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知是定义在上的单调函数，，则（）A．114B．116C．134D．136第(5)题科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题若，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(7)题已知集合，，若，则为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（）A．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为B．存在点，使得平面C．若平面，则动点的轨迹长度为D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为第(2)题当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线.如图，圆心为，半径为1的圆B，圆上定点M初始位置在原点，当圆B沿着x轴正向滚动，且半径BM旋转角度为φ，则以下结论正确的为（）A．若，则点M的坐标为B．圆B滚动一周，得到的摆线长等于圆周长C．若圆B滚动角度时，点M从一个位置P到达位置Q，则PQ长度的最大值为D．若定点M总在直线的下方，则a的取值范围为第(3)题《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，则（）A．“羡除”有且仅有两个面为三角形；B．“羡除”一定不是台体；C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；D．“羡除”至多有两个面为梯形.三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

小本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2}A x x =>∣，{23)B y y =<<∣，则A.=∅ A B B.= A B AC.= A B BD.= A B A2.曲线3113y x =+在点()3,8--处的切线斜率为A.9B.5C.-8D.103.若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =A.23-B.23 C.32-D.324.在四棱锥P ABCD -中，“∥BC AD ”是“∥BC 平面PAD ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.433cos sin cos sin 551010i i ππππ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎝⎭⎝⎭A.1B.iC.-1D.-i6.已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 右支上一点，O 为坐标原点，Q 为线段1PF 的中点，T 为线段1QF 上一点，且QT OQ =，则1FT =A.3C.4D.57.定义在R 上的坷函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x - 的解集为A.)13⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞B.(11,,0,33⎡⎫⎡--⎪⎢⎢⎣⎭⎣ ∞C.{})103⎛⎤-+ ⎥⎝⎦∞D.(11,,0,33⎡⎤⎡--⎢⎥⎢⎣⎦⎣ ∞S.若数列{}n a 、{}n b 满足121a a ==，11+=-+n n b a n ，13+=-+n n b a n ，则数列{+n n a b 的前50项和为A.2500B.2525C.2550D.3000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。

2024届新高三理科数学开学摸底考试卷3及答案解析（课标全国专用）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}{}N 120,1,2A x x =∈-≤≤=，又{}2,1,0,1B =--，所以{}0,1A B = .故选：D2．若复数z 满足i 43i z =-，则z =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先根据复数除法的运算求出复数z ，再由模长公式计算模长即可求解【详解】因为43i34i iz -==--，所以5z =.故选：C.3．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（）A ．19和2B ．19和3C ．19和4D ．19和8【答案】C【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项.【详解】解：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，∴121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=4=．故选：C ．【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数，又在R 上单调递增的函数有（）A ．sin y x x =-B ．2y x x =+C ．e e x x y -=+D ．1y x x=+【答案】C【分析】由函数奇偶性排除选项AB ；由定义域排除选项D ；再求导判断单调性判断C 作答.【详解】对于C ，令()e e x x f x -=+，其定义域为R ，而()e e ()x x f x f x -=-=+，即函数e e x x y -=+是偶函数，A 错误；对于B ，函数2y x x =+的定义域为R ，是非奇非偶函数，B 错误；对于A ，令()sin g x x x =-，其定义域为R ，()sin()()g x x x g x -=---=-，即sin y x x =-是奇函数，()1cos 0g x x '=-≥，当且仅当2π,Z x k k =∈时取等号，因此函数sin y x x =-在R 上单调递增，A 正确；对于D ，函数1y x x=+的定义域为{R |0}x x ∈≠，不符合题意，D 错误.故选：A5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()P μσξμσ-≤≤+≈68.27%，()22P μσξμσ-≤≤+≈95.45%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B【分析】正态分布2(0,3)N 中，0,3μσ==，根据正态分布的对称性求解即可.【详解】正态分布2(0,3)N 中，0,3μσ==，所以(33)(0303)P P ξξ-<<=-<<+≈68.27%，(66)(023023)P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈95.45%，所以[]1(36)(66)(33)2P P P ξξξ<<=-<<--<<≈13.59%，故选：B.6．已知圆2214850:O x y x y ++--=与圆2222(2)(0:)O x y r r ++=>只有一个公共点，则r =（）A ．1B ．4C ．9D ．1或9【答案】D【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意两圆相内切，则圆心距等于半径之差的绝对值，即可得到方程，解得即可.【详解】圆2214850:O x y x y ++--=，即()()222425x y ++-=，圆心为()12,4O -，半径15r =，圆2222(2)(0:)O x y r r ++=>，圆心()22,0O -，半径为r ，所以124O O ==因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切，显然两圆不能相外切，所以211r O r O =-，即54r -=，解得1r =或9r =.故选：D7．x xe e y x--=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】研究函数的奇偶性，再研究函数值的变化趋势．【详解】()f x 是偶函数，排除D ，x →+∞时，()f x →+∞，排除A 、B ．故选C ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象．解题方法是排除法．可通过解析式研究函数的性质（如奇偶性、单调性、对称性等），排除一些选项，研究函数的特殊值，函数值的正负、函数值的变化趋势等再排除一些选项，直到只剩下一个选项为正确选项．8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3≈）（）A ．75B ．74C ．73D ．72【答案】C【分析】由已知可得45D =，再由1840.5()0.25G⨯<，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得18180.50.4D =，则45D =，所以1840.50.25G ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即()()()45218lg18lg 2lg5182lg 211820.31518log 72452lg 2l 2g53lg 2130.31lg 5G --⨯->===≈=--⨯-，所以所需的训练迭代轮数至少为73次．故选：C ．9．已知点O 为坐标原点，直线1y x =-与抛物线C ：22y px =()0p >相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，若M 到C 的准线的距离等于12AB ，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据抛物线定义可知直线1y x =-过抛物线的焦点，从而求出焦点坐标可得p 的值.【详解】如图，假设直线1y x =-不过抛物线焦点F ，过A 、B 、M 分别做准线的垂线，垂直分别为E 、D 、G ，则GM 是直角梯形AEDB 的中位线则1()2GM AE BD =+又因为12GM AB =，所以AE BD AB+=由定义可知AE BD AF BF AB +=+=所以A 、B 、F 三点共线由直线1y x =-可得F 的坐标为(1,0)所以2p =.另解：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，联立方程组21,2,y x y px =-⎧⎨=⎩得()22110x p x -++=，则()1221x x p +=+，121=x x ，所以M 到C 的准线的距离等于312p +．因为2AB =，所以312p +=2p =．10．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现将ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A ．存在点P ，使得PE CF ∥B ．存在点P ，使得PE ED ⊥C ．三棱锥P AED -的体积最大值为26D ．当三棱锥P AED -的体积达到最大值时，三棱锥P AED -外接球表面积为4π【答案】A【分析】连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，确定PG AE ⊥，AE DE ⊥，若CF AE ∥，得到AE ，PE 重合，不成立，A 错误，PG ⊥平面AECD 时，PE ED ⊥，B 正确，计算得到CD 正确，得到答案.【详解】如图所示：连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，PG AE ⊥，连接PF ，FE ，2PG =，2FG =，AE DE ==222AD AE ED =+，故AE DE ⊥，对选项A ：CF AE ∥，若PE CF ∥，又AE PE E ⋂=，则AE ，PE 重合，不成立，错误；对选项B ：当PG ⊥平面AECD 时，ED ⊂平面AECD ，则PG ED ⊥，又AE DE ⊥，PG AE G = ，,PG AE ⊂平面PAE ，故ED ⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，故PE ED ⊥，正确；对选项C ：当PG ⊥平面AECD 时，三棱锥P AED -体积最大，最大值为1132⨯=对选项D ：PG ⊥平面AECD ，GF ⊂平面AECD ，故PG GF ⊥，1PF =，故1FA FE FD FP ====，故F 是三棱锥P AED -外接球球心，半径为1R =，故外接球表面积为24π4πS R ==，正确.故选：A.11．函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,]π内的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围为A ．24,33⎡⎤⎢⎣⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】A【解析】根据x 的取值范围，求出3x πω+的取值范围，再根据函数的值域得到533πππωπ≤+≤即可解得.【详解】解：函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，,333x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦1()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴11cos 32x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以533πππωπ≤+≤，解得2433ω≤≤,故ω的取值范围为24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题.12．12．设13a =，3ln 2b =，1tan 2c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较,a b ，构造函数()()tan ,0,1f x x x x =-∈，()()()ln 1,0,g x x x x =-+∈+∞，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为3327e 28⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以133e 2>，所以1331ln ln e 23>=，所以b a >，令()()tan ,0,1f x x x x =-∈，则()()22221sin 1tan 0,0,1cos cos xf x x x x x'=-==>∈，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()1002f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11tan 022->，所以11tan 22>，令()()()ln 1,0,g x x x x =-+∈+∞，则()()0,0,1xg x x x '=>∈+∞+，所以函数()g x 在()0,∞+上递增，所以()1002g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即13ln 022->，即13ln 22>，所以13tan ln 22>，即c b >，综上，a b c <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造函数()()tan ,0,1f x x x x =-∈，()()()ln 1,0,g x x x x =-+∈+∞，利用中间量12来比较,b c 的大小是解决本题的关键.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若232nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】40【分析】根据二项式系数和为232n =，求出n ，即可求出二项式展开式中常数项.【详解】因为二项式系数和232n =，因此5n =，又()()5521055132C C 2kkk k kk k T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2k =，常数项为()225C 240-=.故答案为：40.14．已知数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，*n ∈N ，若716a =，354a a =，则2a 的值为______.【答案】12-或12【分析】由等比的定义结合其性质得出2a 的值.【详解】因为221n n n a a a ++=，*n ∈N ，所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q.由716a =，23544a a a ==，得42a =±，3748a q a ==±，所以2q =±.当2q =时，42a =，则212a =；当2q =-时，42a =-，则212a =-.综上，2a 的值为12-或12.故答案为：12-或1215．已知F 是双曲线2222:1x y C a b -=的左焦点，A 是C 的右顶点，过点A 作x 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点M ，连接FM 交另一条渐近线于点N .若2FN FM =，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】2【分析】根据题意即可得出()(),0,,0A a F c -，所以(),M a b ，再由2FN FM =可得N 为FM 的中点，即,22a c b N -⎛⎫⎪⎝⎭，代入另一条渐近线b y x a =-可得2c a =，即可计算出离心率为2.【详解】如下图所示：易知()(),0,,0A a F c -，则过点A 作x 轴的垂线方程为x a =，不妨设x a =与渐近线by x a=交于点M ，则可得(),M a b ，又2FN FM = 可得，N 为FM 的中点，即,22a c b N -⎛⎫⎪⎝⎭；又N 在另一条渐近线b y x a =-上，即22b b a ca -=-⋅，解得2c a =；所以双曲线C 的离心率为2c e a==.故答案为：216．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．【答案】9π2【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得2AB AC ==体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.【详解】由题可知三棱锥-P ABC 的体积为：211112326623P ABCAB AC V AB AC AP AB AC -+⎛⎫=⨯⋅⋅⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2AB AC ==时等号成立，此时，12PA AB AC ===，，将三棱锥-P ABC 补成长方体PEFG ABDC -，则三棱锥-P ABC外接球的直径为23R =，则32R =，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为349ππ32R =.故答案为：9π2.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 满足15a =，123n n n a a +-=（*n ∈N ）.记3nn n b a =-.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(1)证明见解析(2)()1212n n ++-【分析】（1）由等比数列定义证明1n nb q b +=即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵123n n n a a +-=，∴132n n n a a +=+，∵3n n n b a =-，∴()11133233223232n n n n n n n n n n n b a a a a b +++=-=+-⨯=-⨯=-=，又∵15a =，∴1113532b a =-=-=，∴易知数列{}n b 中任意一项不为0，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由第（1）问，1222n n n b -=⨯=，∴2n n n c nb n =⋅=，∴设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，①2⨯得，234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，①-②得，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅ ，∴()111212222212n n n n n S n n +++--=-⋅=-+-⋅-，∴()1212n n S n +=+-.∴数列{}n c 的前n 项和为()1212n n ++-.18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：日均收看世界杯时间（时）[]0.5,1(]1,1.5(]1.5,2(]2,2.5(]2.5,3(]3,3.5频率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．(1)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：()2P K k≥0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关(2)分布列见解析，()1E X=【分析】（1）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断；（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率14P =，则14,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出相应的概率，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.20.050.25+=，则在抽取的200人中，“足球迷”有2000.2550⨯=人，所以22⨯列联表如下：非足球迷足球迷合计女701080男8040120合计15050200所以()222007040801010011.11110.82815050801209K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.25，所以从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率14P =，所以14,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即X 的可能取值为0、1、2、3、4，所以()040411810C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()131411271C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222411272C 144128P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()31341133C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4441114C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为X1234P812562764271283641256所以()1414E X =⨯=.19．在图1中，ABC 为等腰直角三角形，90B Ð=°，AB =，ACD 为等边三角形，O 为AC 边的中点，E 在BC 边上，且2EC BE =，沿AC 将ACD 进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，使得4FB =．(1)证明：FO ⊥平面ABC ．(2)求二面角E FA C --的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出FO AC ⊥，再由勾股定理逆定理得出FO OB ⊥，即可证明；（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作EM AC ⊥，垂足为M ，作MN AF ⊥，垂足为N ，连接EN ，首先由线面垂直得出AF NE ⊥，则二面角E FA C --的平面角为ENM ∠，在Rt EMN △中，求出cos ENM∠即可．【详解】（1）证明：连接OB ，因为ABC 为等腰直角三角形，90B Ð=°，AB =所以4AC =，因为O 为AC 边的中点，所以122OB AC ==，在等边三角形FAC 中，4AF AC FC ===，因为O 为AC 边的中点，所以FO AC ⊥，则FO =又4FB =，所以222FO OB FB +=，即FO OB ⊥，因为AC OB O = ，AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以FO ⊥平面ABC ．（2）方法一：因为ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，O 为边AC 中点，所以OB AC ⊥，由（1）得FO ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,2,0A -，42,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,0,3F ，所以(3AF =，48,,033AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面FAE 的法向量为(),,n x y z =，由00AF n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得223048033y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，得()23,3,1n =- ，易知平面FAC 的一个法向量为()1,0,0m =，设二面角E FA C --的大小为θ，则3|cos |2m n m nθ⋅==，由图可知二面角E FA C --为锐角，所以二面角E FA C --的余弦值为32．方法二：作EM AC ⊥，垂足为M ，作MN AF ⊥，垂足为N ，连接EN ，因为FO ⊥平面ABC ，EM ⊂平面ABC ，所以EM FO ⊥，又因为AC FO O ⋂=，,AC FO ⊂平面AFC ，所以EM ⊥平面ACF ，又AF ⊂平面AFC ，所以EM AF ⊥，又MN AF ⊥，MN EM M⋂=，,MN EM ⊂平面EMN ，所以AF ⊥平面EMN ，又EN ⊂平面EMN ，所以AF EN ⊥，又平面AFC 平面AEF AF =，所以二面角E FA C --的平面角为ENM ∠，因为EM OB ∥，所以23EM EC CM OB BC OC ===，所以43EM =，1233OM OC ==，在Rt AMN 中，60FAC ∠=︒，28233AM AO OM =+=+=，所以8sin 603MN =︒所以83EN =，所以cos 2MN ENM EN ∠==，即二面角E FA C --的余弦值为2．20．已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)动直线l 过点()0,1A ，且与轨迹C 分别交于S ，T 两点，点Q 与点S 关于y 轴对称（点Q 与点T 不重合），求证：直线QT 恒过定点．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）设动圆P 与圆M 相切的切点为B ，得到42PM PN MN +=>=，根据椭圆的定义即可判断点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，再求出方程即可；（2）根据题意可知直线QT 的斜率显然不为0，不妨设直线QT 的方程为x my t =+，设()11,T x y ，()22,Q x y ，则()22,S x y -，再联立椭圆和直线QT 的方程，消去x 整理得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理求得12y y ，12y y +，再利用T ，A ，S 三点共线得到3t m =-，进一步得到直线所过的定点.【详解】（1）设动圆P 与圆M 相切的切点为B ，则42PM PN PM PB MN +=+=>=，所以点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以b ==所以椭圆的方程为22143x y +=，即点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=．（2）由题意可知直线QT 的斜率显然不为0，不妨设直线QT 的方程为x my t =+，设()11,T x y ，()22,Q x y ，则()22,S x y -，联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2223463120m y mty t +++-=，所以212231234t y y m -=+，122634mt y y m -+=+，因为T ，A ，S 三点共线，所以121211y y x x --=-，所以()()()()1212110y my t my t y -+++-=，即()()1212220my y t m y y t +-+-=，所以()2223122·6·203434t mtm t m t m m ----=++，解得3t m =-，故直线NQ 的方程为()33x my m m y =-=-，所以直线过定点()0,3．21．已知函数()()3ln 010f x ax x a =+≠.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若函数()f x 有两个零点12x x ，，且12x x <，证明：12310x x +>.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)先求导函数，对参数a 分类讨论，即可得单调区间.(2)将零点代入原方程并作差，可得121212310ln x x x x x x -=⋅，从而得121121310ln x x x x x -=⋅，212121310ln x x x x x -=⋅,再换元12x t x =，问题转化为证明()()1ln 001h t t t t t =--<<<恒成立，即可证明.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+.①当0a >时，令()0f x '<，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；令()0f x ¢>，得1x e >，则()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当a<0时，令()0f x '<，得1x e >，则()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；令()0f x ¢>，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当a<0时，()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明：因为12x x ，为()f x 的两个零点，所以113ln 010x x+=，223ln 010x x+=，两式相减，可得121233ln ln 01010x x x x -+-=，即1122123ln 10x x x x x x-=⋅，121212310ln x x x x x x -=⋅，因此，121121310ln x x x x x -=⋅，212121310ln x x x x x -=⋅.令12x t x =，则121113513310ln 10ln 10ln t t t x x ttt---+=⋅+⋅=⋅，令()()1ln 01h t t t t t =--<<，则()22211110t t h t t t t-+'=+-=>，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=，即1ln 0t t t --<.因为01t <<，所以11ln t t t->，故12310x x +>得证.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为θπ2=．(1)写出C 的普通方程；(2)写出直线l 的直角坐标方程并判断l 与C 有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．【答案】(1)()222y x y =+≥(2)无交点，证明见解析【分析】（1）对参数方程进行消元，且利用基本不等式得到限制条件即可；（2）将直线l 转化成直角坐标方程，代入C 的方程，结合限制条件2y ≥即可求解【详解】（1）由y=212yt t=++，又因为1x t t=+，所以22yx =+，因为2y==即1t =时，取等号，所以C 的普通方程为()222y x y =+≥；（2）由直线l 的极坐标方程为θπ2=可得直线l 的直角坐标方程为0x =，代入C 的普通方程可得22y =，解得y =因为2y ≥，所以y =y 无解，所以l 与C 没有交点[不等式选讲]23．已知函数()233f x x x =-++.(1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)[]3,3-(2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解；(2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩，解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3-（2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3xxxx-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0xx-+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。

2025届新高三数学学情摸底考一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．设集合{}{}2120,66A x x x B x Z x =-->=∈-≤≤，则A B ⋂的元素的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【详解】分析：分别求出A 和B ，再利用交集计算即可.详解：{}43A x x x =<-或，{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6B =------，则{}6,5,4,5,6A B ⋂=---，交集中元素的个数是5.故选：C.2．()()()3212i 12i 1i --=-（）A ．5i2-B ．32i 2-C ．52iD ．32i 2+【答案】C【分析】利用复数的乘法和除法运算求解.【详解】解：()()()()()3212i 12i 12i 12i 55i 2i 2i 21i ---+===---．故选：C ．3．已知向量()(),1,,3,a m b m ==，若a 与b 方向相反，则a =（）A ．54B ．8C ．D ．【答案】B【分析】利用给定条件求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.【详解】向量()(),1,,3,a m b m ==，a 与b 方向相反，则230m m ⎧=⎨<⎩，解得m =即((3,a b == ，则((4)a =-= ，所以8a == .故选：B4．已知函数()f x 在R 上满足()()22244f x f x x x --=--+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（）A ．650x y --=B ．650x y -+=C ．210x y --=D ．210x y -+=【答案】C【分析】先对2(2)2()44f x f x x x --=--+求导数，将1x =代入导数求得(1)2f '=，再将1x =代入2(2)2()44f x f x x x --=--+，求得(1)1f =，用点斜式求出直线方程即可．【详解】由2(2)2()44f x f x x x --=--+，两边求导得：(2)(2)2()24x f x f x x '''-⋅--=--即(2)2()24f x f x x ''-+=+所以(21)2(1)214f f ''-+=⨯+，因此3(1)6f '=，即(1)2f '=又2(21)2(1)1414f f --=--⨯+，即(1)1f =故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为(1)(1)(1)y f f x '-=⋅-即210x y --=．故选：C ．5．已知3211()532f x x x =+-在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 22cos ααα=+（）A ．12-B ．35-C ．2D ．85【答案】A【分析】根据导数的几何意义，求得tan α，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.【详解】因为3211()532f x x x =+-，故可得()2f x x x '=+，则在点()1,(1)f 处的切线斜率()tan 12f α=='；又因为2cos 2sin 22cos ααα=+22222cos sin 1tan 142sin cos 2cos 2tan 2412ααααααα---===-+++.故选：A.6．点()2,1P 的直线中，被圆22:240C x y x y +-+=截得的最长弦所在的直线方程为（）A ．350x y --=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．310x y -+=【答案】A【分析】要使得直线被圆C 截得的弦长最长，则直线必过圆心，利用斜率公式求得斜率，结合点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，圆22240x y x y +-+=，可得圆心坐标为(1,2)C -，要使得直线被圆C 截得的弦长最长，则直线必过圆心，可得直线的斜率为21312k --==-，所以直线的方程为13(2)y x -=-，即所求直线的方程为350x y --=.故选：A.7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺（如图），它的形状可以认为是上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥；现知尖底长()PO 为3，柱体与锥体部分高之比2:1，底周长为2π，则陀螺的表面积为（）A ．42π⎛+ ⎝⎭B ．6πC ．52π⎛+ ⎝⎭D ．(5π【答案】D【分析】先利用已知条件得到底面半径，圆柱母线长以及圆锥的高，进而得到圆锥的母线长，再利用圆柱和圆锥的表面积公式求解即可.【详解】由底周长为2π，可得底面半径1r =，又现知尖底长()PO 为3，柱体与锥体部分高之比2:1，得圆柱的高即母线长为2，圆锥的高为1，=则陀螺的表面积为：(2112125ππππ⨯⨯+⨯⨯=；故选：D.8．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．30x y ±=B ．0y ±=C ．)10x y ±=D ．)10x y ±=【答案】C【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.【详解】由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=，整理得22220b ab a --=.解得1ba=+所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±.故选：C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在下列关于概率的命题中，正确的有（）A ．若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 为对立事件B ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件C ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件D ．若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立【答案】CD【分析】对于A ：举反例判断命题不成立；对于B ：由互斥事件的定义直接判断；对于C ：由相互独立事件的性质直接判断；对于D ：利用公式法直接判断.【详解】对于A ：若事件A 、B 不互斥，但是恰好()0.5,()0.5P A P B ==，满足()()1P A P B +=，但是A ，B 不是对立事件.故A 错误；对于B ：由互斥事件的定义可知，事件A 、B 互斥，但是A 与B 也是互斥事件不成立.故B 错误；对于C ：由相互独立事件的性质可知：若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件.故C 正确；对于D ：因为事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，所以()()()P B P A P A B =，所以A ，B 相互独立.故选：CD10．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤<【答案】ACD【分析】根据最小正周期可以计算出ω，便可求出对称轴和对称点，可判断A 、B 选项；根据正弦型函数的单调性可以推出ω的值，可判断C 选项；根据零点情况可以求出ω的取值范围，可判断D 选项.【详解】A 选项：()f x 的最小正周期为π2ω∴=28842f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确；B 选项：()f x 的最小正周期为π2ω∴=208842f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；C 选项：084484x x πππππωω<<∴<+<+又函数()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增842πππω∴+≤2ω∴≤，故C 正确；D 选项：[]0,2,2444x x ππππωπω⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎣⎦又()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则1923526,488πππωπω≤+<∴≤<，故D 正确.故选：ACD11．已知函数()e ln xf x a a x =--，则下列说法正确的有（）A ．若a<0，则()f x 的值域为RB ．若1a =，则过原点有且仅有一条直线与曲线()y f x =相切C ．存在0a >，使得()f x 有三个零点D ．若()0f x ≥，则a 的取值范围为[]0,e 【答案】ABD【分析】A 选项，根据x 趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A 正确；B 选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点()0,0代入切线方程得()000ln 1e x x x =-，此方程只有一个根，故B 正确；C 选项，分ln x a <与ln x a >两种情况，推导出()f x 至多两个零点；D 选项，先得到0a <不合要求，0a =满足要求，考虑0a >，()0,1x ∈时，满足要求，故只需[)1,x ∞∈+时，()0f x ≥恒成立，若e a >，()()ln ln 0ln f a a a =-<，故不合要求，若0e a <≤，结合导函数得到函数单调性和最值，得到0e a <≤满足要求，得到答案.【详解】A 选项，若a<0，则e 0x a ->，故()e ln e ln ,0x xf x a a x a a x x =--=-->，当x 趋近于0时，ln a x -趋近于负无穷，此时()e ln xx a f x a -=-趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，ln a x -和e x 都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，因此函数()f x 的值域为R ，A 正确；B 选项，函数定义域为()0,∞+，1a =时，()e 1ln xf x x =--，因为0x >时，e 10x ->，故()e 1ln xf x x =--，则()1e xf x x '=-，设切点坐标为00()x ,y ，故()0001e x f x x '=-，则在0x x =处，()y f x =的切线方程为()()0000011e ln e x xy x x x x ⎛⎫--= ⎪⎭---⎝，把点()0,0代入切线方程得，()()00000e 1ln 1e 0x x x x x ⎛⎫---=- ⎪⎭-⎝，化简得()000ln 1e xx x =-，当001x <<时，()000ln 01e xx x <<-，此方程无解，当01x >时，()000ln 01e xx x >>-，此方程无解，当01x =时，()000ln 01e x x x ==-，且函数()ln 1e xy x x =--此时为增函数，故方程()000ln 1e xx x =-只有01x =这1个解，即过原点有且仅有一条切线和()y f x =相切，B 正确；C 选项，0a >，当ln x a <时，e 0x a -<，()e ln xf x a x a =--+，则()e 0xaf x x'=--<，故()f x 单调递减，故在此区间上函数最多一个零点，要想这个零点存在，需()()ln ln 0ln f a a a =-<，当ln x a >时，e 0x a ->，()e ln xx a f x a -=-，则()xae xf x =-'，显然这是一个增函数，要想()f x 函数零点尽可能多，则需存在一个1x 使得()10f x '=成立，此时()f x 在()1ln ,a x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，若在()0,ln x a ∈上存在一个零点，则()ln 0f a <，故此时在()ln ,a +∞上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求，若在()0,ln x a ∈上不存在零点，则()ln 0f a >，又()f x 在()1ln ,x a x ∈上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，故此时函数最多有两个零点，不合要求，综上，不存在0a >，使得函数存在三个零点，C 错误；D 选项，由A 知，当a<0时，函数的值域为R ，不满足()0f x ≥，当0a =时，()e 0xf x =>，满足要求，当0a >时，()0,1x ∈时，()e ln 0xf x a a x =--≥，满足要求，故只需[)1,x ∞∈+时，()e ln 0xf x a a x =--≥恒成立，若e a >，()()ln ln 0ln f a a a =-<，故不合要求，若0e a <≤，()e ln xx a f x a -=-，则()xae xf x =-'，显然这是一个增函数，()()e e 01x af x f a x''=->=-≥，函数()f x 单调递增，则()()e 01f x f a ≥=-≥，故0e a <≤满足题意，又0a =也满足要求，因此[]0,e a ∈，D 正确；故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数abcde ，若满足a b c d e >><<的五位数有n 个，则在()()()()123111111n x x x x ++++++++++ 的展开式中，2x 的系数是．（用数字作答）【答案】56【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出n ，再利用二项式定理结合组合数性计算即得.【详解】由五位数abcde 满足a b c d e >><<，得1c =，从2、3、4、5中任取两个分别作,a b ，另两个为,c d ，因此24C 6n ==，()()()()123711111x x x x +++++++++ 的展开式中2x 的系数为：222222322222234567334567C C C C C C C C C C C C +++++=+++++322223222323445675567778C C C C C C C C C C 56C C =++++=+++=+==.故答案为：5613．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若060,2,C b c ∠====a ．【答案】4【详解】试题分析：由正弦定理得sin sin b cB C =，即sin 1sin 2b C Bc ==，且b c <，所以30B ∠=︒，90A =︒，所以4a ==,故应填4.14．已知椭圆C 的方程为22193x y +=，A ，B 为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆C 上不同于A .B 的动点，直线6x =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，若(9,0)D ，则过D ，M ，N 三点的圆必过x 轴上不同于点D 的定点，其坐标为.【答案】(3,0)【分析】利用椭圆的性质首先证明13PA PB k k ⋅=-，然后结合题意设出直线方程，由点的坐标确定圆的直径所在的位置，最后由直线垂直的充分必要条件可得点D 的坐标.【详解】首先证明椭圆的一个性质：椭圆()222210x y a b a b+=>>，点,A B 是椭圆上关于原点对称的两点，M 是椭圆上异于,A B 上的一个点，则22AM BMb k k a=-.证明如下：设(),M x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，由于点,A M 是椭圆上的两点，故22222222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得：222211220x x y y a b --+=，此时AM BM k k =11y y x x -⋅-11y y x x ++221221y y x x -=-22b a=-.故结论成立.回到本题，由题意可知：2213PA PBb k k a ⋅=-=-，设直线PA 的方程为：1(3)y k x =+，则()16,9M k ，设直线PB 的方程为：2(3)y k x =-，则()26,3N k ，故1212933133DM DN k k k k k k ⋅=⋅=---=，故,DM DN MN ⊥为外接圆的直径，设所求的点为()(),09E m m ≠，则：1293166=EM EN k kk k m m⋅⋅=---，即()2126279m k k --==-，解得：3m =，(9m =舍去).综上可得：所求点的坐标为：()3,0.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间[]50,100，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间[]90,100的概率.【答案】(1)0.03a =，平均数74.5，中位数为75；(2)1121.【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可求0.03a =，利用组中值可求平均数，利用面积等分可求中位数.（2）利用列举法及古典概型的概率公式可求概率.【详解】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以()100.0150.020.0250.011⨯++++=a ，解得0.03a =.所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数550.15650.2750.3850.25950.174.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.设这40名学生的竞赛成绩的中位数为x ，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有()700.030.350.5-⨯+=x ，解得75x =.即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75.（2）由分层随机抽样可知，在区间[]80,90应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，在区间[]90,100应抽取2人，记为A ，B ，从中任取2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),c B ，(),d e ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共21种.其中至少有一人测试成绩位于区间[]90,100内有：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共11种.所以，至少有一人的测试成绩位于区间[]90,100内的概率为1121.16．（15分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =，4353=2S S S +.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2221log n n nn b a a +=+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）2n n a =；（2）2737994n n n T n n +=-++⋅【分析】（1）由43532S S S =+，利用等比数列的通项公式，得到542a a =，求得2q =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得124n nn b n +=+，利用乘公比错位相减法和等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，因为43532S S S =+，得()()12341231234532a a a a a a a a a a a a +++=+++++++，即542a a =，设公比为q ，所以542a q a ==，又12a =，所以2n n a =.（2）由（1）可得124n nn b n +=+，所以()()12312341212144444n n n n n n T n A n n -+=+++++++++=++ 其中1231234144444n n n n n A -+=+++++ ①234112341444444n n n n n A ++=+++++②①-②得2311111443211111114444444414nn n n n n n A ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=++++-+-- 1373741234n n n A ++∴=-⋅，737994nnn A +∴=-⋅所以2737994n n n T n n +=-++⋅.17．（15分）在四棱锥P ABCD -中，PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，//AB CD ，AB AD ⊥，224CD AB AD ===．（1）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使得AM ⊥平面PBE ？若存在，求出DMDC的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，14DM DC =.【分析】（1）推导出PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ，进而PE CD ⊥，然后可证得CD ⊥平面PAD ，得证平面PCD ⊥平面PAD ．（2）在棱CD 上假设存在点M ，使得AM ⊥平面PBE ，由PE ⊥平面ABCD ，得.PE AM ⊥要使AM ⊥平面PBE 成立，只需AM EB ⊥成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出14DM DC =．【详解】证明：（1）PAD QV 为正三角形，E 为AD 的中点，PE AD ⊥∴． 平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD AD =，PE ∴⊥平面ABCD ．CD ⊂ 平面ABCD ，PE CD ∴⊥．//AB CD ，AB AD ⊥，CD AD ∴⊥．PE AD E ⋂= ，,PE AD ⊂面PADCD \^平面PAD ．CD ⊂ 平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ．（2）在棱CD 上假设存在点M ，使得AM ⊥平面PBE ．PE ⊥ 平面ABCD ，PE AM ∴⊥．要使AM ⊥平面PBE 成立，只需AM EB ⊥成立．以过E 与CD 平行的直线为x 轴，ED 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则(0,1,0)A -，(2,1,0)B -，(4,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E ，设()000M x y z ，，，[].01DMDCλλ=∈，DM DC λ∴=，即()0001(4,x y z λ-=，，0,0)．04x λ∴=，01y =，00z =．(4,M λ∴1,0)．()()210420EB AM λ=-= ，，，，，，∴由EB AM ⊥ ，得0EB AM ⋅= ，即820.λ-=解得[]1014λ=∈，．故14DM DC =．18．（17分）已知动圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()4,0N -，动圆C 与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴的一个交点为B ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两条垂线交于点M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)设点M 的轨迹为E ，曲线E 上一点()0,2P x ，过点P 的直线PS ，PT 交曲线E 于S ，T 两点，且PS ⊥PT ，求证：直线ST 过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)24y x =(2)证明见解析，()5,2-【分析】（1）根据0BN BA ⋅=建立等式即可求解；（2）先求出点()1,2P ，再根据题意分别求出224442,k k k S k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭和()2441,42T k k k ++--，再由直线的两点式得到直线ST 的方程即可求解.【详解】（1）由题意设(),M x y ，则(),0A x ，()0,B y ，且0BN BA ⋅=，得到()()4,,0y x y --⋅-=，即24y x =，故M 的轨迹方程为24y x =.（2）由（1）知点()1,2P ，直线PS ，PT 斜率存在且不为0，不妨设直线PS 的斜率为k ，则直线PS 的方程为()21y k x -=-，联立()21y k x -=-与24y x =，消掉x 得到24804y y k k +--=，设点()11,S x y ，则1842k y k-⋅=，得到142ky k -=，代入直线方程得到21244k k x k -+=，224442,k k k S k k ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，因为PS ⊥PT ，将点S 坐标中的k 换成1k-，得到()2441,42T k k k ++--，则22224242441441STkk k k k k k k k k k k -++-==-++----，直线ST 的方程为()22424411k y k x k k k k -++=---+-，化简得到()2521k y x k k -=--+-，所以直线ST 过定点()5,2-.19．（17分）给出以下三个材料：①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '的导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作()f x '''，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n 1-阶导数的导数叫做n 阶导数，记作()()()()1,4n n f x f x n -'⎡⎤=≥⎣⎦.②若N n *∈，定义()()!12321n n n n =⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯.③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(),a b 上具有n 阶的导数，那么对于任一(),x a b ∈有()()()()()()()()()()()230000000001!2!3!!n nf x f x f x f xg x f x x x x x x x x x n ''''''=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的n 阶泰勒展开式.例如，e x y =在点0x =处的n 阶泰勒展开式为21112!n x x x n +++⋅⋅⋅+.根据以上三段材料，完成下面的题目：(1)求出()1sin f x x =在点0x =处的3阶泰勒展开式()1g x ，并直接写出()2cos f x x =在点0x =处的3阶泰勒展开式()2g x ；(2)比较（1）中()1f x 与()1g x 的大小.(3)证明：e sin cos 22x x x x ++≥+.【答案】(1)()3116g x x x =-,()22112g x x =-；(2)答案见解析；(3)证明过程见解析.【分析】（1）根据()f x 在点0x x =处的n 阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；（2）令()()()11h x f x g x =-，利用导数可求得()h x 在R 上单调递增，结合()00h =可得()h x 的正负，由此可得()1f x 与()1g x 的大小关系；（3）令()()()22x f x g x ϕ=-，利用导数可求得()()00x ϕϕ≥=，即21cos 12x x ≥-；①当0x ≥时，由2311e 126xx x x ≥+++，31sin 6x x x ≥-，可直接证得不等式成立；②当0x <时，分类讨论，由此可证得不等式成立.【详解】（1）()1cos f x x '= ，()2sin f x x ''=-，()3cos f x x '''=-，()101f '∴=，()200f ''=，()301f '''=-，()()()()231101sin 00001!2!3!g x x x x -∴=+-+-+-，即()3116g x x x =-；同理可得：()22112g x x =-；（2）由（1）知：()1sin f x x =，()3116g x x x =-，令()()()3111sin 6h x f x g x x x x =-=-+，则()21cos 12h x x x '=-+，()sin h x x x ''∴=-+，()1cos 0h x x '''=-≥，()h x ''∴在R 上单调递增，又()00h ''=，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增；()()min 01100h x h ''∴==-+=⎡⎤⎣⎦，()0h x '∴≥，()h x ∴在R 上单调递增，又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x <；当()0,x ∈+∞时，()0h x >；综上所述：当0x <时，()()11f x g x <；当0x =时，()()11f x g x =；当0x >时，()()11f x g x >；（3）令()()()2221cos 12x f x g x x x ϕ=-=-+，则()sin x x x ϕ'=-+，()1cos 0x x ϕ''∴=-≥，()x ϕ'∴在R 上单调递增，又()00ϕ'=，()x ϕ∴在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()00x ϕϕ∴≥=，即21cos 12x x ≥-； e x y =在点0x =处的4阶泰勒展开式为：23411112624x x x x ++++，2342311111e 11262426x x x x x x x x ∴=++++≥+++，当且仅当0x =时取等号，①当0x ≥时，由（2）可知，31sin 6x x x ≥-，当且仅当0x =时取等号，所以23321111e sin cos 11222662x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥++++-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；②当0x <时，设()e sin cos 22xF x x x +-=+-，()00F =，()πe cos sin 2e 24x x F x x x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭，()e sin cos x F x x x ''=--，当()1,0x ∈-，由（2）可知31sin 6x x x <-，所以，()23311e sin cos 611cos 62x F x x x x x xx x x ++''=-->++--()211cos 3206x x x =-++>，即有()()00F x F ''<=；当(],1x ∈-∞-时，()π11e 22204e 2xF x x ⎛⎫'=+-<-<< ⎪⎝⎭，所以，0x <时，()F x 单调递减，从而()()00F x F >=，即e sin cos 22x x x x ++>+．综上所述：e sin cos 22x x x x ++≥+.。

第二学期高三年级总复习质量调查（二）数学试卷（理科）第I 卷（选择题 共50分）一. 选择题：（本大题共10小题：每小题5分：共50分：在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的：请将所选答案的标号字母填在题后的括号内）1. 过点（2：-2）且与双曲线x y 2221-=有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. x y 22421-=B. y x 22421-= C. x y 22241-=D. y x 22241-= 2. 函数y x x =+++sin()cos()2525ππ：()x R ∈的最小正周期是（ ）A. 2πB.πC.π2D.π43. 若m 、n 都是正整数：那么“m 、n 中至少有一个等于1”是“m n mn +>”的（ ） A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件4. 已知x 、y 满足约束条件：x y x y x -+≥+≥≤⎧⎨⎪⎩⎪5003：则z x y =+2的最小值为（ ）A. -3B. -52C. 0D.525. 在空间：下列命题正确的是（ ）A. 若三条直线两两相交：则这三条直线确定一个平面B. 若直线m 与平面α内的一条直线平行：则m//αC. 若平面αβαβ⊥=，且 l ：则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β D. 若直线a//b ：且直线l a ⊥：则l b⊥ 6. 函数y x =-l o g ().054的定义域是（ ） A. ()-∞，4 B. [)34， C. （，）34D. []34，7. 已知sin cos x x -=15：且x x ∈()tan ππ2322，，则的值是（ ） A.247B. 724C. -247D. -7248. 若随机变量ξ的分布列为其中m ∈()01，：则下列结果中正确的是（ ）A. E m D n ξξ==，3B. E n D n ξξ==，2C. E m D m m ξξ=-=-12，D. E m D m ξξ=-=12，9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数：当x<0时：f x x ()=3：如果f x -1()是f(x)的反函数：则f--119()的值是（ ） A. -2B. 2C. -12D.1210. 已知f x x x f x f x a f b f ()ln ()()'()()'()=>==0712，的导数是，若，：c f ='()13：则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. c<b<aB. a<b<cC. b<c<aD. b<a<c第II 卷（非选择题 共100分）二. 填空题：（本大题共6小题：每小题4分：共24分：请把答案直接填在题中横线上） 11. 若z i z i z z 1212212=+=-+，，则在复平面内对应的点位于_________象限。

南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试数学2024.9.18（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数，则（）A ． B ． C ． D ．2．已知命题，，，，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和都是真命题C ．和q 都是真命题D ．和都是真命题3．已知向量，满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ）A ．成绩在上的人数最多B ．成绩不低于70分的学生所占比例为70%C ．50名学生成绩的平均分小于中位数D ．50名学生成绩的极差为505．已知，，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．()17z i i =-z =7i -+7i --7i +7i-:0p x ∃>32x x =:q x ∀∈R 40 x >q ⌝p ⌝p ⌝q ⌝a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅= 1414-1212-[]50,100[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100[)80,90()1,0A -()1,0B ()22102y x x -=>()22102y x y -=>()22102x y x -=>()22102x y y -=>6．已知函数，若对，，则实数m 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知正三棱台的侧面积为6，，，则与平面ABC 所成角的余弦值为（）ABCD8．设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于A ，B ，C 不同的三点，且，则a =（）A ．2B ．-2C ．1D ．-1二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

2024届新高三理科数学2开学摸底考试卷及答案解析（全国卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}N12A x x =∈-≤∣，{}2,3,4B =，则A B ⋃=（）A ．{}1,0,1,2,3,4-B ．{}0,1,2,3,4C ．{}2,3D ．{}1,2,3,4【答案】B【详解】由12x -≤，可得212x -≤-≤，所以13x -≤≤，所以{}{}{}N12N 130,1,2,3A x x x x =∈-≤=∈-≤≤=∣∣，又{}2,3,4B =，所以{}0,1,2,3,4A B = .故选：B.2．若11i z =+，21(2i)z z =+，则2z =（）A BC ．2D ．10【答案】A【详解】21(2i)(1i)(2i)3i z z =+=-+=-，所以2z =故选：A ．3．已知函数()()222log 2,23,2x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()30log 36f f +=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.【详解】由题意可得()()3log 362320log 362log 23f f -+=++336log 922log 23=++362179=++=，故选：D.4．足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第4次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为（）A ．18种B ．21种C ．27种D ．45种【答案】B【分析】根据题意分为两种情况讨论：①第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，第四次再将球传给甲；②第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲之外的2人，第三次依然将球传给除甲之外的2人，第四次再将球传给甲，结合分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分为两种情况讨论：①第一次甲将球传给其余三人，有13C 3=种情况，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，有13C 3=种情况，第四次再将球传给甲，此时共有339⨯=种情况；②第一次甲将球传给其余三人，有13C 3=种情况，第二次将球传给甲之外的2人，有12C 2=种情况，第三次依然将球传给除甲之外的2人，有12C 2=种情况，第四次再将球传给甲，有1中情况，此时共有32212⨯⨯=种情况，由分类计算原理可得，第四次传球后，求又回到甲的脚下的传球方式，共有91221+=种.故选：B.5．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A ．130B ．132C ．134D ．141【答案】B【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.【详解】由题可知，2到20的全部整数和为()1192202092S ⨯+==，2到20的全部素数和为223571113171977S =+++++++=，所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为20977132-=.故选：B.6．已知函数()()2π12cos 06f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，且π2π43T <<，若()f x 的图象关于直线π6x =对称，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．12-【答案】A【分析】运用二倍角公式化简()f x ，结合π2π43T <<与()f x 的对称性求得ω的值，进而求得结果.【详解】因为()2ππ12cos cos 263f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ2T ωω==．又因为π2π43T <<，所以ππ2π43ω<<，即342ω<<，①又因为()f x 的图象关于直线π6x =对称，所以ππ2π63k ω⨯+=，Z k ∈．所以31k ω=-，Z k ∈，②所以由①②得2ω=，所以()πcos 43f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故πππcos 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A.7．在三角形ABC 中，7,8,9,AB BC AC AM ===和AN 分别是BC 边上的高和中线，则MN BC ⋅=（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【分析】将,AB AC作为基底，用基底表示MN 和BC，根据数量积的规则计算即可.【详解】设,,AB a AC b BM BC λ===，则有()()()11AM AB BC AB AC AB AB BC a bλλλλλλ=+=+-=-+=-+ ，由余弦定理得22222279811cos 227921AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯ ，()()()()22,0,10,1210AM BC AM BC a b b a a b a b λλλλλ⎡⎤⊥∴=-+-=---+=⎣⎦，其中11cos 633321a b a b BAC =∠=⨯= ，2249,81a b == ，解得14λ=，2111,,16244BN BC MN BN BM BC MN BC BC =∴=-=== ；故选：C.8．平行四边形ABCD 中，点M 在边AB 上，3AM MB =，记,CA a CM b == ，则AD =（）A ．4733a b-B ．2433b a-C ．7433b a- D ．1433a b- 【答案】D【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.【详解】在ABCD Y 中，3AM MB = ，,CA a CM b ==，所以1114()3333AD BC BM MC MA CM CA CM CM a b ==+=-=--=- .故选：D9．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3:3:5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（）A ．3:6:10B ．3:9:25C ．3:21:35D ．9:21:35【答案】D【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S ，高为3m ，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S ，高为3m ，由上到下的三个几何体体积分别记为123,,V V V ，则13V mS =，(214373V S S m mS =+⨯=，(31354533V S S m mS =++⨯=，所以12335::3:7:9:21:353V V V mS mS mS ==故选：D10．已知过双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点(),0F c 作x 轴的垂线与两条渐近线交于A ，B ，OAB ，则该双曲线的离心率为（）A ．3B ．32C ．2D ．43【答案】A【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出2bcAB a=，再根据三角形面积公式得到b a =.【详解】由题知，双曲线的渐近线为b y x a=±，得,bc A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2bc AB a∴=，2112223AOBbc S OF AB c a ∴=⋅=⨯=，3b a ∴=c e a ∴==故选：A.11．已知直线:30l x y +-=上的两点,A B ，且1AB =，点P 为圆22:230D x y x ++-=上任一点，则PAB 的面积的最大值为（）A 1B ．2C 1D ．2【答案】A【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为PAB 的高，再由面积公式求解即可.【详解】把圆22:230D x y x ++-=变形为22(1)4x y ++=，则圆心()1,0D -，半径2r =，圆心D 到直线:30l x y +-=的距离d =，则圆D 上的点到直线AB 的距离的最大值为2d r +=+，又1AB =，∴PAB 的面积的最大值为()12112⨯⨯=．故选：A ．12．已知()f x '是函数()()y f x x =∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有()()1f x f x '+>，且()02023f =，则不等式()e e 2022x x f x >+的解集是（）A ．()2022,+∞B ．()(),02023,∞∞-⋃+C ．()(),00,∞-+∞UD ．()0,∞+【答案】D【分析】法一、构造常函数()2023f x =计算即可；法二、构造()()e e x xg x f x =-，利用条件判断其单调性解不等式即可.【详解】法一：构造特殊函数.令()2023f x =，则()()20231f x f x +=>'满足题目条件，把()2023f x =代入()e e 2022x xf x >+得2023e e 2022x x >+解得0x >，故选：D .法二：构造辅助函数.令()()e e x x g x f x =-，则()()()()e 10xg x f x f x =+-'>'，所以()g x 在R 上单调递增，又因为()()0012022g f =-=，所以()()()e e 20220x xf xg x g >+⇔>，所以0x >，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某机器生产的产品质量误差()1,4,X N t ~是1,2,4,5,7,8,12,15,18,23的第60个百分位数，则()35P X t -≤≤-=__________.附：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=，()()220.9545,330.9973.P X P X μσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=【答案】0.9545【分析】先根据百分位数的求法得t ，然后根据正态分布概率公式可得.【详解】因为1060%6⨯=，所以812102t +==，由()1,4X N ~可知1,2μσ==所以()()()3535220.9545P X t P X P X μσμσ-≤≤-=-≤≤=-≤≤+=.故答案为：0.954514．设0a >，1b >，若2a b +=，则911ab +-取最小值时a 的值为______．【答案】34/0.75【分析】根据题意可得10b ->、()11a b +-=，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.【详解】由0a >，1b >，得10b ->，由2a b +=，得()11a b +-=，∴()()91919111010216111b a a b ab a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当()911b aa b -=-即34a =，54b =时等号成立.故当34a =，54b =时911ab +-取得最小值16.故答案为：34.15．设抛物线C ：22y px =（0p >）焦点为F ，准线为l ，过第一象限内的抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设(20)C p ，，AF 与BC 相交于D ．若||||CF AF =，且ACD 的面积为2，则抛物线的方程为________________.【答案】2y =【分析】由抛物线定义可得四边形ABFC 为平行四边形，故3||2pAB =可得点()A p 即得抛物线方程.【详解】如图所示，(,0)2pF ，()2,0C p ．所以3||2p CF =．//AB x 轴，||||CF AF =，||||AB AF =，CF AB∴=所以四边形ABFC 为平行四边形，3||||2pCF AB ∴==，||||CD BD =．322A p p x ∴+=，解得A x p =，代入22y px =可取2A y =，11139222222ACD ABC p S S p ∴==⨯⨯⨯=解得3p =23y x ∴=.故答案为：243y x =.16．如图，在三棱锥-P ABC 中，π,1,2,43APB BPC PC PB PA ∠∠=====，若该三棱锥的外接球表面积为24π，则锐二面角A PB C --的平面角的正切值为__________.【分析】三棱锥的外接球球心位于过三角形PAB ，PBC 的外接圆圆心且与此平面垂直的直线上，找到球心再结合锐二面角A PB C --的平面角的定义进行求解.【详解】如图，因为224π4πS r ==，所以该三棱锥的外接球半径r =已知π,2,43APB PB PA ∠===，由余弦定理可得BA =BA BP ⊥，同理可证CB CP ⊥.所以,ABP BCP 的外接圆圆心12,O O 分别位于斜边,PA PB 的中点，设球心为O ，则1OO ⊥平面PAB ，2OO ⊥平面PBC ，PA ⊂平面PAB ，所以1OO PA ⊥，因为122PAOP r PO ====，所以1OO ，同理可证211OO O O ⊥，因为122AB O O ==12tan 2O OO ∠==，设锐二面角A PB C --的平面角为θ，因为2OO ⊥平面PBC ，所以θ与21OO O ∠互余，即12O OO θ∠=，tan2θ==，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知数列{}n a 和{}n b 满足11113,2,2,2n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+．(1)证明：{}n n a b +和{}n n a b -都是等比数列；(2)求{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)()2591832n n nS ⨯--=【分析】（1）由12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得153n n n a b -+=⨯，1(1)n n n a b --=-，即可求出{}n a 和{}n b 的通项公式，从而得到2225314n n n a b -⨯-=，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+，所以()113n n n n a b a b +++=+，()11n n n n a b a b ++-=--，又由13a =，12b =得111a b -=，115a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为5，公比为3的等比数列，数列{}n n a b -是首项为1，公比为1-的等比数列．（2）由（1）得153n n n a b -+=⨯，1(1)n n n a b --=-，所以1153(1)2n n n a --⨯+-=，1153(1)2n n n b --⨯--=，所以11112253(1)53(1)2531224n n n n n n n a b -----⨯+-⨯--⨯-=⨯=，所以()259182519419432nn n nn S ⨯---=⨯-=-．18．如图，四边形ABCD 为菱形，ED ⊥平面ABCD ，FB ED，BD ==.(1)证明：平面EAC ⊥平面FAC ；(2)若60BAD ∠=︒，求二面角F AE C --的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，进而由线段的长度得勾股定理，证明线线垂直，即可得线面垂直证明面面垂直.（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角大小.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接EO ，FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为ED ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，所以AC ED ⊥.又ED BD D = ，,ED BD ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ；又EO ⊂平面BDEF ，所以AC EO ⊥.设FB =1，由题意得ED =2，BD DO BO ==.因为FB //ED ，且ED ⊥面ABCD ，则FB ⊥平面ABCD ，而,OB OD ⊂平面ABCD ，故OB FB ⊥，OD ED ⊥，所以OF ==EO =3EF ==.因为222EF OE OF =+，所以EO FO ⊥.因为OF AC O ⋂=，,OF AC ⊂平面ACF ，所以EO ⊥平面ACF .又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面F AC .（2）取EF 中点G ，连接OG ，所以OG //ED ，OG ⊥底面ABCD .以O 为原点，以,,OA OB OG分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为60BAD ∠=︒，由（1）中所设知，AB AD ==所以，OA OC ==所以(0,(A F E C.所以1)FA =-，2)EA =-，(2)EC =-，设平面FAE 的一个法向量为(,,)m x y z =，则000202m FA z x m EA z z ⎧⎧⋅=--==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-==⎪⎪⎩⎩，所以m =；平面AEC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则0020020a n EC c b n EA c ⎧⎧=⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⋅=-=⎪⎩⎩，所以n =；所以cos ,2m n =，由图形可知二面角F AE C--的平面角为锐角，所以二面角F AE C--的大小为π4 .19．某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．(1)求购物中心得分为50分的概率；(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分ξ的数学期望．【答案】(1)1 4(2)16(3)分布列见解析，40【分析】（1）得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，然后按照古典概型的概率进行计算；（2）由条件概率的公式进行计算即可；（3）按求分布列的步骤进行计算，进而可得数学期望.【详解】（1）将得分为50分记为事件A ；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：11222122212233233233C C C C C C C C C C 54++=（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：()324216C =（种）则()5412164P A ==，∴购物中心得分为50分的概率为14（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B ，则()()221233324C C C 124C P AB ==，()()()1124164P AB P B A P A ===，（3）X 可能的取值为2、3、4、5、6()()211233324C C C 1224C P X ===，()()11112122212233233233324C C C C C C C C C C 134C P X ++===()()2221112112121123322332233233324C C C C C C C C C C C C C C 5412C P X +++===，()154P X ==()()222233324C C C 1624C P X ===X23456P1241451214124()1151123456424412424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵10X ξ=，∴()()1040E E X ξ=⨯=．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为()A -，()B ，右焦点为2F ，O 为坐标原点，OB 的中点为D （D 在2F 的左方），22DF =-(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点D 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2)12k k ⋅是定值，定值为16-.【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b ，可得椭圆的标准方程；（2）设过点D 且斜率不为0的直线方程为x ty =+代入22184x y +=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，根据韦达定理得12y y +和12y y ，再利用斜率公式得12k k ，代入12y y +和12y y ，化简可得1216k k =-.【详解】（1）依题意，a =D ，2c =2c =，所以222844b ac =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.（2）设过点D 且斜率不为0的直线方程为x ty =联立22184x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x并整理得22(2)60t y ++-=，222824(2)32480t t t ∆=++=+>，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1222y y t +=-+，12262y y t =-+，所以12k k ⋅==262t -=22266121836t t t -=--++16=-.所以12k k ⋅为定值16-.21．已知函数23()ln 2a f x x xx =+-.(1)若0a =，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()1212,x x x x <是()f x 的两个极值点，证明：()()121232f x f x x x a-<-.【答案】(1)250x y +-=；(2)证明见解析【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导数值，根据点斜式即可求解切线方程；（2）根据极值点的定义，可得12,x x 是方程230x x a -+=的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成112221lnx x x x x x >-，令12(01)xt t x =<<，构造函数()1ln (01)h t t t t t=-+<<，结合导数证明即可.【详解】（1）当0a =时，3()ln f x x x =+，则22133()x f x x x x'-=-=，所以3(1)ln131f =+=，213(1)21f -'==-，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为()321y x -=--，即250x y +-=（2）证明：由23()ln 2a f x x x x =+-，可知()2233133a x x af x x x x x -+'=-+=，因为12,x x （12x x <）是()f x 的极值点，所以12,x x 方程230x x a -+=的两个不等的正实数根，所以123x x +=，120x x a =>，则()()()1222121211221222121212121233ln ln 22ln ln 32a a x x f x f x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-+-⎝⎭==-+---1212ln ln 332x x x x a a-=-+-．要证()()121232f x f x x x a -<-成立，只需证1212ln ln 3x x x x a-<-，即证12121212ln ln x x x x x x x x -+<-，即证()22121212ln ln x x x x x x -->，即证112221ln x x x x x x >-，设12x t x =，则01t <<，即证1ln t t t >-，令()1ln (01)h t t t t t=-+<<，则()22211110t t h t t t t -+-=--=<'，所以()h t 在()0,1上单调递减，则()()10h t h >=，所以1ln t t t>-，故()()121232f x f x x x a -<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为π1sin 032ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，曲线2C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.(1)写出1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；(2)已知点()0,1P ，1C 与2C 相交于A ，B 两点，求11PA PB-的值.【答案】(1)曲线1C10y -+=，曲线2C 的普通方程为224x y +=；(2)3±.【分析】（1）把曲线1C化为sin cos 10ρθθ-=，即得曲线1C 的直角坐标方程，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程；（2）求出曲线1C 的参数方程，联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t -=，再利用直线参数方程t 的几何意义求解.【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程为1sin 032πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即sin cos 10ρθθ-=，则曲线1C10y -+=，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程为224x y +=.（2）易知点P10y -+=π3，则曲线1C的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t -=，设点A ，B10y -+=上对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理可得12t t +=123t t =-，211212*********t t t t PA PB t t t t t t -+-=-=±=±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()322f x x x x =+---.(1)求()f x 的最小值m ；(2)若,a b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式22111a b b a +≥++.【答案】(1)1-(2)证明见解析【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.【详解】（1）由题知()1,021,0125,131,3x x x f x x x x <⎧⎪+≤<⎪=⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩，其函数图象如图所示，所以，()min 1f x =-.（2）由（1）可知2a b +=，则()()114a b +++=，解法一：利用基本不等式：()()222211111411a b a b a b b a b a ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()()2222221111214114a a b b a b ab a b b a ⎡⎤++=++≥++=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当1a b ==时取等号.所以，22111a b b a +≥++.解法二：利用柯西不等式：()()222211111411a b a b a b b a b a ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭114≥=，当且仅当1a b ==时取等号.所以，22111a b b a +≥++.。

上海市奉贤区高三摸底测试数学试题（理）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}， 集合A={a 、b}，B={b 、c 、d}，则A∩C U B=________．2．已知f （x ），则＝____________． 3．向量、满足||=2，||=3，且|+|=，则．= ． 4．在公差不为零的等差数列{a n }中，S m =S n （m≠ n ），则S m+n 值是 ．5．现有形状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 ．6．方程2cos （2x –） = 1的解是 ． 7．设A （2，），B （3，）是极坐标系上两点，则|AB|= _． 8．圆（x+2）2+（y –1）2 = 5关于直线y=x 对称的圆的方程为 ．9．设方程x 2－2x+m=0的两个根为α、β，且|α－β|=2，则实数m 的值是 ．10．给出下列命题：（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；（2）实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；（3）实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；（4）；（5）首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =．其中正确命题的序号是 ． 11．若在展开式中，x 的一次项是第六项，则n= ． 12．若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n+1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k －1个k ，则a= ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．下列函数图象中，正确的是 （ ）)(212R x x x∈+=)31(1-f 73π32π3π1)4142(lim =-+∞→nn n n qq a n --1)1(1n xx )1(2-A B C D14．已知点P （3， m ）在以点F 为焦点的抛物线（t 为参数）上，则|PF|的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．415．若存在，则r 的取值范围是 （ ）A ．r ≥－或r ≤－1B ．r>－或r<－1C ．r>－或r ≤－1D ．－1≤ r ≤－ 16．异面直线a ，b 成80°角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ属于集合 （ ）A ．{θ|0°<θ<40°}B ．{θ|40°<θ<50°}C ．{θ|40°<θ<90°}D ．{θ|50°<θ<90°}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本小题满分12分）解不等式：．18．（本小题满分12分）在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知tanC=，c=，又ΔABC 的面积为S ΔABC = ，求a+b 的值． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分） 已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外一点P ，PD ⊥平面ABCD ，PD=8，（1）连接PB 、AC ，证明：PB ⊥ AC ；（2）连接PA ，求PA 与平面PBD 所成的角的大小；（3）求点D 到平面PAC 的距离．⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 44212)21(lim +∞→+n n r r 313131311)1(log )2(log 21221-->--x x x 3723320．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．根据上述条件，试问：（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？（说明理由）（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a 元，那么a 在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限． （1）求m 的值，以及P 的坐标；（2）过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；（3）设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围．2922．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）由函数y=f （x ）确定数列{a n }，a n =f （n ），函数y=f （x ）的反函数y=f －1（x ）能确定数列{b n }，b n = f –1（n ），若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”．（1）若函数f （x ）=确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ； （2）已知正数数列{c n }的前n 项之和S n =（c n +）．写出S n 表达式，并证明你的结论；（3）在（1）和（2）的条件下，d 1=2，当n ≥2时，设d n =，D n 是数列{d n }的前n 项之和，且D n >log a （1－2a ）恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、填空题1．{a} 2．－1 3．－3 4．0 5．0．5 6．x=k π+或x=k π k ∈Z 7． 8．（x –1）2 + （y+2）2= 5 9．2或0 10．（2）、（4） 11．8 12．45二、选择题13．C 14．D 15．A 16．B三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．解：原不等式变形为，……………………2分所以，原不等式可化为……………………………………6分 即：11++x px 21n c n 21nn S a -3π7)22(log )2(log 21221->--x x x ⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03010)1)(2(2x x x x x即：……………………………………………………………………10分故原不等式的解集为{x|2<x<3}……………………………………………………12分18．解：在ΔABC 中，因为tanC=，所以∠C=60°，………………………………2分 又ΔABC 的面积为S ΔABC =，所以absinC = ………………………4分 即：ab = 6……………………………………6分因为c=，所以c 2 = a 2+b 2–2abcosC …………………………………………8分即：a 2+b 2－ab = 7（a+b ）2－3ab= 7……………………………………………………………………10分 a+b= 5………………………………………………………………………………12分19．（1）证明：连接BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，………………………………………………2分 所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ AC ．…………………………………………………4分（2）解：因为AC ⊥平面PBD ，设AC 与BD 交于O ，连接PO ，则∠APO 就是PA 与平面PBD 所成的角，……………………………6分在∆APO 中，AO=3，AP = 10所以 sin ∠APO = ∠APO=arcsin …………………………8分 PA 与平面PBD 所成的角的大小为arcsin ……………………………………9分 （3）解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，……………………………10分则有V D –PAC =V P –ACD ，即：⨯ S ∆PAC ⨯ h =⨯PD ⨯AD ⨯DC ………………………12分 在∆PAC 中，显然PO ⊥AC ，PO=h = 所以点D 到平面PAC 的距离为……………………………………14分 20．解：（1）第10年末，依第一方案得⎩⎨⎧<<>30,2x x 323321233721023102310233161824141244141241000++…+10000=55000（元）……………………………………2分依第二方案得300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）………………4分∵63000－55000=8000（元）∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．………………6分（2）第n 年末，依第一方案，得：1000（1+2+3+...+n ）=500n （n+1）（元）......8分 依第二方案，得：a （1+2+3+...+2n ）=an （2n+1） (10)分由题意an （2n+1）>500n （n+1）对所有正整数恒成立………………………………12分即a>． ∴当a>时，总是第二方案加薪多．………………………………………………14分21．解：设点P 的坐标为（x 1， y 1），则y 1=kx 1……①，y 1= –+x 1 – 4……②，①代入②，得：+（k –）x 1+4=0…………………………………………………2分因为点P 为切点，所以 （k –）2–16=0，得：k=或k=……………………4分当k=时x 1= －2，y 1= －17；当k=时，x 1= 2，y 1= 1； 因为点P 在第一象限，故所求的斜率k=，P 的坐标为 （2，1），……………6分 （2）过 P 点作切线的垂线，其方程为：y=－2x+5……③，代入抛物线方程，得：x 2－x+9=0，设Q 点的坐标为 （x 2， y 2），则2x 2=9，所以x 2=，y 2=－4， 所以Q 点的坐标为 （，－4），………………………………………………10分 （3）设C 上有一点R （t ，－t 2+t –4），它到直线PQ 的距离为： d==……………………………………12分点O 到直线PQ 的距离PO =，S ∆OPQ =⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =⨯PQ ⨯d ，因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ，即：OP < d ，即：>5，……………………………………14分 +4>0或+14<0 解之得：t<或t> 3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n 3100021x 2921x 29292172121721212132929295|5)429(2|2--+-+t t t 5|9213|2+-t t 52121|9213|2+-t t t t 2132-t t 2132-410513-410513+所以t 的取值范围为t<或t>．……………………………16分 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）解：（1）由题意的：f －1（x ）== f （x ）=，所以p =－1，…………2分 所以a n =……………………………………………………………………3分 （2）因为正数数列{c n }的前n 项之和S n =（c n +）， 所以c 1=（c 1+），解之得：c 1=1，S 1=1……………………………………4分 当n ≥ 2时，c n = S n –S n –1，所以2S n = S n –S n –1 +，……………………5分 S n +S n –1 = ，即：= n ，……………………………………7分所以，= n –1，= n –2，……，=2，累加得：=2+3+4+……+ n ，………………………………………………9分 =1+2+3+4+……+ n =， S n =………………………………………………………………10分 （3）在（1）和（2）的条件下，d 1=2，当n≥2时，设d n ===2（），…………………13分由D n 是{d n }的前n 项之和， D n =d 1+d 2+……+d n =2[1+（）+（）+（）+……+（）]=2（2–）………………………………………………………………………………16分因为D n >log a （1–2a ）恒成立，即log a （1–2a ）恒小于D n 的最小值，显然D n 的最小值是在n=1时取得，即（D n ）min =2， 所以log a （1–2a ）<2，1–2a>0，所以0<a<–1……………………………………18分410513-410513+p x x --111++x px 11++-n n 21n c n 2111c 1--n n S S n 1--n n S S n 212--n n S S 2221---n n S S 2322---n n S S 2122S S -212S S n -2n S 2)1(+n n 2)1(+n n 21n n S a -)1(2-n n n n 111--2111-3121-4131-n n 111--n 12。

成都市2022级高中毕业班摸底测试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，只将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.61x x + 的展开式中常数项为（ ） A.10 B.15 C.20 D.302.曲线sin y x =在点()0,0处的切线方程为（ ）A.0x y −=B.0x y +=C.π0x y −=D.π0x y +=3.记n S 为等差数列{}n a 前n 项和．若26128,16a a a +==，则15S =（ ） A.140B.150C.160D.1804.已知函数()()ln a f x x a x =+∈R 的最小值为1，则=a （ ）A.1e B.e C.12 D.15.同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件A =“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件B =“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则()|P A B =（ ）A 19 B.13 C.25 D.126.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1A B C D ，则四面体ABCD 的体积为（）的.A. 13B.C. D. 237. 将正整数1，2，3，…按从小到大且第k 组含2k 个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, ，则2024第（ ）组．A. 8B. 9C. 10D. 118. 某学校有,A B 两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A 餐厅，那么第2天还去A 餐厅的概率为13；如果某天去B 餐厅，那么第2天还去B 餐厅的概率为12．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去A 餐厅用餐的概率为（ ） A. 1124 B. 3172 C. 718 D. 2572二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知椭圆222:1(0)6x y C b b+=>的两个焦点分别为12,F F，点)A 在椭圆C 上，则（ ）A. b =B. 12F AF 的面积为2C. 椭圆CD. 12F AF2−10. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知2n n S a n =+，则（ ） A. 11a =−B. 1n n a a +<C. 数列{}1n a −为等比数列D. 202320242024S a =+ 11. 已知函数()()2()0f x ax x c a =−≠，则（ ）A. 若1a c ==，则函数()()2g x f x =−有且仅有1个零点B. 若()f x 在2x =处取得极值，则2c =C. 若()f x 无极值，则0cD. 若()f x 的极小值小于0，则0ac >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在12. 若函数()e xf x ax =−的单调递增区间为[)1,+∞，则a 的值为_____________． 13. 用1，2，3，4，5这5个数字可以组成_____________个无重复数字三位数，这些三位数中能被3整除的共有_____________个（用数字作答）．14. 已知四个整数a b c d ,,,满足0a b c d <<<<．若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，且48d a −=，则+++a b c d 的值为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 的中点．（1）证明：1//BD 平面ACE ；（2）求1AC 与平面ACE 所成角的正弦值．16. 已知等差数列{}n a 满足47a =，221nn a a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17. “十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与A 队和客场与B 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与A 队比赛：胜的概率为12，平的概率为13，负的概率为16；客场与B 队比赛：胜的概率为14，平的概率为12，负的概率为14，且两场比赛结果相互独立．（1）求成都蓉城队七月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分的概率；（2）用X 表示成都蓉城队七月与A 队和B 队比赛获得积分之和，求X 分布列与期望．的的18. 已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线E 相交于,A B 两点． （1）当直线AB 的倾斜角为π4时，直线AB 被圆2240x y y +−=，求p 的值； （2）若点C 在x 轴上，且ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线AB 的斜率．19. 已知函数()()()ln f x ax x a a =−+∈R ． （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1f x a a≥−恒成立，求a 的取值范围； （3）若数列{}n a 满足21121,1n n n a a n a +==+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和．证明：221n S n >−．。