极限知识点(2020年10月整理).pdf

2020年考研高数知识点：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。

第一，极限的定义。

理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。

第二，极限的性质。

性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。

第三，极限的计算。

这个部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。

首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。

其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。

极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。

当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。

例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。

因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。

1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。

对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。

这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。

这就是极限的基本定义形式。

1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。

以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。

也就是说，一个数列只能有一个极限。

类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。

2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。

3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。

这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。

4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。

函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。

具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。

换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。

这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。

2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。

左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。

当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。

3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。

具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。

类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。

4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。

比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。

因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。

二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。

极限与连续一 知识点 1 极限1） 定义：lim n n a A →∞=⇔________________________________________________lim ()x f x A →∞=⇔_______________________________________________lim ()x x f x A →=⇔_______________________________________________2）存在性判定：左右极限：0lim ()x x f x A →=⇔____________________________________________夹逼TH ：____________________________________________单调有界TH ：____________________________________________ 3） 极限的性质：唯一性：____________________________________________ 局部有界性：____________________________________________ 局部保号性：____________________________________________ 4）极限的计算方法与技巧四则运算：____________________________________________复合函数的极限：0lim (())(lim ())x x x x f x f x ϕϕ→→=的条件：_______________等价量替换：（记忆常用替换公式）L Hospital 法则：____________________________________________ 利用重要极限（记忆重要极限及变式） 利用夹逼TH积分法一些技巧：通分、有理化、分子分母同除一个量、提因式、利用对数恒等式将指数拿下来）5）无穷小量()(1)f x ο=⇔____________________________________________ ()(())f x g x ο=⇔____________________________________________()f x 与()g x 同阶⇔____________________________________________()()f x g x ⇔:____________________________________________无穷小量的性质：___________________________________________ 2 连续 1）定义0()f x x ⇔在处连续_______________________ 2） 连续的判别左、右极限与0()f x 的关系：___________________________ 初等函数的连续性：_____________________________________ 复合函数的连续性判别：_____________________________________ 反函数与原函数连续性的关系：__________________________________ 3）间断点的判别：利用左、右极限与0()f x 的关系 4）连续函数的性质()[,]f x C a b ∈⇒ 最值TH ：_____________________________________ 介值TH ：_____________________________________ 零点存在TH ：___________________________________二 题型 1 算法1）lim(n n →∞+=__________2）222111lim(1)(1)(1)23n n →∞---=L __________3）21212lim()1x x x x x x→---+=++__________4）1x →=__________5）设n 为正整数，(ln )(cos),(1)2nxx x πο=→；41)((ln )),(1)n x x ο=→，则n =_____________6）若：2(2)2(1)(1),(1)xx a x b x x --+-→:，则,a b 为_________7）若：3221lim()01x x x ax b x →∞-+--=-，则,a b 为_________ 若：212lim31x x ax bx →-++=+，则,a b 为_________ 8）2012lim 31xx x x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭ _________；01lim 1sin x x x →⎛+= ⎝⎭________2 判别极限存在性、连续性、间断1）设sin ,0()2,0axx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，0lim ()x f x →存在，则a = _________2）设,0a b >，且1sin ,0()2,0(1),0x axx x f x x bx x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在R 上连续，则,a b 为_________3）设,0;,1a b a b >≠，,0()0,0x xa b x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，判断0x =的类型 _________4）找出间断点，并判别类型()lim tx x tx x t e e f x e e -→+∞-=-； ()lim(1)arctan nn f x x x →∞=-3 证明1）设{}n x 满足：102x <<，1n x +=lim n n x →∞存在，并求值2）已知：[2],0()1,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，判别lim ()x f x →∞，0lim ()x f x →的存在性3）设()[0,1],(0)(1)f x C f f ∈=，证明：01[0,]2x ∃∈，使001()()2f x f x =+ 三 练习1 判别下列极限的存在性 1011)lim1x xe→+，2)lim 12x x→∞+2求11sin ,0()011,1ln x x x f x x x x x ⎧<⎪=≤≤-⎪>⎪⎩的间断点，并判别类型3计算：lim n →∞++=L __________ 4 设sin ()tan xf x xex =，则()f x 是____________（A 无界函数，B 单调函数，C 在x →∞下的无穷大量）5设()sin f x x =，2(())1f x x ϕ=-，则()x ϕ=___________，定义域为___________ 6 sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在哪个区间内有界A （-1，0）B （0，1）C （1，2）D （0，2）7设()232xxf x =+-，则当设0x →时，()f x 与x 的关系是___________（同阶，高阶，等价）8 10lim()x xx x e →+=__________； 1lim()xx x →∞+=__________9 limn →∞= __________10 下列各式正确的是A 01lim (1)1xx x+→+=， B 01lim(1)xx e x+→+=， C 1lim(1)xx e x→∞-=-， D 1lim(1)xx e x-→∞+=11设2,1,n n n nx n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则当n →∞时，n x 是A 无穷大量，B 无穷小量，C 有界量，D 无界量12 limn →∞=__________13 曲线2121()arctan (1)(2)x x xf x e x x ++=+-的渐进线条数为__________14 21lim ln(1)x x x x →∞⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦__________15 设0a ≠，2201lim ()ln(1)x a a ax x x →⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦__________16 21lim tann n n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭__________ 17设()(0,1)xf x a a a =>≠，则21lim[(1)(2)()]n f f f n n →∞=L __________ 18 设()()()x f x g x ϕ≤≤，且lim[()()]0x x g x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞A 存在且为0，B 存在但不一定为0，C 不存在，D 不一定存在19 设12a ≠，则21limln (12)nn n na n a →∞⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭__________ 20设111()sin (1)f x x x x πππ=+--，判别间断点1x =的类型__________21 []20lim 1ln(1)xx x →++=__________22 若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则,a b =__________23 22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________； 22lim sin 1x x x x →∞=+ 24 设()f x 有连续的导数，且(0)f b '=，()sin ,0(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续，则(0)f =__________；A=__________ 25设21()lim1nn xf x x →∞+=+，判断其间断点的类型26 设()[,]f x C a b '∈，且()0,()0f a f b ''><，则下列结论错误的是 A 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f a > B 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f b > C 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x '= D 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x =四 练习答案1 均不存在；2 0x =第二类，1x =跳跃；3 1；4 A ；5 2arcsin(1)x -，；6 A ；7 同阶；8 2,1e ；9 2；10 A ；11 D ；122；13 B ；14 12 ；15 22a ；16 13e ；17 ln 2a；18D ； 19112a -；20 可去间断点；21 2e ；22 1,4a b ==-；23 4,23；24 0，b+a ；25 1x =跳跃；26 D。

有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。

如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。

1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。

当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。

这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。

1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。

一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。

我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。

这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。

2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。

当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。

这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。

2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。

这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。

机械密封常用材料的极限pV值
机械密封常用材料的极限pV值
注：表中元素的百分含量皆指质量分数。

不同材料摩擦副
密封环材料
pv极限值/MPa·m·s－1备注
动环静环
材料硬度
(HS)
材料硬度
碳石墨60～105 镍护层
(131～183）
HBS
3.503
比陶瓷更耐热冲击
陶瓷(Al2O385％) 87HRC 不如镍护层耐热冲击，但耐蚀性好得多
陶瓷
(Al2O399％）
87HRC 耐蚀性优于(Al2O385％) 的陶瓷
碳化钨
(Co6%）
92HRC
17.515
填充青铜的碳石墨极限pv值为14.73
碳化钨
(Ni6%)
可以镀镍改善耐蚀性
碳上渗碳化硅90HR15T 良好的耐磨性。

碳化硅层很薄。

可以相互研磨碳化硅
86～
88HR45N
比碳化钨耐蚀性好，但耐热冲击性差
相同材料摩擦副
密封环材料硬度
碳石墨（60～105）HS 1，751 pv值低，但能很好地防止表面气泡
陶瓷87HRC 0.350 适宜用于密封染料
碳化钨92HRC 4.204 采用更好的胶粘剂pv值可达6.481
碳上渗碳化硅90HR15T
17.515 极好的耐磨粒磨损性能，比碳化硅便宜
碳化硅86～88HR45N 极好的耐磨粒磨损性能，良好的耐蚀性，中等的耐热冲击性
碳化硼 2 800努氏硬度极好的耐蚀性。

价格昂贵
1。

数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。

极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。

所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。

下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。

一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。

在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。

比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。

在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。

此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。

2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。

在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。

比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。

在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。

此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。

3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。

在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。

无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。

在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。

此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。

二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。

函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。

在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。

如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。

这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。

根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。

2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。

3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。

函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。

二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。

例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。

2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。

例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。

3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。

夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。

高等数学第一章小结1. 当遇到的题目时，要先从x的定义域出发求出第一个f(x)的值域，之后再将这个值域作为下一个函数的定义域“输入”进去。

2. 当遇到多个分段函数再互相复合的时候，要注意分段讨论。

3. 已知后求时，就是将中所有原封不动地换成，包括定义域中的，然后再化简即可。

4. 对于抽象的选择题可以考虑使用特殊值排除法。

5. 函数在和处均无界，主要看在处是否有界。

6. 在使用极限的四则运算法则时，一定要注意各极限值是否存在，这是它的前提条件，如果不满足各极限值都存在的基本条件的话，是不可以使用极限的四则运算的。

7. 函数无界不一定是无穷大，但无穷大一定是无界，因为有一种情况是函数一边振荡一边放大。

8. 变上限积分函数我们往往由于思维惯性认定上限总是大于下限的值，事实上也可以小于下限。

9. 的等价无穷小是,记住这一个在一些题中可以事半功倍。

10. 当变量出现在了指数位置上的时候，一般情况下就是要使用重要极限了，，，简单记忆就是1的无穷次方就是e，注意x的位置可以由任何趋于0的东西替换，但要保证都一样。

11. 已知一个复杂极限等于某个数，然后求另一个复杂极限的值，可以考虑通过极限的四则运算法则（要注意前提条件），使用凑极限的方法凑出另一个极限，在这个过程中可能要用到无穷小替换的知识，的等价无穷小是。

12. 求函数在某点的极限时要注意分别求其左右极限，若左右极限不相等则极限不存在。

13. 当使用重要极限不容易求得极限值时，可以使用“幂抬起”的做法，即来尝试解决。

14. 当题目给出一个含参极限等于某个数，让我们求其中的参数值时，例如，求a和b，我们就使用常规方法，将极限形式化为，因为极限存在，所以分子和分母应该最高次数相同（抓大头公式，x趋向于无穷），故，然后b也可以算出。

15. 抓大头公式只有在分子分母都趋于无穷大时才能使用，都趋于0时不能使用，这也是我们经常出现的一个错误。

16. 极限要先判断是否存在，再计算具体值，当一个极限存在时，说明它的分子分母极限都存在，进而可以再将分子分母都转化成每一项的极限都存在的形式，这种方法在求极限中多个参数值的时候非常有用。

极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。

数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。

对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。

1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。

在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。

二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。

这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。

2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。

在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。

2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。

这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。

2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。

函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。

这种趋向的性质称为函数的极限。

在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。

例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。

这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。

现在，我们来正式介绍函数极限的定义。

定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。

那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。

1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。

这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。

1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。

考研数学极限知识点总结一、数列极限1. 数列的概念数列是由一列数按照一定的规律排列组成的数集，用{an}或an来表示。

其中，an为数列的第n个元素。

2. 数列极限的定义对于一个数列{an}，如果存在一个常数a，当n趋于无穷大时，数列的元素an无限地接近于a，那么称a为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=a。

即对于任意正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an−a|<ε。

3. 数列极限存在的判别法（1）夹逼定理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=a，那么必有lim(n→∞)bn=a。

（2）单调有界准则：如果数列{an}单调增加且有上界（或单调减少且有下界），那么该数列收敛。

4. 收敛数列的性质（1）收敛数列的极限唯一。

（2）收敛数列的有界性：收敛数列必有界，即存在正数M，使得|an|≤M。

（3）子数列的极限：如果数列{an}的极限为a，那么{an}的任意子数列也收敛且极限为a。

5. 重要极限（1）正整数幂极限：l im(n→∞)(1+1/n)n=e。

（2）调和数列极限：lim(n→∞)1/nlnn=0。

（3）几何数列极限：当−1<l<1时，lim(n→∞)ln=0。

二、函数极限1. 函数极限的概念设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称当x趋于x0时，函数f(x)的极限为A，记作lim(x→x0)f(x)=A。

2. 函数极限性质（1）函数极限的唯一性：如果lim(x→x0)f(x)存在，则其极限唯一。

（2）两函数之和的极限：lim(x→x0)(f(x)+g(x))=lim(x→x0)f(x)+lim(x→x0)g(x)。

（3）函数与常数的乘积的极限：lim(x→x0)c⋅f(x)=c⋅lim(x→x0)f(x)。

高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。

1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。

比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。

这个位置通常用自然数n表示，称为项数。

1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。

极限通过记号lim(an)=A来表示。

1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。

1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。

1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。

1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。

1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。

1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。

1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。

二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。

2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。

函数极限总结一．极限的产生极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。

极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。

但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。

从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。

[1]二．极限知识点总结1. 极限定义函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式时，对应的函数值 都满足不等式：那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。

[2]单侧极限：✍.左极限：或 ✍.右极限：或 定理：函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相δ<<|x -x |00ε<-|)(|A x f Ax f xx =→)(lim 0A x f xx =-→)(lim )()(左→→x A x f A x f xx =+→)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔=+-→)()()(lim 0)(x f 0x x →等 即。

2. 极限概念函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。

时的极限。

函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。

数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。

具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。

1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。

特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。

1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。

其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。

1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。

二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。

具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。

通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。

大一高数极限知识点归纳一、定义和基本性质高等数学中的极限是一种重要的数学概念，其定义如下：设函数 f(x) 在某一点 a 的某一邻域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，无论它多么小，总存在正数δ，当0 < |x - a| < δ 时，使得 |f(x) - L| < ε 成立，则称函数 f(x) 当 x 趋于 a 时的极限为 L，记作lim(x→a) f(x) = L。

极限具有以下基本性质：1. 唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。

2. 局部有界性：若函数在某一点的邻域内有极限，则函数在该点的某一邻域内有界。

3. 夹逼定理：如果函数 f(x) 在点 a 的某一邻域内，除点 a 外的其他点的函数值都被两个函数 g(x) 和 h(x) 夹住，即g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则函数 f(x) 在点 a 处的极限也存在，且等于 L。

二、常见极限公式1. 基本极限公式：- 常值函数极限：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。

- 自变量 x 的幂函数极限：lim(x→a) x^n = a^n，其中 n 为正整数。

- 指数函数极限：lim(x→a) a^x = a^a，其中 a 为正实数。

- 对数函数极限：lim(x→a) logₐ x = logₐ a，其中 a 为正实数，且a ≠ 1。

2. 三角函数极限公式：- 正弦函数极限：lim(x→0) sinx = 0。

- 余弦函数极限：lim(x→0) cosx = 1。

- 正切函数极限：lim(x→0) tanx = 0。

- 余切函数极限：lim(x→0) cotx = ∞。

3. 指数函数与对数函数极限公式：- 自然对数函数极限：lim(x→0) ln(1+x) = 0。

- 指数函数极限：lim(x→0) (a^x - 1) / x = ln a，其中 a 为正实数，且a ≠ 1。

回归课本极限一．考试内容：教学归纳法.数学归纳法应用. 数列的极限.函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.二．考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.三．基础知识:1.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限（1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.5.两个重要的极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=…).6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).四．基本方法和数学思想1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。