2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题(解答题)

2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题一、三角1． 已知函数f (x )=32sin x cos x －2cos 2x +1. (Ⅰ) 求f (π125)； (Ⅱ) 求函数f (x )图象的对称轴方程. 解： (Ⅰ)因为f (x ) ＝3sin2x －cos2x＝ 2sin(2x －6π) , 所以f (π125) ＝ 2sin 32π＝3. ……………………(7分)(Ⅱ) 令2x －6π= k π＋2π(k ∈Z ), 得x=32ππ+k , 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x=32ππ+k (k ∈Z ). ……………(14分)2．已知函数(Ⅰ)求2()3f π的值; (Ⅱ)求使 1()4f x <成立的x 的取值集合解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π3A =，sin 3sin B C =.（Ⅰ）若a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.（Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a = ………………5分 得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分1sin 3sin 2C C C +=， ………………11分5sin 2C C =，所以tan C =. ………………13分4．已知函数1sin 2()cos xf x x-=.(1)求()f x 的定义域；(2)设α是第二象限的角，且tan α=34-，求()f α的值.二、数列1.在等比数列{}n a 中，已知126a a +=，2312a a +=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且22b a =，44b a =，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知116a a q +=，21112a q a q +=， …………………2分 两式相除，得2q =. …………………4分 所以12a =， …………………6分 所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. …………………7分 （Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则14b d +=，1316b d +=， …………………9分 解得12b =-，6d =， …………………11分1234100123499100()()()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- ………………12分50300d =-=-. …………………13分2．数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =. （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d =又32a =，得10a =，所以 1n a n =----------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11()3n n b n -=+，所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+111()(1)33(1)3.22213nn n n n n n S --+-+=+=+---------------------14分三、概率统计1．育新中学的高二、一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.解：（Ⅰ）416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115………………2分 设有x 名男同学，则45604x=，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1…………4分 （Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有12131212323132(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==………………………8分 （Ⅲ）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 2221(6871)(7471)45s -+-==，2222(6971)(7471) 3.25s -+-==∴第二同学的实验更稳定………………………12分2． 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．四、立体几何1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，2AB =，60BAD ∠=，M 是PD 的中点． (Ⅰ)求证： OM ∥平面PAB ； (Ⅱ)平面PBD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)当三棱锥C PBD -的体积等于2时，求PA 的长． 证明：（Ⅰ）因为在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，所以OM ∥PB ．又OM ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以OM ∥平面PAB ． ……………………5分 (Ⅱ)因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又AC PA A =，所以BD ⊥平面PAC ．又BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． ……………………10分 （Ⅲ）因为底面ABCD 是菱形，且2AB =，60BAD ∠=，所以BCD S ∆=又C PBD P BCD V V --=，三棱锥P BCD -的高为PA ，所以13PA = 解得32PA =． ……………………14分 2. 已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥'C ABDE -（如图）.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面'BC D ； （Ⅱ）设平面'C DE平面'ABC l =，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若'C D BD ⊥，2AB =，3BD =，F 为棱'BC 上一点，设'BFFC λ=，当λ为何值时，三棱锥'C ADF -的体积是1？证明：（Ⅰ）∵∠B =90o，D ，E 分别为BC ，AC 的中点∴DE ∥AB ……………1分 ∴'C D DE ⊥，BD DE ⊥ ……………3分 又∵'C DBD D = ……………4分∴DE ⊥平面'BC D ……………5分ABEDCC'DEFBA（Ⅱ）∵DE ∥AB ，DE ⊂面'C DE ， AB ⊄面'C DE ，∴AB ∥面'C DE ， ……………7分 又∵AB ⊂面'ABC ，面'ABC 面'C DE l = ……………9分∴ AB ∥l ……………10分（Ⅲ）∵'C D BD ⊥，'C D DE ⊥，EDBD D =，∴'C D ⊥平面BDE ． ∵''1C DF BDF S C F S FB λ∆∆==∴''11C DF BC D S S λ∆∆=+ ……………11分 又因为BD =3，AB =2，'1C ADF V -=， ∴''''1111'1113C ADF A C DF A C DB C ADB ADB V V V V C DS λλλ----∆====+++ 311λ==+ ……………13分 解得2λ=． ……………14分3．如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由. 解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ，又GB GF =，所以//2AF GD .因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形，所以//CD EG因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC 所以//EG 平面ABC .（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC 平面ACEF =AC ，且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ， 所以AF AB ⊥，AF BC ⊥因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .ABEDCC'DEFBA如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量. 设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则 0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,220.y z x z +=⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1cos ,3||||BC BC BC ⋅<>==n n n ，由题知二面角E BF A --为钝角，所以二面角E BF A --的余弦值为13-.（Ⅲ）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ⋅=-=-≠，所以BF 与AE 不垂直,所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG .4．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B （如图（2））在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E —DF —C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论. 解： 法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF .……………………………………………………………………3分 （II ） ∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角……………………4分 ∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角……………………6分 在Rt △EMN 中，EM =1，MN =23 ∴tan ∠MNE =23，cos ∠MNE =721………………………………8分（Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ……………………………………9分证明如下：在线段BC 上取点P 。

数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人． （Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =， 所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，， 设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量 所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==， 又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，． （Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． （Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。

2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题一、三角1． 已知函数f (x )=32sin x cos x －2cos 2x +1. (Ⅰ) 求f (π125)； (Ⅱ) 求函数f (x )图象的对称轴方程. 解： (Ⅰ)因为f (x ) ＝3sin2x －cos2x＝ 2sin(2x －6π) , 所以f (π125) ＝ 2sin 32π＝3. ……………………(7分) (Ⅱ) 令2x －6π= k π＋2π(k ∈Z ), 得 x=32ππ+k , 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x=32ππ+k (k ∈Z ). ……………(14分)2．已知函数(Ⅰ)求2()3f π的值; (Ⅱ)求使 1()4f x <成立的x 的取值集合解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π3A =，sin 3sin B C =.（Ⅰ）若a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.（Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a =， ………………5分得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分（Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分1sin 3sin 2C C C +=， ………………11分5sin 2C C =，所以tan C =. (13)分4．已知函数1sin 2()cos xf x x-=.(1)求()f x 的定义域；(2)设α是第二象限的角，且tan α=34-，求()f α的值.二、数列1.在等比数列{}n a 中，已知126a a +=，2312a a +=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且22b a =，44b a =，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知116a a q +=，21112a q a q +=， …………………2分 两式相除，得2q =. …………………4分 所以12a =， …………………6分 所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. …………………7分 （Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则14b d +=，1316b d +=， …………………9分 解得12b =-，6d =， …………………11分1234100123499100()()()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- ………………12分50300d =-=-. …………………13分2．数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =. （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d =又32a =，得10a =，所以 1n a n =----------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11()3n n b n -=+，所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+111()(1)33(1)3.122213nn n n n n n S --+-+=+=+---------------------14分三、概率统计1．育新中学的高二、一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率； （Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.解：（Ⅰ）416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115………………2分 设有x 名男同学，则45604x=，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1…………4分 （Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有121312123231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a b a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==………………………8分 （Ⅲ）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 2221(6871)(7471)45s -+-==，2222(6971)(7471) 3.25s -+-==∴第二同学的实验更稳定………………………12分2． 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．四、立体几何1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，2AB =，60BAD ∠=，M 是PD 的中点． (Ⅰ)求证： OM ∥平面PAB ； (Ⅱ)平面PBD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)当三棱锥C PBD -的体积等于2时，求PA 的长． 证明：（Ⅰ）因为在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，所以OM ∥PB ．又OM ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以OM∥平面PAB ． ……………………5分(Ⅱ)因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又AC PA A =，所以BD ⊥平面PAC ． 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PAC ． ……………………10分（Ⅲ）因为底面ABCD 是菱形，且2AB =，60BAD ∠=，所以BCD S ∆=又C PBD P BCD V V --=，三棱锥P BCD -的高为PA ，所以132PA =， 解得32PA =． ……………………14分 2. 已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥'C ABDE -（如图）.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面'BC D ； （Ⅱ）设平面'C DE平面'ABC l =，求证：AB ∥l ；（Ⅲ）若'C D BD ⊥，2AB =，3BD =，F 为棱'BC 上一点，设'BFFC λ=，当λ为何值时，三棱锥'C ADF -的体积是1？证明：（Ⅰ）∵∠B =90o，D ，E 分别为BC ，AC 的中点∴DE ∥AB ……………1分 ∴'C D DE ⊥，BD DE ⊥ ……………3分 又∵'C DBD D = ……………4分∴DE ⊥平面'BC D ……………5分（Ⅱ）∵DE ∥AB ，DE ⊂面'C DE ， AB ⊄面'C DE ，∴AB ∥面'C DE ， ……………7分 又∵AB ⊂面'ABC ，面'ABC 面'C DE l = ……………9分∴ AB ∥l ……………10分（Ⅲ）∵'C D BD ⊥，'C D DE ⊥，EDBD D =，∴'C D ⊥平面BDE ．ABEDCC'DEFBAABEDCC'DEFBA∵''1C DF BDF S C F S FB λ∆∆==∴''11C DF BC D S S λ∆∆=+ ……………11分 又因为BD =3，AB =2，'1C ADF V -=， ∴''''1111'1113C ADF A C DF A C DB C ADB ADB V V V V C DS λλλ----∆====+++ 311λ==+ ……………13分 解得2λ=． ……………14分3．如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由. 解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ，又GB GF =，所以//2AF GD .因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形，所以//CD EG因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC 所以//EG 平面ABC .（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC 平面ACEF =AC ，且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ， 所以AF AB ⊥，AF BC ⊥因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量. 设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则 0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,220.y z x z +=⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1cos ,3||||BC BC BC ⋅<>==n n n ，由题知二面角E BF A --为钝角，所以二面角E BF A --的余弦值为13-.（Ⅲ）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ⋅=-=-≠，所以BF 与AE 不垂直,所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG .4．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC沿CD 翻折成直二面角A —DC —B （如图（2））在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E —DF —C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论. 解： 法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF .……………………………………………………………………3分 （II ） ∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角……………………4分 ∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角……………………6分在Rt △EMN 中，EM =1，MN =23 ∴tan ∠MNE =23，cos ∠MNE =721………………………………8分 （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ……………………………………9分证明如下：在线段BC 上取点P 。

2016年北京市东城区高三查缺补漏数学试卷一、选择题1．已知向量=（﹣3，4），向量与方向相反，且=λ，||=1，则实数λ的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．2．若双曲线﹣=1的离心率是椭圆+=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x3．点P （tan2015°，cos2016°）位于的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知函数f （x ）=sin （ϖx+φ）是偶函数，其图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，则（ ）A ．ϖ=2，φ=B ．ϖ=2，φ=πC ．ϖ=，φ=D ．ϖ=，φ=5．函数f （x ）=ln （x+1）﹣的零点所在的大致区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）6．已知O 是△ABC 内一点， ++2=，则△AOB 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1：4 B ．2：3 C ．1：3 D ．1：27．已知函数y=sin ωx （ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin （x+）的图象，则需将函数y=sin ωx 的图象（ ）A ．向右平移B ．向左平移C ．向右平移D ．向左平移8．已知命题（其中l ，m 表示直线，α，β，γ表示平面） （1）若l ⊥m ，l ⊥α，m ⊥β，则α⊥β； （2）若l ⊥m ，l ⊂α，m ⊂β，则α⊥β； （3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； （4）若l ∥m ，l ⊥α，m ⊂β，则α⊥β； 上述命题正确的序号是（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（1）（3）（4） D ．（1）（2）（4）二.填空题9．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，且圆C与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的方程为．10．如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，，则PA= ， = ．11．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、G分别为BC、DC中点，点F为EC中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC为轴旋转一周所得的几何体的体积是．12．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．13．一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P离地面的距离为h（m），P的初始位置在最低点．风车转动的时间为t（min），当t=8（min）时，h= （m）； h与t的函数关系为．三.解答题14．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=．（Ⅰ）求出a的值；（Ⅱ）若g（x）=asinx+cosx，求出函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．15．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC 的中点．（Ⅰ）求证：DM⊥EB；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣A的余弦值．250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．17．已知函数f（x）=ax﹣2lnx．（Ⅰ）当a=1时，函数y=x•f（x）有几个极值点？（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（，e）的解集非空，求实数a的取值范围．18．已知椭圆D与y轴交于上A、下B两点，椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，﹣1），直线y=4是椭圆的一条准线．（Ⅰ）求椭圆D的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A为焦点的抛物线为C，若过点F1的直线与C相交于不同M、N的两点，求线段MN的中点Q的轨迹方程．19．设有穷数列a0，a1，a2，…，a m的各项均为整数，若对每一个k∈{1，2，3，…，m}，均有|a k﹣a k﹣1|=k2，则称数列{a n}为“m阶优数列”．（1）判断数列1，2，﹣2，7，﹣9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；（3）对任意两个整数s，t，是否存在一个“r阶优数列”，其首项为s且末项为t．20．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、P n（x n，y n）（0＜y1＜y2＜…＜y n）是曲线C：y2=3x （y≥0）上的n个点，点A i（a i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A i﹣1A i P i 是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1，a2，a3；（2）求出点A n（a n，0）（n∈N*）的横坐标a n关于n的表达式；（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．2016年北京市东城区高三查缺补漏数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知向量=（﹣3，4），向量与方向相反，且=λ，||=1，则实数λ的值为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】相等向量与相反向量．【分析】求出，利用||=1，求解即可．【解答】解：向量=（﹣3，4），向量与方向相反，且=λ=（﹣3λ，4λ），λ＜0，||=1，可得： =1，解得．故选：B．2．若双曲线﹣=1的离心率是椭圆+=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆和双曲线的离心率关系，结合双曲线渐近线的方程进行转化求解即可．【解答】解：由椭圆的方程+=1得a2=16，b2=7，则c2=16﹣7=9，即a=4，c=3，则离心率e==，∵双曲线﹣=1的离心率是椭圆+=1的二倍，∴双曲线的离心率e=2×=，即=，则====，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：A．3．点P（tan2015°，cos2016°）位于的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数值的符号．【分析】利用诱导公式可得：tan2015°=tan35°，cos2016°=cos216°，即可判断出结论．【解答】解：∵tan2015°=tan（11×180°+35°）=tan35°＞0，cos2016°=cos=cos216°＜0，∴点P（tan2015°，cos2016°）位于第四象限．故选：D．4．已知函数f（x）=sin（ϖx+φ）是偶函数，其图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，则（）A．ϖ=2，φ=B．ϖ=2，φ=πC．ϖ=，φ= D．ϖ=，φ=【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由题意函数y=sin（ωx+φ）为偶函数，求出φ，通过图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，求出函数的周期，然后求出ω即可．【解答】解：函数y=sin（ωx+φ）为偶函数，所以φ=+kπ（k∈Z），因为函数图象与直线y=1的交点间的最小距离是π，所以函数的周期为：π，所以=π，所以ω=2，故选：A．5．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．6．已知O是△ABC内一点， ++2=，则△AOB的面积与△ABC的面积之比为（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的几何意义可得O为三角形AB边的中线CD的中点，即可得出三角形的面积关系．【解答】解：以OA，OB为邻边作平行四边形OAEB，OE，AB交于点D，则D为OE，AB的中点．∴=2．∵++2=，∴，∴O为CD的中点．∴S△AOB=S ABC．∴=．故选：D．7．已知函数y=sinωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin（x+）的图象，则需将函数y=sinωx的图象（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据图象可知函数y=sinωx的周期，进而求得ω．再根据ω进行图象的伸缩即可．【解答】解：由图可知函数的周期为4π，∴ω==∴要得到函数y=sin（x+）的图象只需将y=sinωx的图象向左平移故选D8．已知命题（其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面）（1）若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；（4）若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β；上述命题正确的序号是（）A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据面面垂直的判定定理以及线面平行，直线垂直的性质分别进行判断即可【解答】解：（1）若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂平面α，若l⊥m，m⊥β，则l∥β或l⊂平面β，∵l⊥m，∴α⊥β成立；故（1）正确，（2）若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β不一定成立；故（2）错误，（3）若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β成立，故（3）正确，；（4）若l∥m，l⊥α，则m⊥α，∵m⊂β，∴α⊥β成立；故（4）正确，故选：C二.填空题9．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，且圆C与直线x+y﹣3=0相切，则圆C的方程为x2+（y﹣1）2=2 ．【考点】圆的标准方程；参数方程化成普通方程．【分析】求出直线（t为参数）与y轴的交点即为圆心C坐标，求出点C到直线x+y﹣3=0的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可．【解答】解：圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，得到圆心C（0，1），∵圆心C（0，1）到直线x+y﹣3=0的距离d==，∴圆C半径r=，则圆C方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．10．如图，PT是⊙O的切线，切点为T，直线PA与⊙O交于A、B两点，∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，，则PA= ， = ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由图形知，线段PA的长度可以用切割线定理建立方程来求，由PT2=PB×PA即可求解；观察发现TE与AD分别在两个三角形PTE与三角形PDA中，而此两个三角形可以证出是相似的，由此可求得．【解答】解：由题意，如图可得PT2=PB×PA又由已知PT=2，，故可得PA=又TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，可得∠TPE=∠APD又由弦切角定理知∠PTE=∠PAD故有△PET≈△PDA故有TE：AD=PT：PA=：2故答案为，11．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、G分别为BC、DC中点，点F为EC中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC为轴旋转一周所得的几何体的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】几何体为圆柱减去一个半球和一个小圆柱后剩余部分，使用作差法求出几何体体积．【解答】解：几何体为大圆柱减去一个半球和一个小圆柱后剩余部分．∵AB=2，BC=4，CF=，CG=，∴大圆柱的底面半径为2，高为4，半球的半径为2，小圆柱的底面半径和高均为1．∴．故答案为：．12．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．13．一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P离地面的距离为h（m），P的初始位置在最低点．风车转动的时间为t（min），当t=8（min）时，h= 14 （m）； h与t的函数关系为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Acos（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，从而得解．【解答】解：由题意，T=12，∴ω=，设h（t）=Acos（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），则，∴A=8，B=10，可得：h （t ）=8cos （t+φ）+10，∵P 的初始位置在最低点，t=0时，有：h （t ）=2，即：8cos φ+10=2，解得：φ=2k π+π，k ∈Z ， ∴φ=π，∴h 与t 的函数关系为：h （t ）=8cos （t+π）+10=10﹣8cost ，（t ≥0），当t=8时，h （8）=10﹣8cos （×8）=14，故答案为：14，（t ≥0）．三.解答题14．已知函数f （x ）=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是x=．（Ⅰ）求出a 的值；（Ⅱ）若g （x ）=asinx+cosx ，求出函数g （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值． 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由已知函数f （x ）的一条对称轴是，可得，利用特殊角的三角函数值即可计算得解a 的值． （Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由，可求，利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f （x ）=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是，所以，所以，所以．（Ⅱ），因为，所以．g （x ）的最大值为，g （x ）的最小值为0．15．如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，EA=DA=AB=2CB ，EA ⊥AB ，M 是EC 的中点．（Ⅰ）求证：DM⊥EB；（Ⅱ）求二面角M﹣BD﹣A的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，借助于数量积为0，从而可证DM ⊥EB；（Ⅱ）先求平面的法向量，利用法向量的夹角，求面面角．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA=DA=AB=2CB=2，则（Ⅰ），，所以，从而得DM⊥EB；（Ⅱ）设是平面BDM的法向量，则由，及，得可以取．显然，为平面ABD的法向量．设二面角M﹣BD﹣A的平面角为θ，则此二面角的余弦值．250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，∴．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．（元）．17．已知函数f（x）=ax﹣2lnx．（Ⅰ）当a=1时，函数y=x•f（x）有几个极值点？（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（，e）的解集非空，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，设F（x）=x•f（x）=x2﹣2xlnx，利用导数法分析函数的单调性，进而可得答案；（Ⅱ）若f（x）≤0对于x∈（，e）的解集非空，则存在使成立．进而得到实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣2lnx，设F（x）=x•f（x）=x2﹣2xlnx，则F'（x）=2x﹣2lnx﹣2=2[（x﹣1）﹣lnx]（x＞0）．令h（x）=x﹣1﹣lnx，则，所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；所以当x=1时h（x）min=h（1）=0，所以当x＞0时F'（x）≥0恒成立，所以函数y=x•f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．（Ⅱ）因为f（x）≤0，即ax﹣2lnx≤0．问题等价于存在使成立．令，则．因为，所以﹣1＜lnx＜1，所以g'（x）＞0在上恒成立，所以g（x）在上单调递增，所以，即，所以．18．已知椭圆D与y轴交于上A、下B两点，椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，﹣1），直线y=4是椭圆的一条准线．（Ⅰ）求椭圆D的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A为焦点的抛物线为C，若过点F1的直线与C相交于不同M、N的两点，求线段MN的中点Q的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的两个焦点，椭圆的一条准线方程．求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程；（Ⅱ）由，化简，设出A（x1，y1），B（x2，y2），推出x1+x2=8k，y1+，y2，得到中点坐标，设中点Q为（x，y），消去参数k，即可求轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，﹣1），直线y=4是椭圆的一条准线．可得c=1，，解得a=2，则b=，椭圆的焦点坐标在y轴上．椭圆的方程；（Ⅱ）由得x2﹣8kx﹣8=0，（这里△≥0恒成立），A（x1，y1），B（x2，y2）由韦达定理，得x1+x2=8k，，所以中点坐标为（4k，4k2+1），设中点Q为（x，y），令，消去参数k，得到x2=4（y﹣1）为所求轨迹方程．19．设有穷数列a0，a1，a2，…，a m的各项均为整数，若对每一个k∈{1，2，3，…，m}，均有|a k﹣a k﹣1|=k2，则称数列{a n}为“m阶优数列”．（1）判断数列1，2，﹣2，7，﹣9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；（3）对任意两个整数s，t，是否存在一个“r阶优数列”，其首项为s且末项为t．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据题目中的定义，判断数列1，2，﹣2，7，﹣9是“4阶优数列”，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；再求出以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）根据新定义，写出满足条件的一个“8阶优数列”；（3）根据新定义，说明对任意两个整数s，t，都存在以s为首项，t为末项的“r阶优数列”．【解答】解：（1）因为|2﹣1|=12，|﹣2﹣2|=22，|7﹣（﹣2）|=32，|﹣9﹣7|=42，所以，数列：1，2，﹣2，7，﹣9是“4阶优数列”；因为10﹣6≠32，所以，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；对a0=1，满足条件的a1都有两种取法，对每一个a1，满足条件的a2都有两种取法，对每一个a2，满足条件的a3都有两种取法，对每一个a3，满足条件的a4都有两种取法，所以，以1为首项的所有“4阶优数列”的个数为16；（2）因为，所以，k∈{1，2，3，…，m}；所以a8﹣a0=（a1﹣a0）+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a8﹣a7）=±12±22±32±…±72±82取2015﹣2015=12﹣22﹣32+42﹣52+62+72﹣82即a1﹣a0=1，a2﹣a1=﹣4，a3﹣a2=﹣9，a4﹣a3=16，a5﹣a4=﹣25，a6﹣a5=36，a7﹣a6=49，a8﹣a7=﹣64，所以a0=2015，a1=2016，a2=2012，a3=2003，a4=2019，a5=1994，a6=2030，a7=2079，a7=2015；或取2015﹣2015=﹣12+22+32﹣42+52﹣62﹣72+82即a1﹣a0=﹣1，a2﹣a1=4，a3﹣a2=9，a4﹣a3=﹣16，a5﹣a4=25，a6﹣a5=﹣36，a7﹣a6=﹣49，a8﹣a7=64，所以a0=2015，a1=2014，a2=2018a3=2027，a4=2011，a5=2036，a6=2000，a7=1951，a7=2015；（3）因为，所以，k∈{1，2，3，…，m}；a m﹣a0=（a1﹣a0）+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a m﹣a m﹣1）=±12±22±32±…±（m﹣1）2±m2因为n2﹣（n+1）2﹣（n+2）2+（n+3）2=4，﹣n2+（n+1）2+（n+2）2﹣（n+3）2=﹣4，所以，当t﹣s=4p（p∈Z）时，取r=|t﹣s|+8，使前8项和取12﹣22﹣32+42﹣52+62+72﹣82=4﹣4=0，后面的|t﹣s|项的和为4p，存在“r阶优数列”；当t﹣s=4p+1（p∈Z），即t﹣s﹣1=4p（p∈Z）时，取r=1+|t﹣s﹣1|，第一项取12，使后面的|t﹣s﹣1|项的和为4p，存在“r阶优数列”；当t﹣s=4p+2（p∈Z），即t﹣s﹣2=4p（p∈Z）时，取r=4+|t﹣s﹣2|，使前4项和取﹣12﹣22﹣32+42=2，使后面的|t﹣s﹣2|项的和为4p，存在“r阶优数列”；当t﹣s=4p+3（p∈Z），即t﹣s+1=4（p+1）（p∈Z）时，取r=1+|t﹣s+1|，第一项取﹣12，使后面的|t﹣s+1|项的和为4（p+1），存在“r阶优数列”；综上，对任意两个整数s，t，都存在以s为首项，t为末项的“r阶优数列”．20．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、P n（x n，y n）（0＜y1＜y2＜…＜y n）是曲线C：y2=3x （y≥0）上的n个点，点A i（a i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A i﹣1A i P i 是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1，a2，a3；（2）求出点A n（a n，0）（n∈N*）的横坐标a n关于n的表达式；（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列递推式；数学归纳法．【分析】（1）由题意可知直线A0P1为y=x，然后与y2=3x联立可得到P1的坐标，再由△A0A1P1是正三角形可得到A1的坐标得到a1的值，同理可得到a2、a3．（2）先根据题意可得到关系，，然后根据y n2=3x n得（a n﹣a n﹣1）2=2（a n﹣1+a n），从而可猜想数列通项公式a n=n（n+1），再由数学归纳法证明即可．（3）先根据（2）中a n的表达式可得到b n的关系式b n=，再由函数的单调性可判断当n=1是b n的最大值，故为使得不等式恒成立只要即可，即只要t2﹣2mt＞0对于∀m∈[﹣1，1]恒成立即可，再由二次函数的性质即可得到t的范围．【解答】解（1）a1=2，a2=6，a3=12；（2）依题意，得，，由此及y n2=3x n得，即（a n﹣a n﹣1）2=2（a n﹣1+a n）．由（1）可猜想：a n=n（n+1）n∈N*下面用数学归纳法予以证明：（1）当n=1时，命题显然成立；（2）假定当n=k时命题成立，即有a n=k（k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（a k+1﹣a k）2=2（a+a k+1）得[a k+1﹣k（k+1）]2=2[k（k+1）+a k+1]，即（a k+1）2﹣2（k2+k+1）a k+1+[k（k﹣1）]•[（k+1）k（k+2）]=0，解之得a k+1=（k+1）（k+2）（a k+1=k（k﹣1）＜a k不合题意，舍去），即当n=k+1时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立．（3）==．令（x≥1），则，所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）取得最小值3，即当n=1时，．（（∀n∈N，∀m∈[﹣1，1]），即t2﹣2mt＞0（∀m∈[﹣1，1]）解之得，实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．。

高三数学查漏补缺题 2016.6说明： 个别题目有难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。

2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。

3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。

4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。

简易逻辑部分 ：1.已知实数a ，直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +++=，则“1a =”是“1l //2l ”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B2.已知曲线C 的方程为221x y a b+=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3.设集合*{},,241n A n n ∈⋯≥=N ，，，若,X A ⊆且2()2Card X n ≤≤-，（Card （X ）表示集合X 中的元素个数）令X a 表示X 中最大数与最小数之和，则 （1）当n=5时，集合X 的个数为 20 （2）所有X a 的平均值为 n+1 解答（2）,对所有的X 进行配对， 当()2Card X =时，令12{,}X x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈，必有/X A ⊆不妨设12x x <，则12X a x x =+，/12121122()X a n x n x n x x =+-++-=+-+.如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。

同理，当()(22)Card X k k n =<≤-时令12{,,...}k X x x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈必有/X A ⊆,不妨设12...k x x x <<<，则1X k a x x =+，/122()k X a n x x =+-+。

数学（文）（北京卷）参考答案第1页（共7页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C（6）B（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）30︒ （10）2 （11）32（12）12 （13）1（14）1629三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===， 所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==． 所以11327d +=，即2d =． 所以21(1,2,)n a n n =-= ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．因此．从而数列的前项和．21n a n =-13n n b -=1213n n n n c a b n -=+=-+{}n c n ()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+数学（文）（北京卷）参考答案第2页（共7页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos 2f x x x x ωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+π)4x ω=+所以()f x 的最小正周期为22T ωωππ==． 依题意，ωπ=π，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，π())4f x x +函数的单调递增区间为（）． 由，得． 所以的单调递增区间为（）．sin y x =2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 222242k x k πππππ-≤+≤+388k x k ππππ-≤≤+()f x 3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z数学（文）（北京卷）参考答案第3页（共7页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率 依次为，，，，． 所以该月用水量不超过立方米的居民占%， 用水量不超过立方米的居民占%． 依题意，至少定为．（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）．0.10.150.20.250.15385245w 340.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10.5=数学（文）（北京卷）参考答案第4页（共7页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC DC ⊥． 又因为DC AC ⊥， 所以DC ⊥平面PAC ． （Ⅱ）因为//AB DC ，DC AC ⊥，所以AB AC ⊥． 因为PC ⊥平面ABCD ， 所以PC AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAC ， 所以平面PAB ⊥平面PAC ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面CEF ．证明如下：取PB 中点F ，连结EF ，CE ，CF ． 又因为E 为AB 的中点， 所以//EF PA ． 又因为PA ⊄平面CEF ， 所以//PA 平面CEF ．PDCBEF数学（文）（北京卷）参考答案第5页（共7页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c = 故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）设00(,)P x y ，其中000,0x y <<，则22004x y +=．又(2,0),(0,1)A B ，所以 直线PA 的方程为． 令，得，从而||BM ． 直线PB 的方程为． 令，得，从而||AN ．所以四边形ABNM 的面积1||||2S AN BM =⋅．从而四边形ABNM 的面积为定值．()0022y y x x =--0x =0022y y x M =--002112y y x MBM =-=+-0011y y x x -=+0y =001x x y N =--00221x x y N AN =-=+-00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=数学（文）（北京卷）参考答案第6页（共7页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）由32()f x x ax bx c =+++得2()32f x x ax b '=++．因为(0)f c =，(0)f b '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx c =+． （Ⅱ）当4a b ==时，32()44f x x x x c =+++，所以2()384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：所以，当且时，存在，， ，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（Ⅲ）当24120a b ∆=-<时，2()320f x x ax b '=++>，(,)x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，2()32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ． 当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增；0c >32027c -<()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++数学（文）（北京卷）参考答案第7页（共7页）当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件． 当4a b ==，0c =时，230a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同的零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此，230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要不充分条件．。

数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 10 页）绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|24}A x x =<<，{|3B x x =<或5}x >，则A B =I（A ）{|25}x x << （B ）{|4x x <或5}x > （C ）{|23}x x << （D ）{|2x x <或5}x >（2）复数12i2i+=- （A ）i （B ）1i + （C ）i -（D ）1i -（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A ）11y x=- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+（D ）2x y -=数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页）（5）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B ）2 （C（D）（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15（B ）25 （C ）825（D ）925（7）已知(2,5),(4,1)A B ．若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（A ）1- （B ）3 （C ）7（D ）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B ）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 10 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市怀柔区高三数学模拟试题答案一、选择题1、答案：C解析：集合 A=｛x|－2＜x＜3}，集合 B=｛x|x＜1}，则A∩B=｛x|－2＜x＜1}，故选 C。

2、答案：A解析：复数 z=（1+i)（2-i)＝3+i，其共轭复数为 3 i，故选 A。

3、答案：B解析：因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(x)＝f(x)。

f(－1)＝f(1)＝（2×1 1)＝－1，故选 B。

4、答案：D解析：根据抛物线的标准方程 y²＝ 2px，焦点坐标为（p/2，0），抛物线 y²＝ 8x 中，2p ＝ 8，p ＝ 4，焦点坐标为（2，0），故选 D。

5、答案：C解析：向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a⊥b，则 a·b ＝ 0，即m 2 ＝ 0，m ＝ 2，故选 C。

6、答案：B解析：由正弦定理 a/sinA ＝ b/sinB 可得，sinB ＝ bsinA/a ＝√3/2，因为 a＜b，所以 B ＝ 60°或 120°，故选 B。

7、答案：A解析：执行程序框图，第一次循环，i ＝ 1，S ＝ 1；第二次循环，i ＝ 2，S ＝ 3；第三次循环，i ＝ 3，S ＝ 6；第四次循环，i ＝ 4，S ＝10；第五次循环，i ＝ 5，S ＝ 15＞10，输出 i ＝ 5，故选 A。

8、答案：C解析：函数 f(x) ＝ sin(2x ＋π/3)的最小正周期 T ＝2π/2 ＝π，将其图象向左平移π/6 个单位，得到 g(x) ＝ sin2(x ＋π/6) ＋π/3 ＝ sin(2x ＋2π/3)，其对称轴方程为 2x ＋2π/3 ＝kπ ＋π/2，k∈Z，解得 x ＝kπ/2π/12，k∈Z，当 k ＝ 0 时，x ＝π/12，故选 C。

9、答案：D解析：若 a＞0，b＞0，且 a ＋ b ＝ 4，则根据均值不等式，ab ≤ （a ＋ b)²/4 ＝ 4，所以 1/a ＋ 1/b ＝（a ＋ b)／（ab) ≥ 4/4 ＝ 1，当且仅当a ＝b ＝ 2 时，等号成立，故选 D。

2018北京市怀柔区高三数学查漏补缺2018.515-1．已知函数2()cos2sin f x x x =-. （I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值. 解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分 （II ）2222()cos2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分15-2．已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-． （Ⅰ）求()3f π=的值；（Ⅱ）求(x)f 的最大值和最小值． 解：（I ）2239()2cossin 4cos 1333344f ππππ=+-=-+=- （II ）解：22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--=23cos 4cos 1x x -- =2273(cos )33x --,x R ∈ 因为cos x ∈[1,1]-，所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值73- 16-1．已知：四棱锥P-ABCD,ABCD PA 平面⊥,底面ABCD 是直角梯形，︒=∠90A ，且AB ∥CD,CD AB 21=, 点F 在线段PC 上运动，(1) 当F 为PC 的中点时，求证：BF ∥平面PAD ； (2) 设λ=||||FC PF ，求当λ为何值时有CD BF ⊥。