【备战】北京中国人民大学附中高考数学(题型预测+范例选讲)综合能力题选讲 第29讲 条件开放的探

建构不等关系的应用性问题题型预测不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、几何等多方面知识，综合性强，难度可大可小，是高考和各地模拟题的命题热点．范例选讲例1. 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n 个月内，对某种商品需求的累计数)(n f （万件）近似地满足下列关系：12,,3,2,1,)18)(2(901)( =-+=n n n n n f （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）讲解：（Ⅰ）首先，第n 个月的月需求量＝()()()1, 11, 212f n f n f n n =⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩∵)18)(2(901)(n n n n f -+=， ∴ ()171 1.330f =<． 当2n ≥时，)19)(1)(1(901)1(n n n n f -+-=- ∴ 21()(1)(33519)90f n f n n n --=-++令()(1) 1.3f n f n -->，即117193532>++-n n ，解得：7314<<n ， ∵ n ∈N ， ∴n = 5 ，6即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．（Ⅱ）设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：0)(≥-n f na ，∴ 90)18)(2()(n n n n f a -+=≥又∵910]2)18()2([90190)18)(2(2=-++≤-+n n n n ∴ 910≥a即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销．点评：实际问题的解答要注意其实际意义．本题中a 的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否则，不符合题意．例2．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和（Ⅰ）用x ，表示混合食物成本c 元； （Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使成本最低．讲解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥⎧=--⎨++≥⎩及得，46320 3130x y x y +≥⎧⎨-≥⎩，所以，75450.x y +≥所以，40075400450850,c x y =++≥+=当且仅当4632050, 313020x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-≥=⎩⎩即时等号成立． 所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪-≥⎩上使得40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．例3．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比．（Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？adl讲解：（Ⅰ）由题可设安全负荷k lad k y (221⋅=为正常数），则翻转90º后，安全负荷222da y k l=⋅．因为12y dy a=，所以，当0d a <<时，12y y <．安全负荷变大； 当0a d <<时，12y y >，安全负荷变小．（2）如图，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则2222a d R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22244a d R +=．∵ 枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大∴u dd ====≤=当且仅当2222d R d -=，即取R d 36=，R d R a 332222=-=时，u 最大， 即安全负荷最大．例4．现有流量均为3002/m s 的两条河流A 、B 会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为23/kg m 和0.23/kg m ．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换1003m 的水量，即从A 股流入B 股1003m 水，经混合后，又从B 股流入A 股1003m 水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.013/kg m （不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.013/kg m ”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用,n n a b 来表示河水在流经第n 个观测点时，A 水流和B 水流的含沙量．则1a ＝23/kg m ，1b＝0.23/kg m ，且()()11111003001002001312, 1003004410020033n n n n n n n n n n a b b a b a b a b a ++++++==+=+++＝．（＊）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列{}n n a b -．由（＊）可得：()()1111112221313333442n n n n n n n n n n n n a b b a b a b a a b a b +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，数列{}n n a b -是以11 1.8a b -=为首项，以12为公比的等比数列．所以，111.82n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭．由题，令n n a b -< 0.01，得1112180n -⎛⎫<⎪⎝⎭．所以，2lg1801log 180lg 2n ->=．由7821802<<得27log 1808<<，所以，8n >．即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.013/kg m ． 点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．。

等差数列与等比数列题型预测两个基本数列（等差数列和等比数列），以及通过适当转化可化成这两个数列的问题是高考考查的重点．要注意n S q d a n n ,,,,之间的内在联系，注意相邻项，相邻若干项之间的内在联系及相互转化．范例选讲例1 已知数列{}n a 的前n 项和=n S 292++-n n ()N n ∈．(Ⅰ) 判断数列{}n a 是否为等差数列； (Ⅱ) 设n n a a a R +++= 21，求n R ； (Ⅲ) 设n n n n b b b T N n a n b +++=∈-=21),()12(1，是否存在最小的自然数0n ，使得不等式32n T n <对一切自然数n 总成立？如果存在，求出0n 的值；如果不存在，说明理由．讲解：本题中，求出数列{}n a 的通项公式是关键．(Ⅰ) ∵ =n S 292++-n n ()N n ∈，∴ 当1=n 时，1011==S a ，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a ()292++-n n ()()[]21912+-+---n n n 210-=，∴ ⎩⎨⎧≥-==2210110n n n a n ．∴ 数列{}n a 不是等差数列．(Ⅱ) 由⎩⎨⎧≥-==2210110n n n a n 可知：当5≤n 时，n n a a =，当5>n 时，n n a a -=．∴当5≤n 时，2922121++-==++=+++=n n S a a a a a a R n n n n ，当5>n 时，n n a a a R +++= 21 ()()n a a a a a a +++-+++= 76521 52S S n +-=()4292452522922+-=++-+--=n n n n ．即：⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤++-=542952922n n n n n n R n ．(Ⅲ) 当1=n 时，02112111>=-=a b ，2111==b T ，当2≥n 时，()()011121121210121)12(1>⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+-=-=n n n n n n a n b n n ，n n b b b T +++= 21441311212121++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=n n n ． 由()N n b n ∈>0可知：n T 随n 的增大而单调递增．所以，要使不等式32n T n <对一切自然数n 总成立，需且只需32lim 0n T n n ≤∞→． 又322443lim ==∞→n n T ，所以，满足题意的自然数240=n ． 点评：利用前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项公式时，要注意n=1时的特殊情况．例2 已知数列{}n a 中，651=a ，且对任意正整数n 都有112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a ．数列{}n b 对任意自然数n 都有n n n a a b 211-=+． （Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，求n n S ∞→lim 的值．讲解： 已知条件中，数列{}n a 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的，而数列{}n b 的通项公式则是通过数列{}n a 给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列{}n b入手，这就应该通过代数变形，致力于证明nn b b 1+为定值；二是从数列{}n a 的通项公式入手．如何求出数列{}n a 的通项公式呢？由于已知条件112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 与等比数列很相似，结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与n a 及n⎪⎭⎫⎝⎛21有关的新的等比数列．解1：（1）∵ 112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，∴ 11112133213++++⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n a a a ．∴ 一方面，n n n a a b 211-=+n n n a a 2121311-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，另一方面，n b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫⎝⎛=++++++12111161213213361216121n n n n n n n a a a ，∴3161213612112121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n n n n nn a a b b ．又916561416121121=⋅-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ，∴ 数列{}n b 是以911=b 为首项，以31为公比的等比数列． （2）由（1）可知：11313191+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n b ，又n b n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+， ∴ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++11131216216n n n n n b a ，N n ∈．（3）231131211216lim 22=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→n n S ．解2：设数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn r a 21为等比数列，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-++nn n n r a s r a 212111，对照112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，不难解得：3=r ，31=s ． ∴ 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-nn a 213是以322131-=⋅-a 为首项，以31为公比的等比数列．∴ nn n n a ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--31231322131．∴ nnn a ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=312213．∴ n n n a a b 211-=+=1113131221321312213+++⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n ．∴ n S ∑∑∑∑====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k kn k k nk k k nk k a 1111312213312213．∴ 23113221123lim =---=∞→n n S ．点评：解1按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅；解2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 的认识，另一方面，题目的设问也给了我们一定的提示．。

指数函数与对数函数题型预测指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数，也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体．其它初等函数与之相复合，所得到的新函数的定义域、值域、单调性，以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心．范例选讲例1．已知()()1log 2++=x x x f a ，其中1>a ．（1）试求()x f 的定义域和值域；求出()x f 的反函数()x f 1-；（2）求出()x f 的反函数()x f 1-；（3）判断函数()x f1-的奇偶性和单调性；（4）若实数m 满足()()011211<-+---m f m f ，求m 的取值范围.讲解 （1） 由于x x >+12，所以，函数()x f 的定义域为R .为求()x f 的值域，观察函数()=x u 12++x x 的解析式．注意到()x u 其实是一个单调函数（x y =）和一个非单调函数（12+=x y ）之和，因此，()x u 的单调性并不能通过简单判断很快得到．解决这个问题，我们可以有下面的两种选择：一、从单调性的定义出发．即任取∈21,x x R ，且21x x <，比较()()21x u x u 、的大小关系，这种方法留给同学自己完成．二、通过刚才的观察，很快可以看出：()x u 在()+∞,0上单调递增，此时，()x u 的取值范围为()+∞,1；当()0,∞-∈x 时，∈-x ()+∞,0，因此，若令x t -=，则()=x u 11122++=++-t t t t由∈t ()+∞,0，则∈++12t t ()+∞,1可知：此时()x u 的取值范围为()1,0．又0=x 时，1)(=x u ．所以，函数()=x u 12++x x 的值域为()+∞,0．所以，函数()x f 的值域为R ． （2）设()x f y =，则ya =12++x x ，利用12++x x 与x x -+12互为倒数，可得ya-=x x -+12，所以，()y ya a x --=21． 所以，()x f 1-=()x x a a --21，∈x R ．（3）任取∈x R ，则()x f--1=()x x a a --21=()x f 1--，所以，函数()x f 1-为奇函数．任取∈21,x x R ，且21x x <，则由1>a 及指数函数的性质可知：21x x a a <，21x x a a -->，所以，2211x x x x a a a a ---<-，即()()21x f x f <．所以，()x f1-在定义域内单调递增．（4）由()()011211<-+---m f m f得：()()21111m f m f --<---，即：()()21111m f m f +-<---结合()x f1-的单调性可知：上式等价于：211m m +-<-，解之得：21-<>m m 或．点评 ①定义域是研究函数的基础．求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发．②从定义域出发，利用函数的单调性，是求函数值域常用的方法．例2．已知函数()()()1,0321log ≠>---=a a x x m x f a，对定义域内的任意x 都有()()022=++-x f x f 成立．（1）求实数m 的值；（2）若当()a b x ,∈时，()x f 的取值范围恰为()+∞,1，求实数b a ,的值． 讲解：（1）由()()321log ---=x x m x f a及()()022=++-x f x f 可得：()()()()()()032221log 32221log =-+-+-+-----x x m x x m a a解之得：1±=m ．当1=m 时，函数()x f 无意义，所以，只有1-=m ．（2）1-=m 时，()31log --=x x x f a，其定义域为()1,∞-⋃()+∞,3. 所以，()⊂a b ,()1,∞-或()⊂a b ,()+∞,3． ①若()⊂a b ,()+∞,3，则a b <≤3．为研究()a b x ,∈时()x f 的值域，可考虑()31log --=x x x f a在()+∞,3上的单调性．下证()x f 在()+∞,3上单调递减．任取∈21,x x ()+∞,3，且21x x <，则()()()0333313121122211>---=-----x x x x x x x x 又1>a ，所以，31log 31log 2211-->--x x x x a a，即()()21x f x f >． 所以，当()⊂a b ,()+∞,3，()x f 在()+∞,3上单调递减由题：()a b x ,∈时，()x f 的取值范围恰为()+∞,1，所以，必有()13==a f b 且，解之得：32+=a （因为3>a ，所以舍去32-=a ）②若()⊂a b ,()1,∞-，则1≤<a b ．又由于1,0≠>a a ，所以，10<<a ． 此时，同上可证()x f 在()1,∞-上单调递增（证明过程略）．所以，()x f 在()a b ,上的取值范围应为()()()a f b f ,，而()a f 为常数，故()x f 的取值范围不可能恰为()+∞,1．所以，在这种情况下，b a ,无解．综上，符合题意的实数b a ,的值为32+=a ，3=b点评 本题（2）中，充分的运用已知条件，可以减少分类讨论的次数．。

三角恒等变换题型预测三角恒等变形是运用三角解题的基础．高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换．难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握．范例选讲例1 求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.讲解 原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．点评 三角函数式的化简和求值，是训练三角恒等变换的基本题型，在化简和求值中，常用的方法有：切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等．例2已知54sin cos ,53cos sin =+=+βαβα，求βαsin cos 的值． 讲解 由条件直接解出βαsin cos 、的值是不可取的．由于()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ，所以，应该设法由已知求出βα+及βα-的三角函数值．已知可以让我们联想到形如n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 的式子，但二者又不完全相同．即后者可以直接和差化积，前者则不然．其实，只要作一个变换，令γπβ-=2，则可将本题转化为我们熟悉的问题．解1：令γπβ-=2，则原题等价于：已知54cos cos ,53sin sin =+=+γαγα，求γαcos cos 的值． 两式分别和差化积并相除得：432tan =+γα，所以 ()2572tan12tan1cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+γαγαγα. 分别将已知两式平方并求和得：()21cos -=-γα, 所以，()()()10011cos cos 21cos cos -=-++=γαγαγα. 在对式子n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 进行变形的过程中，我们不难联想到，既然可以平方相加，为什么不能平方相减呢？尝试的结果可以使我们得到下面的解法：解2：由54sin cos ,53cos sin =+=+βαβα平方相加得：()21sin -=+βα． 上述两式平方相减得：()257sin 22cos 2cos -=-+-βααβ．将上式前两项和差化积，得：()()()257sin 2sin sin 2-=-+-+βαβαβα，结合()21sin -=+βα，可解得：()257sin -=-βα．所以，()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos 10011-=．点评 联想和类比，常常可以促成问题转化，并最终达到解决问题的目的．例3 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围．讲解已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得 ()()2112sin 2cos cos x x x x m ->-由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ，所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan 2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时，42,2021π<<x x ，所以 12tan ,2tan 021<<xx , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞. 点评 求()的最小值⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221cos cos sin 2x x x x 时，要注意能否取到的问题．请思考，下面的解法有什么问题：当2021π<<<x x 时，220,0242121ππ<+<<-<-x x x x ，有 12sin 0,12cos 222121<+<<-<x x x x ， 从而()212222sin 2cos2cos cos sin 221211221=⋅>+-=--x x x x x x x x ，故 m 的取值范围为]2,( .。

集合与简易逻辑题型预测《考试说明》中，对于集合、充要条件已做出明确的要求. 高考中，对于这一部分的考查，主要集中在：（1）集合本身的性质和运算；（2）集合语言和集合思想的运用；（3）充分条件和必要条件的判定.范例选讲例1 命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则（ ）A.甲是乙的充分非必要条件；B.甲是乙的必要非充分条件；C. 甲是乙的充要条件；D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.讲解 为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲=>乙；乙=>甲.但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难. 考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确.“甲=>乙”，即“2≠x 或3≠y ” =>“5≠+y x ”，其逆否命题为：“5=+y x ” =>“2=x 且3=y ”显然不正确. 同理，可判断命题“乙=>甲”为真命题.故选择B.点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质逻辑性很强，容易选错，解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性，二是要对逻辑联结词“或”“且”深刻理解与领悟.例2 已知集合{}{}R t tx x x t t A =≠--+=03422使，集合=B {}{}∅≠=-+0222t tx x x t t 使，其中t x ,均为实数.（1）求B A ⋂；（2）设m 为实数，()32-=m m g ，求(){}B A m g m M ⋂∈=. 讲解 （1）集合A 实际上是：使得03422>--+t tx x 恒成立的所有实数t 的集合. 故令0)34(4)2(21<---=∆t t ，解得：13-<<-t .集合B 实际上是：使得方程0222=-+t tx x 有解的所有实数t 的集合. 故令()0)2(4222≥-⋅-=∆t t ，解得：0≥t 或2-≤t所以，()1,3--=A ，(][)+∞⋃-∞-=,02,B ，()2,3--=⋂B A . （2）设()u m g =，则问题（2）可转化为：已知函数()m g u =的值域（()2,3--∈u ），求其定义域.令2332-<-<-m ，可解得：1001<<<<-m m 或.所以，M ={}1001<<<<-m m m 或.点评 学习数学，需要全面的理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 而集合作为近、现代数学的重要基础，集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面. 集合和简易逻辑，是学习、掌握和使用数学语言的基础. 本题以集合和逻辑为背景，主要考查对数学符号语言的阅读、理解以及迁移转化的能力.。

方案优化型综合问题题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．范例选讲例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： ()()30003000100150505050x x f x x --⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭． 整理得：()()2211622100040503070505050x f x x x =-+-=--+． 所以，当4050x =时，()f x 最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．例2．某工厂生产容积为π23立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ) 把制造容器的成本y （元）表示成容器底面半径x （米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ) 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h ，则232x h ππ=． 所以，22603020230y x xh x xππππ=⨯+⨯=+． 因为0x >，所以， ()226011303030390283y x x x x x πππππ⎛⎫=+=++≥⋅=≈ ⎪⎝⎭元， 等号当且仅当21x x=，即1x =时取得． (Ⅱ) 当2x ≥时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解y 的最小值，所以，我们可以考虑函数26030y x xππ=+的单调性． 任取12,[2,)x x ∈+∞，且设12x x <，则()221212121212122223030y y x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于122x x ≤<，所以，12121220, 0x x x x x x -<+->，所以，12y y <， 所以，函数26030y x xππ=+在区间[2,)+∞上单调递增． 所以，当2x =时，y 取得最小值为：150471π≈（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用n m P +表示把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期所得本息和．如：112P ++表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首先，可以考虑下面的问题：n m m n P P ++=是否成立？即把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期与先存一次m 年期，再存一次n 年期，所得本息和是否相同？ 因为44155k k k P a a k r a k r ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，441155n m n m m n P a n r m r P ++⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：11111111112,,P P +++++++++1113P +++，1122P +++，15123,P P +++，222P ++，33P +．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较11P +与2P 的大小关系： 因为221114411 1.98% 1.03255P a r a a +⎛⎫⎛⎫=+=+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22441212 2.25% 1.03655P a r a a ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，11P +<2P ．所以，只需考虑上述八种情况中的：15123,P P +++，222P ++，33P +．（2）比较21P +和3P 的大小． 12441 1.98%12 2.25% 1.05255P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 3413 2.52% 1.0605P a a ⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭， 所以，21P +<3P ．所以，只需比较15P +，222P ++，33P +． 因为：15441 1.98%15 2.79% 1.12955P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 3222412 2.25% 1.1125P a a ++⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，233413 2.52% 1.1255P a a +⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭． 所以，15P +最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．。

二次曲线与二次曲线题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”． 但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系．讲解：圆()221:1C x a y -+=是以(),0a 为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当1a <-时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切；当11a -<<时，圆与抛物线相交；而当1a ≥时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组()2221x a y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩的解的个数来加以说明．把2y x =代入()221x a y -+=，整理得：()221210x x a a +-+-=（＊）．此方程的判别式54a ∆=-．可以看到：当54a =时，0∆=；当54a >时，0∆<；当54a <时，0∆>． 事实上，当54a =时，的确有圆与抛物线相切；当54a >时，圆与抛物线无公共点．而当54a <时，虽然有方程（＊）的0∆>，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件0x ≥．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系如下：当1a <-或54a >时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当11a -<<时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当1a =时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当514a <<时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当54a =时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2． 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，它的离心率为3．直线:2l y x =+，它与以原点为圆心，以1C 的短半轴为半径的圆O 相切．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为F ，左准线为1l ．动直线2l 垂直1l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交2l 于点M ．试点M 到圆O 上的点的最短距离． 讲解：（Ⅰ）∵ 直线:2l y x =+与以原点为圆心，以b 为半径的圆相切．∴b =又∵ 椭圆的离心率为3．∴a =∴ 椭圆1C 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆1C 的左焦点F 的坐标为()1,0-，左准线1l 的方程为：3x =-． 连接FM ，则F M P M=．由抛物线的定义不难知道：点M 的轨迹为以F ()1,0-为焦点，以1l ：3x =-为准线的抛物线，其方程为：()242y x =+．所以，点M 到圆O 上的点的最短距离，实际上就是抛物线()242y x =+与圆222x y +=上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A 与圆上点B 之间距离最小，则AB 必过圆心O ．（否则，连接OB 、OA ，设OA 交圆于点N ，则r ＋NA ＝OA<OB ＋AB ＝r ＋AB ，即NA<BA ，与AB 最小矛盾．所以，只需求出圆心O 到抛物线上点的最短距离即可．）在抛物线上任取一点M （x,y ），则MO===由于2x≥-．所以，2MO≥（等号当且仅当2x=-时取得）．所以，上述最短距离为2MO r-=-解法二：用纯代数的方法去思考．设()22,2M m m-为抛物线上任意点，)Qαα为圆上任意点，则()()222222MQ m mαα=-+()2442sin6m mαα=--++()46mαβ=+++()46mαβ=+++46m≥+-(222=-≥-等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为()2,0M-和()Q时取得．点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．例3．已知双曲线1C和椭圆2C有相同的焦点)0,1cF-（和)0()0,(2>ccF，两曲线在第一象限内的交点为P．椭圆2C与y轴负半轴交于点B，且BFP、、2三点共线，2F分有向线段PB的比为1：2，又直线PB与双曲线1C的另一交点为Q，若532=QF．（Ⅰ）求椭圆2C的离心率（Ⅱ）求双曲线1C 和椭圆2C 的方程．讲解：（Ⅰ）要求椭圆2C 的离心率，可以先只考虑与椭圆2C 有关的条件．注意到：B F P 、、2三点共线，且2F 分有向线段PB 的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：()222210x y a b a b +=>>，则点P 的坐标为3, 22b P c ⎛⎫⎪⎝⎭．代入椭圆方程，可解得椭圆的离心率e =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：2222132x y c c +=，点P 的坐标为3, 22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．直线PB 的方程为：)y x c =-设双曲线的方程为：()22221,0x y m n m n-=>，则222m n c +=．∵ 3, 22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线上， ∴ ()222229124c c nc n -=- 化简得：2214n c =．故2234m c =． 将直线PB 的方程代入双曲线方程2222441x y c c-=，消去y ，得：222048270x xc c -+=．解得1239, 210x c x c ==．从而222F F Q x =-==． ∴ 椭圆方程为221128x y +=，双曲线方程为2213x y -=． 点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．。

抽象函数型综合问题题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．范例选讲例1．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<．（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数()f x ．讲解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==．得：()()()110f f f =⋅．因为()10f ≠，所以，()01f =．（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <．在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-．由于210x x ->，所以()2110f x x >->．为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=． ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-．又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >． ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦． ∴ 函数()f x 在R 上单调递减．（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子．()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()10f ax y f -==，即0ax y -+=．由A B ⋂=∅，所以，直线0ax y -+=与圆面221x y +<无公共点．所以，1≥．解得：11a -≤≤．（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．例2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+试回答下列问题：（Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性； （Ⅲ）若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．讲解：（Ⅰ）在()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+中，令0,0m n >=，则有()()()()()010f m f f m f m f +=+．即：()()()()()100f m f m f f m f +=+⎡⎤⎣⎦． 也即：()()()2010f f m ⎡⎤-=⎣⎦．由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()()210f m ⎡⎤-≠⎣⎦，所以()00f =．（Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+，我们可以联想到：是否有()()()()()1f m f n f m n f m f n --=-？（＊）这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立？为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于()00f =，所以，在()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+中，令n m =-，得()()0f m f m +-=．所以，函数()f x 为奇函数．故（＊）式成立． 所以，()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--⎡⎤⎣⎦． 任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<．所以，()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--<⎡⎤⎣⎦所以，函数()f x 在R 上单调递减．（Ⅲ）由于函数()f x 在R 上单调递减，所以，函数()f x 必存在反函数()g x ，由原函数与反函数的关系可知：()g x 也为奇函数；()g x 在()1,1-上单调递减；且当10x -<<时，()0g x >．为了证明本题，需要考虑()g x 的关系式． 在（＊）式的两端，同时用g 作用，得：()()()()1f m f n m n g f m f n ⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦，令()(),f m x f n y ==，则()(),m g x n g y ==，则上式可改写为：()()1x y g x g y g xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭．不难验证：对于任意的(),1,1x y ∈-，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了()g x 的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将2131n n ++写成1x yxy--的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 事实上，由于()()()()()()211112111211131121111212n n n n n n n n n n n n -++++===++++-⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以，21113112g g g n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以，211151131g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112334121122111222g g g g g g n n g g n g g g n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定()0f 的值．。

立体几何综合问题题型预测立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。

增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。

范例选讲例1．如图，已知⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ，1===AD CD BC 。

（1）令x PD =，θ=∠BPC ，试把θtan 表示为x 的函数，并求其最大值；（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使得BAC BQC ∠>∠？讲解 （1）为寻求θtan 与x 的关系，首先可以将θ转化为PBD PCD ∠-∠。

∵ ⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ， ∴ BD PD ⊥。

∴ 2tan ,tan xBD PD PBD x DC PD PCD ==∠==∠。

∴ θtan ()2212tan 2+=⋅+-=∠-∠=x x x x x x PBD PCD 。

∵ AD 为PD 在面ABD 上的射影。

∴ 1=>AD PD ，即1>x 。

∴ θtan 422212122=≤+=+=xx x x。

即θtan 的最大值为42，等号当且仅当2=x 时取得。

（2）由正切函数的单调性可知：点Q 的存在性等价于：是否存在点Q 使得t an BAC BQC ∠>∠tan 。

()31tan tan =∠-∠=∠ABD ACD BAC 。

令θtan 22+=x x 31>，解得：21<<x ，与1>x 交集非空。

∴ 满足条件的点Q 存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例2． 如图所示：正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26。

（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使得EF ⊥侧面PBC 。

是否存在型的探索性问题题型预测一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐．解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．范例选讲例．已知数列{}n a 中，11=a ，且对于任意自然数n ，总有21-=+n n n a a a ，是否存在实数b a ,，使得n n b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32对于任意自然数n 恒成立？证明你的结论． 讲解：nn b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32是一个一般性的结论，为了探求b a ,是否存在，我们可从特殊的n 出发，求出b a ,的值，再检验是否满足一般的条件． 由11=a ，12112a a a ==--，代入nn b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32，可解得1595a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 代入检验，可知当4n =时，一方面由21-=+n n n a a a 得415a =-，另一方面，由nn b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32得4116545a =--，矛盾． 所以，这样的实数b a ,不存在．上述过程是解答这一类问题的一般方法，但对于本题，有它的特殊性．如果对极限的概念较为熟悉，不难发现，如果这样的b a ,存在的话，则由n n b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32，可得：lim n n a a →+∞=． 对21-=+n n n a a a 两边取极限，得2a a a =-，解得0a =或3． 若0a =，则数列{}n a 应该是以1为首项，以23为公比的等比数列，显然，不可能对任意的正整数n 都满足21-=+n n n a a a ；若3a =，将11a =代入n n b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32，可求得b =－3，此时，2333n n a ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，验证2a 即可得出矛盾． 作为探索是否存在的一种手段，后一种方法显然优于前一种．点评：探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法．先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证．例2．已知函数()21bx c y f x ax +==+（,,0,a c R a b ∈>是自然数）是奇函数，()f x 有最大值12，且()215f >． （Ⅰ）试求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）是否存在直线l 与()y f x =的图象只交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点的中点为（1，0）点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．讲解：（Ⅰ）由()f x 为奇函数易知：0c =． 又因为0,a b >是自然数，所以，当0x <时，()f x <0；当0x >时，()0f x >．所以，()f x 的最大值12必在0x >时取得． 当0x >时，()211/bx b f x ax ax x ==≤++，等号当且仅当1/ax x =时取得．12=． 又()215f >，所以，215b a >+．结合0,a b >是自然数，可得：1a b ==．所以，()21x f x x =+． （Ⅱ）对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛盾，或者从部分．．结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分． 根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线l ，则P 、Q 的坐标可为P ()00,x y ，()002,Q x y --．且这两点都在函数()21x f x x =+的图像上．即： ()002000201221x y x x y x ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 消去0y ，得200210x x --=，解得：01x =．所以，1, 1P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭或1, 1P Q ⎛⎛+ ⎝⎭⎝⎭． 所以，直线l 的方程为：014=--y x ．l 的存在性还须通过充分性的检验．把直线l 的方程与函数()21x y f x x ==+联立，不难求得，共有三组解：111 , 1244x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨===-⎪⎪⎪⎩⎩⎩－，－． 因此，直线l 与()y f x =的图象共有三个交点，与“只交于两点”矛盾．所以，满足条件的直线l 不存在．在得到这样的解答之后，我们不妨回头再看一看，在上述过程中，函数()f x 的性质（如奇偶性）并没有得到充分的应用．若能充分运用这个已知条件，则可以得到其他不同的探索过程．解2：设),(),,(2211y x Q y x P ，则由)(x f 为奇函数可知：P 关于原点的对称点),('11y x P --也在()x f 的图像上，又2,02121=+=+x x y y ，所以，2'=Q P ，且轴x Q P //'，故问题等价于： 是否存在直线b y m =:，使得m 与)(x f y =有两个距离为2的交点．将b y m =:代入12+=x x y ，解之得：bb x 241122,1-±=，令221=-x x ，解得：42±=b ，212,1±=x ， 所以，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+42,21,42,21Q P ，此时直线的方程为014=--y x 充分性的检验过程同上．以上两种解法都是从求出直线的方程入手．如果我们将着眼点放在“只交于两点”，则可以得到下面简洁的解法．解3：当直线l 的斜率不存在时，:1l x =，此时l 与函数()f x 的图像只交于一点，不满足题设，所以，可设直线PQ 的方程为：b kx y +=， 与12+=x x y 联立，消去y 得： 0)1(23=+-++b x k bx kx （#）由P 、Q 关于点（1，0）对称，可得：点（1，0）在直线PQ 上，所以，k b -=． 对于上述方程（＃），若0k =，则方程只有一解，不符合题意．若0k ≠，则方程（#）的实根个数可能为1个或3个．不可能有两个．即过点（1，0）的直线l 与()y f x =的图象不可能只有两个交点，所以，这样的直线不存在．点评：敏锐的观察，丰富的想象，是进行有效探索的法宝．例3．已知}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和． （Ⅰ）用n S 表示1+n S ；（Ⅱ）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立． 讲解：（Ⅰ）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，得 )(221211411N n S S n n n ∈+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++． （Ⅱ）为了探求自然数c 和k 的存在性，我们可以执果索因，用分析法．要使21>--+c S c S k k ，只要0223<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--kk S c S c ． 因为42114<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k S ，所以N)(k S S S k k k ∈>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--0212223，故只要 N)(k S c S k k ∈<<-223． ① 到此为止，可以看出，问题已转化为：是否存在自然数k ，使得在322k S -和k S 之间存在一个自然数c ？ 因此，我们需考察322k S -与k S 的表达式．注意到： 362422k k S -=-，1412k k S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以，当3k ≥时，3322k S <-，4k S <，故只需考虑1,2k =的情形． 又1k =时，3212k S -=，2k S =；2k =时，35222k S -=，3k S =．所以，均不可能存在自然数c 满足条件．点评：如果将上述问题（Ⅱ）改为：“是否存在自然数c ，使得对于任意的自然数k ，都有21>--+cS c S k k 成立？”是否有更简洁的解法？请读者思考．。