2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第九章 统计、统计案例、概率(含两年高考一年模拟)(1)要点

专题概率与统计第1节随机事件的概率、古典概型、几何概型700分综合考点&考法600分基础考点&考法•:•考点68随机事件及其概率•:•考点69古典概型与几何概型考点68随机事件及其概率•:•考法I频率估计概率•:•考法2 求互斥事件.对立事件的概率考点68 随机事件及其概率考法1 频率估计概率事件A 发生的频率是利用频数n,除以试验总次数I 】所得 到的值，且随着试验次数的增多，它在A 的概率附近摆动 幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次 数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用 频率来估计相应事件发生的概率.MB(1：在相同的条件S 下页复“次试验•观察某爭件T 是 弁出现•称以次试验中M 件・4出现的次数X 为M 件.4出现的 皴如称W件人：1：现的比阿/；⑷ 二］■为啷件巾岀现的额率.(2(2)对立寧件:若AHB 为不可能事件..W«为必体字件, 則节件小專件“互为对工W 件，其含义Ah 卒件4勺事件B 在任何•次试枪中冇FI 仅冇个发生.1.频率与概率考法1 频率估计概率考法2 求互斥事件、对立事件的概率1.求简单的互斥事件.对立事件的概率解此类问题，首先应根据互斥爭件和对立爭件的定义分析出所给的两个爭件是互斥 事件，还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算. 2. 求复杂的互斥歩件的概率的方法直接法：第一步•根据题总将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和^第二步， 利用宵典概型或相互独立事件的概率计算公式分別计算这些彼此互斥的爭件的概率 :第三步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率. 间接法(正难则反)：第一步.判断事件的概率计算是否适合用间接法.而判断的标 准是止向思考时，分类较多，而其对立面的分类较少，此时应用间接法，特别是含 冇“至多” “至少"的题冃，用间接法就显得比较简便：第二步，利用山典概型. 互斥事件或和互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率：第三步， 运用公式P(A) = 1-P(A)求解.【注意】(1)对于互斥事件要抓住如下两个特征进行理解：①互斥事件研究的是两个(或多个)事件之间的关系：②所研究的事件是在一次试验 中涉及的.(2)在应用题背景卜•，能否把一个复杂事件分解为若干个互斥或相互独立的既不重复 乂不遗漏的简单书件是解答这类应用题的关键.趣型1频率估计概率Eh [2014(I :诺每辆车的投保金领均为【解】(I ”工巾札斥爭件”祜付食额沟3000无-出表示爭件 -昭付金新为4 000-元•以频準估计M 率徉由于投保金两为2 800元，賂付会额大于投保会额对•应妁 +f 形是赔付金额为3 000元和4 (XX)元•所以其概率为 f J (A) >r ( W) =0.15 4-0. 12 =0. 27.(2)设卞衣示审件-投保糸辆中新司机茨踣4000元”.曲己 如•样L牟柄中车主为新司忱的冇0. I xl (MX) = 1(X)( M),而 略付会瀰为4000元的车緒中•车主为餅司机的冇0・2 x 120=24( J«).所以样机车辆中斯司机车主箱赔会获为 4 000元的预率为黑;=<)・24・由频卒估计娩卑得P( C) =0.24考法2 求亘斥事件、对立事件的概率经统计•住某储蓄所一个営业窗II 浮候的人数相应的槪:率如下:求；(1)至多2人捋队零帳的低率建多少;(2)至少3人卅•队弄候的慨卒兄多少.【老祝］爪据互斥宇件•第(1)问可转化为辛侯的人钱为 0人、I 人和2人的槪.车和：第(2)何可箱化为爭域的人敏为 3人、4人和5人及5人以上的紙準和•戏转化为其对立审件 ••至多2人4♦队等■候J【解】记J 尢人排队爭4T 为事伴片广1人排从孑候-为审 件S/ 2人排队寻侯”为亨件C,-3人排队寻候••为审件0, M 4人捋队*侯”为事件A\-5人及5人以上排队等候”为丰 件F,则审件片・"・C.〃・£・"・互斥.(1 ｝记"至$ 2人排队等侯••为爭件G.JH G=.4以 P(Q) =P(/1) W(B) ^P(C) =0. I +0. 16-tO. 3 =0.56.(2)方法一:i<L-.£少3人捋次矛IV 为亨件//,«// = D + £ +pun m +P(E) +P(F) =0.3+0・ 1 +O.(M =0.44.考法2 求互【解】(1)询題意知•(“』•<)所有的可能为(IJ.DJIJ. 2).( 1J.3 ).(1 .2.1 )X1-2.2 ),(1.2.3).( 1.3-1 )•(> .3. 2).(U3.3)J2J ,l)t (2.l t 2)t (2.1.3). (2.2 J)t (2.2.2).(2,2.3). (2.3 J). (2.3.2).(23.3). (3 J. 1). (3.1.2).(3 J,3). (3,2 J ).(3.2.2),(3.2.3). (3t 3 J ).(3.3, 2) J3.3.3) •其27 种.设-抽取妁卡片上的软字満足a + b M 为审件九JM 亨件人包输(1」・2)・(1・2.3)・(2」・3) •共3科.所以 P(A) = 27陶此广抽取的卡片上的數宇满的概卓为*・(2)设“柚取的卡片上的敦字a.b.r 不定仝相同••为审件从 则李件方包揪1」」)・(2.2,2人(3・3.3),扶3什. 所以严“)=i =i -^-=v-冈此・••抽取的卡片上的戟字a.b.c 不完全相间"的概.半1.基本啊的恃点⑴任何两个基本事件是互斥ffh（2）任何卞件（除不可能務件）都可以表示咸荃本审件的和・ 2・古典槪和金有以下两个特点的概李検型称为古典概率槿型.面称古臭槪型. （1） 有限性，试处中所有可舱出观的墓本・件只有有隈个I （2） 等可能性，馬个荃本事件出现ft 可能性瑁尊. 3. 古典HS 型的IH 华公式 （）_A 包含孑基本事件的个豁棊4事件的总数4. 几何概刊如臬每个事件发生的概率只夕构成该事件区域的长度（面积我体积）戒比例.则称这样的 槪率模型为几何概率横型.简称为几何概型.对干几何録型.更注倉.拿捱"无限炷”和"等可能甘'两勺特点. 5. 几何槪整试验估两个韓木恃点（D 无限性，在一次试险中.可茂出现的结果有无用多八. （2）等可能性，鬲个结臬的发生具有等可能性. 6・几何槪型的概车il 算公式_ 构成事件的区域*厦（而积戒体积）一试矗的全部貉果所柚成的区城长度（面积或床积）•考•:•考法3 求古典概型的概率•:•考法4几何概型考考法3求古典概型的概率古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，由此町见，解决古典概型 的概率计算问题的一般步骤如下：笫一步，反复阅读题目，收集题日中的各种信息，理解题意，把文字叙述 转化为数学语言或数学表达式.第一步.在理解题意的基础上.若基木事件的个数较少.町用列举法或树 状图法将基木事件一一列出，求出肚木事件的个数n,并在这些妹木事件中 找出题日耍求的事件所包含的基本事件并求岀其个数m ・第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率•【说明】较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复朵 的概率问题的处理方法有:(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的 加法公式求解:(2)采用间接法，先求事件A 的对立事件A 的概率，再由 P(A) = 1-P(A)求事件A 的概率•考法3求古典概型的概率求徒率为寻=寻・(2)屋也爭件问(I).用〃表示“不JL 问一类题"这一爭件•対 « 包令的基本亨件 <11 >5| . I t 6|t |2t 5：t |2,6| J3t 5|t°【答案】〒Q|3»6| , 4.5 , 4,6 决8个■所以〃⑷二善 跑4 [2013辽宁・19.12分]现冇6道題・兀中4道I 卩类题. 2通乙类题•张同学从中任取2逍題斛答.试求：(1) 所取的2逍題和是卬类題的槪率: (2)所取的2逍曲不是同类题的槪机题型3求古典概型的概率创3[2014衆标全【解】(丨)将4逋甲关题依次堀号为1,233;2道乙兔題依次 鹏号为5.6•任考法4几何概型的概率计算1. 几何概型类型几何槪型考•査的主要类型有线型几何概型、面型几何概型.⑴线也几何概型：适JU f 木M件只込•个连续的变"控制时的儿何概空汁算・(2)血型儿何槪型：适用于当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平血上的一个区域，即可借助平面区域解决.2. 解几何概型问题的一般步骤第一步，把样木空间和所求槪率的事件用关系式表示岀來，其中又分为两类：(1) 样本空间具冇明显的儿何意义，样本点所在区域题H中(2给出：(2) 所求事件对应的几何区域没有n••接给出，找出它们是解这类几何概型问题的关键，游找几何区域的步骤如卜•：①根据题设引入适当变虽：②利用所引进的变量，把题设中的条件转换成变扯所满足的代数条件：③根据所得到的代数条件找出相应的儿何区域.第二步，在坐标系中把儿何图形画出来.第三步，把样本空间和所求概率的事件所在的几何图形的度邑求出来，然后代入公式 S佥即可.考法4几何概型的概率计算麵型4线型几何概型的概率呀5 2013・(解析】设点E为CD边金近点D的四寻分点. 山于淌足条件的点P发土的概辜为y.A点P 施边C〃上运动.祇张田形的对你枝.为点P 与点E &合时.Eli= 4^(当点"趨i±点恵向・&\ — B —(•匣I) xL2 氐4 - 2 - 4【跤浪几何概型的抽点寻找满足条件的点"•利用直用三角形的性廣求解・〃运动时屮〃 >AH).设AB =x.ii点E作AF丄AH — & h\7ARlAFWE巾・忙尸=加-FZT=4B? - FB2~x2.考法4几何概型的概率计算題型5面型几何概型的概率辺6〔2014世庆• 15.5分：集枚早上恥00开始上i轧假设该枚学生小张耳小工心早上7 ： 30-7：50之间到枚・H.毎人在该时何段的任何时刻到校兄等町能的•则小张比小王至少甲・5分紳到枚的槪率为(用坡字作答).［解析】设小张対校愆m时何为X.小王列枝所用时间为八刖y・工孑5•小乐与小王柿在7：3O-7：50之间到枚.•则0WjrW2O.()WyW2<)・作出可行城钿图所示.则小张比小王至少¥5分外列澆的彼半为920 x 20 "32*【善案】备MB700分综合考点&考法•:•考点70 概率与统计等知识的综合应用MB考点70概率与统计等知识的综合应用•:•考法5概率与统计等知识的综合应用考法5概率与统计等知识的综合应用1. 概率与统计的综合概率与统计本就密不可分，概率的计算问题往往与抽样方法.频率分布直方图.频率分布表.茎叶图等知识点相结合进行考査，一般难度不大，考查基本知识点和基本方法.解决此类综合问题可遵循以下儿个步骤进行：第一步，根据所给的频率分布直方图、茎叶图等统计图表确定样本数据、均值等统计量；第二步，根据题恵，一般选择由频率估计概率，确定相应的事件的概率：第三步，利用互斥爭件、对立事件.古典概型等概率计算公式计算概率・2. 概率与图象、积分等的综合几何概型是沱义在几何度星上的概率模型，在高考中可以与三角函数图彖、不等式组表示的平面区域、定积分的几何总义综合考査.解决此类综合问题的一般方法如下：(1) 确启出几何概型中试验所表示的总体，一般需要先画出图形，利用图形的对称性.泄积分等计算其几何度最：(2) 确定所求事件A所表示的区域并确泄其几何度杲：(3) 根据几何概型的概率公式计算概率・。

2016 年高考数学理试题分类汇编统计与概率一、1、（ 2016 年北京高考）袋中装有偶数个球，其中球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒 .每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果个球是球，就将另一个球放入乙盒，否就放入丙盒.重复上述程，直到袋中所有球都被放入盒中，（）A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中球与丙盒中黑球一多C.乙盒中球不多于丙盒中球D. 乙盒中黑球与丙盒中球一多【答案】 C2、（ 2016 年山高考）某高校了200 名学生每周的自（位：小），制成了如所示的率分布直方，其中自的范是[17.5,30] ，本数据分[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方，200 名学生中每周的自不少于22.5 小的人数是（A ） 56（B）60（C）120（D）140【答案】 D3、（ 2016 年全国 I 高考）某公司的班在7:30，8:00，8:30 ，小明在 7:50 至 8:30 之到达站乘坐班，且到达站的刻是随机的，他等不超10 分的概率是（ A）1123 3（ B ）2（ C）3（D ）4【答案】 B4、（ 2016 年全国 II 高考）从区0,1随机抽取 2n 个数x1,x2，⋯， x n， y1， y2，⋯， y n，构成 n 个数x, y， x , y x , y，其中两数的平方和小于 1 的数共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）4n（B）2n（C）4m（D）2m m m n n【答案】 C5、（ 2016 年全国III 高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约为150C，B 点表示四月的平均最低气温约为50C。

下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C 的月份有 5 个【答案】 D二、填空题1 、（ 2016年山东高考）在[－1,1]上随机的取一个数k，则事件“ 直线y = kx与圆(x－5)2 + y2 = 9 相交”发生的概率为3【答案】．42、（ 2016 年上海高考）某次体检， 6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】 1.763、（ 2016 年四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X 的均值是.【答案】3 2三、解答题1、（ 2016 年北京高考）A、 B、C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A 班6 6.577.58B 班6789101112C 班3 4.567.5910.51213.5（ 1）试估计 C 班的学生人数；（ 2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（ 3）再从 A 、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7， 9， 8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0 ，试判断0 和 1 的大小，（结论不要求证明）解析】⑴8100 40 ， C班学生40 人20⑵在 A 班中取到每个人的概率相同均为15设 A 班中取到第 i 个人事件为 A i, i1,2,3,4,5C 班中取到第j 个人事件为C j,j 1,2,3,4,5,6,7,8A 班中取到 A i C j的概率为 P i所求事件为 D则 P( D )1P11P21P31P41P5555551213131314585858585838⑶ 10三组平均数分别为 7 , 9 , 8.25 , 总均值08.2但 1 中多加的三个数据7 , 9 , 8.25 , 平均值为 8.08 ，比0小，故拉低了平均值2、（ 2016 年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲每轮猜对的概率是3，乙每轮4猜对的概率是2；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”3参加两轮活动，求：( Ⅰ )“星队”至少猜对 3 个成语的概率；( Ⅱ )“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．【解析】 ( Ⅰ ) “至少猜对 3 个成语”包括“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”．设“至少猜对 3 个成语”为事件 A ；“恰好猜对 3 个成语”和“猜对 4 个成语”分别为事件B,C ，则 P( B) C213 3 2 1C21 3 1 2 25 ；443344331233221．P(C )43344所以 P( A)P( B)P(C )512．1243( Ⅱ )“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6于是 P( X0)11111；4343144P( X 1) C211 2 1 1C21 1 1 3 110 5 ；4343434314472P( X 2) 1 12 2 3 3 1 1C21 1 3 2 125 ；443344334433144 P( X3) C21 3 2 1 1 12 1 ；434314412P( X 4) C2132( 1 2 3 1)60 5 ；43434314412P( X6)3232361；43431444X012346P1525151 14472144121241525154155223X 的数学期望 EX01236144．144721441212463、（ 2016 年四川高考）我国是世界上重缺水的国家，某市政府了鼓励居民用水，划整居民生活用水收方案，确定一个合理的月用水量准x （吨）、一位居民的月用水量不超 x 的部分按平价收，超出 x 的部分按价收.了了解居民用水情况，通抽，得了某年 100 位居民每人的月均用水量（位：吨），将数据按照 [0,0.5) ，[0.5,1) ，⋯，[4,4.5)分成 9 ，制成了如所示的率分布直方.（ I）求直方中 a 的；（ II ）市有30 万居民，估全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并明理由；（ III ）若市政府希望使85%的居民每月的用水量不超准x （吨），估x 的，并明理由 .【解析】（ I ）由概率相关知，各率之和的1∵ 率 =(率 /距 )* 距∴ 0.50.080.160.40.520.120.080.042a1得 a0.3（ II ）由，不低于3吨人数所占百分比0.50.120.080.04 =12%∴全市月均用水量不低于3吨的人数：3012%=3.6 (万 )（ III ）由可知，月均用水量小于 2.5吨的居民人数所占百分比：0.50.080.160.30.40.520.73即 73% 的居民月均用水量小于 2.5吨 ,同理， 88%的居民月均用水量小于3吨，故 2.5x3假月均用水量平均分布，x 2.50.585%73%0.52.9 （吨） .0.3注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。

考纲解读明方向分析解读 本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样。

2016 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）设会合A={ 1， 3，5， 7} ，B={ x| 2≤x≤5} ，则 A∩B=（）A．{ 1，3}B．{ 3，5}C．{ 5，7}D．{ 1，7}【剖析】直接利用交集的运算法例化简求解即可．【解答】解：会合 A={ 1，3，5，7} ， B={ x| 2≤x≤ 5} ，则 A∩B={ 3，5} ．应选： B．2．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，此中 a 为实数，则 a 等于（）A．﹣ 3B．﹣ 2C．2D．3【剖析】利用复数的乘法运算法例，经过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣ 2+（2a+1） i 的实部与虚部相等，可得： a﹣2=2a+1，解得 a=﹣3．应选： A．3．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 栽花种在一个花坛中，余下的 2 栽花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【剖析】确立基本领件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 栽花种在一个花坛中，余下的 2 栽花种在另一个花坛中，有=6 种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有 2 种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有 4 种方法，所以所求的概率为 = ．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（ 12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（ 24，13），（34，12），则P==．应选： C．4．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c．已知 a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【剖析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣ 8b﹣3=0，从而解得 b 的值．【解答】解：∵ a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得： cosA= ==，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得： b=3 或﹣（舍去）．应选： D．5．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个极点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【剖析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个极点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e= = ．应选： B．6．（ 5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）将函数 y=2sin（2x+ ）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（ 2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（ 2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【剖析】求得函数 y 的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[ 2（x﹣）+ ]，化简整理即可获得所求函数式．【解答】解：函数 y=2sin（2x+ ）的周期为 T==π，由题意即为函数y=2sin（ 2x+ ）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[ 2（ x﹣） + ] ，即有 y=2sin（2x﹣）．应选： D．7．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【剖析】判断三视图还原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，而后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图还原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．2π．它的表面积是：×4π?2+=17应选： A．8．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）若 a＞ b＞ 0， 0＜ c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bc＜b c．a＞ c bC．a D c【剖析】依据指数函数，对数函数，幂函数的单一性联合换底公式，逐个剖析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵ a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故 B 正确；∴当 a＞b＞1 时，0＞log a c＞log b c，故 A 错误；a c＞b c，故 C 错误；c a＜ c b，故 D 错误；应选： B．．（分）（新课标Ⅰ）函数2﹣e| x|在[ ﹣2，2] 的图象大概为（）9 52016?y=2xA．B．C．D．【剖析】依据已知中函数的分析式，剖析函数的奇偶性，最大值及单一性，利用清除法，可得答案．【解答】解：∵ f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣ x） =2（﹣ x）2﹣e|﹣x| =2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当 x=±2 时， y=8﹣e2∈（ 0，1），故清除 A，B；当 x∈[ 0，2] 时， f （x）=y=2x2﹣e x，∴f （′ x）=4x﹣ e x=0 有解，故函数 y=2x2﹣ e|x|在 [ 0，2] 不是单一的，故清除 C，应选： D．10．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）履行下边的程序框图，假如输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的值知足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量 x，y 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：输入 x=0，y=1， n=1，则 x=0，y=1，不知足 x2+y2≥ 36，故 n=2，则 x= ，y=2，不知足 x2+y2≥ 36，故 n=3，则 x= ，y=6，知足 x2+y2≥36，故 y=4x，应选： C．11．（5 分）（ 2016?新课标Ⅰ）平面α过正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的极点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【剖析】画出图形，判断出 m、 n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD=m，α∩平面 ABA1B1=n，可知：n∥CD ，m∥B，∵△ CB是正三角形． m、n 所成角就是∠ CD°．11D11D11B1=60则 m、n 所成角的正弦值为：．应选： A．12．（ 5 分）（2016?新课标Ⅰ）若函数f（x）=x﹣ sin2x+asinx 在（﹣∞， +∞）单一递加，则 a 的取值范围是（）．﹣，1]．﹣， ]C．[﹣， ]D．[ ﹣1，﹣ ]A [1B [1【剖析】求出 f （x）的导数，由题意可得 f ′（x）≥ 0 恒成立，设 t=cosx（﹣ 1≤t ≤1），即有 5﹣4t2+3at≥0，对 t 议论，分 t=0，0＜t≤ 1，﹣ 1≤t＜ 0，分别参数，运用函数的单一性可得最值，解不等式即可获得所求范围．【解答】解：函数 f （x） =x﹣ sin2x+asinx 的导数为 f （′x）=1﹣ cos2x+acosx，由题意可得 f ′（x）≥ 0 恒成立，即为 1﹣ cos2x+acosx≥ 0，即有﹣ cos2x+acosx≥0，设 t=cosx（﹣ 1≤t≤ 1），即有 5﹣4t2+3at≥0，当 t=0 时，不等式明显成立；当 0＜t≤ 1 时， 3a≥4t﹣，由 4t﹣在（ 0， 1] 递加，可得 t=1 时，获得最大值﹣ 1，可得 3a≥﹣ 1，即 a≥﹣；当﹣ 1≤t＜ 0 时， 3a≤4t﹣，由 4t﹣在[ ﹣1，0）递加，可得 t=﹣ 1 时，获得最小值 1，可得 3a≤1，即 a≤ ．综上可得 a 的范围是 [ ﹣， ] ．另解：设 t=cosx（﹣ 1≤t≤ 1），即有 5﹣4t2+3at≥0，由题意可得 5﹣4+3a≥0，且 5﹣ 4﹣ 3a≥0，解得 a 的范围是 [ ﹣， ] ．应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分13．（ 5 分）（2016?新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1）， =（ 1， 2），且⊥ ，则x=．【剖析】依据向量垂直的充要条件即可得出，进行向量数目积的坐标运算即可得出对于 x 的方程，解方程即可得出x 的值．【解答】解：∵；∴；即 x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（ 5 分）（2016?新课标Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sin（θ+ ）= ，则 tan （θ﹣）=．【剖析】由θ得范围求得θ+ 的范围，联合已知求得cos（θ+ ），再由引诱公式求得 sin（）及cos（），进一步由引诱公式及同角三角函数基本关系式求得 tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵ θ是第四象限角，∴又 sin（θ+∴cos（θ+∴cos（＜＜，则＜＜，，）= ，）=．）=sin（θ+ ）= ，sin（）=cos（θ+）=．则 tan（θ﹣）=﹣tan（）﹣=．=故答案为：﹣．15．（5 分）（2016?新课标Ⅰ）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 订交于 A，B 两点，若 | AB| =2，则圆C的面积为4π ．【剖析】圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（ 0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出 a 值，从而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆 C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（ 0，a），半径为，∵直线 y=x+2a 与圆 C： x2+y2﹣ 2ay﹣ 2=0 订交于 A，B 两点，且 | AB| =2，∴圆心（ 0， a）到直线 y=x+2a 的距离 d=，即+3=a2+2，解得： a2=2，故圆的半径 r=2．故圆的面积 S=4π，故答案为： 4π16．（ 5 分）（2016?新课标Ⅰ）某高科技公司生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品 A 需要甲资料 1.5kg，乙资料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲资料 0.5kg，乙资料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的收益为2100 元，生产一件产品 B 的收益为900 元．该公司现有甲资料150kg，乙资料90kg，则在不超出600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的收益之和的最大值为216000元．【剖析】设 A、B 两种产品分别是x 件和 y 件，依据题干的等量关系成立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，经过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A、 B 两种产品分别是 x 件和 y 件，赢利为 z 元．，由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A （60，100），目标函数 z=2100x+900y．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数获得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为： 216000．三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）（ 2016?新课标Ⅰ）已知 { a n} 是公差为 3 的等差数列，数列 { b n} 知足b1=1， b2= ， a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）求 { b n} 的前 n 项和．【剖析】（Ⅰ）令 n=1，可得 a1=2，联合 { a n} 是公差为 3 的等差数列，可得 { a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列 { b n} 是以 1 为首项，以为公比的等比数列，从而可得：{ b n } 的前 n 项和．【解答】解：（Ⅰ）∵ a n b n+1+b n+1=nb n．当 n=1 时， a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2= ，∴a1=2，又∵ { a n} 是公差为 3 的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（ I）知：（ 3n﹣1）b n+1+b n+1 =nb n．即 3b n+1=b n．即数列 { b n} 是以 1 为首项，以为公比的等比数列，∴ { b n} 的前n 项和S n== （1﹣3﹣n） =﹣．18．（ 12 分）（ 2016?新课标Ⅰ）如图，已知正三棱锥P﹣ ABC的侧面是直角三角形， PA=6，极点 P 在平面 ABC内的正投影为点 D，D 在平面 PAB内的正投影为点 E，连结 PE并延伸交 AB 于点 G．（Ⅰ）证明： G 是 AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点 E 在平面 PAC内的正投影 F（说明作法及原因），并求四周体 PDEF的体积．【剖析】（Ⅰ）依据题意剖析可得PD⊥平面 ABC，从而可得 PD⊥ AB，同理可得DE⊥ AB，联合二者剖析可得 AB⊥平面 PDE，从而剖析可得 AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判断方法可得EF⊥平面 PAC，可得 F 为 E 在平面 PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ P﹣ ABC为正三棱锥，且 D 为极点 P 在平面 ABC内的正投影，∴PD⊥平面 ABC，则 PD⊥AB，又 E 为 D 在平面 PAB内的正投影，∴DE⊥面 PAB，则 DE⊥ AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面 PDE，连结 PE并延伸交 AB 于点 G，则 AB⊥ PG，又 PA=PB，∴G 是 AB 的中点；（Ⅱ）在平面 PAB内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA于点 F，F 即为 E 在平面 PAC内的正投影．∵正三棱锥 P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥ PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥ PA，EF⊥PC，所以 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC内的正投影．连结 CG，由于 P 在平面 ABC内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC的中心．由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG上，故 CD= CG．由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，所以 PE= PG，DE= PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得 DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得 EF=PF=2．所以四周体 PDEF的体积 V= ×DE× S△PEF= ×2× ×2×2= ．19．（ 12 分）（2016?新课标Ⅰ）某公司计划购置 1 台机器，该种机器使用三年后即被裁减．机器有一易损部件，在购进机器时，能够额外购置这类部件作为备件，每个 200 元．在机器使用时期，假如备件不足再购置，则每个 500 元．现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件，为此收集并整理了100 台这种机器在三年使用期内改换的易损部件数，得如图柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需改换的易损部件数，y 表示 1 台机器在购置易损部件上所需的花费（单位：元）， n 表示购机的同时购置的易损部件数．（Ⅰ）若 n=19，求 y 与 x 的函数分析式；（Ⅱ）若要求“需改换的易损部件数不大于n”的频次不小于0.5，求n 的最小值；（Ⅲ）假定这 100 台机器在购机的同时每台都购置 19 个易损部件，或每台都购买20 个易损部件，分别计算这100 台机器在购置易损部件上所需花费的均匀数，以此作为决议依照，购置 1 台机器的同时应购置 19 个仍是 20 个易损部件？【剖析】（Ⅰ）若 n=19，联合题意，可得y 与 x 的分段函数分析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频次，联合“需改换的易损部件数不大于n”的频次不小于 0.5，可得 n 的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购置19 个易损部件，或每台都购置20 个易损部件时的平均花费，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当 n=19 时，y=，=，，＞，＞（Ⅱ）由柱状图知，改换的易损部件数为16 个频次为 0.06，改换的易损部件数为17个频次为 0.16，改换的易损部件数为18个频次为 0.24，改换的易损部件数为19个频次为 0.24又∵改换易损部件不大于n 的频次为不小于 0.5．则 n≥19∴ n 的最小值为 19 件；（Ⅲ）假定这 100 台机器在购机的同时每台都购置19 个易损部件，所须花费均匀数为：（ 70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假定这 100 台机器在购机的同时每台都购置20 个易损部件，所须花费均匀数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵ 4000＜ 4050∴购置 1 台机器的同时应购置19 台易损部件．20．（ 12 分）（ 2016?新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y=t （ t ≠0）交 y轴于点 M ，交抛物线 C ：y 2 （ ＞）于点， M 对于点 P 的对称点为 N ，=2px p 0 P连结 ON 并延伸交 C 于点 H ．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除 H 之外，直线 MH 与 C 能否有其余公共点？说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出 P ， N ，H 的坐标，利用 = ，求；（Ⅱ）直线 MH 的方程为 y=x+t ，与抛物线方程联立，消去 x 可得 2﹣4ty+4t 2 ，y =0 利用鉴别式可得结论．【解答】 解：（Ⅰ）将直线 l 与抛物线方程联立，解得 P （ ，t ），∵M 对于点 P 的对称点为 N ，∴= ，=t ，∴ N （ ，t ），∴ ON 的方程为 y= x ，与抛物线方程联立，解得 H （，2t ）∴ ==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 k MH = ，∴直线 MH 的方程为 y=x+t ，与抛物线方程联立，消去 x 可得 2﹣4ty+4t 2，y=0∴△ =16t 2﹣4×4t 2=0，∴直线 MH 与 C 除点 H 外没有其余公共点．21．（ 12 分）（ 2016?新课标Ⅰ）已知函数 f （ x ） =（ x ﹣2）e x +a （x ﹣1） 2．（Ⅰ）议论 f （x ）的单一性；（Ⅱ）若 f （ x ）有两个零点，求 a 的取值范围．【剖析】（Ⅰ）求出 f （x ）的导数，议论当 a ≥0 时， a ＜﹣ 时，a=﹣ 时，﹣ ＜a＜0，由导数大于 0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单一区间，对 a 议论，联合单一性和函数值的变化特色，即可获得所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由 f （x） =（ x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得 f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ e x+2a），①当 a≥0 时，由 f ′（x）＞ 0，可得 x＞1；由 f ′（x）＜ 0，可得 x＜1，即有 f （x）在（﹣∞， 1）递减；在（ 1，+∞）递加（如右上图）；②当 a＜0 时，（如右下列图）若a=﹣，则 f ′（ x）≥ 0 恒成立，即有 f（ x）在 R 上递加；若 a＜﹣时，由 f ′（x）＞ 0，可得 x＜1 或 x＞ ln（﹣2a）；由 f ′（x）＜ 0，可得 1＜x＜ln（﹣ 2a）．即有 f （x）在（﹣∞， 1），（ ln（﹣ 2a）， +∞）递加；在（ 1，ln（﹣ 2a））递减；若﹣＜a＜0，由 f ′（x）＞ 0，可得 x＜ln（﹣ 2a）或 x＞1；由 f ′（x）＜ 0，可得 ln（﹣ 2a）＜ x＜1．即有 f （x）在（﹣∞， ln（﹣ 2a）），（ 1， +∞）递加；在（ ln（﹣ 2a）， 1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可适当a＞0 时，f（x）在（﹣∞， 1）递减；在（ 1，+∞）递加，且 f（1）=﹣e＜0，x→+∞， f （x）→+∞；当 x→﹣∞时 f（ x）＞ 0 或找到一个 x＜ 1 使得 f（x）＞ 0 对于 a＞0 恒成立，f（x）有两个零点；②当 a=0 时， f （x） =（ x﹣ 2） e x，所以 f（ x）只有一个零点x=2；③当 a＜0 时，若 a＜﹣时， f（x）在（ 1， ln（﹣ 2a））递减，在（﹣∞， 1），（ln（﹣ 2a），+∞）递加，又当 x≤1 时， f（x）＜ 0，所以 f（x）不存在两个零点；当 a≥﹣时，在（﹣∞， ln（﹣ 2a））单一增，在（ 1， +∞）单一增，在（ 1n（﹣ 2a），1）单一减，只有 f （ln（﹣ 2a））等于 0 才有两个零点，而当 x≤1 时， f（x）＜ 0，所以只有一个零点不符题意．综上可得， f（ x）有两个零点时， a 的取值范围为（ 0， +∞）．请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-1：几何证明选讲]22．（ 10 分）（2016?新课标Ⅰ）如图，△ OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以 O 为圆心， OA 为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙ O 相切；（Ⅱ）点 C，D 在⊙ O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明： AB∥ CD．【剖析】（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK．依据等腰三角形AOB 的性质知 OK⊥AB，∠ A=30°， OK=OAsin30°= OA，则 AB是圆 O 的切线．（Ⅱ）设圆心为 T，证明 OT为 AB 的中垂线，OT为 CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设 K 为 AB 中点，连结 OK，∵OA=OB，∠ AOB=120°，∴OK⊥AB，∠ A=30°，OK=OAsin30°= OA，∴直线 AB 与⊙ O 相切；（Ⅱ）由于 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设 T 是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB， TA=TB，∴ OT为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴ AB∥CD．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016?新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t 为参数， a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cos．θ（Ⅰ）说明 C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 的极坐标方程为θ=α，此中α知足 tan α，若曲线C1与C的公3000=22共点都在 C3上，求 a．【剖析】（Ⅰ）把曲线 C1的参数方程变形，而后两边平方作和即可获得一般方程，222可知曲线 C1是圆，化为一般式，联合x +y =ρ，y=ρsin θ为极坐标方程；化（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆 C1与C2的公共弦所在直线方程，把 C1与 C2的方程作差，联合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1﹣a2=0，则 a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（ 0，1）为圆心，以 a 为半径的圆．化为一般式： x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①22222；由 x +yρ， y=ρsin，θ得ρ﹣2ρsin+1θ﹣a==02（Ⅱ） C2：ρ=4cos，θ两边同时乘ρ得ρ=4ρ cos，θ∴x2+y2=4x，②即（ x﹣ 2）2+y2=4．由 C3：θ=α0，此中α0知足 tan α0=2，得y=2x，∵曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，∴y=2x为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得： 4x﹣2y+1﹣a2=0，即为 C3，∴1﹣ a2=0，∴a=1（a＞ 0）．[ 选修4-5：不等式选讲 ]24．（ 2016?新课标Ⅰ）已知函数f（ x） =| x+1| ﹣ | 2x﹣3| ．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式 | f（x） | ＞ 1 的解集．【剖析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的分析式，由分段函数的画法，即可获得所求图象；（Ⅱ）分别议论当x≤﹣ 1 时，当﹣ 1＜x＜时，当 x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可获得所求解集．【解答】解：（Ⅰ） f（x）=，，＜＜，，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由 | f（x） | ＞ 1，可得当 x≤﹣ 1 时， | x﹣4| ＞1，解得 x＞ 5 或 x＜3，即有 x≤﹣ 1；当﹣ 1＜x＜时， | 3x﹣2| ＞1，解得 x＞ 1 或 x＜，即有﹣ 1＜x＜或 1＜x＜；当 x≥时， | 4﹣ x| ＞1，解得 x＞5 或 x＜ 3，即有 x＞5 或≤ x＜ 3．综上可得， x＜或 1＜x＜3 或 x＞5．则 | f（x）| ＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．。

y 2015年12月31日期末复习题（二）一．选择题（共12小题）1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）A．40B．80C．160D．3202．某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是（）A．5000名学生是总体B．250名学生是总体的一个样本C．样本容量是250D．每一名学生是个体3．（2015?抚顺模拟）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15B．18C．21D．224．一个频率分布表（样本容量为30）不小心倍损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.8，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数共为（）A．15B．16C．17D．195．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A．11B．11.5C．12D．12.56．某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系7．下列事件是随机事件的是（）（1）连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上．（2）异性电荷相互吸引（3）在标准大气压下，水在1℃时结冰（4）任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）8．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球9．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2011次，那么第2010次出现正面朝上的概率是（）A．B．C．D．10．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42B．0.28C．0.3D．0.711．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．112．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．14．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为。

真题操练集训1． [2016 ·新课标全国卷Ⅲ ] 某旅行城市为向旅客介绍当地的气温状况，绘制了一年中各月均匀最高气平和均匀最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的均匀最高气温约为15 ℃， B 点表示四月的均匀最低气温约为 5 ℃.下边表达不正确的选项是 ()A ．各月的均匀最低气温都在0 ℃以上B．七月的均匀温差比一月的均匀温差大C．三月和十一月的均匀最高气温基真同样D．均匀最高气温高于20 ℃的月份有 5 个答案： D分析：由图形可得各月的均匀最低气温都在0 ℃以上， A 正确；七月的均匀温差约为10 ℃，而一月的均匀温差约为5 ℃，故 B 正确；三月和十一月的均匀最高气温都在10 ℃左右，基真同样， C 正确；均匀最高气温高于20 ℃的月份只有 3 个， D 错误．2．[2016 ·新课标全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为 a(单位：元 )，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人今年度的保费与其上年度出险次数的关系以下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机检查了该险种的200 名续保人在一年内的出险状况，获取如下统计表：出险次01234≥5数频数60 50 30 30 2010(1)记 A 为事件：“一续保人今年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的预计值；(2)记 B 为事件：“一续保人今年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”，求 P(B)的预计值；(3)求续保人今年度均匀保费的预计值．解： (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频次为60＋50200＝0.55，故P(A)的预计值为0.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1且小于 4.由所给30＋30数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频次为200＝0.3，故P(B)的预计值为 0.3.(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a频次0.300.250.150.100.050.15检查的 200 名续保人的均匀保费为0． 85a×0.30＋ a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.所以，续保人今年度均匀保费的预计值为 1.192 5a.3．[2016 ·四川卷 ] 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了拟订合理的节水方案，对居民用水状况进行了检查．经过抽样，获取了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨 )．将数据依据 [0,0.5)，[0.5,1)，， [4,4.5]分红 9 组，制成了以下图的频次散布直方图．(1)求直方图中 a 的值；(2)设该市有 30 万居民，预计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明原因；(3)预计居民月均用水量的中位数．解： (1)由频次散布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频次为0.08×0.5＝0.04.同理，在 [0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)组的频次分别为 0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02由. 1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得 a＝0.30.(2)由(1)，100 位居民月均用水量不低于 3 吨的频次为 0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频次散布，能够预计30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为 x 吨．由于前 5 组的频次之和为0.04＋ 0.08＋ 0.15＋ 0.21＋ 0.25＝0.73>0.5，而前 4 组的频次之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由 0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得 x＝2.04.故可预计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨．4．[2016 ·北京卷 ] 某市居民用水拟推行阶梯水价，每人月用水量中不超出 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，高出w 立方米的部分按 10 元/立方米收费．从该市随机检查了 10 000 位居民，获取了他们某月的用水量数据，整理获取以下频次散布直方图：(1)假如 w 为整数，那么依据此次检查，为使80%以上居民在该月的用水价钱为 4 元/立方米， w 起码定为多少？(2)假定同组中的每个数据用该组区间的右端点值取代．当w＝3时，预计该市居民该月的人均水费．解： (1)由用水量的频次散布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频次挨次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15所.以该月用水量不超出3 立方米的居民占 85%，用水量不超出 2 立方米的居民占 45%.依题意， w 起码定为 3.(2)由用水量的频次散布直方图及题意，得居民该月用水花费的数据分组与频次散布表：组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频次0.10.150.20.250.150.050.050.05依据题意，该市居民该月的人均水费预计为：4×0.1＋ 6×0.15 ＋ 8×0.2＋ 10× 0.25＋ 12×0.15＋ 17×0.05 ＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．。

1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图 第4题图 第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图 第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图 第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图 第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图 第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1， 并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)． 令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118， 即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2； 当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3； 当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4； 当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。

第1节　随机抽样【选题明细表】知识点、方法题号简单随机抽样2,8系统抽样1,3,9,11分层抽样4,5,7,12,13三种抽样方法的综合6,10基础巩固(时间:30分钟)1.打桥牌时,将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后,开始按次序搬牌,对任何一家来说,都是从52张总体抽取一个13张的样本.这种抽样方法是(　A　)(A)系统抽样(B)分层抽样(C)简单随机抽样(D)非以上三种抽样方法解析:符合系统抽样的特征.2.总体由编号为01,02,03,…,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为(　B　)66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 83 20 37 90(A)05(B)09(C)11(D)20解析:从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,符合条件的数有14,05,11,05,09,因为05出现了两次,所以选出来的第4个个体的编号为09.3.(2018·郑州市模拟)为了解600名学生的视力情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为20的样本,则需要分成几个小组进行抽取(　A　)(A)20(B)30(C)40(D)50解析:采用系统抽样的方法从600名学生中抽取容量为20的样本,则需分成20个小组进行抽取,故选A.4.(2018·洛阳模拟)某大学数学系共有本科生1 000人,其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本,则应抽取三年级的学生人数为(　B　)(A)80(B)40(C)60(D)20解析:因为要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本,一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1,所以三年级要抽取的学生人数是×200=40.5.(2018·北京模拟)共享单车为人们提供了一种新的出行方式,有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计,得到的数据如表所示:年龄12～20岁20～30岁30～40岁40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取20～30岁的人数为(　D　)(A)12(B)28(C)69(D)91解析:由分层抽样的定义得应抽取20～30岁的人数为200×45.5%=91人.6.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,…,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则(　A　)(A)不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是(B)①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是,③并非如此(C)①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是,②并非如此(D)采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同解析:根据抽样的定义知道,三种抽样方法的特点就是保证了每个个体从总体中被抽到的可能性都相同,保证了总体中每个个体被抽到的概率相等的公平性.由三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是.故选A.7.(2018·南通一模)已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的身高情况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本,则应从高三年级抽取 名学生.解析:根据题意,抽样比例为=.所以应从高三年级抽取500×=25(名).答案:258.利用随机数表法对一个容量为500,编号为000,001,002,…,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开始由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行),根据下表,读出的第3个数是 . 18180　79245　44171　65809　79838　61962　06765　00310　55236　4050526623　89775　84160　74499　83114　63224　20148　58845　10937　28871解析:最先读到的数据的编号是389,向右读下一个数是775,775大于499,故舍去,再下一个数是841,舍去,再下一个数是607,舍去,再下一个数是449,再下一个数是983,舍去,再下一个数是114.故读出的第3个数是114.答案:114能力提升(时间:15分钟)9.(2018·江西八校联考)从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为(　C　)(A)480(B)481(C)482(D)483解析:根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1=7,a2=32,则d=25,所以7+25(n-1)≤500,所以n≤20,最大编号为7+25×19=482.10.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,则n等于(　B　)(A)5(B)6(C)7(D)8解析:总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为,分层抽样的比例是,抽取的工程师人数为·6=,技术员人数为·12=,技工人数为·18=,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.当样本容量为(n+1)时,剔除1个个体后,总体容量为35人,系统抽样的间隔为,因为必须是整数,所以n只能取6,即样本容量n=6.故选B.11.(2018·山西八校联考)某校高三年级共有30个班,学校心理咨询室为了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取6个班进行调查,若抽到的编号之和为87,则抽到的最小编号为 . 解析:该系统抽样的抽取间隔为=5,设抽到的最小编号为x,则x+(5+x)+(10+x)+(15+x)+(20+x)+(25+x)=87,所以x=2.答案:212.(2018·衡阳一模)某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:产品类别A B C产品数量(件) 1 300各层抽取件数130由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是 件.解析:设样本的总容量为x,则×1 300=130,所以x=300,所以A产品和C产品在样本中共有300-130=170(件),设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,所以y=80.所以C产品的数量为×80=800.答案:80013.(2017·汕头模拟)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在A,B,C,D四个单位回收的问卷数依次成等差数列,且共回收1 000份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本,若在B单位抽取30份,则在D单位抽取的问卷是 份.解析:由题意依次设在A,B,C,D四个单位回收的问卷数分别为a1,a2,a3,a4,在D单位抽取的问卷数为n,则有=,解得a2=200,又a1+a2+a3+a4=1 000,即3a2+a4=1 000,所以a4=400,所以=,解得n=60.答案:60。

文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。