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课程目标：1. 理解并掌握函数极限的基本概念和性质。
2. 能够运用极限的基本运算法则进行计算。
3. 掌握连续函数的概念和性质，并能判断函数的连续性。
4. 提高学生在高数竞赛中的解题能力。
课程内容：一、函数极限的概念与性质1. 极限的定义2. 极限的性质3. 极限存在的条件二、极限的基本运算法则1. 四则运算法则2. 夹逼定理3. 无穷小与无穷大的关系三、连续函数的概念与性质1. 连续函数的定义2. 连续函数的性质3. 函数间断点的类型四、判断函数连续性的方法1. 利用连续函数的性质2. 利用极限的运算法则3. 利用闭区间上连续函数的性质教学过程：1. 复习高中数学中关于极限的知识，回顾极限的定义和性质。
2. 引入高数竞赛中常见的极限问题，激发学生的学习兴趣。
二、讲解1. 详细讲解函数极限的概念和性质，结合实例进行分析。
2. 讲解极限的基本运算法则，通过例题展示如何运用这些法则进行计算。
3. 讲解连续函数的概念和性质，介绍函数间断点的类型。
三、练习1. 给学生发放练习题，要求学生独立完成。
2. 对学生的练习进行批改，讲解错误原因，帮助学生纠正。
四、讨论1. 针对练习中的典型问题进行讨论，引导学生总结解题思路和方法。
2. 鼓励学生提出自己的见解，培养学生的创新思维。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业的完成情况，评价学生对函数极限和连续性的掌握程度。
2. 通过学生的讨论和提问，评价学生的思维能力和创新意识。
教学资源：1. 高数竞赛辅导教材2. 多媒体课件3. 练习题集1. 在教学过程中，注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。
2. 关注学生的学习进度，针对不同层次的学生进行个性化辅导。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神。
2019-2020年高二数学极限的概念教案上教版教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。
（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。
观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。
无限趋近于常数A，意指“可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。
”即“动点到A的距离可以任意小。
二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于．．．．．某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，记作注：①上式读作“当趋向于无穷大时，的极限等于A”。
“∞”表示“趋向于无穷大”，即无限增大的意思。
有时也记作当∞时，A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，，，…，，…；（2），，，…，，…；（3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，，…；（5）－1,1，－1，…，，…；注：几个重要极限：（1） （2）（C 是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即 ：2、当时函数的极限（1） 画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作： 一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A ，就说当趋向于正无穷大时，也可以记作，当时，（2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，是0，记作：一般地就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A ，记作：也可以记作，当时，（3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，函数的极限是0，记作一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A ，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A ，记作：也可以记作，当时，特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即例2：判断下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）三、课堂小结PM NAB C D1、数列的极限2、当时函数的极限四、练习与作业1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，，，…，，…；（2）7，7，7，…，7，…；（3）；（4）2，4，6，8，…，2n，…；（5）0.1，0.01，0.001，…，，…；（6）0，…，，…；（7）…，，…；（8）…，，…；（9）－2, 0，－2，…，,…，2、判断下列函数的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。
2019-2020年高二数学函数极限的运算法则教案 上教版教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授对于函数极限有如下的运算法则：0）. 说明：当n x x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于的情况仍然适用.三 典例剖析例1 求例2 求例3 求分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限.例4 求分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→ 例5 求分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）； （2）（3）； （4）（5） （6）（7） （8）五小结1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；2 函数的运算法则成立的前提条件是函数的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.六作业（求下列极限）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）2019-2020年高二数学函数的单调性与导数教案教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）； （2）（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当，即 时，函数 ；当，即 时，函数 ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．例4 求证：函数在区间内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当即时，，所以函数在区间内是减函数．说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数．例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=+2x3. f (x )=sin x , x4. y=xlnx2．课本 练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数单调区间（3）证明可导函数在内的单调性六．布置作业。
2019-2020年高二数学函数的极限教案 上教版教学目标：1、使学生掌握当时函数的极限；2、了解：的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0教学重点：掌握当时函数的极限教学难点：对“时，当时函数的极限的概念”的理解。
教学过程： 一、复习：（1）＿＿＿＿＿;（2）).(_______1lim*∞→∈=N k x kx（3） 二、新课就问题（3）展开讨论：函数当无限趋近于2时的变化趋势 当从左侧趋近于2时 （） 当从右侧趋近于2时 （） 三、例题求下列函数在X ＝0处的极限（1） （2） （3） 0,10,00,22<+=>x x x x x四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
五、练习及作业：1、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于1时的变化趋势，说出当时函数的极限2、对于函数填写下表，并画出函数的图象，观察当无限趋近于3时的变化趋势，说出当时函数的极限3（）2019-2020年高二数学分层抽样教案新课标苏教版必修3教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解分层抽样的概念；（2）掌握分层抽样的一般步骤；（3）区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样。
2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法。
3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观。
4、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。
教学设想：【创设情景】假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？【探究新知】一、分层抽样的定义。
高中数学极限教案
教学内容：极限的概念及运算法则
教学目标：
1. 了解极限的概念，掌握极限的定义；
2. 掌握求极限的常用方法，如代入法、夹逼定理等；
3. 能够熟练运用极限的运算法则，解决相关题目。
教学重点：
1. 极限的定义及性质；
2. 极限的计算方法。
教学难点：
1. 运用夹逼定理求极限；
2. 掌握极限的运算法则。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
教学步骤：
一、复习导入（5分钟）
通过回顾前几节课的内容，引导学生了解极限的基本概念及性质。
二、新知讲解（15分钟）
1. 讲解极限的定义及性质；
2. 介绍极限的运算法则：四则运算法则、三角函数的极限、指数函数的极限等。
三、示例演练（20分钟）
1. 通过几道例题，让学生熟悉求极限的常用方法；
2. 演示如何运用极限的运算法则解题。
四、练习巩固（15分钟）
布置一定数量的练习题，让学生独立完成，并及时纠正错误。
五、课堂总结（5分钟）
对本节课的内容进行总结，强调学生应掌握的重点和难点。
教学反思：
1. 学生是否能够理解极限的定义及性质；
2. 学生是否能够熟练运用极限的运算法则解题；
3. 教学过程中是否能够引导学生主动思考及互动讨论。
教学扩展：
可以通过拓展练习或应用题，加深学生对极限概念的理解及掌握。
2019-2020年高中数学 数列极限的运算法则教时教案 大纲人教版教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。
教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用 教学过程： 一、复习引入：函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿（B ） 二、新授课：数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果那么推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。
例如，若，，有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞→∞→∞→lim .lim ).(lim二.例题： 例1.已知，求例2.求下列极限： （1）； （2）例3.求下列有限：（1） （2） 分析：（1）（2）当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
例4.求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n （2）说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。
当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：1.已知，求下列极限 （1）； （2）2.求下列极限：（1）； （2）nn 352lim+-∞→。
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大的大小。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，无穷小，无穷大。
2. 极限的表示方法：极限符号“\(\lim\)”，极限表达式。
3. 求函数在某一点的极限：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
4. 无穷小和无穷大的比较：无穷小比较，无穷大比较。
5. 极限在数学分析中的应用：导数，积分。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限。
2. 难点：无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体的例子学会求函数在某一点的极限。
3. 采用比较法，让学生理解无穷小和无穷大的概念，并能比较它们的大小。
4. 采用联系实际法，让学生了解极限在数学分析中的应用。
五、教学准备1. 教学课件：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限，无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
2. 例题：求函数在某一点的极限的例题。
3. 练习题：巩固极限的概念和求函数在某一点的极限的方法。
教案一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的极限是什么。
2. 介绍极限的表示方法，让学生熟悉极限符号“\(\lim\)”和极限表达式。
二、新课内容（15分钟）1. 讲解极限的概念，解释无穷小和无穷大的概念。
2. 讲解求函数在某一点的极限的方法：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
三、案例分析（15分钟）1. 通过具体的例子，让学生学会求函数在某一点的极限。
2.让学生尝试解决一些求极限的问题，并及时给予指导和解答。
四、无穷小和无穷大的比较（10分钟）1. 讲解无穷小比较和无穷大比较的方法。
高中数学求极限的问题教案
教学内容：求极限
教学目标：
1. 了解极限的概念，掌握求极限的一般方法；
2. 能够熟练运用求极限的方法解决各种数学问题；
3. 训练学生的分析和解决问题的能力。
教学重点：
1. 极限的概念；
2. 求极限的方法；
3. 求解各种类型的极限问题。
教学难点：
1. 对不同类型的极限问题进行适当的转化和处理；
2. 培养学生对极限问题进行分析和推理的能力。
教学准备：
1. 教师准备课件或黑板、彩色粉笔等教学工具；
2. 学生准备笔记、作业纸等学习用品；
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师通过引入一些实际问题或数学问题，让学生了解极限的概念和重要性。
二、概念解释（10分钟）
教师向学生解释极限的概念，包括函数极限、无穷极限等，并举例说明。
三、求极限的方法（15分钟）
教师讲解求极限的一般方法，包括代数运算、夹逼定理、洛必达法则等，并通过示例讲解具体应用方法。
四、练习与探讨（20分钟）
教师布置练习题，让学生自主完成，并在课堂上讨论解题方法和答案，引导学生思考和探讨。
五、拓展延伸（10分钟）
教师引导学生思考和探讨更复杂的极限问题，并鼓励学生运用所学知识解决新问题。
六、总结与作业（5分钟）
教师总结本节课的重点和难点，布置作业，供学生巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对极限的概念和求解方法有了更深入的理解，提高了分析和解决问题的能力。
但在教学中可以加强实例的讲解和引导学生实际运用所学知识解决问题的能力。
城东蜊市阳光实验学校乐安一中高三数学教案07极限【同步教育信息】 一.教学内容： 极限 【例题分析】例1.如图，圆O 1是边长为a 的正∆ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、AC 相切，圆O 3与圆O 2外切，且与AB 、AC 相切，如此无限继续，求所有圆面积之和S 。
解：设∆AB C i i 的边长为a i ，那么a a a a a a n n 1211313===+，，设⊙O i 的半径为r i 例2.设f x x x x x n ()()-=+++≠1012……，，设f x ()中x 的系数为S n ，x 3的系数为T n ，求limn T S n n n →∞-24。
解：设x t -=1，那么x t =+1即f x x x x n ()()()()=++++++1112……x 的系数S C nn =+12x 3的系数T C n n =+14例3.{}a n 为等差数列，a S n 11=，是它的前n 项之和；{}b n 是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n 是它的前n 项之和，假设a b S T n T n 3252269==-→∞=，，lim ，求数列{}a n 和{}b n 的通项公式。
解：设{}a n 的公差为d ， a S n n n d n 1112=∴=+-，()设{}b n 的首项为b 1，公比为q ，那么q <1，T b q qn n =--111()lim n T bqn →∞=∴-=9191，，即b q 1911=-<>()又 S T d b q q52122651021163=-∴+=⋅---<>，()把<1>代入<2>整理得：299142dq q =--<> 把<1>代入<3>整理得：1071852d q =-<>把<4>代入<5>整理得：91540432qq q -+=⇒=例4.在直角三角形ABC 中，AB a =，∠=∠=︒A C θ，90，排列着无限多个正方形〔如图〕，其面积依次为S S S 123，，，……试将这些正方形的面积之和S 用a 和θ表示，假设S 为直角三角形ABC 面积的12，试确定θ的值。
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限值。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大数据。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，极限的表示方法。
2. 极限的性质：极限的保号性、极限的传递性、极限的唯一性。
3. 无穷小和无穷大：无穷小的概念，无穷大的概念，比较无穷小和无穷大数据。
4. 极限的运算法则：极限的四则运算法则，极限的复合函数运算法则。
5. 极限在数学分析中的应用：极限在求解函数极值、导数、积分等方面的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，无穷小和无穷大的概念。
2. 难点：极限的运算法则，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考问题来理解极限的概念和性质。
2. 通过实例讲解，让学生掌握求函数在某一点的极限值的方法。
3. 利用数学软件或图形计算器，动态展示极限过程，帮助学生直观理解极限概念。
4. 开展小组讨论，让学生在合作中探讨极限的运算法则和应用。
五、教学安排1课时：介绍极限的概念和表示方法；1课时：讲解无穷小和无穷大的概念；1课时：讲解极限的性质；1课时：讲解极限的运算法则；1课时：讲解极限在数学分析中的应用。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的极限题目，检测学生对极限概念和性质的理解。
2. 课后作业：布置求函数在某一点的极限值和应用极限解决实际问题的题目。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和教学内容。
2. 针对学生的疑难问题，进行解答和讲解。
3. 探索更多有效的教学资源，如数学软件、图形计算器等，以提高教学效果。
八、拓展与提高1. 极限在数学分析中的其他应用：如微分、积分等。
2. 极限在实际问题中的应用：如物理学、工程学等领域的应用。
2019-2020学年高中数学 第63讲 极限竞赛教案相关知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i mB A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B Ab a nn n 5 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ,B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,nx x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用6 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，lim x x →f (x )存在，且lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.7.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. 8 函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 9 最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1). 10 最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2). 11.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 .A 类例题例1 （1）nn aa )1(lim -∞→等于( ) A.－1B.0C.1D.不能确定分析 因为当|a a -1|＜1即a ＜21时，n n aa )1(lim -∞→=0， 当|a a -1|＞1时，nn aa )1(lim -∞→不存在. 当aa -1=1即a =21时，n n a a )1(lim -∞→=1 当a a -1=－1时，nn aa )1(lim -∞→也不存在. 答案 D.例2 已知|a |＞|b |，且n n n n n n n n ab a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( )A.a ＜－1B.－1＜a ＜0C.a ＞1D.a ＞1或－1＜a ＜0分析 左边=aa b a a b a n n n n n n 1])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→ 右边=a ab a a b a nn n n n n =+=+∞→+∞→])([lim lim 1 ∵|a |＞|b |，∴|ab |＜1. ∴∞→n lim (a b )n=0∴不等式变为a1＜a ，解不等式得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：D.说明 在数列极限中，极限∞→n lim q n=0要注意这里|q |＜1.这个极限很重要.例3 (1)24lim 22--→x x x . (2)201213lim 2+--∞→x x x x(1)分析 先因式分解法，然后约分代入即得结果。
解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim 2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x .(2)分析 分子、分母同除x 的最高次幂.解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x 例4 4228lim 24---→x x x .分析 进行分子有理化.解：)228)(4()22(8lim 4228lim 222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x情景再现1 已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312l i m 111(）= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 2 2lim 232-++→x b ax x x =8，试确定a ，b 的值. B 类习题例5 已知下列极限，求a 与b .(1)0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x(2)0)1(lim 2=--+-∞→b ax x x x(3)11lim2=-++∞→x ba x x 分析 此题属于已知x 趋向于x 0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x =x 0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x 不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x =1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a ，b 的值.解 (1)1)1()()1(lim)11(lim 22+-++--=--++∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x xx b b a x a x 111)()1(lim+-++--=∞→1° 如果1－a ≠0， ∵01lim ,01lim=-=∞→∞→xb x x x∴xx bb a x a x 111)()1(lim+-++--∞→不存在.2° 如果 1－a =0，∵010)(111)()1(lim+++-=+-++--∞→b a xx bb a x a x=－(a +b )=0 即a +b =0∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a解：(2))1(lim 2b ax x x x --+-∞→01111)21()1(lim1)1()21()1(lim1)(1lim11)(1(lim2222222222222=+++--++--=+++--++--=+++-+-+-=+++-+++---+-=∞→∞→∞→∞→xb a x x x b ab x a bax x x b x ab x a bax x x b ax x x b ax x x b ax x x b ax x x x x x x要使极限存在1－a 2=0.∴01)21(1111)21()1(lim222=++-=+++--++--∞→a ab xba x x xb ab x a x 即1+2ab =0，a +1≠0.∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=-21101021012b a a ab a解：(3)))(1())((lim 1lim2121b a x x b a x b a x x b a x x x -+--+++=-++→→))(1)(1(lim))(1(lim 21221b a x x x ba xb a x x b a x x x -+-+-+=-+--+=→→当x →1时))(1)(1(2b a x x x b a x -+-+-+极限存在，则分子、分母必有公因式x －1.∴a －b 2=－1∴原式=1)1(21))(1(1lim1=-+=-++→b a b a x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-4116151)1(2112b a b a b a例6已知 f (x )=⎩⎨⎧>+≤-2323222x a x x x 求a ，使2lim →x f (x )存在.解：要使2lim →x f (x )存在，则-→2lim x f (x )与+→2lim x f (x )要存在且相等. -→2lim x f (x )= -→2lim x (2x 2－3)=2·22－3=5.+→2lim x f (x )= +→2lim x (3x 2+a )=3·22+a =12+a .∴5=12+a .∴a =－7例7设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0( )0( 12x x xbx a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值.分析：要使f (x )在x =0处连续，就要使f (x )在x =0处的左、右极限存在，并且相等，等于f (x )在x =0处的值a .解：-→0lim x f (x )=xbx -→0lim ·(x +1－1) 211lim )11()11(lim )11()11)(11(lim000b x b x x x b x x x x b x x x =++=++-+=++++-+=---→→→+→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b情景再现3 求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）xx x 0lim → （3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩4 求1122+-→++n n n n n aa C 类习题例8 设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n解 (1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b=－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b b a b b (n ≥2)代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b b b b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b b a b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S b b b 时说明 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力 解答本题的关键点是分析透题目中的条件间的相互关系 技巧与方法是 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律例9 已知数列｛a n ｝满足条件：a 1=1，a 2=r （r ＞0）且｛a n ·a n +1｝是公比为q （q ＞0）的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n （n =1，2，…）（Ⅰ）求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +2（n ∈N *）成立的q 的取值范围；（Ⅱ）求b n 和nn S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；（Ⅲ）设r =219．2－1，q =21，求数列｛nn b b 212log log +｝的最大项和最小项的值. 解：（Ⅰ）由题意得rq n －1+rq n＞rq n +1由题设r ＞0，q ＞0，故上式q 2－q －1＜0所以251251+<<-q ，由于q ＞0，故0＜q ＜251+ （Ⅱ）因为q a a a a a a nn n n n n ==++++2121所以nn n n n n n n n n a a qa q a a a a ab b 21221221222121++=++=---+++=q ≠0 b 1=1+r ≠0，所以｛b n ｝是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =（1+r ）q n －1当q =1时，S n =n （1+r ）0)1(1lim 1lim =+=∞→∞→r n S n nn 当0＜q ＜1时，S n =q q r n --+1)1)(1(r qq r q S n n n n +-=-+-=∞→∞→11)1)(1(1lim 1lim 当q ＞1时，S n =1)1)(1(--+q q r n 01lim =∞→n n S综上所述 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-=∞→)1( 0)10( 111lim q q rqS n n （Ⅲ）由（Ⅱ）知b n =（1+r ）qn －1q n r qn r q r q r b b c n n n n n 2222122212log )1()1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log -++++=++==-+ 2.2011-+=n从上式可知当n －20.2＞0时n ≥21（n ∈N ）时，c n 随n 的增大而减小，故 1＜c n ＜c 21=1+8.0112.20211+=-=2.25①当n －20.2＜0，即n ≤20（n ∈N ）时，c n 也随着n 的增大而减小，故 1＞c n ＞c 20=1+42.0112.20201-=-=-②综合①、②两式知对任意的自然数n 有c 20≤c n ≤c 21故｛c n ｝的最大项c 21=2.25，最小项c 20＝－4．例10 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象的顶点坐标是2)3(),41,23(=-f 且 （Ⅰ）求)(x f y =的表达式，并求出f （1）、f （2）的值；（Ⅱ）数列{a n }，{b n }，若对任意的实数x 都满足*1,)()(N n x b x a x f x g n n n ∈=++⋅+，其中)(x g 是定义在实数R 上的一个函数，求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设圆222)()(:n n n n r b y a x C =-+-，若圆C n 与圆C n+1外切，{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 是前n 个圆的面积之和，求),lim2*∞→∈N n r S nnn （. 解：（I ）由已知得241)233()3(,0,41)23()(22=--=∴≠--=a f a x a x f 1=∴a0)2(,0)1(,23)(2==∈+-=∴f f Rx x x x f（II ）11)1()1(1=+=++⋅+n n n n n b a b a f g 即 ① 112222)2()2(++=+=++⋅n n n n n n b a b a f g 即 ②由①②得,22,1211++-=-=n n n n b a（III ）1221212122)22()22(||++++++⋅=-+-=n n n n n n n C C ，设数列{r n }的公比为q ，则111122)1(22||)1(++++⋅=+⋅==+=+n n n n n n n n q r C C q r r r 即222)1(121=∴⋅=+∴+++nn n n r r q r nn n n r r 49823221⋅=∴⋅=∴+)14(273241)41(498)(2232221-=--⋅=++++=nn nn r r r r S πππ=⋅-=∞→∞→n nn n nn r S 498)14(2732lim lim 2π34982732ππ= 情景再现5在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列(1)求数列{a n }的通项公式； (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n6 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nn b S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n本章习题1．已知数列)(lim ,131}{242n n n n n a a a a S a +++-=∞→ 那么满足的值为（ ）A ．21B ．32 C ．1D ．－22．设数列{}{}n n b a 和的通项公式为nn nn b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2131和()*∈N n ,它们的前n 项和依次为n n B A 和,则=∞→n n n B Alim ( )21.A 23.B 32.C 31.D3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5． ])21()31[(lim 320+-+→xx x x 6．36221)1(lim+++∞→n n n n7．xx m nx sin sin lim 0→ (m ，n 为自然数)8．求3924lim-+-+→x x x9.计算xxx r r +-∞→11lim (r ＞0)10． 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 、n S 等差中项为1． （1）写出1a 、2a 、3a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（3）设n n S S S T +++= 21，求nT nn 3lim ∞→的值．11． 设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值 (a 为非零常数)12．已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值参考答案情景再现答案1解 由题意得：d 2log log log 2222242++=,求得d=1,则n n a n =-+=-1)1(1)1(log 212,21-==-∴n n n n a a 即又由n n n n n a a 21221111=-=-++所以n n n a a a a a a 212121111212312+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+-+-+=n n 211211)211(21-=--⋅所以.1)211(lim )111(lim 12312=-=-+⋅⋅⋅+-+-∞→+∞→n n n n n a a a a a a 故选C 。
