(江苏专用)2018-2019学年高中数学 章末综合测评1 常用逻辑用语 苏教版选修1-1

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④命题“若m >1，则不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③解析 ①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题为：“若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题. ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB ＝BC ＝CA ”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a >b >0，则3a >3b >0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案 既不充分又不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析 易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是________.(填序号)答案③④解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分 解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0， 得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1， 得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1；④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案 若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案 充分不必要解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案 充要解析 由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案 充要解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题.其中真命题的序号为____________.答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立.反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，此时x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________.答案 [32，＋∞) 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[32，＋∞). *14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件.正确的是________.答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)， 当n ＝1时也成立.∴a n ＝p n －1(p －1)，n ∈N *. 又a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p . ∴p p －1p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。

1．3．1 且(and)1．3．2 或(or)1．3．3 非(not)1．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，会判断含有这类逻辑联结词的命题的真假．2．结合具体实例，在了解“且”“或”“非”含义的基础上，掌握这类联结词的用法．3．在结合实例学习逻辑联结词的过程中，体会用逻辑语言表达数学内容的准确性和简洁性．1．用逻辑联结词构成新命题构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题p∧q p且q用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题p∨q p或q对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题﹁p 非p或p 的否定对逻辑联结词的理解(1)“且”表示同时的意思，可联系集合中“交集”的概念．(2)“或”表示至少一个，可联系集合中“并集”的概念．(3)“非”表示对原命题否定，可联系集合中“补集”的概念．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q ﹁p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真确定p∧q，p∨q，﹁p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与﹁p→真假相反．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．( )(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )(3)命题“p∨(﹁p)”是真命题．( )(4)命题的否定与否命题是相同的概念．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×命题“矩形的对角线相等且互相平分”是( )A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“﹁p”形式的命题D．以上说法都不对答案：A若p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0，则p∨q：________________．(用文字语言表述)答案：正数或负数的平方大于0下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直平分”，其中真命题为________．答案：①②③④探究点1 用逻辑联结词构造新命题分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数；q：e不是无理数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．【解】(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“﹁p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．用逻辑联结词构造新命题的两个步骤指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)96是48与16的倍数； (2)方程x 2－3＝0没有有理根；(3)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：96是48的倍数，q ：96是16的倍数． (2)这个命题是“﹁p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．探究点2 含逻辑联结词的命题的真假判断(1)已知命题p ：对任意的x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧﹁qC ．﹁p ∧qD ．﹁p ∧﹁q(2)给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1．在下列四个命题中，真命题是( )A ．(﹁p )∨qB ．p ∧qC ．(﹁p )∧(﹁q )D ．(﹁p )∨(﹁q )【解析】 (1)因为x >0，x ＋1>1，所以ln(x ＋1)>0，所以命题p 为真命题；当b <a <0时，a 2<b 2，故命题q 为假命题，由真值表可知B 正确，故选B ．(2)对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故命题p 为真命题．对于q ，当x <0时，不等式1x<1恒成立，所以命题q 为假命题．所以命题(﹁p )∨q 、p ∧q 、(﹁p )∧(﹁q )均为假命题，(﹁p )∨(﹁q )为真命题．【答案】 (1)B (2)D判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p ∧q ”“p ∨q ”，还是“﹁p ”． (2)对命题p 和q 的真假作出判断．(3)由“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”的真假判断方法给出结论．分别写出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“﹁p ”形式的命题，并判断其真假．(1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相垂直． 解：(1)p ∨q ：3是9的约数或是18的约数，此命题为真命题．p ∧q ：3是9的约数且是18的约数，此命题为真命题．﹁p ：3不是9的约数，此命题为假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相垂直，此命题为真命题．p ∧q ：矩形的对角线相等且互相垂直，此命题为假命题．﹁p ：矩形的对角线不相等，此命题为假命题．探究点3 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”是假命题，求实数m 的取值范围．【解】 p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0－m ＜0⇔m ＞2．q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根⇔Δ＝16(m －2)2－16＜0⇔1＜m ＜3．所﹁p ：m ≤2，﹁q ：m ≤1或m ≥3．因为“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”是假命题， 所以p 为真且q 为假，或p 为假且q 为真． (1)当p 为真且q 为假时， 即p 为真且﹁q 为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；(2)当p 为假且q 为真时，即﹁p 为真且q 为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21＜m ＜3，解得1＜m ≤2．综上所述，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．[变条件]若本例条件变为：(﹁p )∨(﹁q )为假命题，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题解析可知p ：m ＞2，q ：1＜m ＜3，若“(﹁p )∨(﹁q )”为假命题，即p ∧q 为真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞21<m <3，解得2<m <3．所以实数m 的取值范围是(2，3)．应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤(1)分别求出命题p ，q 为真时对应的参数集合A ，B ． (2)由“p 且q ”“p 或q ”的真假讨论p ，q 的真假． (3)由p ，q 的真假转化为相应的集合的运算． (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．[注意] 当p ，q 中有假命题时，求参数范围应从求真命题的补集入手，可简化运算，减少出错．已知命题p ：|m ＋1|≤2成立，命题q ：方程x 2－2mx ＋1＝0有实数根，若﹁p 为假命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：由|m ＋1|≤2得－3≤m ≤1， 即命题p ：－3≤m ≤1．由方程x 2－2mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝(－2m )2－4≥0， 即m ≥1或m ≤－1， 即命题q ：m ≥1或m ≤－1． 因为﹁p 为假命题，p ∧q 为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，﹁q 为真命题，﹁q ：－1＜m ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1＜m ＜1得－1＜m ＜1． 所以m 的取值范围是(－1，1)．1．命题“三角形中最多有一个内角是钝角”的否定是( ) A ．三角形中有两个内角是钝角 B ．三角形中有三个内角是钝角 C ．三角形中至少有两个内角是钝角 D ．三角形中没有一个内角是钝角解析：选C ．三角形有三个内角，“最多有一个内角是钝角”的含义是“有0个或1个内角是钝角”，它的否定是“有2个或3个内角是钝角”，即“至少有两个内角是钝角”，选C ．2．设命题p ：函数y ＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．﹁q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C ．由函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π可知命题p 是假命题；由函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称可知命题q 是假命题，所以p ∧q 是假命题，可知应选C ．3．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题p ∧q 为真命题的一个点P (x ，y )是 ( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解析：选C ．因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题，即点P 为直线y ＝2x －3与y＝－3x ＋2的交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.故选C ． 4．分别写出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“﹁p ”形式的新命题．(1)p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根，q ：方程x 2＋2x ＋1＝0两根的绝对值相等；(2)p ：正△ABC 的三个内角都相等，q ：正△ABC 有一个内角是直角． 解：(1)p ∨q ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．p ∧q ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．﹁p ：方程x 2＋2x ＋1＝0没有两个相等的实数根．(2)p ∨q ：正△ABC 的三个内角都相等或有一个内角是直角．p ∧q ：正△ABC 的三个内角都相等且有一个内角是直角．﹁p ：正△ABC 的三个内角不都相等．知识结构深化拓展1．命题与集合之间可以建立如下的对应关系：命题形式集合运算p 且q A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B } p 或qA ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }非p ∁U P＝{x|x∈U，x∉P}2．含有逻辑联结词命题的否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式是“﹁p且﹁q”，“p且q”的否定形式是“﹁p或﹁q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．[学生用书P93(单独成册)])[A 基础达标]1．已知p：x∈A∩B，则﹁p是( )A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B解析：选B．x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故﹁p是x∉A或x∉B．2．已知命题p：若ab＝0，则a＝0；命题q：若a＝0，则ab＝0，则( )A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真解析：选D．由条件易知：命题p为假命题，命题q为真命题，故p假q真．从而“p 或q”为真，“p且q”为假．3．设p，q是简单命题，则“‘p且q’为假”是“‘p或q’为假”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．“p且q”为假，即p和q中至少有一个为假；“p或q”为假，即p和q 都为假．故“‘p且q’为假”是“‘p或q’为假”的必要不充分条件．4．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0．命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c．则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(﹁p)∧(﹁q) D．p∨(﹁q)解析：选A．取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c，知b＝y c，所以a＝xy c，所以a∥c，所以q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又因为﹁p为真命题，﹁q为假命题，所以(﹁p)∧(﹁q)，p∨(﹁q)都是假命题．5．(2018·福建福州长乐一中高二(上)月考)下列各组命题中，满足“p或q”为真，且“非p”为真的是( )A．p：0＝∅；q：0∈∅B．p：在△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B；q：函数y＝sin x在第一象限是增函数C．p：a＋b≥2ab(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：过点M(0，1)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条解析：选C．A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在△ABC中，cos 2A＝cos 2B，得1－2sin2A＝1－2sin2B，即(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝0，所以A－B＝0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q 为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故“非p”为假，排除D．故选C．6．已知命题(﹁p)∨(﹁q)是假命题，则下列结论中：①命题p∧q是真命题；②命题p∧q是假命题；③命题p∨q是真命题；④命题p∨q是假命题．正确的是________(只填序号)．解析：由(﹁p)∨(﹁q)是假命题，知﹁p与﹁q均为假命题，所以p，q均为真命题．故p∧q是真命题，p∨q是真命题．答案：①③7．已知命题p：{2}∈{1，2，3}，q：{2}⊆{1，2，3}，则下列结论：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中所有正确结论的序号是________．解析：因为p：{2}∈{1，2，3}，q：{2}⊆{1，2，3}，所以p假q真，故①④⑤⑥正确．答案：①④⑤⑥8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z．若“p∧q”“﹁q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．解析：因为“p∧q”为假，“﹁q”为假，所以q为真，p为假．故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z . 因此，x 的值可以是－1，0，1，2． 答案：{－1，0，1，2}9．写出由下列命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题，并判断其真假． (1)p ：集合中的元素是确定的，q ：集合中的元素是无序的； (2)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等． 解：(1)p ∧q ：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．p ∨q ：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．﹁p ：集合中的元素不是确定的，假命题．(2)p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等，假命题．p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等，真命题．﹁p ：梯形没有一组对边平行，假命题．10．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }． (1)若“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围． 解：若p 为真命题，则1∈{x |x 2<a }， 故12<a ，即a >1；若q 为真命题，则2∈{x |x 2<a }， 故22<a ，即a >4．(1)若“p 或q ”为真命题，则a >1或a >4，即a >1． 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p 且q ”为真命题，则a >1且a >4，即a >4． 故实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[B 能力提升]11．已知命题p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p 且q ”“p 或q ”“﹁p ”中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B ．易知命题p 是真命题，y ＝x ＋1x在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，故q 是假命题．因此“p 且q ”假，“p 或q ”真，“﹁p ”假，故选B ．12．已知命题p ：y ＝a x(a >0，且a ≠1)是增函数；命题q ：对任意的x ∈[2，4]，都有a ≤x 成立，若命题p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当p 真时，a >1，当q 真时，a ≤2．又因为p ∧q 为真时，p ，q 都为真， 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2． 答案：(1，2]13．设命题p ：a ∈{y |y ＝－x 2＋2x ＋8，x ∈R }，命题q ：关于x 的方程x 2＋x －a ＝0有实根．(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得，y ＝－x 2＋2x ＋8＝－（x －1）2＋9∈[0，3]，故p 为真命题时，a 的取值范围为[0，3]．(2)当q 为真命题时a 的取值范围为a ≥－14，由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤3，a <－14，a 无解； 当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >3，a ≥－14， 所以a >3或－14≤a <0．所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(3，＋∞)． 14．(选做题)设p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x是R 上的减函数．q ：函数g (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1，3]，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．解：由0＜a －32＜1得32＜a ＜52．因为g (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]， 所以2≤a ≤4．因为“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， 所以p ，q 为一真一假．若p 真q 假，得32＜a ＜2；若p 假q 真，得52≤a ≤4．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4．。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词和存在量词3.全称命题和存在性命题4.含有一个量词的命题的否定【知识拓展】1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.( ×)(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √)(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.( √)(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.( ×)(5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( ×)(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(×)1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是______________. 答案∀x>－1，x2＋x－2 016≤0解析命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”.2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件.答案充分不必要解析綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.3.(教材改编)若不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________.答案a>1解析方法一不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立.结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.方法二不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max，而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为0－224× －1＝1，所以a>1.4.已知实数a满足1<a<2，命题p：y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数，命题q：|x|<1是x<a的充分不必要条件，则下列命题：①p∨q为真；②p∧q为假；③(綈p)∧q为真；④(綈p)∧(綈q)为假.其中正确的命题是________.答案①④解析由y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即1<a<2.所以p是真命题.由|x|<1，得－1<x<1.又1<a<2，所以|x|<1是x<a的充分不必要条件.所以q也是真命题.从而①④正确.5.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∧q ②(綈p )∧(綈q ) ③(綈p )∧q④p ∧(綈q )(2)(2016·盐城模拟)若命题“p ∨q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则p ________，q ________.(填“真”或“假”)答案 (1)④ (2)假 真解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p ∧(綈q )是真命题.(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题.思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假.已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________. 答案 ②③解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题. 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.由真值表知：①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假例2 (1)(2016·宿迁模拟)命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则p______，q______.(填“真”或“假”)(2)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是________.(填序号)①p∧q②(綈p)∧q③p∧(綈q) ④(綈p)∧(綈q)答案(1)假真(2)②解析(1)∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题.∵f(x)的图象过点(2,0)，∴log a1＝0，对∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立.命题q为真命题.(2)容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题.根据真值表易判断(綈p)∧q为真命题.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“∃x∈R，使得x2≥0”的否定为________________.(2)(2015·浙江改编)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是_________________.答案(1)∀x∈R，都有x2<0(2)∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n解析(1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“≥”进行否定.(2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立.(2)对全称、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. ②对原命题的结论进行否定.下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ； ③∀x ，y ∈Z ,2x －5y ≠12； ④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题. 题型三 求含参数命题中参数的取值范围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是__________.答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)[14，＋∞)解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞).(2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究在例4(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________. 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.(1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)[e,4] (2)(－∞，0)解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e≤a ≤4. (2)f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0).1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系. 一、命题的真假判断典例1 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那么下列说法正确的是________.(填序号) ①綈p 为假命题 ②q 为真命题 ③p ∨q 为假命题 ④p ∧q 为真命题(2)下列命题中错误的个数为________. ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题； ②“x >5”是“x 2－4x －5>0”的充分不必要条件；③命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0；④命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”.解析 (1)由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即x 2＋1≥2x ，所以p 为假命题； 对于命题q ，当m ＝0时，－1<0恒成立， 所以命题q 为假命题.综上可知，綈p 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题.(2)对于①，若p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p ∧q 不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.答案 (1)③ (2)2 二、求参数的取值范围 典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________. 解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2， 由p 是q 的充分不必要条件，知k >2. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.答案 (1)(2，＋∞) (2)(－∞，0] 三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.解析 (1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过A 城市，由此可知，乙去过的城市为A .(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一1.命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是________.(填序号) ①p ∨q ②p ∧q ③q ④綈p答案 ②解析 命题p 假，q 真，故命题p ∧q 为假命题.2.已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是__________. 答案 (－1,3)解析 依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3.3.(2016·淮安模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则下列说法正确的是________. ①p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0； ②p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0； ③p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0； ④p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0. 答案 ②解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x＋1)>0， ∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.4.已知p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：∃x 0∈(0，＋∞)，sin x 0>1，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∨(綈q ) ②(綈p )∨q ③p ∧q ④(綈p )∧(綈q ) 答案 ①解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；∀x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p ∨(綈q )是真命题.5.(2016·泰州期末)若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 “∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a ＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞).6.(2016·南京模拟)已知命题p ：∀x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：∃x ∈R ，sin x －cos x ＝－2，则下列命题中为真命题的是________.(填序号) ①p ∧q ②(綈p )∧q ③p ∧(綈q ) ④(綈p )∧(綈q )答案 ②解析 若x 3<x 4，则x <0或x >1，∴命题p 为假命题； 若sin x －cos x ＝2sin(x －π4)＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴(綈p )∧q 为真命题.7.(2017·江苏淮安中学月考)已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________. 答案 [－8，＋∞)解析 由已知得，∃x ∈[1,2]，使a ≥－x 2－2x 成立；若记f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)，则a ≥f (x )min .而结合二次函数f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)的图象得f (x )的最小值为f (2)＝－22－2×2＝－8，所以a ≥－8.8.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 p ：x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，－2m >0，即m ＜－1.q ：x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，Δ＝[2(m －2)]2－4(－3m ＋10)＝4(m 2－m －6)＜0， 即－2＜m ＜3.分两种情况：①p 真q 假，m ≤－2；②p 假q 真，－1≤m ＜3.综上可知，使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3). 9.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①∀x ∈R ,2x －1>0 ②∀x ∈N *，(x －1)2>0 ③∃x 0∈R ，lg x 0<1 ④∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5答案 ②解析 ①中，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；②中，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；③中，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；④中，当x ∈R 时，tan x ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝5.10.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为______________. 答案 ∃x ∈A,2x ∉B解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为存在性命题. ∴綈p ：∃x ∈A,2x ∉B .11.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (12，1)∪(1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1， 命题“∀x ∈(0,1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x ∈(0,1)，使f (x )＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是(12，1)∪(1，＋∞).12.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是11 ________________.答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}.13.(2016·连云港模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14.已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2). (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________.答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞).(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤3，a ＞1，解得a ∈(1，3].。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题1 集合与常用逻辑用语第1练 集合的关系与运算练习 理2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x ＋y ∈A }，则集合B 的子集个数是________．3．(2016·苏州调研)设全集U ＝{x |x ≥2，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥5，x ∈N }，则∁U A ＝________. 4．(2016·南通、扬州、泰州二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{a －1，a ＋1a}，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为______．5．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为____________________________．6．(2016·厦门模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是________．7．(2016·苏北四市一模)已知集合A ＝{2＋a ，a }，B ＝{－1,1,3}，且A ⊆B ，那么实数a 的值是________．8．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{2,2a－1}，A ∩B ＝{1}，那么实数a 的值为________．9．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是____________．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，则a ＋b 的值为________．11．(2016·成都模拟)已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝{y |y ＝4x2，x ∈M }，则M ∩N ＝__________________.12．若集合A ＝{x |－1＜x ≤2}，B ＝{x |(x －a )(x －a ＋1)≥0}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是______________________． 13．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A ≥C B ，C B －C A ，C A ＜C B .若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________.14．设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．{1} 2.16 3.{2} 4.1 5．{x |x ≤－1或0＜x ＜1} 6.4 7．1解析 因为A ⊆B ，当a ＝1时，A ＝{1,3}⊆B .当a ＝－1,3时不合题意，所以a ＝1. 8．1解析 由题意知1∈B ，所以2a－1＝1，解得a ＝1. 9．[34，43)解析 A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. 10．－7解析 由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}， 即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4.∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7. 11．{x |12＜x ＜1}解析 对于集合M ，由x ＞x 2， 解得0＜x ＜1， ∴M ＝{x |0＜x ＜1}，∵0＜x ＜1，∴1＜4x＜4，∴12＜4x2＜2，∴N ＝{y |12＜y ＜2}，∴M ∩N ＝{x |12＜x ＜1}．12．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析 化简B ＝{x |x ≥a 或x ≤a －1}， 又A ∩B ＝A ，所以A ⊆B . 由数轴知a ≤－1或a －1≥2， 即a ≤－1或a ≥3.所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 13．3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ＞0，即a ＜－22或a ＞22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ＜0，即－22＜a ＜22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22＜a ＜0或0＜a ＜22时，C (B )＝2，不符合题意．所以S ＝{0，－22，22}．故C (S )＝3. 14．①②解析 ①正确，任取x ，y ∈S ，设x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23(a 1，b 1，a 2，b 2∈Z )，则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，其中a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z .即x ＋y ∈S .同理x －y ∈S ，xy ∈S .②正确，当x ＝y 时，0∈S .③错误，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错误，设S ＝{0}⊆T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此正确命题为①②.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题1 集合与常用逻辑用语第5练 集合与常用逻辑用语综合练练习 理________________．2．(2016·石家庄模拟)定义A ×B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，若A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{－1,2}，则A ×B ＝________________.3．(2016·常州模拟)“c ＜0”是“实系数一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0有两个异号实根”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 4．(2016·徐州二模)给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |＞x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x ＞sin x ；④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x ＜(13)x.其中正确命题的序号是________．5．(2016·如皋中学阶段练习)已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{12}，则A ∪B ＝______________.6．(2016·郑州模拟)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是________________．(填序号) ①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )．7．(2017·广东七校联考)下列有关命题的说法正确的是________． ①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”． 8．(2016·苏州模拟)下列命题中正确的个数是________．①命题“若m ＞－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m ＞－1”；②“x ≠1”是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 9．(2016·镇江模拟)有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)10．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)11．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是__________________．12．已知命题“∃x ∈{x |－1＜x ＜1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题，则实数m 的取值范围是________．13．(2016·成都一诊)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)．若关于x 的不等式f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )的解集为A ，函数f (x )在[－8,8]上的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若满足∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是________________． 答案精析1．{x |0≤x ≤1} 2.{x |－2＜x ＜4}3．充要 4.② 5.{－1,1，12} 6.②7．③解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，①不正确；由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，②不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，其逆否命题为真命题，③正确；命题“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，④不正确．综上可得只有③正确． 8．1解析 对于①，命题“若m ＞－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m ＞－1”，故①正确；对于②，由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，∴“x ≠1”不是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故③错误．∴正确命题的个数为1. 9．①②③解析 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 10．充分不必要解析 由(a ＋b i)2＝2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件． 11．{a |a ≤0或a ≥6}解析 |x －a |＜1⇔－1＜x －a ＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，又B ＝{x |1＜x ＜5}，A ∩B ＝∅，故a ＋1≤1或a －1≥5，即a ≤0或a ≥6. 12．[－14，2)解析 由题意得，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，所以m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域． 所以－14≤m ＜2.13．[－2,0]解析 ∵x ≥0时，奇函数f (x )＝log 3(x ＋1)，∴函数f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在[－8,8]上也为增函数， 且f (8)＝log 3(8＋1)＝2，f (－8)＝－f (8)＝－2，∴B ＝{x |－2≤x ≤2}．∵f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )，∴x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－(2a ＋2)x ＋a (a ＋2)≤0，a ≤x ≤a ＋2，A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋2≤2(两等号不能同时取得)，∴－2≤a ≤0. 14．(－4,0)解析 f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数． 若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0， 则必须有抛物线开口向下，即m ＜0. 又∵当x ≥1时，g (x )≥0； 当x ＜1时，g (x )＜0. ∴当x ≥1时，f (x )＜0.f (x )＝0有两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3.当x 1＞x 2，即m ＞－1时， 则x 1＜1，即m ＜12，∴－1＜m ＜0；当x 1＜x 2，即m ＜－1时， 则x 2＜1，即m ＞－4， ∴－4＜m ＜－1； 当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2＜1.综上可知，m 的取值范围为－4＜m ＜0.。

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．)1．命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥0”的否定为__________．【解析】 全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥0”的否定是存在性命题“∃x ∈R ，x 2＋1＜0”．【答案】 ∃x ∈R ，x 2＋1＜0 2．下列求导数的运算：①⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2；②(log 2x )′＝1x ln 2；③(3x )′＝3x log 3x ；④(x 2cos x )′＝－2x sin x ；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ln x ′＝x cos x ·ln x －sin x x x 2.其中正确的是________(填序号)．【解析】 ①⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，故错误；②符合对数函数的求导公式，故正确；③(3x )′＝3x ln 3，故错误；④(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误； ⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ln x ′＝cos x ·ln x －sin x ·1xx2＝x cos x ·ln x －sin xx x 2，正确．【答案】 ②⑤3．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是________.【导学号：95902269】【解析】 ∵函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0， ∴f (1)＝1，f ′(1)＝12，∴f (1)＋2f ′(1)＝2. 【答案】 24．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线x －y ＋1＝0平行，则双曲线C 的焦距为__________．【解析】 ∵双曲线方程为x 2a 2－y 216＝1， ∴渐近线方程为y ＝±4a x ，∴±4a ＝1，∵a ＞0，∴a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝42，双曲线C 的焦距为8 2. 【答案】 825．“a ＞1”是“1a ＜1”的________条件．【解析】 由1a ＜1得：当a ＞0时，有1＜a ，即a ＞1；当a ＜0时，不等式恒成立．所以1a ＜1⇔a ＞1或a ＜0，从而a ＞1是1a ＜1的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同．则双曲线的方程为________.【导学号：95902270】【解析】 由双曲线渐近线方程可知ba ＝3， ① 因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c ＝4， ② 又c 2＝a 2＋b 2③，联立①②③，解得a 2＝4，b 2＝12，所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.【答案】 x 24－y 212＝17．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1所示，则函数f (x )的极大值是________，极小值是________．图1【解析】 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【答案】 f (－2) f (2)8．函数y ＝f (x )的图象如图2所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象大致是________(填序号)．图2【解析】 由f (x )的图象及f ′(x )的意义知，在x ＞0时，f ′(x )为单调递增函数且f ′(x )＜0；在x ＜0时，f ′(x )为单调递减函数且f ′(x )＜0.故选④【答案】 ④9．函数y ＝x ln x ，x ∈(0,1)的单调增区间是________.【导学号：95902271】【解析】 函数y ＝x ln x 的导数为 y ′＝(x )′ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1，(x ＞0) 由ln x ＋1＞0，得x ＞1e ，故函数y ＝x ln x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，110．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________．【解析】 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0＜x ＜5)，∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)． 【答案】 144 cm 311．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内只有极小值，则实数b 的取值范围是________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意知，函数f ′(x )图象如下． ∴⎩⎨⎧ f ＜0f＞0，即⎩⎨⎧－6b ＜03－6b ＞0，得0＜b ＜12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，P 是椭圆C 的准线上一点，若PF 1＝2PF 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________．【解析】 设椭圆C 的焦距为2c ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )是椭圆右准线上一点．由PF 1＝2PF 2及两点间距离公式，得x ＋c2＋y 2＝2x －c2＋y 2整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53c 2＋y 2＝169c 2，此方程表示圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53c ，0，半径r ＝43c 的圆．由题意知，此圆要与椭圆C 的右准线有公共点，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪53c －a 2c ≤43c ，于是－4c 3≤53c －a 2c ≤43c ，整理得c 2≤3a 2≤9c 2，同除以a 2得13≤c 2a 2≤3，即13≤e 2≤3，所以33≤e ≤3，又e ∈(0,1)，∴33≤e ＜1.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，113．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的弦，则AB 的最小值为________．【解析】 焦点F 坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线L 过F ，则直线L 方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(pk 2＋2p )x ＋p 2k 24＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2p k 2.AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2，因为k ＝tan a ，所以1＋1k 2＝1＋1tan 2α＝1sin 2α.所以AB ＝2psin 2α，当a ＝90°时，即AB 垂直于x 轴时，AB 取得最小值，最小值是AB ＝2p .【答案】 2p14．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )＞e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为________.【导学号：95902272】【解析】 设g (x )＝e x f (x )－e x ，(x ∈R )， 则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]，∵f ′(x )＞1－f (x )，∴f (x )＋f ′(x )－1＞0，∴g ′(x )＞0，∴y ＝g (x )在定义域上单调递增，∵e x f (x )＞e x ＋5，∴g (x )＞5，又∵g (0)＝e 0f (0)－e 0＝6－1＝5，∴g (x )＞g (0)，∴x ＞0，∴不等式的解集为(0，＋∞) 【答案】 (0，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)已知p ：x 2－3x ＋2＞0，q ：|x －m |≤1. (1)当m ＝1时，若p 与q 同为真，求x 的取值范围； (2)若﹁p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)由p ，得x ＞2或x ＜1， 当m ＝1时，由q ，得0≤x ≤2，因为若p 与q 同为真，所以，0≤x ＜1； (2)﹁p 为x ∈[]1，2， q 为x ∈[m －1，m ＋1]，因为，若﹁p 是q 的充分不必要件，所以，⎩⎨⎧m －1≤1m ＋1≥2，所以m∈[1,2]．16．(本小题满分14分)过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．【解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵M(2，1)为AB的中点∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵又A、B两点在椭圆上，则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16,两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2＝－44×2＝－12，即k AB＝－12，故所求直线的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.17．(本小题满分14分)已知a＜2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)e x(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的极大值是6·e－2，求a的值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)e x，∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)e x，由f′(x)≥0，得x≤－2或x≥－1，∴f(x)的增区间为(－∞，－2]，[－1，＋∞)．(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]e x，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－a，列表讨论，得：e－2，∴(4－a)·e－2＝6·e－2，解得a＝－2.∴a的值为－2.18．(本小题满分16分)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值.【导学号：95902273】【解】 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b 22－－2b 21＋b 2＝8b 4＋b 22.解得b ＝22.19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝2ln x －x 2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )＋x 2－x －2－a ＝0在区间[1,3]内恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝－x 2x，∵x ＞0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0,1)．(2)将f (x )代入方程f (x )＋x 2－x －2－a ＝0得2ln x －x －2－a ＝0， 令g (x )＝2ln x －x －2－a 则g ′(x )＝2－xx ；∴当2≤x ≤3时，g ′(x )＜0； ∴g (2)是g (x )的极大值，也是g (x )在上的最大值；∵关于x 的方程f (x )＋x 2－x －2－a ＝0在区间内恰有两个相异实根； ∴函数g (x )在区间[1,3]内有两个零点；则有：g (2)＞0，g (1)＜0，g (3)＜0，所以有：⎩⎨⎧2ln 2－4－a ＞0，－3－a ＜0，2ln 3－5－a ＜0，解得：2ln 3－5＜a ＜2ln 2－4，所以a 的取值范围是(2ln 3－5,2ln 2－4)．20．(本小题满分16分)已知椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且与椭圆E ：x 22＋y 2＝1有相同的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段PQ 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)椭圆E 的焦点为(±1,0)，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2.设P (x p ，y p )，则x p ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y p ＝kx p ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 假设存在定点M (s ，t )满足题意，因为Q (4,4k ＋m )， 则MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －s ，3m －t ，MQ →＝(4－s,4k ＋m －t )，所以MP →·MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －s (4－s )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －t (4k ＋m －t )＝4k m (s －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋m ＋4k t ＋(s 2－4s ＋3＋t 2)＝0恒成立，故⎩⎨⎧s －1＝0，t ＝0，s 2－4s ＋3＋t 2＝0⎧s＝1，t＝0.所以存在点M(1,0)符合题意．解得⎩⎨。

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第一章常用逻辑用语（时间：120分钟;满分:160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．给出命题：若函数y＝f（x)是幂函数，则函数y＝f(x）的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．答案：12．下列命题中，真命题是________．①∃x0∈R，e x0≤0;②∀x∈R,2x>x2;③a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1；④a〉1,b〉1是ab>1的充分条件．解析：因为∀x∈R，e x>0,故排除①；取x＝2，则22＝22，故排除②；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出ab＝－1,故排除③;应填④。

答案:④3．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是________．解析：命题的条件为“x2≥1”,结论为“x≥1或x≤－1”，否定结论作条件，否定条件作结论,即为其逆否命题．答案：若－1<x〈1,则x2<14．下列命题：①G＝错误!（G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件;②若角α，β满足cos αcos β＝1,则sin(α＋β)＝0;③若不等式|x－4｜〈a的解集非空，则必有a〉0；④函数y＝sin x＋sin ｜x｜的值域是[－2,2］．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上）．解析：当G＝错误!（G≠0）时，有G2＝ab,所以a,G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G＝－ab，所以G＝ab（G≠0)是a，G,b成等比数列的充分不必要条件，故①正确；当cos αcos β＝1时,有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1,即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z），β＝2k4π(k4∈Z),这时α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z）或α＋β＝2（k3＋k4)π(k3，k4∈Z），必有sin(α＋β）＝0，故②正确;由于｜x－4｜的最小值等于0,所以当a≤0时，不等式｜x－4|<a的解集是空集，如果不等式|x－4|〈a的解集非空，必有a〉0，故③正确；函数y＝sin x＋sin |x|＝错误!，所以该函数的值域为［－2，2]，故④正确．答案：①②③④5．给出命题:①∀x∈(－∞,1)，使x3<1；②∃x∈Q,使x2＝2；③∀x∈N，有x3〉x2；④∀x∈R,有x2＋4〉0.其中的真命题是________（填序号)．解析:方程x2＝2的解只有无理数x＝±错误!,所以不存在有理数x使得方程x2＝2成立,故②为假命题；比如存在x＝0，使得03＝02，故③为假命题,①④显然正确．答案：①④6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的________条件．解析:x∈A⇒x∈C，但是x∈C不能推出x∈A.答案：必要不充分7．“a＝错误!"是“对任意的正数x，2x＋错误!≥1"的________条件．解析:a＝错误!⇒2x＋错误!＝2x＋错误!≥2错误!＝1，另一方面对任意正数x,2x＋错误!≥1只要2x＋错误!≥2错误!＝2错误!≥1⇒a≥错误!。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是 ________.[解析] “1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．[答案] 且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．[解析] 原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．[答案] 13．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．[解析] 因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d；S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0⇔S4＋S6＞2S5.[答案] 充要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.【导学号：71392041】[解析] 据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.[答案] [1，＋∞)5．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定．．是________．[解析] ∀改为∃，否定结论，即∃x∈R，|x|＋x2<0.[答案] ∃x∈R，|x|＋x2<06．设命题p和命题q，“p或q”的否定是真命题，则必有________．①p真q真；②p假q假；③p真q假；④p假q真．[解析] 因为“p或q”的否定是真命题，所以“p或q”是假命题，则p假q假．[答案] ②7．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题为________(填序号)．[解析] ①错，如x＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y＝x2＋2x＋a开口向上．[答案] ②8．“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”). 【导学号：71392042】[解析] 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx(0＜α＜1)是减函数，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b”的充分不必要条件． [答案] 充分不必要9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p 且q ；②p 或q ；③p 且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．[解析] p 为真，q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．[答案] ②③11．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.【导学号：71392043】[解析] p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.[答案] [－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________． ①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题p 且q 是真命题；⑤命题p 且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．[解析] 对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题p 且(非q )是真命题，即①⑤正确．[答案] ①⑤13．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件.【导学号：71392044】[解析] 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件． [答案] 充分不必要14．下列叙述中错误的是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为假命题； ②“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③若“p 或q ”为假命题，则“(非p )且(非q )”也为假命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0.[解析] 对于①，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x >2可得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0，反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，因此“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，所以“(非p )且(非q )”是真命题；对于④，命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0.综上所述，应填③.[答案] ③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．[解] 逆命题：若△ABC 为直角三角形，则△ABC 的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC 没有一个内角为直角，则△ABC 不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC 不是直角三角形，则△ABC 没有一个内角为直角，是真命题．16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x ＞0}，x ＋1x≥2；(4)∃x ∈Z ，log 2x ＞2. 【导学号：71392045】[解] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p ：所有的平行四边形的对角线相等，q ：所有的平行四边形的对角线互相平分；(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同，q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等．[解] (1)p 或q ：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分．非p ：有些平行四边形的对角线不相等．因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真． (2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．18．(本小题满分16分)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．[解] 非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．而非p ⇒q ，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥－2，1＋a ≤10，a ＞0，∴0＜a ≤3.19．(本小题满分16分)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，求实数a 的取值范围．[解] 若p 真，则0<2a －5<1，故52<a <3.若q 真，由x 2－ax ＋2<0，得ax >x 2＋2.∵1<x <2，∴a >x 2＋2x ＝x ＋2x在x ∈(1,2)上恒成立．又当x ∈(1,2)时，x ＋2x∈[22，3)，∴a ≥3.∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有52<a <3或a ≥3.综上，a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >52. 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx . (1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【导学号：71392046】[解] (1)因为“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x ，使得f (x )>0”是真命题，即对于任意实数x ，f (x )>0恒成立．①当m ＝0时，不成立；②当m >0时，Δ＝4(4－m )2－8m <0， ∴2<m <8.(2)当m ≤0时，依题意显然不符合；当m >0时，则只要f (x )>0在(－∞，0)上恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2m>0，f 0≥0⇒0<m <4.或⎩⎪⎨⎪⎧4－m2m ≤0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 2m >0⇒4≤m <8.综上可知，0<m <8.。

1.1 集合及其运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法2.集合间的基本关系AB (或BA )3.集合的基本运算【知识拓展】1.若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n－1. 2.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3.A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( × ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}.( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × )1.(教材改编)设A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∪B ＝__________. 答案 {－1，1，5}解析 ∵A ＝{－1，5}，B ＝{－1，1}，∴A ∪B ＝{－1，1，5}.2.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B ＝__________. 答案 {x |3≤x ≤5}3.(教材改编)设全集U ＝R ，A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x ≥m }.若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，则m ＝________. 答案 1解析 ∵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，∴B ＝∁U A ，故m ＝1.4.(2016·天津改编)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.答案 {1，4}解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10； 即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.5.(2016·苏州模拟)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{3，4}，A ∪B ＝{1，2，3，4}，则m ＝________. 答案 2解析 ∵A ∪B ＝{1，3，m }∪{3，4}＝{1，2，3，4}， ∴2∈{1，3，m }，∴m ＝2.题型一 集合的含义例1 (1)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为________. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)4 (2)0或98解析 (1)∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1，1，3， 又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5，3，1，－1， 故集合A 中的元素个数为4.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.(1)(2016·盐城模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是________. ①－1∉A②－11∈A ③3k 2－1∈A (k ∈Z )④－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)③ (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是________. (2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1，2}⊆B ，I ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的集合B 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为____________.(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (1)－13或12或0 (2)(－∞，4]解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}. 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2017·江苏前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.答案(1){7，9} (2){x|－2≤x＜1}解析(1)U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A)∩B＝{7，9}.(2)阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}.命题点2 利用集合的运算求参数例 4 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是____________.(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________. 答案(1)(－1，＋∞)(2)4解析(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)由题意可得{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(1)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为________.答案(1)a≤2或a>3 (2)[－1，＋∞)解析 (1)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3，∴a ≤2或a >3.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞). 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1，0，12，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1，1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1，1，12，2}，共7个.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝____________. 答案 {x |3≤x ≤4}解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}.1.集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝____________. (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________. 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}. 答案 (1)1或3或0 (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ≠∅且BA 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}.答案(1)0或3 (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验.(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1.(2016·江苏苏州暑期检测)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________.答案{0，－1，1}解析由集合并集的定义可得A∪B＝{0，－1，1}.2.(2017·扬州月考)已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝__________.答案{1}解析因为A＝{x|0<x<2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1}.3.(2016·盐城模拟)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________.答案8解析因为A∩B＝{1，3，5}，所以C＝{1，3，5}，故集合C的子集的个数为23＝8.4.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.答案{1}解析因为A∩B＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}.5.若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A的真子集的个数是________.答案 3解析 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.6.已知集合A ＝{(x ，y )| x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素的个数为_____________________________________________________________. 答案 2解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.7.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是__________. 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c ).由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.8.(2015·浙江改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝__________. 答案 {x |1<x <2}解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}.9.设集合Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是________. 答案 8解析 因为Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }＝{x |0≤x ≤52，x ∈N }＝{0，1，2}，所以满足P ⊆Q 的集合P 的个数是23＝8.10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________. 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112. 11.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________.答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意， ∴m ＝－32. 12.(2016·南通模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}.13.(2016·江苏无锡新区期中)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________. 答案 3解析 按P *Q 的定义，P *Q 中元素为2，－2，0，共3个.14.已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________. 答案 5解析 当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1；当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.15.已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________. 答案(－∞，－2]解析集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2].。