例1 已知波动方程如下,求波长、周期和波速

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例1 已知波动方程如下,求波长、周期和波速PPT演示课件

经t=1/2s后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，
试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求A点
的振动方程。
y(cm)Ⅰ
1
A
0
1 2 3 4 5 6 x(cm)
解：法一： 0.04m A 0.01m
波速： u x1 xo 0.01 0.02m s1
t
12
T 0.04 2s 2 s1
轴正方向运动 . 求 1）波动方程
解：写出波动方程的标准式
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0 π
t
2
O
y

A
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求 t 1.0s 波形图.
法一：
C oB A
Dx
B比A相位超前 xA xB 4 5 π
u
20
B点振动方程： yB (3 10 2 m) cos[4π t π ]
波动方程: y (3102 m) cos[4π (t x ) π ]
法二：由以A为原点的波动方程：
20
y

(3 10
2
2
2
比较得
T 2 s 0.8 s 2cm 200 cm u 250 cms1
2.5
0.01
T
已知波动方程如下，求波长、周期和波速. y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x]. 解：方法二（由物理量的定义求解）
波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两

机械波波动光学重要公式及结论

机械波
1、波速、波长及周期的关系
μ=λ/T
μ=λν
注：波的周期T（或频率ν）是波源的周期（或频率），与传播波的媒质无关。

波速μ取决于传播媒质的性质
2、振动方程和波动方程
（1）振动方程（正向传播）
y=Acosω(t-x/μ) (基本形式)
y=Acos2π(νt- x/λ)
y=Acos2π(t/T- x/λ)
注：A-振幅，恒为正；ω-角频率，ω=2π/T=2πν
（2）波动方程
y=Acos[ω(t-x/μ)+Ф] (正向传播)
y=Acos[ω(t+x/μ)+Ф] (反向传播)
3、平面简谐波的能量
最大位移处：动能、势能及总能量均为零
平衡位置：动能、势能及总能量均达到最大
4、波的干涉
1、合振动振幅：A=
2、分振动相位差：
3、波程差：
4、驻波
概念：
特征：
波动光学
1、光的干涉
1）杨氏双缝干涉
相邻明纹或相邻暗纹中心的间距（条纹间距）
2）明、暗干涉条纹条件
3）光程、光程差、相位差
4）薄膜干涉（劈尖干涉）
5）牛顿环
2、光的衍射
1）明暗条纹
2）条纹间距
3）特征
3、光的偏振
1）马吕斯定律。

3-1 机械波波函数

y
x y Acos[ (t ) ] u x Acos(t ) u x u
u
t
时刻
t t t 时刻
k
O
x
x
说明：(phase velocity and group velocity)
（1）对于(phase velocity and group velocity)
oA
x
4) BC 1.6π CD 4.4π
x )] 20 x 5 2) y 3 10 2 cos[ 4 π(t )] 20 13 π 3) yC 3 10 2 cos 4πt 5 9 π yD 3 10 2 cos 4πt 5
当该波通过某种介质时，各简谐波的相速度与频率有关，这一现象称为“色散”。
相速度与群速度
vp u

k
（2）真实的波是一系列不同频率的单色平面波的迭加，用“波包”表示。
当该波通过某种介质时，各简谐波的相速度与频率有关，这一现象称为“色散” (k ) 。用群速度表示波包形状(包络线)扩散的速度 vg

液体,气体中的纵波波速： u f S f f
K

体积模量
p+Δp
ΔV
l Δl q f 机械波波速取决于介质的力学性质！
p+Δp
2
2012/9/29
二、平面简谐波的波函数
1. 平面简谐波波函数
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系 y ( x, t )
需要波源和弹性介质；是介质中大量质点参与的集体运动；质点并不“随波逐流”，而是在各自的平衡位置附近振动。

11-02 平面简谐波

图。试求： 1）振幅；2）波长；3）波的周期；4）弦上一质点的最大速度； 5）图中a、b两点的相位差。
a
2 y t 2
2 Acos[(t
x u
)
O ]
振动速度与传播速度的区别！
11 – 2 平面简谐波
波函数的物理意义
第十一章机械波和电磁波
y( x, t )
A cos [ (t
x u
)
O
]
A cos [2
π(Tt
x
)
O
]
1 当 x=xQ 时，波函数表示定点 xQ 处的简谐
运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
T 0.2s
ω 10(s1)
y/m
0.02
u 2 10(m s1)
T 0.2
o
vP0 u的方向？
0.1 0.2 t /s
P
2
xP 1m
y(x,t) 0.02 cos[2π(
t
vP0
x 1) ] m
0.2 2 2
11 – 2 平面简谐波
第十一章机械波和电磁波
例3 某横波沿弦线传播，已知 t = 0 时的波形如
2.5 2
t
1.0 2
x)
m
比较得
T 2 s 0.8 s 2.5
2 1.0
2.0
m
u 2.5 m s1
T
11 – 2 平面简谐波
第十一章机械波和电磁波
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y(x,t) 0.05cosπ(2.5t 1.0x) m.
解：方法二（由各物理量的定义解之）.
函数
y(x,
t)
Acos[(t

10_1_2机械波的几个概念平面简谐波的波函数

10.2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
2 , 2x y A cos( t ) T
Tu
x y A cos t - u
① ②

t x y A cos 2 - T
2) 当t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
x1 t x1 1 (t - ) 2 π ( - ) u T x2 t x2 2 (t - ) 2 π ( - ) u T
波程差：
x21 x2 - x1
并可以出该点与点 O 振动的相位差.
x x - -2 π u λ
10.2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
波线上各点的简谐运动图
10.2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
x t x y A cos[ (t - ) ] A cos[ 2 π( - ) ] u T
x2 - x1 u 250 cm s -1 t2 - t1
周期为相位传播一个波长所需的时间
-1 -1 π [(2.50s )t1 - (0.01cm-1 ) x1 ] π [(2.50s )t2 - (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 - x1 200 cm T t2 - t1 0.8 s
10.1 机械波的几个概念
一机械波的形成
第十章波动学
机械波：机械振动在弹性介质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性介质.
波源
介质
+
弹性作用
机械波
注意
波是运动状态的传播，是能量的传播。介质的质点并不随波传播.

平面简谐波的表达式

Ox*
相位落后法
A
点p P 比点2 π O x 落后的相位2 π T x u p O u x 2 π x
点 P 振动方程 ypAcos[t(u x)]
波 yAcos(t[x)] u沿x轴正向
函数
yAcos(t[ux)]
π [ 2 (- ) . t 1 1 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 1 ] s π [ 2 (- ) . t 1 2 5 ( 0 . 0 c 0 - ) 1 x 1 m 2 ] s
x2x120 cm 0ux2x1 25c0m s1
Tt2t10.8s
u
u沿 x轴负向
波动方程的其它形式
y(x), tA co2π s(t[x)]
T λ
y ( x ,t) A co t k s x ) ((角波数
k

2
π
)
质点的振动速度，加速度

v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
解：方法上相位差为 2π的两
点间的距离.
π [2 (.-) 5 1 t (0 0 .0c s1 -m ) 1 x 1 ] π [2 (.-) 5 1 t0
(0.0c1m -)1x2]2π x2x120c0m
周期为相位传播一个波长所需的时间
把题中波动方程改写成
y (5 c)m co 2 π [s 2 ( .s-1 5 )t 0 (0 .0c1 -1 m )x ]
2
2
比较得
T 2 s0.8s 2cm20c0mu25c0ms1
2.5
0.01
T

波长和波速的公式

波长和波速的公式首先，我们先从波动方程的角度来推导波长和波速的关系。

波动方程是描述波动传播的数学方程，对于机械波来说，波动方程可以写成：y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)其中，y(x,t)表示波动的物理量（比如位移）关于时间t和位置x的函数；A表示振幅；k表示波数，它与波长的关系可以表示为k=2π/λ；ω表示角频率，它与频率的关系可以表示为ω=2πf；φ表示相位差。

我们可以看到，波动位移 y 在 kx-ωt 的项中是周期性变化的，其中 kx 表示的是传播方向上的相位，ωt 表示的是时间上的相位。

当波动传播了一个波长λ 后，在位置 x 上的相位差就会增加2π，即 kx 增加了2π。

在同样的时间 t 内，波动的相位差是随着时间变化的，频率f 表示的就是单位时间内增加的相位差（即ω = 2πf）。

将以上理解应用到波动方程中，当波动传播了一个波长λ时，在位置x上的相位差增加了2π，根据波动方程，我们可以得到：2π=kλ进一步化简，可得：k=2π/λ这就是波数与波长的关系式。

根据波动方程，对于机械波，传播的速度v等于角频率ω与波数k 之间的比值，即：v=ω/k将ω=2πf和k=2π/λ代入上式v=(2πf)/(2π/λ)=λf这就是波速v与波长λ和频率f的关系式，即公式v=λf。

另外，我们还可以从相位速度的角度来推导波长和波速的关系。

相位速度（v_p）是波动的相位在传播方向上的速度，用数学表达式来表示，可以写成v_p=ω/k。

将ω=2πf和k=2π/λ代入，得到：v_p=(2πf)/(2π/λ)=λf这就是相位速度v_p与波长λ和频率f的关系式。

对于简谐波，波速等于相位速度，即v=v_p。

所以我们可以得出结论，波速v等于波长λ乘以频率f，即公式v=λf。

总结起来，波长和波速的公式可以推导为v=λf。

这个公式在描述波动传播过程中，可以用来计算波速、波长和频率之间的关系，提供了对波动现象的定量描述，是理解波动传播的重要工具。

[理学]机械波波动方程

波前
波面
*
球面波
波线
平面波
四、描述波动的几个物理量
1、波速 u 振动状态〔即位相)在单位时间内传播的距离称为波速 ,也称之相速
在固体媒质中横波波速为 u
G
在固体媒质中纵波波速为 u //
E
G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为介质的密度
在同一种固体媒质中,横波波速比纵波波速小些
在液体和气体只能传播纵波,其波速为：
1 为340 m/s， Hz和2000 Hz
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
解
由
u
，频率为200
Hz和2000
Hz
的声波在
空气中的波长
1u1 1324m 0H 00 s1z1.7m
2
u1
2
0.17m
在水中的波长
1u1 2124m 05 H 0 s01 z7.25 m2
u2
2
0.725m
13-2 平面简谐波的波动方程
yAcoBstC ( )x
yAco2sπ(Tt x)
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC
3 ) 如图简谐波以余弦函数表示,求
t =0
y
A
u
t=T/4
O、a、b、c 各点振动初相位.
b
Oa
c x
(π~π)
A
A
O
y o π
O
A
y
b 0
A
O
y
a
π 2
O A
y
c
π 2
例4 一平面简谐波以波速u=200m·s-1 沿 x 轴正方向传播, 在 t = 0 时刻的波形如图所示.

7-2平面简谐波的波动方程

时间推点O 的振动状态
迟方法 yO A cost
t-x/u时刻点O 的运动状态
t x
点P
u
t 时刻点 P 的运动状态
点P 振动方程
yP
A cos (t
x) u
➢ 波动方程
A y u
y Acos (t x)
u
相位落后法
Ox
P
*
x 点 O 振动方程
设x 0 , 0 0
A
yo A cost
各质点都作简谐运动时，在介质中所形成的波.
➢ 平面简谐波：波面为平面的简谐波. 其特点
是在均匀的、无吸收的介质中各质点振幅相同
任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。
波动方程的推导
设有一以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 令原点O 的初相为零，其振
动方程
设x 0, 0 0
yO Acost
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
波程差 x21 x2 x1
波程差与位相差
2π x
3 若 x, t 均变化，波动方程表示波形沿传播
方向的运动情况.
yu
t 时刻 t t 时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
x ut （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
点 P 比点 O 落后的相位
p
O
2π x
p
2π
x
2π x Tu
x u
yp Acos(t p )
点 P 振动方程
yp
A cos (t
x) u

波动方程的一般表达式求波长

波动方程的一般表达式求波长波动方程是描述振动和波动现象的一般性方程。

它在物理学、工程学、地球科学等广泛应用，用于研究波动传播、波长测量以及波动特性的分析等。

波动方程的一般表达式如下：∇²φ = (1/c²) ∂²φ/∂t²其中，φ为波函数，∇²为拉普拉斯算子，c为波速，∂²φ/∂t²为波函数随时间的二阶导数。

在这个方程中，拉普拉斯算子描述了空间中的波动传播，∇表示空间导数运算符。

而波速c则决定了波的传播速度，可以根据具体情况进行选取。

波函数随时间的二阶导数则表示了波函数随时间的变化情况，描述了波动的动力学性质。

在求解波动方程时，常用的方法有分离变量法、格林函数法、数值模拟等。

其中，分离变量法是一种常用且简洁的求解方法。

通过假设波函数可分解为时间和空间的乘积形式，将波动方程分解为两个方程，分别关于时间和空间进行求解。

而格林函数法则通过引入格林函数，将波动方程转化为积分方程进行求解。

数值模拟则利用计算机的计算能力，通过离散化和数值逼近的方法求解波动方程。

在实际应用中，波长是波动现象中的重要参数。

它描述了波动的空间特性，表示波动在空间中一个完整波动的距离。

波长的求解方法主要取决于具体的波动问题。

例如，对于简谐波，波长可以由波速和频率求得。

波速为单位时间内波动传播的距离，而频率表示波的振动次数，而他们的乘积便是波长。

对于复杂的波动现象，波长的求解则需要使用更加复杂的方法，如利用相位差或者频谱分析等。

波动方程与波长的研究在物理学、工程学、地球科学等领域具有重要意义。

它可以用于分析和解释声波传播的机制，预测地震波传播的路径和特性，优化声学设备的设计，研究光的干涉和衍射现象，以及调控电磁波的传播等。

同时，波长的测量也有广泛的应用。

通过测量波动的特性，可以推导出波长，并应用于实际的测量、定量分析和工程设计中。

总而言之，波动方程的一般表达式是描述波动现象的重要方程。

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A cos (t

x) u

(3 10 2 m) cos4π
(t

x 20
)
(3 102 m) cos(4t x)
5
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
u
8m 5m 9m
u 20m.s-1
解：⑴以A为坐原点求波动方程 y’
y
y 3cos 4 (t x )
u
20
⑵以B为坐原点求波动方程
B
A
x
x 5m
B点振动方程： yB 3cos(4 t ) 波动方程： y 3cos[4 ( t x ) ]
20
例5 已知 t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿ox方向传播，
x2 x1 200 cm T t2 t1 0.8 s
u x2 x1 250 cm s1 t2 t1
例2 一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，已知振
幅 A 1.0m ， T 2.0s ， 2.0m ，
在 t 0 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy
经t=1/2s后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，
试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求A点
的振动方程。
y(cm)Ⅰ
1
A
0
1 2 3 4 5 6 x(cm)
解：法一： 0.04m A 0.01m
波速： u x1 xo 0.01 0.02m s1
t
12
T 0.04 2s 2 s1
5
点 D 的相位比点 A落后 xDA 4 9 9
u
20 5
yD

(3102 m) cos[4t

9 ]
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
u
4
8m 5m 9m
u 20m.s-1
C
B oA
Dx
12
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m) cos[(πs1)t π]
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
轴正方向运动 . 求 1）波动方程
解：写出波动方程的标准式
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0 π
t
2
O
y

A
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求 t 1.0s 波形图.
法一：
C oB A
Dx
B比A相位超前 xA xB 4 5 π
u
20
B点振动方程： yB (3 10 2 m) cos[4π t π ]
波动方程: y (3102 m) cos[4π
法二：由以A为原点的波动方程：
(t

x) 20
π
]
y

(3 10
2
m)
cos4π
点间的距离.
π [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x1] π [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x2 ] 2π 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s -1)t1 (0.01cm-1)x1] π [(2.50s -1)t2 (0.01cm-1)x2 ]
例3 一平面简谐波以速度 u 20m / s沿直线传播,波线
上点 A 的简谐运动方程 yA (3102 m) cos(4 π s1)t .
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3102 m 0 4 u 20m.s-1
y

y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s 波形方程:
y (1.0m) cos[π (π m1)x] 2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
x/m
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .

2π
x21

uT 2u 10m
B
C
2π
xC
xB

2π
8 1.6π 10
C
D

2π
xD
xC

2π
22 4.4π 10
例4 一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s，沿x 轴的负向传播。已知A点的振动方程为y=3cos4 t ，则（1）以A点为坐标原点求波动方程；（2）以距A点 5m处的B为坐标原点求波动方程。
(t

x 20
)
X=-5m 可得B点振动方程
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
8m 5m 9m
C
B oA
D
u
u 20m.s-1
x
yA (3102 m) cos(4 π s1)t
点 C 的相位比点 A 超前 xAC 4 13 13
u
20 5
yC

(3102 m) cos[4t 13 ]
u 0.02
T
y(cm)Ⅰ
1
A
0
1 2 3 4 5 6 x(cm)
原点振动方程： yo Acos( t )
初始条件： 0 Acos
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x].
解：方法一（比较系数法）
y Acos2π ( t x )
T
把题中波动方程改写成
y (5cm) cos2π [(2.50s-1)t (0.01cm- s 2cm 200 cm u 250 cms1
2.5
0.01
T
已知波动方程如下，求波长、周期和波速. y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x]. 解：方法二（由物理量的定义求解）
波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两

例1 已知波动方程如下,求波长、周期和波速

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