数学人教b版必修4作业：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 含解析

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算明目标、知重点 1.理解平行向量定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.1.平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)a 的单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量.记作a 0，由数乘向量的定义可知a ＝|a|a 0或a 0＝a |a |.2.轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.当在轴上选一定点O 作为原点时，轴就成了数轴. (2)轴上向量的坐标：已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与轴l 的方向相同，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e ，单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量).①给定单位向量e ，能生成与它平行的所有向量的集合{x e |x ∈R }；②x 的绝对值等于a 的长；当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数. 于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量. 3.轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＝b ⇔x 1＝x 2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＋b ＝(x 1＋x 2)e .(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x 上，OA →＝x 1e ，OB →＝x 2e ，则AB ＝x 2－x 1.(4)数轴上两点的距离公式：|AB |＝|x 2－x 1|.探究点一 平行向量基本定理思考1 请观察a ＝m －n ，b ＝－2m ＋2n ，回答a 、b 有何关系？答 因为b ＝－2a ，所以a 、b 是平行向量.思考2 若a 、b 是平行向量，能否得出b ＝λa ？为什么？ 答 可以.因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反.小结 (1)由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .例1 已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 即3e 1＋4e 2＝λ(6e 1－8e 2)， 所以(3－6λ)e 1＋(4＋8λ)e 2＝0，因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a 与b 不共线.反思与感悟 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题.解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解.若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在.跟踪训练1 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 解 因为e 1，e 2共线，所以存在λ∈R ，使e 1＝λe 2， 所以a ＝3e 1＋4e 2＝(3λ＋4)e 2， b ＝6e 1－8e 2＝(6λ－8)e 2， 所以a ＝3λ＋46λ－8b ⎝⎛⎭⎫λ≠43， 所以a ，b 共线，当λ＝43时，b ＝0，a ，b 也共线.综上，a 与b 共线. 探究点二 三点共线的判定思考1 若存在实数λ，使AB →＝λBC →，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？答 由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AB →＝λBC →.思考2 已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，是否存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1?答 存在，因A 、B 、C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.令1－λ＝α，λ＝β，则OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.思考3 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A 、B 、C 三点是否共线？答 共线，因为存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1. ∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB → ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)∴BC →＝αBA →，∴A 、B 、C 三点共线.例2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线.证明 ∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， ∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2) ＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →， ∴AB →、BD →共线，且有公共点B . ∴A 、B 、D 三点共线.反思与感悟 本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线.跟踪训练2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由.解 因为AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线. 探究点三 数轴上的分点坐标公式思考1 已知A ，B 为数轴上的两点，A 、B 的坐标依次为x 1，x 2，若AP →＝λPB →(λ≠－1)，则P 点的坐标是什么？ 答 设P 点坐标为x ，则∵AP ＝x －x 1，PB ＝x 2－x ，∴x －x 1＝λ(x 2－x ) ∴(1＋λ)x ＝x 1＋λx 2，∵λ≠－1，∴x ＝x 1＋λx 21＋λ.思考2 已知A ，B 为数轴上的两点，若AP →＝λPB →(λ≠－1)，则有：①若P 位于线段AB 内部，则λ的取值范围是________，特别地，若P 为线段AB 的中点，则λ＝________；②若P 位于线段AB 的延长线上，则λ的取值范围是______； ③若P 位于线段AB 的反向延长线上，则λ的取值范围是________. 答案 ①λ>0 12；②λ<－1；③－1<λ<0例3 已知A 、B 、C 为数轴上三点，且x A ＝－2，x B ＝6，试求符合下列条件的点C 的坐标. (1)AC ＝10；(2)|AC →|＝10；(3)|AC →|＝3|BC →|.解 (1)∵AC ＝10，∴x C －x A ＝10，∴x C ＝x A ＋10＝8. (2)∵|AC →|＝10，∴AC ＝10或AC ＝－10， 当AC ＝10时，x C －x A ＝10，x C ＝x A ＋10＝8； 当AC ＝－10时，x C －x A ＝－10，x C ＝x A －10＝－12. (3)∵|AC →|＝3|BC →|，∴AC →＝3BC →或AC →＝－3BC →. 当AC →＝3BC →时，x C －x A ＝3(x C －x B )， ∴x C ＝12(3x B －x A )＝10.当AC →＝－3BC →时，x C －x A ＝－3(x C －x B )，∴x C ＝14(3x B ＋x A )＝4.反思与感悟 注意题目中AC ＝10与|AC →|＝10，|AC →|＝3|BC →|与AC →＝3BC →，它们的含义不一样，解题时要注意区分，避免出错.跟踪训练3 已知数轴上A 、B 两点的坐标x 1、x 2，根据下列各题中的已知条件，求点A 的坐标x 1：①x 2＝3，AB ＝5；②x 2＝－5，|AB |＝2. 解 ①AB ＝x 2－x 1＝5，∴x 1＝x 2－5＝－2. ②|AB |＝|x 2－x 1|＝2，∴x 2－x 1＝－2或2. ∴x 1＝x 2－(－2)＝－3或x 1＝x 2－2＝－7.1.点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，设BC →＝λAB →，则λ的值为( )A.25B.－25C.52D.－52 答案 B2.已知M 、P 、N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________. 答案 113.若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，则实数k ＝________. 答案 ±1解析 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，∴(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴k ＝±1.4.如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形. 证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点. ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.同理EF →＝HG →. ∴四边形EFGH 为平行四边形. [呈重点、现规律]1.共线向量定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.一、基础过关1.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2 D.k ＝12答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线.2.已知点B 的坐标为(m ，n )，AB →的坐标为(x ，y )，则点A 的坐标为( ) A.(m －x ，n －y ) B.(x －m ，y －n ) C.(m ＋x ，n ＋y ) D.(m ＋n ，x ＋y ) 答案 A解析 AB →＝OB →－OA →，∴OA →＝OB →＋BA →＝(m ，n )＋(－x ，－y )＝(m －x ，n －y ).3.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →、OB →、OC →、OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.等腰梯形 答案 A解析 ∵OA →－OB →＝BA →，OD →－OC →＝CD →， 而OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →.又∵BA →与CD →不重合，∴AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形.4.已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A.B 、C 、D B.A 、B 、C C.A 、B 、D D.A 、C 、D答案 C解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线.5.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析 由于四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.6.设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b 有 ①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中a ，b 共线的有________.(填序号) 答案 ①②③7.两个非零向量a 、b 不共线.(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线.(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b ). ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2.二、能力提升8.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心. ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.9.如图所示，平行四边形ABCD ，E 在边AB 上，且BE ＝14BA ，F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15BD ，则( )A.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝13FC →B.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →C.E 、F 、C 三点共线，且EF →＝15FC →D.E 、F 、C 三点不共线 答案 B解析 不妨设BA →＝a ，BC →＝b ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BD →＝a ＋b . ∵BE ＝14BA ，BF ＝15BD ，∴BE →＝14a ，BF →＝15(a ＋b )，∴EF →＝BF →－BE →＝15(a ＋b )－14a ＝－120a ＋15b ，EC →＝BC →－BE →＝b －14a ＝5⎝⎛⎭⎫－120a ＋15b ， 即EC →＝5EF →，∴EC →与EF →共线，∴E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →.10.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示) 答案 14(b －a )解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a ).11.如图所示，已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M 使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN . 求证：M 、A 、N 三点共线.证明 在△AMC 中，D 为MC 的中点， 易得2A D →＝AM →＋A C →.又∵D 为AB 中点，∴A B →＝2A D →，∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理得AN →＝BC →. ∴AM →＝－AN →.∴A 、M 、N 三点共线.12.如图，已知▱ABCD 中，M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD . 求证：M 、N 、C 三点共线. 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点.∴M 、N 、C 三点共线.三、探究与拓展13.如图，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证： 1m ＋1n＝3. 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ， ∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →， ∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连接AG 并延长交BC 于D ， 则AD 为△ABC 一边BC 边上的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )，∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝⎛⎭⎫n －13b ， ∴⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ，即1m ＋1n ＝3.。

一、 课前延伸预习检测：判断下列命题是否正确（1） 向量与向量平行，则向量与向量方向相同或相反。

（ ）（2） 向量与向量是共线向量则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上。

（ ）（3） 若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。

（ ）（4） 起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。

（ ）师问生答的形式完成检测。

设计意图：通过几个小题检测一下预习的效果。

二、 课上探究学习目标叙写：1.通过经历平行向量基本定理的得出过程,能够理解并掌握向量共线的条件，并且能够正确运用定理证明三点共线和平行问题。

2.借助几何直观引导，能够认识单位向量和理解轴上向量的坐标运算，并能够区分轴与数轴的区别，记住数轴上两点的距离公式。

（一） 情景导入通过三个问题引入新课。

问题1：向量共线是如何定义的？由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知：平行向量基本定理。

引出新课。

（二） 新知讲解1、平行向量基本定理（老师板演定理）通过几个例子解释剖析定理的内容，结合图像直观体现。

2、单位向量：（由数乘向量的定义推知）（三）合作探究展示小组合作讨论学习做学案上 探究一、变式1、探究二、变式2的方向有何关系？与，：根据向量的数乘运算问题),0(2≠≠λλ共线吗？为常数与：向量问题)(3λλa a探究一 已知 MN 是ABC ∆的中位线，求证:,21BC MN =且BC MN // 变式训练1：已知：在ABC ∆中，.31,31AC AN AB AM ==求证：,//BC MN 并且.31BC MN = 第3小组展示探究一答案（板演）第4小组展示变式1答案（板演）第5组点评，老师补充强调规范解题，总结规律。

探究二 已知2,3-==试问向量,:。

变式训练2： 设两个非零向量,不共线，若(3,82,b -=+=+=， 求证：A,B,D 三点共线第6小组展示探究二答案（板演）第1小组展示变式2答案（板演）第7组点评，老师补充规范解题步骤，总结规律。

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，由数乘向量的定义可知：a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．(2)x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e ，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB →的坐标常用AB 表示，则AB →＝AB e .AB →表示向量，而AB 表示数量，且有AB ＋BA ＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝x 2－x 1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x 上，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b ≠0?[提示] 若b ＝0，则0∥a ，但是λ0＝0，从而a ＝λb 中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A.AB →的坐标是2 B.CA →＝－3AB → C.CB →的坐标是4D.BC →＝2AB →C [CB →的坐标为1－5＝－4，故C 项不正确．故选C.] 2．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2C [选项A ，b ＝－2a ；选项B ，b ＝14a ；选项D ，b ＝－23a .只有选项C 中a 与b 不共线．]3．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则λ＝________. －12[由题意可得存在实数k ，使得b ＝k a ，则 e 1＋λe 2＝2k e 1－k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1λ＝－k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝－12.](1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC →＝－3AD →，求证：3CD →＝－4AC →.[思路探究] 据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解． [解] (1)∵AC ＝5， ∴c －(－4)＝5，∴c ＝1.(2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：因为CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋AD →， 而AC →＝－3AD →，所以CD →＝－(－3AD →)＋AD →＝4AD →， 所以3CD →＝12AD →，又－4AC →＝－4×(－3AD →)＝12AD →， 故3CD →＝－4AC →.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标和长度． (1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5. [解] (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB ＝－5.3－2＝－7.3，BA ＝2－(－5.3)＝7.3. ∴|AB →|＝7.3，|BA →|＝7.3. (2)同理AB ＝10.5，BA ＝－10.5. |AB →|＝10.5，|BA →|＝10.5.[思路探究] 解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明] 延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得ECMB ， 由平形四边形法则得 EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB .1．用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明．2．用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系．2．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形．[解] (1)根据向量求和的多边形法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，即AD →＝2BC →.所以AD →∥BC →，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 为梯形.1.在平行向量基本定理中，为什么要求“b ≠0”？[提示] 若b ＝0，则λ不唯一，另外b 相对于a 而言是一个度量标准，度量标准不能为0.2．如何证明A 、B 、C 三点共线？[提示] 只需构造两个向量AB →，AC →，并证明AB →＝λAC →即可．【例3】 如图所示，已知在ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线．[思路探究] 利用向量的运算法则将MC →，MN →两向量分别用AB →，AD →表示出来，再利用平行向量基本定理判定MC →，MN →共线，从而证明M ，N ，C 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ， MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M 、N 、C 三点共线．平行向量基本定理的两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等．(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据．3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．(教师用书独具)1．向量共线定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线． (2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线．2．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λAC →，任取直线AC 外一点P ，则PB →－PA →＝λ(PC →－PA →)，所以PB →＝λPC →＋(1－λ)PA →，由此可推出三点共线的等价命题：A 、B 、C 三点共线等价于PB →＝λPC →＋μPA →(λ、μ∈R 且λ＋μ＝1).1．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2 B ．e 1∥e 2 C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对C [单位向量的模都等于1个单位，故C 项正确．]2.如图所示，已知OA →′＝3OA →，A ′B ′→＝3AB →，则向量OB →与OB ′→的关系为( ) A ．共线 B ．同向 C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′→的长度是OB →的3倍 D [由题意，知OA OA ′＝AB A ′B ′，∴AB ∥A ′B ′，∴OB OB ′＝OA OA ′＝13，∴OB ′→＝3OB →，故选D.] 3．设a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．－1 [∵A 、B 、D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →，又BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.]4.如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵F ，G 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →. 同理EF →＝HG →.∴四边形EFGH 为平行四边形．。

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算一、基础过关1． 设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122． 已知点B 的坐标为(m ，n )，AB →的坐标为(x ，y )，则点A 的坐标为( )A ．(m －x ，n －y )B ．(x －m ，y －n )C ．(m ＋x ，n ＋y )D ．(m ＋n ，x ＋y )3． 已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →、OB →、OC →、OD →满足等式OA →＋OC →＝OB→＋OD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．等腰梯形4． 已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D5． 已知A 、B 、P 三点共线，O 为平面内任一点，若OP →＝λOA →＋2OB →，则实数λ的值为________． 6． 设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b 有①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中a ，b 共线的有________．(填序号) 7． 两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．8． 如图所示，已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN .求证：M 、A 、N 三点共线． 二、能力提升9． 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图所示，平行四边形ABCD ，E 在边AB 上，且BE ＝14BA ，F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15BD ，则( )A ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝13FC →B ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →C ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝15FC →D ．E 、F 、C 三点不共线11．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)12．如图，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线．三、探究与拓展13．如图，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证： 1m ＋1n＝3.答案1．D 2.A 3.A 4.C 5.－1 6.①②③7． (1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 8． 证明 在△AMC 中，D 为MC 的中点，易得2A D →＝AM →＋A C →.又∵D 为AB 中点，∴A B →＝2A D →，∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理得AN →＝BC →. ∴AM →＝－AN →.∴A 、M 、N 三点共线． 9． B 10.B 11.14(b －a )12．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →， ∴MN →∥MC →，又M 为公共点． ∴M 、N 、C 三点共线．13．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →， ∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ， 则AD 为△ABC 一边BC 边上的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )，∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝⎛⎭⎫n －13b ， ∴⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ，即1m ＋1n ＝3.。

向量共线的条件与轴上向量坐标运算练习1．e 为x 轴上的单位向量，若AB ＝－2e ，且B 点的坐标为3，则A 点的坐标和AB 中点的坐标分别为( )A ．2,1B ．5,4C ．4,5D ．1，－22．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1，且c 与d 同向B ．k ＝1，且c 与d 反向C ．k ＝－1，且c 与d 同向D ．k ＝－1，且c 与d 反向3．设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )A ．AD ＝BCB ．AD ＝2BCC ．AD ＝BC D ．AD ＝－2BC4．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述中，正确的个数是( )①λa ∥a ；②λa 与a 的方向相同；③||a a 是单位向量；④若|λa |＞|a |，则λ＞1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及△ABC 所在平面内一点P 满足：PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．23B ．32C ．2D ．3 6．已知数轴上点A ，B 的坐标分别是－8，－3，则AB 的坐标为__________，长度为__________．7．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝__________.8．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．9．如图所示，在ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ．利用向量法证明M ，N ，C 三点共线．10．如图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA 交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．参考答案1．解析：设A点的坐标为x A，由题意，知AB＝－2＝3－x A，∴x A＝5，即A点的坐标为5，∴线段AB中点的坐标为3542+=.故选B．答案：B2．答案：D3．解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.答案：B4．答案：B5．解析：由PA＋PB＋PC＝0知，P为△ABC的重心，所以AB＋AC＝3AP，即λ＝3，故选D．答案：D6．解析：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5.答案：5 57．解析：设k′＞0，则k a＋2b＝－k′(8a＋k b)，即k a＋2b＝－8k′a－k′k b，因为a，b不共线，所以k＝－8k′，2＝－k′k，所以k2＝16，解得k＝－4或k＝4(舍去)．答案：－48．解析：∵在△AMN中，MO＝AO－AM，ON＝AN－AO，设MO＝λON，∴AO－AM＝λ(AN－AO)．∴AO＝11λ+AM＋11λ+AN.①∵在△ABC中，AO＝12(AB＋AC→)＝12m AM＋12n AN，②∴由①②，可得21mλ=+，21nλλ=+.∴m＋n＝2. 答案：29．证明：设AB＝a，BC＝b，∵MN＝MB＋BN＝12a＋13(－a＋b)＝16a＋13b，MC＝MB＋BC＝12a＋b，∴MC＝3MN.∴MC∥MN，且MC与MN有公共点M，∴M，N，C三点共线．10．解：(1)依题意，A是BC的中点，∴2OA＝OB＋OC，即OC＝2OA－OB＝2a－b，∴DC＝OC－OD＝OC－23OB＝2a－b－23b＝2a－53b.(2)∵OE＝λOA，则CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. ∵CE与DC共线，且DC≠0，∴存在实数k，使CE＝k DC，即(λ－2)a＋b＝k523⎛⎫-⎪⎝⎭a b，解得λ＝45.4 5.∴实数λ的值为。

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.以下选项中，a 与b 不一定共线的是（ ） A.a =5e 1-e 2，b =2e 2-10e 1 B.a =4e 152-e 2，b =e 1101-e 2 C.a =e 1-2e 2，b =e 2-2e 1 D.a =3e 1-3e 2，b =-2e 1+2e 2 解析：对于A ，b =-2a ；对于B ，a =4b ；对于D ，a =23-b . 答案：C2.下列各命题中，正确命题的个数是（ ）①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上 ②两非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 ③四边形ABCD 是平行四边形的条件是= ④已知λ、ω∈R ，λ≠ω，则(λ+ω)a 与a 共线A.2B.3C.4D.1 答案：A3.长度相等的三个非零向量，，满足++=0，则由A 、B 、C 三点构成的三角形ABC 是_____________三角形. 解析：以OA ，OB 为邻边作菱形OAFB ， 则+=， ∴OF +OC =0，OF =-OC . ∴O 、F 、C 共线.∵菱形OAFB ， ∴OE 即CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC ，∴△ABC 为等边三角形.答案：等边4.已知数轴上两点A ，B 坐标分别是-8，-3，则的坐标为___________________,长度为________________.解析：=(-3)-(-8)=5；||=|5|=5.答案：5 510分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知p 、q 、r 是两两不共线的非零向量，且p+q 与r 共线，q+r 与p 共线.以下结论错误的是（ ）A.p+r 与q 也一定共线B.p 、q 、r 之和恰好为零向量C.p+r 与2q 也一定共线D.p 、r 、2q 之和恰好为零向量 解析：依题意，设p +q =λr ，q +r =μp ，两式相减得p -r =λr -μp ，移项整理得 (1+μ)p +(-1-λ)r =0.又由于p 与r 不共线，故1+μ=-1-λ=0.∴μ=λ=-1. ∴p +q +r =0，p +2q +r =q ≠0.故选D. 答案：D2.已知e 1≠0，λ∈R ，a =e 1+λe 2，b =2e 1，若a ∥b ，则( )A.λ=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或λ=0 解析：∵a ∥b ，∴存在实数k ，使得a =k b ， 即(2k-1)e 1=λe 2，∵e 1≠0，∴若2k-1=0，则λ=0或e 2=0； 若2k-1≠0，e 1=12-k λe 2，此时e 1∥e 2，而0与任何一个向量平行，∴e 1∥e 2或λ=0，∴应选D. 答案：D3.若e 是a 的单位向量，b 与e 方向相反，且|b |=3，又|a |=4，则a =___________b .（ ）A.43 B.34 C.43- D.34- 解析：由题知b =-3e ，又a =4e ，∴a =b 34-.答案：D4.已知向量i 和j 不共线，实数λ和μ满足等式3λi+(10-μ)j=2λj+(4μ+7)i ，则λ的值为______________，μ的值为______________. 解析：i 与j 不共线，可以以i 和j 为一组基底，由向量基本定理得⎩⎨⎧=-+=.210,743λμμλ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.1116,1147μλ答案：111611475.在数轴x 上，已知=-3e (e 为x 轴上的单位向量)，且B 的坐标为3，则向量的坐标为______________.解析：A 点坐标为-3，则AB=3-(-3)=6，即的坐标为6.答案：66.如图2-1-22所示，已知平面五边形ABCDE 中的四边AB ，BC ，CD ，DE 的中点依次是M ，P ，N ，Q ，且线段MN ，PQ 的中点为K ，T ，试判断四边形AETK 的形状.图2-1-22证明：∵M ，P ，N ，Q ，K ，T 分别是AB ，BC ，CD ，DE ，MN ，PQ 的中点，∴MA +MB =0，BP +CP =0，NC +ND =0，+=0，KM +KN =0，PT +=0，据向量加法法则，得KT =KM +MA +AE +EQ +QT . ①=+++. ② KT =KN +NC +CP +PT . ③ =+++. ④由①+②+③+④，得4=. ∴KT ∥AE ，KT≠AE. ∴四边形AETK 为梯形.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.e 为x 轴上一单位向量，若=-2e ，且知B 点坐标为3，则A 点坐标为____________，此时AB 中点坐标为____________.( )A.2，1B.5，4C.4，5D.1，-2 解析：由题意知，AB=-2=3-x A ，∴x A =5，线段AB 中点的坐标为253+=4. 答案：B2.(2006浙江金华十校联考，6)设a ，b 是两个非零向量，若8a -k b 与-k a +b 共线，则实数k 的值为( )A.22B.22-C.±22D.8 解析：因为8a -k b 与-k a +b 共线，所以有⎩⎨⎧=--=,,8λλk k 解之得k=±22.答案：C3.若点M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与共线的是( ) A.++ B.++ C.++ D.3+解析：设D ，E ，F 分别为各边的中点，AM =32AD =32·21(+AB )=31(+AB )，同理，BM =31(BA +BC )，CM =31(CA +CB )，AM +BM +CM =0，∴应选C.答案：C4.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足=)，λ∈［0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心 解析：为上的单位向量，设为e 1上的单位向量，设为e 2，则e 1+e 2的方向为∠BAC 的角平分线的方向.又λ∈［0，+∞），∴λ(e 1+e 2)的方向与e 1+e 2方向相同，而由题意=λ(e 1+e 2)，∴P 在上移动. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案：B5.(2006甘肃兰州模拟,6)设a ，b 为不共线向量，AB =a +2b ，BC =-4a -b ，CD =-5a -3b ，则下列关系式中正确的是（ ）A.=B.=2C.AD =-BCD.AD =-2BC 解析：AD =AB +BC +CD =-8a -2b =2(-4a -b )=2BC . 答案：B6.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ，OB ，OC ，OD 满足等式OA +2OC =OB +2OD ，则四边形ABCD 的形状为______________.解析：由+2=+2知-=2(-)，∴=2. ∴四边形ABCD 中，AB ∥CD 且||≠||.∴四边形ABCD 为梯形. 答案：梯形7.设e 1，e 2不共线，b =e 1+λe 2与a =2e 1-e 2共线，则实数λ的值为______________.解析：设a =k b ，即2e 1-e 2=k e 1+kλe 2，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧-==.1,2λk k∴λ=21-. 答案：21-8.下面给出三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行 ②向量a 与b 共线，则存在唯一实数λ，使a =λb ③若a =λb ，则a 与b 共线 填上正确的序号：______________.解析：①a 与b 所在直线有可能在一条直线上；②若b =0，λb =0，∴λ可取任意实数；③正确.答案：③9.如图2-1-23，已知△OAB 中，点C 是以A 为中心的B 的对称点，点D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA =a ，OB =b .图2-1-23(1)用a 和b 表示向量OC 、DC ； (2)若OE =λOA ，求实数λ的值.解：(1)依题意，A 是BC 的中点，∴2=+，即=2-=2a -b ，=-=32-=2a -b -32b =2a -35b .(2)设=λ，则=-=λa -(2a -b )=(λ-2)a +b . ∵CE 与DC 共线，∴存在实数k ，使=k ，(λ-2)a +b =k(2a -35b )，解得λ=54. 快乐时光放学回家，一对双胞胎兄弟兴奋地告诉母亲：“妈妈，今天我们全班同学要选一位美丽的母亲，结果你当选了.”母亲很高兴，问怎么会当选的.双胞胎兄弟说：“同学们都投自己妈妈的票，我们有两票，所以你当选了！”。

第二章 2.1 2.1.5一、选择题1．已知数轴上A 点坐标为－5，AB ＝－7，则B 点坐标是( ) A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－12D∵x A ＝－5，AB ＝－7， ∴x B －x A ＝－7，∴x B ＝－12.2．设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则实数λ的值等于( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2 A∵向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，∴存在实数k ，使得a ＋λb ＝－k (b －2a )＝－k b ＋2k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1λ＝－k ，∴⎩⎨⎧k ＝12λ＝－12.3．已知e 1、e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3B∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， 即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m －4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12k ＝－8. 4．在四边形ABCD 中，若AB →＝－13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形B∵AB →＝－13CD →，∴AB ∥CD ，且AB >CD ，∴四边形ABCD 为梯形．5．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上 D ．点P 在线段AC 上DPA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →， ∴PC →＝－2PA →.∴点A 、P 、C 三点共线， ∴点P 在线段AC 上．6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D B∵B D →＝B C →＋C D →＝2a ＋4b ＝2A B →，∴A B →与B D →共线，又∵A B →与B D →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．二、填空题7．轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为1、－1、－5，则AC ＋BC ＝________，|AC |＋|BC |＝________.－10 10AC ＋BC ＝－6＋(－4)＝－10， |AC |＋|BC |＝6＋4＝10.8．设数轴上A 、B 的坐标分别是2、6，则AB 的中点C 的坐标是________． 4∵x A ＝2，x B ＝6.∴AB 中点C 的坐标为x C ＝x A ＋x B 2＝2＋62＝4.三、解答题9．设两个非零向量a 与b 不共线，若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线．∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →、BD →共线， 又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点，记BC →＝a ，AD →＝m . 求证：DE →＝－12m ＋14a .∵D 为BC 的中点， ∴DB →＝－12BC →＝－12a ，∴AB →＝AD →＋DB →＝m －12a .又∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点， ∴DE 綊12AB ，∴DE →＝－12AB →＝－12m ＋14a .一、选择题1．设a 、b 是不共线的向量，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k 、m ∈R )，则当A 、B 、C 三点共线时，有( )A ．k ＝mB ．km －1＝0C ．km ＋1＝0D ．k ＋m ＝0B∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →＝nAC →，∴a ＋k b ＝mn a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧mn ＝1k ＝n ，∴mk －1＝0.2．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A ．34SB ．23SC ．12SD ．25SC如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)，则3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2，设AB 、BC 的中点M 、N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．3．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 D∵a 、b 不共线且c ∥d ，∴k 1＝1－1，∴k ＝－1，此时c ＝－d ，即c 与d 反向． 4．在△ABC 中，P 为一动点，且OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈答案解析0，＋∞)， ∴点P 的轨迹通过△ABC 的重心． 二、填空题5．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.13或－2 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ， ∴k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m 1－52k ＝3m， 即3k 2＋5k －2＝0， ∴k ＝13或－2.6．已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且BD →＝13BC →，CE →＝13CA →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.－23a ＋13b如图，D E →＝D B →＋B A →＋A E →＝－13B C →＋B A →＋23A C →＝－13(b －a )－a ＋23b＝－23a ＋13b .三、解答题7.如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则： BD →＝BA →＋AD →＝－e 1＋e 2， BN →＝13BD →＝－13e 1＋13e 2，MB →＝12e 1，BC →＝AD →＝e 2，MC →＝MB →＋BC →＝12e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →＝12e 1－13e 1＋13e 2＝16e 1＋13e 2＝13⎝⎛⎭⎫12e 1＋e 2. 故MN →＝13MC →，故M 、N 、C 三点共线．8．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是它的中位线，求证：EF ∥AD ∥BC 且EF ＝12(AD＋BC )．在梯形ABCD 中，由AD ∥BC 可知AD →∥BC →且AD →≠0∴可设BC →＝λAD →(λ∈R )． 又EF 是梯形ABCD 的中位线， ∴E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0.∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，∴2EF →＝(EA →＋EB →)＋(AD →＋BC →)＋(DF →＋CF →)＝AD →＋BC →＝AD →＋λAD →，即EF →＝12(1＋λ)AD →.∴EF →∥AD →，又EF 与AD 没有公共点，∴EF ∥AD ，∴EF ∥AD ∥BC ． 又由2EF →＝(AD →＋BC →)及AD →与BC →同向， 可得|EF →|＝12|AD →＋BC →|＝12(|AD →|＋|BC →|)，∴EF ＝12(AD ＋BC )．综上可知，EF ∥AD ∥BC ，且EF ＝12(AD ＋BC )．9．设a 、b 是不共线的两个非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值． ∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，∴存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，⎪⎧8＝λk k＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝4λ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k＝－4λ＝－2.故k＝±4.即⎩⎪⎨。