2020高考数学(文)复习配套练习题：第二章+1+第1讲 新题培优练+Word版含解析

2020高考仿真模拟(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，已知集合M ＝{x |x 2－4>0}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <－2}B ．{x |x >3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |x ≥3或x <－2}答案 D解析 由题可得M ＝{x |x 2－4>0}＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，又图中阴影部分所表示的集合是(∁U N )∩M ，即为{x |x ≥3或x <－2}，故选D.2．若复数z 满足z 2＝－4，则|1＋z |＝( ) A ．3 B. 3 C ．5 D. 5 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R )，则(x ＋y i)2＝－4， 即x 2－y 2＋2xy i ＝－4，所以⎩⎨⎧x 2－y 2＝－4，2xy ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝±2，所以z ＝±2i，|1＋z |＝|1±2i|＝5，故选D.3．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050根据表中数据，得到K2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，若已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为( )A．25% B．5% C．1% D．10%答案 B解析由K2≈4.844，对照临界值得4.844＞3.841，由于P(K2≥3.841)≈0.05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%.故选B.4．以下程序框图的功能是解方程12＋22＋…＋n2＝(n＋1)(n＋2)，则输出的i为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析执行程序框图，i＝1，S＝12＝1，N＝(1＋1)(1＋2)＝6，S≠N；i＝2，S＝1＋22＝5，N＝(2＋1)(2＋2)＝12，S≠N；i＝3，S＝5＋32＝14，N＝(3＋1)(3＋2)＝20，S≠N；i ＝4，S＝14＋42＝30，N＝(4＋1)(4＋2)＝30，S＝N.输出的i为4，结束，故选B.5．已知f(x)＝ln xx，其中e为自然对数的底数，则( )A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(e)>f(2)>f(3) D．f(e)>f(3)>f(2) 答案 D解析f(x)＝ln xx，f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，解得x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故f(x)在x＝e处取得最大值f(e)，f(2)－f(3)＝ln 2 2－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 96<0，∴f(2)<f(3)，则f(e)>f(3)>f(2)，故选D.6．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形(图中阴影部分)区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是( )A.13πB.12π＋1C.1π＋1D.2π答案 B解析阴影部分的面积等于π16－⎝⎛⎭⎪⎫π16－12×12×12＝18，所以根据几何概型得阴影所示月牙形区域的概率P＝1818＋π4＝11＋2π.故选B.7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝12，a2a6＝8(a4－2)，则S2020＝( ) A．22019－12B．1－⎝⎛⎭⎪⎫122019C．22020－12D．1－⎝⎛⎭⎪⎫122020答案 A解析由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a24＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝12q3，故q＝2，所以S 2020＝12(1－22020)1－2＝22019－12，故选A.8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 B解析 根据题意可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B. 9．设a ＝log 20182019，b ＝log 20192018，c ＝201812019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 答案 C解析 因为1＝log 20182018>a ＝log 20182019>log 20182018＝12，b ＝log 20192018<log 20192019＝12，c ＝201812019>20180＝1，故c >a >b ，故选C.10．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1答案 C解析令g(x)＝f(x)－1＝x3－2x＋e x－1e x，x∈R.则g(－x)＝－x3＋2x＋1e x－e x＝－g(x)，∴g(x)在R上为奇函数．∵g′(x)＝3x2－2＋e x＋1e x≥0－2＋2＝0，∴函数g(x)在R上单调递增．∵f(a－1)＋f(2a2)≤2可化为f(a－1)－1＋f(2a2)－1≤0，即g(a－1)＋g(2a2)≤0，即g(2a2)≤－g(a－1)＝g(1－a)，∴2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤12.∴实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.故选C.11.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )A.23B.49C.269D.827答案 B解析设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝33R，S球＝4πr2＝4π·⎝⎛⎭⎪⎫33R2＝4π3R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比为S球S圆锥＝4π3R23πR2＝49，故选B.12．已知函数f(x)为R上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当x∈(0,2)时，f(x)＝x3，则函数f(x)在区间[2018,2021]上( )A．无最大值B．最大值为0C．最大值为1 D．最大值为－1答案 C解析 因为函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，所以f (4－x )＝－f (x )．又函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (－x )．令t ＝－x ，得f (4＋t )＝f (t )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，f (－2)＝－f (2)，由函数f (x )的周期为4，得f (－2)＝f (2)，所以－f (2)＝f (2)，解得f (2)＝0.所以f (－2)＝0.依此类推，可以求得f (2n )＝0(n ∈Z )．作出函数f (x )的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数f (x )在区间[2018,2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样. 观察图象可知，函数f (x )在区间(－2,1]上单调递增，且f (1)＝13＝1，又f (－2)＝0，所以函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值是1，故函数f (x )在区间[2018,2021]上的最大值也是1.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝π3，若向量a ＝e 1－2e 2，则|a |＝________.答案3解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以|a |2＝|e 1－2e 2|2＝1－4|e 1||e 2|cos π3＋4|e 2|2＝1－4×1×1×12＋4＝3，即|a |＝ 3.14．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，3x －y －3≤0，x ＋y －1≥0，目标函数z ＝ax ＋y 的最大值M ∈[2,4]，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析 可行域如图阴影部分所示，当a ≥0时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(2,3)时，z 有最大值2a ＋3，故2≤2a ＋3≤4，得0≤a ≤12.当－1<a <0时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(2,3)时，z 有最大值2a ＋3，因2≤2a ＋3≤4，故－12≤a <0.当a ≤－1时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(0,1)时，z 有最大值1，不符合题意，故舍去．综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.15．在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．答案 24解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD ，其中，底面ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，侧棱DB ，EC ，FA 与底面垂直，且DB ＝2，EC ＝FA ＝5.过点D 作DH ∥BC ，DG ∥BA ，交EC ，FA 分别于H ，G ，连接GH ，则棱柱ABC －DHG 为直棱柱，四棱锥D －EFGH 的底面为矩形EFGH ，高为BA .所以V 五面体ABCEFD ＝V ABC －DHG ＋V D －EFGH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×3×2＋13×32×4＝24.16．对任一实数序列A ＝{a 1，a 2，a 3，…}，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________.答案 100解析 令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， …a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1 ＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋(n －1)(n －2)2， 分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎨⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0，解得a 1＝2312，a 2＝100. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；(2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6,8)组中的概率．解(1)由直方图可得，0.06×2＋0.08×2＋0.2×2＋2m＋0.06×2＝1，所以m＝0.1，该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间为1×0.12＋3×0.16＋5×0.4＋7×0.2＋9×0.12＝5.08.故m的值为0.1，该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均时间为5.08 h.(2)由直方图可得，[4,6)中有20人，[6,8)中有10人，根据分层抽样，需要从[4,6)中抽取4人分别记为A1，A2，A3，A4，从[6,8)中抽取2人分别记为B1，B2，再从这6人中抽取2人，所有的抽取方法有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A 2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的．其中恰有一人在[6,8)组中的抽取方法有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8种，所以，从这6人中抽取2人，恰有1人在[6,8)组中的概率为815 .18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3ca cos B＝tan A＋tan B.(1)求角A的大小；(2)设AD为BC边上的高，a＝3，求AD的取值范围．解 (1)在△ABC 中，∵3ca cos B ＝tan A ＋tan B ，∴3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ， ∴3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，∴AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，∴0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴0<AD ≤32.19．(本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE )．(1)证明：AE ⊥PB ；(2)当四棱锥P －ABCE 体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．解 (1)证明：如图，在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O . ∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形．在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝π3，∠DAB ＝∠ABC ＝2π3，在△ABD 中，AB ＝AD ，∴∠ADB＝∠ABD＝π6，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝π2，∴BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE.又∵OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P－ABCE的体积最大时平面PAE⊥平面ABCE，又∵平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝32，∴PB＝62，∵AP＝AB＝1，∴cos∠PAB＝1＋1－322＝14，∴sin∠PAB＝15 4，∴S△PAB＝12AP·AB sin∠PAB＝158.又∵V三棱锥P－ABC＝13OP·S△ABC＝13×32×34＝18，设点C 到平面PAB 的距离为d ， ∴d ＝3V 三棱锥C －PABS △PAB＝38158＝155. 所以当四棱锥P －ABCE 体积最大时，点C 到平面PAB 的距离为155. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．解 (1)依题意F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，p ＝2.当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，化简得y 2－2pky －p 2＝0.由y 1y 2＝－4得p 2＝4，p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，易知t ≠0，则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t2，－4t .因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t ，故直线AD ：y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8t2＝0.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，2x －ty －4－8t 2＝0，化简得y 2－2ty －8－16t 2＝0，所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t 2.所以|AD |＝1＋t 24|y 1－y 0| ＝1＋t 24·(y 1＋y 0)2－4y 1y 0＝4＋t 2t 2＋16t2＋8.设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t2. 所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋16t 2＋83≥16，当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时△ABD 的面积取得最小值16.当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0； 当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －x ＋a (其中a ∈R ，e 为自然对数的底数，e ＝2.71828……)．(1)若f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设t 为整数，对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n n <t ，求t 的最小值．解 (1)因为f (x )＝e x －x ＋a (x ∈R )， 所以f ′(x )＝e x－1.令f ′(x )＝e x －1＝0，得x ＝0；f ′(x )＝e x －1>0时，x >0；f ′(x )＝e x －1<0时，x <0. 所以f (x )＝e x －x ＋a 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝e x －x ＋a 的最小值为f (0)＝e 0－0＋a ＝1＋a .由f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )min ≥0，即1＋a ≥0，所以a ≥－1，即实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．(2)由(1)知e x －x －1≥0，即1＋x ≤e x ，令x ＝－kn(n ∈N *，k ＝0,1,2，…，n －1)，则0<1－k n≤e－k n，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－k n n ≤(e－kn)n ＝e －k，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n n ≤e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －2＋e －1＋e 0＝1－e －n 1－e －1<11－e －1＝e e －1＝1＋1e －1<2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n n <2，又⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫333>1，所以t 的最小值为2. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ，B 两点，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，求|OA |＋|OB |的取值范围．解 (1)由题意可得，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以M 的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0，得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，Δ＝4sin2α>0，所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，根据极坐标的几何意义，|OA |，|OB |分别是点A ，B 的极径． 从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝ 22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2，故|OA |＋|OB |的取值范围是(2,22]． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋2)≤3； (2)若a <0，求证：f (ax )－f (5a )≥af (x )． 解 (1)不等式化为|x －5|＋|x －3|≤3.当x <3时，原不等式等价于－2x ≤－5，即52≤x <3；当3≤x ≤5时，原不等式等价于2≤3，即3≤x ≤5； 当x >5时，原不等式等价于2x －8≤3，即5<x ≤112. 综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，112.(2)证明：由题意，得f (ax )－af (x )＝|ax －5|－a |x －5| ＝|ax －5|＋|－ax ＋5a |≥|ax －5－ax ＋5a |＝|5a －5|＝f (5a )，所以f (ax )－f (5a )≥af (x )成立．。

2020新高考文科数学二轮培优基础保分强化试题二1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A 解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C. 4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4 答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

2020高考数学一轮复习 第2章 章末强化训练 文 新课标版一、选择题(本大题共12小题，每小题6分，共72分）1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0. 又因为f(x+2)=-f(x),所以f(2)=-f(0)=0,所以f(4)=-f(2)=0,所以f(6)=-f(4)=0.故应选B. 答案：B2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A.1y x =B.2xy -= C.1lg 1x y x-=+ D.||y x =- 解析：B 、D 都不是奇函数，排除B 、D.因1y x=在 (-∞，0），（0，+∞)上分别是减函数，在定义域（-∞,0)∪(0,+∞)上为非减函数，排除A.故应选C. 答案：C 3.函数214lg()32y x x=+--的定义域是（ ）A.［-2，2］B.32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.[)32,11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭UD.[)32,11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦U4.幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调递增区间是（ ）A.(0,+∞)B.［0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析：设ny x =,则2n=14,所以n=-2.所以幂函数是2y x -=,故应选C.答案：C5.若函数()log a f x x =(0<a<1)在区间［a,2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）A.24 B. 22 C. 14 D. 127.函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为 （ ）A. 5(,)2+∞ B.(3,+∞) C. 5(,)2-∞ D.(-∞,2)解析：因为2560x x -+>,所以x>3或x<2.所以原函数的单调增区间为（-∞,2). 故选D. 答案：D8. (2020届·福建六校联考）已知函数f(x)=( 2x -3x+2)ln x+2 009x-2 010,则函数f(x)在下面哪个范围内必有零点 （ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（2，4）解析：因为f(1)f(2)=-1×(4 018-2 010)<0,故f(x)在（1，2）内必有零点，而其余选项皆不符合，故选B. 答案：B9.已知函数f(x)=x 2+bx+c,x ∈［-1,2］的最小值为f(-1)，则b 的取值范围是 （ ） A.(-∞,2］ B.(-∞,-2］ C.［-4,2］ D.［2,+∞) 解析：依题意得f(x)=x 2+bx+c 在［-1，2］上为增函数，则12b-≤-⇒b ≥2.选Ｄ. 答案：D10.设f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)= 2x+x,则当x<0时，f(x)=（ ） A. 1()2x x -- B. 1()2x x -+ C. 2x x --D. 2x x -+解析：当x<0时，则-x>0,所以f(-x)= 2.x x --又f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(-x)= 1()2x x -+.故选B. 答案：B11.设函数2()4f x x x =-+在［m,n ］上的值域是［-5，4］，则m+n 的取值所组成的集合为 （ ） A.［0,6］ B.［-1,1］ C.［1,5］ D.［1,7］ 解析：由-2x +4x=4得x=2，由-2x +4x=-5,解得x=5或x=-1,结合二次函数的图象知-1≤m ≤2,2≤n ≤5,故-1+2≤m+n ≤2+5,即1≤m+n ≤7. 答案：D12.设函数y=3x 与y=21()2x -的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是 （ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析：如图所示，当x=1时，=3x =1, 21()2x -=2,所以21()2x ->3x ；当x=2时，3x =8, 21()2x -=1,所以3x >21()2x -,所以y=3x 与y=21()2x -的交点横坐标0x 满足1<0x <2.故应选B.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 13.若函数y=log a (x+m)+n(a>0,且a ≠1)经过定点（3，-1），则m+n= . 解析：由已知得不论a 取何值总有f(3)=-1, 即log a (3+m)+n=-1,所以必有3+m=1, 这时m=-2,n=-1,故m+n=-3. 答案：-314.方程223x x -+=的实数解的个数为 .解析：方程变形为2132()2x x x --==,令213,()2x y x y =-=.在同一坐标系下作出23y x =-与1()2x y =的图象.由图象可知两函数图象有2个交点.答案：215.设函数2|1|2,||1;()1,||1,1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩则f(f(1))= .解析：f(1)=|1-1|-2=-2,所以f(f(1))=f(-2)= 11145=+. 答案：1516.设a,b ∈R 且a ≠2,若定义在区间（-b,b)内的函数1()lg 12axf x x+=+是奇函数，则a+b 的取值范围是 .解析：由f(-x)+f(x)=0得2222211,(4)0,14a x a x x -=-=- 从而a=-2,所以12()lg 12xf x x-=+. 从而12012x x ->+,所以1122x -<<,所以（-b,b)11(,)22⊆-,所以0<b ≤12,故-2<a+b ≤32-.答案：32,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共4小题，共54分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（2020届·珠海模拟）（13分）二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式；（2）在区间［-1，1］上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围.解：（1）设f(x)= ax 2+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax 2+bx+1. 因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x,18.（13分）已知函数||1()2x mf x a+⎛⎫=+⎪⎝⎭，且f(x)为偶函数.(1)求m的值；（2）若方程f(x)=0有两个实数解，求a的取值范围. 解：（1）因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)恒成立，即||||1122x m x ma a+-+⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以|x+m|=|x-m|恒成立，故必有m=0.(2)由（1）知||1()2xf x a⎛⎫=+⎪⎝⎭,方程f(x)=0即为||12xa⎛⎫+=⎪⎝⎭,||12xa⎛⎫=-⎪⎝⎭,方程f(x)=0有两个实数解，即函数||1()2xg x⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与y=-a的图象有两个交点，画出y=g(x)的图象（如图），可知当0<-a<1,即-1<a<0时，两图象有两个交点，即方程f(x)=0有两个实数解.19.（2020届·临沂模拟）（14分）如图所示，图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象，图2是函数g(x)=log a(x+b)的部分图象.(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；（2）如果函数y=g［f(x)］在区间［1,m)上单调递减，求m的取值范围.(2)由（1）得y=g［f(x)］=log2(-2x2+4x+1)是由y=log2t和t=-2x2+4x+1复合而成的函数，而y=log2t在定义域上单调递增，要使函数y=g［f(x)］在区间［1，m）上单调递减，必须使t=-2x2+4x+1在区间［1，m)上单调递减，且有t>0恒成立.由t=0得262t±=,又t的图象的对称轴为x=1,所以满足条件的m的取值范围为26 1m+<<20.(14分）已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x+2x.（1）求x<0时，f(x)的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a,b且a<b，当x∈［a,b］时，f(x)的值域为［4a-2,6b-6］?若存在，求出所有的a,b值；若不存在，请说明理由.。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数 学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ） （B ）1i -1i -+（C ） （D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4） 已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ） （B ）1 C ） （D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。

[基础题组练]1．(2019·山西45校联考)“若a ≥2或a ≤－2，则a 2≥4”的否命题是( )A ．若a ≤2，则a 2≤4B ．若a ≥2，则a 2≤4C ．若－2<a <2，则a 2<4D ．若a ≥2，则a 2<4解析：选C.将原命题的条件和结论同时否定之后可得否命题，故原命题的否命题为“若－2<a <2，则a 2<4”．故选C.2．(2019·湖北五校联考)已知直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1平行于l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由直线l 1与直线l 2平行得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，舍去，所以“m ＝2”是“l 1平行于l 2”的充要条件，故选C.3．(2019·南昌摸底调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m ·n <0成立；当θ＝π时，m ·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题的个数为2. 答案：27．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )．设p ：x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，q ：m －3<f (x )<m ＋3.若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：因为p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1，2]，又因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －3<1，m ＋3>2，解得－1<m <4，即m 的取值范围是(－1，4)．[综合题组练]1．(2019·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m，2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D.因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角α的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，故D 正确．故选D.2．(应用型)(2019·陕西西安模拟)若“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[－3，3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1，1]解析：选D.因为“x>2m2－3”是“－1<x<4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.3．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．答案：①②③4．(应用型)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞2。

2020新高考文科数学二轮培优椭圆、双曲线、抛物线考点考向考题点拨「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线方程)．2．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：□01a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：□02c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为□03y ＝±b a x ；焦点坐标F 1□04(－c,0)，F 2□05(c,0)； ②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为□06y ＝±a b x ，焦点坐标F 1□07(0，－c )，F 2□08(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p >0)的焦点坐标为□09⎝⎛⎭⎪⎫±p 2，0□10∓p ； ②抛物线x 2＝±2py (p >0)的焦点坐标为□11⎝⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为□12y ＝∓p 2. 3．弦长问题(1)弦长公式设直线斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或 |AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2| ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. (2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝□01x 1＋x 2＋p . 热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．10答案 B解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN→＝3FM →，可知|MF |＝|MP |＝|NP |.又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′.∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN .∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|.设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a .在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝12|PF ′|＝3a .在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2，∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7.故选B ．(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92x D ．y 2＝9x 答案 B解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线与x 轴的交点为G ，|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°.在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1.∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(3)已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|QF |，且∠PFQ ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A ．13B ．12C ．33D ．22答案 C解析 解法一：设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，QF 1.根据对称性，线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形PFQF 1是平行四边形，|FQ |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PFQ ＝60°，根据椭圆的定义，|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|QF |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos60°，得c 2a 2＝13，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.故选C ．解法二：设F 1是椭圆E 的右焦点，连接PF 1，QF 1.根据对称性，线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形PFQF 1是平行四边形，|FQ |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PFQ ＝60°，又|FP |＝2|PF 1|，所以△FPF 1是直角三角形，∠FF 1P ＝90°，不妨设|PF 1|＝1，则|FP |＝2，|FF 1|＝2c ＝|PF |2－|PF 1|2＝22－12＝3，根据椭圆的定义，2a ＝|PF |＋|PF 1|＝1＋2＝3，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.故选C ．圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． (3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．1．(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点、F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( )A ． 3B ．2C ． 6D ．4答案 C解析 画出图形如图所示，AD ⊥F 1D ，根据抛物线的定义可知|AF 2|＝|AD |＝52，故cos ∠F 1AD ＝57，也即cos ∠AF 1F 2＝57，在△AF 1F 2中，由余弦定理得 57＝494＋|F 1F 2|2－2542×72×|F 1F 2|， 解得|F 1F 2|＝2或|F 1F 2|＝3，由于∠AF 2F 1为钝角，故|AD |>|F 1F 2|，所以|F 1F 2|＝3舍去，故|F 1F 2|＝2.而sin ∠AF 1F 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫572＝267，所以S △AF 1F 2＝12×72×2×267＝ 6.故选C ．2．(2019·宣城市高三第二次调研)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF 1交椭圆于点Q ，若PF 2⊥PQ ，且|PF 2|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A ．6－ 3B ．2－1C ．3－ 2D ．2－ 2答案 A解析 PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形，设|PF 2|＝t ，则|QF 2|＝2t ，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －t,2t ＋2t ＝4a ，则t ＝2()2－2a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2＋(2a －t )2＝4c 2，4(6－42)a 2＋(12－82)a 2＝4c 2，化为c 2＝(9－62)a 2，可得e ＝ca ＝6－ 3.故选A ．3．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155 C ．4＋155 D ．22＋1答案 D解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1.故选D ．考向2 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2019·宣城市高三第二次调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x答案 A解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°， ∴c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a .∴ba ＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A ．(2)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ．52答案 A解析 设|QF 1|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|PQ |＝2x ，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝3x －2a ，|QF 2|＝x ＋2a ，在Rt △QPF 2中，|QP |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2，即(2x )2＋(3x －2a )2＝(2a ＋x )2，可得x ＝43a .在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3x )2＋(3x －2a )2＝(2c )2，整理可得c 2＝5a 2，所以e ＝ca ＝ 5.故选A ．1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab 的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用渐近线的斜率k 求离心率e ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的斜率k 与离心率e 之间满足关系式e 2＝1＋k 2.1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，l 在y 轴上的截距为1，若|AF 1|＝2|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则此椭圆的短轴的长为( )A ．5B ．2 5C ．10D ． 5答案 B解析 ∵AF 2⊥x 轴，l 在y 轴上的截距为1，∴A (c,2)，又|AF 1|＝2|F 1B |，∴B (－2c ，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋4b2＝1，4c 2a 2＋1b 2＝1，∴16b 2－1b 2＝3，即b 2＝5，∴b ＝5，故选B ．2．(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A ．1＋172B ．1＋174C ．2＋52D ．2＋54答案 A解析 由题意得，F (－c,0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－ba x ，将x ＝－c 代入y ＝－b a x 得y ＝bc a ，∴bca ＝2a ，即bc ＝2a 2，∴4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，∴e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A ．考向3 直线与圆锥曲线 角度1 弦中点、弦分点问题例3 (1)已知椭圆E ：x 29＋y 24＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，则l 的方程为( ) A ．2x ＋9y －10＝0 B ．2x －9y －10＝0 C ．2x ＋9y ＋10＝0 D ．2x －9y ＋10＝0答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式作差并化简整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2＝29，直线l 的方程为y －1＝29⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －9y ＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D ．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线C 的离心率的最小值为________．答案 2解析 因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故点A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，即3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，故e ≥2，所以双曲线C 的离心率的最小值为2.(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题．(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．52答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2， 则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32.故选B ．2．(2019·汉中市重点中学高三联考)已知抛物线C ：y 2＝6x ，直线l 过点P (2,2)，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．54C ．32D ．14答案 C解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)代入C ：y 2＝6x ，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝6x 1， ①y 22＝6x 2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．因为线段MN 的中点恰好为点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，从而4(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)，即l 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝32.故选C ．角度2 弦长问题例4 (2019·宜宾市高三第二次诊断)已知点M 到定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝9相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于A ，B 两点，求证：△F AB 的周长为定值．解 (1)设M (x ，y )，由题意得(x －4)2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －254＝45，∴x 225＋y 29＝1为点M 的轨迹C 的方程．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知k >0，m <0， ∵直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝9相切， ∴|m |k 2＋1＝3，即m 2＝9(k 2＋1)， 把y ＝kx ＋m 代入x 225＋y 29＝1，得(25k 2＋9)x 2＋50kmx ＋25m 2－225＝0， 显然Δ>0，x 1＋x 2＝－50km25k 2＋9，x 1x 2＝25m 2－22525k 2＋9， ∴|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－50km 25k 2＋92－4×25m 2－22525k 2＋9 ＝120k k 2＋125k 2＋9，|F A |＋|FB |＝5－45x 1＋5－45x 2＝10－45(x 1＋x 2)＝10＋40km25k 2＋9＝10－120k k 2＋125k 2＋9，∴|F A |＋|FB |＋|AB |＝10， ∴△F AB 的周长为定值10.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．(2019·云南省高三第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点，左焦点F 1、右焦点F 2都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，△F 1MF 2的面积的最大值为3，在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 只有一个．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(－1,0)的两直线l 1，l 2分别与椭圆E 交于点A ，B 和点C ，D ，且l 1⊥l 2，比较12(|AB |＋|CD |)与7|AB ||CD |的大小．解 (1)根据已知设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c ＝a 2－b 2. 在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点． 当点M 是短轴的端点时，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝3，MF 1→·MF 2→＝b 2－c 2＝2，c ＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.若直线AB 的斜率为0或不存在时，|AB |＝2a ＝4且|CD |＝2b 2a ＝3或|CD |＝2a ＝4且|AB |＝2b 2a ＝3.由12(|AB |＋|CD |)＝12×(3＋4)＝84， 7|AB ||CD |＝7×3×4＝84， 得12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.若AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，于是|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12(k 2＋1)4k 2＋3.同理可得|CD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋3＝12(k 2＋1)3k 2＋4.∴1|AB |＋1|CD |＝3k 2＋4＋4k 2＋312(k 2＋1)＝712.∴12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |. 综上，12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.真题押题『真题模拟』1．(2019·天津高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 D解析 由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±ba x ，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，所以|AB |＝2b a ＝4|OF |＝4，所以ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ca ＝ 5.故选D ．2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C ．x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D ．4．(2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．33C ．12D ．32答案 B解析 延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′.根据题意|AF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝2|FB |，所以|FB |＝a2.根据椭圆定义|BF ′|＋|BF |＝2a ，所以|BF ′|＝3a2.在△AFF ′中，由余弦定理得cos ∠F ′AF ＝|F ′A |2＋|F A |2－|F ′F |22|F ′A |·|F A |＝2a 2－4c 22a 2.在△AF ′B 中，由余弦定理得cos ∠F ′AB ＝|F ′A |2＋|AB |2－|BF ′|22|F ′A |·|AB |＝13，所以2a 2－4c 22a 2＝13，解得a ＝3c ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝33.故选B ．5．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ．『金版押题』6．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋2a －|PE |＝|PQ |－|PE |＋2 2.当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，|PQ |＋|PF |取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线的离心率为________．答案 233解析 设右焦点F (c,0)，渐近线OM ，ON 的方程分别为y ＝b a x ，y ＝－ba x . 不失一般性，设过F 的垂线为x ＝－ba y ＋c . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x ＝－b a y ＋c得y N ＝－bc a 1－b 2a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x ＝－bay ＋c得y M ＝bca 1＋b 2a 2.因为2M F →＝FN →，所以－2y M ＝y N ， 即－2bc a 1＋b 2a 2＝－bc a 1－b 2a 2， 易解得b 2a 2＝13， 所以e ＝1＋b 2a 2＝1＋13＝233.配套作业一、选择题1．(2019·抚顺市高三第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OA |<2，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，52C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2 D ．(1，2)答案 C解析 双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)中，右顶点为A (a 2＋1，0)，∴|OA |＝a 2＋1<2，∴1<a 2＋1<4，∴1>1a 2＋1>14，∵c 2＝a 2＋1＋1＝a 2＋2，∴c ＝a 2＋2，∴e ＝a 2＋2a 2＋1＝a 2＋2a 2＋1＝1＋1a 2＋1， ∴1＋14<e <1＋1，即52<e < 2.故选C ．2．若圆锥曲线C ：x 2＋my 2＝1的离心率为2，则m ＝( ) A ．－33 B ．33 C ．－13 D ．13答案 C解析 因为圆锥曲线C 的离心率为2，故为双曲线，所以m <0，方程为x 2－y 2－1m＝1，所以a 2＝1，b 2＝－1m ，c 2＝1－1m ，e ＝2， ∴1－1m ＝4，∴m ＝－13.故选C ．3．(2019·德阳市高三第二次诊断)已知抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则抛物线的方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝－8yC ．x 2＝2yD ．x 2＝－4y 或x 2＝4y答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线为y ＝－p 2，∵抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，∴－p2＝2，解得p ＝－4.抛物线方程为x 2＝－8y .故选B ．4．(2019·新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，若在椭圆上存在一点P ，使得△PF 1F 2的内心I 与重心G 满足IG ∥F 1F 2，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．23 C ．13 D ．12答案 D解析 设P (x 0，y 0)，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则△PF 1F 2的重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03.因为IG ∥F 1F 2，所以△PF 1F 2的内心I 的纵坐标为y 03.即△PF 1F 2的内切圆半径为|y 0|3.由△PF 1F 2的面积S ＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)r ，S ＝12|F 1F 2||y 0|及椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得12(2a ＋2c )|y 0|3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×2cy 0，解得e ＝12.故选D ． 5．过双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝6，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(0，6]D ．(0，6)答案 D解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，|AB |＝6，且可作两条，则要求2b 2a <6，a ＝2，即b 2<6，又b >0，故b 的取值范围为(0，6)，故选D ．6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( )A ．24B ．8C ．12D ．16答案 A解析 由题意可知斜率k 存在，设直线斜率为k ，即y ＝k (x －1)，与y 2＝4x联立，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.∵O 到AB 的距离d ＝|k |1＋k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k 2＋4k 2，∴26＝12·|k |1＋k2·4k 2＋4k 2，∴k 2＝15，∴|AB |＝45＋415＝24.故选A ．7．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( )A ．4 3B ．313C ．14D ．2 3答案 D解析 ∵双曲线右焦点为(2,0)，∴抛物线焦点为(2,0)，∴y 2＝8x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2.∴直线AB 斜率为2，又过点M (2,2)，∴直线AB 方程为y ＝2x －2.将直线AB 方程与y 2＝8x 联立得x 2－4x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴|AB |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×16－4＝215.又∵O 到AB 的距离d ＝25＝255.∴S △AOB ＝12×215×255＝2 3.故选D ．8．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线C 1：y 2＝4x ，圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，过C 1的焦点F 的直线从上至下依次交C 1，C 2于点A ，B ，C ，D ．若|FD |＝|AB |，O 为坐标原点，则OF →·DA→＝( )A ．－2B ．1C ．4D ．2 3答案 B解析 由题可设A (a 2,2a )，D (d 2,2d )，其中a >0，d ＜0.又焦点F (1,0)，所以|FD |＝1＋d 2，|F A |＝1＋a 2，所以|AB |＝|F A |－|FB |＝a 2，由题得1＋d 2＝a 2，所以a 2－d 2＝1.所以OF →·DA →＝(1,0)·(a 2－d 2,2a －2d )＝a 2－d 2＝1，所以OF →·DA →＝1.故选B ．二、填空题9．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与y 轴交于点D ，过点F 作直线交抛物线E 于A ，B 两点，若AB ⊥AD 且|BF |＝|AF |＋4，则p 的值为________．答案 2解析 当k 不存在时，直线与抛物线不会交于两点．当k 存在时(如图)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. 则有x 21＝2py 1，x 22＝2py 2，联立直线与抛物线方程得⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，整理得x 2－2pkx －p 2＝0，所以x 1x 2＝－p 2，x 1＋x 2＝2pk ，所以y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋p 2＝p 24，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，p 2－y 1，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，－p 2－y 1又AB ⊥AD ，所以－x 1(－x 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫p 2－y 1⎝⎛⎭⎪⎫－p 2－y 1＝0，整理得x 21＋y 21＝p 24，即2py 1＋y 21＝p 24，解得y 1＝5－22p .因为y 1y 2＝p 24，所以y 2＝5＋22p ，又|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，代入|BF |＝|AF |＋4得，y 2＋p 2＝y 1＋p2＋4.解得p ＝2.10．已知椭圆x 216＋y 24＝1上的两点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，则弦AB 的中点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得2x 0(x 1－x 2)16＋2y 0(y 1－y 2)4＝0，因为点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 08－y 02＝0，即x 0＝4y 0.又点M (x 0，y 0)在直线2x －2y －3＝0上，所以x 0＝2，y 0＝12，即弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.三、解答题11．(2019·甘肃省高三第一次高考诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)与x 轴不垂直的直线l 经过N (0，2)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1整理可得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0，Δ＝(82k )2－16(1＋4k 2)>0，解得k >12或k <－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1·x 2＝41＋4k 2，∴y 1y 2＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2，∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴OA →·OB→<0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(1＋k 2)·41＋4k 2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－82k 1＋4k 2＋2<0，解得k <－62或k >62.故直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－62∪⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞. 12．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线L ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点M (5,0)的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，|AC |的最小值为4.(1)求抛物线L 的方程；(2)记△ABC ，△AFM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最小值．解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC |min ＝2p ＝4，∴p ＝2，∴抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)如图，设直线AB ：x ＝ty ＋5， 直线AC ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋5，y 2＝4x ，整理得y 2－4ty －20＝0， ∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－20，同理可得y 1y 3＝－4，从而C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－4y 1， 点C 到AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋4t y 1－51＋t 2＝11＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21＋4， |AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝1＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1，∴S 1＝12·11＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21＋4·1＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1＝2|y 1|·⎝⎛⎭⎪⎫4y21＋1(y 21＋20)． 又S 2＝12×4×|y 1|＝2|y 1|，∴S 1·S 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21＋1(y 21＋20)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋80y 21＋24≥4×(85＋24)＝96＋32 5. 当且仅当y 21＝45，即A (5，±245)时，S 1·S 2有最小值96＋32 5.13．(2019·河南省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若△P AB 面积的最大值为23，椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程；(2)过B 点作圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2(0<r <2)的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S △P AB 最大，此时S △P AB ＝12×2ab ＝ab ＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝23，c a ＝12，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆O 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点B (2,0)与圆E 相切的直线方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0， 因为直线与圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2相切， 所以d ＝|－2－2k |k 2＋1＝r ， 即得(4－r 2)k 2＋8k ＋4－r 2＝0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1k 2＝1，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 21)x 2－16k 21x ＋16k 21－12＝0，∴2x 1＝16k 21－123＋4k 21，即x 1＝8k 21－63＋4k 21，∴y 1＝－12k 13＋4k 21， 同理x 2＝8k 22－63＋4k 22＝8－6k 214＋3k 21，y 2＝－12k 23＋4k 22＝－12k 14＋3k 21. ∴k CD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12k 14＋3k 21－－12k 13＋4k 218－6k 214＋3k 21－8k 21－63＋4k 21＝k 14(k 21＋1)， 所以直线CD 的方程为y ＋12k 13＋4k 21＝k 14(k 21＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 21－63＋4k 21. 整理得y ＝k 14(k 21＋1)x －7k 12(k 21＋1)＝k 14(k 21＋1)(x －14)，所以直线CD 恒过定点(14,0)．14．(2019·日照市高三联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上在第一象限内的点H (1，t )到焦点F 的距离为2.(1)若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，过点M ，H 的直线与该抛物线相交于另一点N ，求|NF |的值；(2)设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝94(其中O 为坐标原点)．①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；②过点Q 作AB 的垂线与该抛物线交于G ，D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值．解 (1)∵点H (1，t )在抛物线E 上，∴1＋p2＝2，解得p ＝2， 故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，所以当x ＝1时，t ＝2或t ＝－2(舍去)，∴直线MH 的方程为y ＝85x ＋25，联立y 2＝4x 可得，x N ＝116，|NF |＝x N ＋p 2＝1＋116＝1716.(2)①证明：设直线AB ：x ＝my ＋t ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立抛物线方程可得y 2－4my －4t ＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，由OA →·OB →＝94得，(y 1y 2)216＋y 1y 2＝94，解得y 1y 2＝－18或y 1y 2＝2(舍去)，即－4t ＝－18，可得t ＝92，所以直线AB 过定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫92，0.②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1|＝1＋m 2·16m 2＋72. 同理得，|GD |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 4－y 3| ＝1＋1m 2·72＋16m 2.则四边形AGBD 的面积S ＝12|AB |·|GD | ＝121＋m 2·16m 2＋72·1＋1m 2·72＋16m 2 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤85＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m 2＝μ(μ≥2)，则S ＝418μ2＋121μ＋170是关于μ在μ∈[2，＋∞)上的增函数，故当μ＝2时，S min ＝88.当且仅当m ＝±1时取到最小值88.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷二文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{||3,}A x x x =<∈Z ，{||1,}B x x x =>∈Z ，则A B =A ．∅B ．{3223}--，，， C ．{202}-，， D ．{22}-， 答案：D解析：{2,1,0,1,2}A =--，集合A 中满足绝对值大于1的只有－2，2两个元素，故{22}AB =-，，故选D2．4(1i)-=A ．–4B ．4C ．–4iD ．4i答案：A解析：因为2(1i)2i -=-，所以4222(1i)[(1i)](2i)4-=-=-=-，故选A3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A ．5B ．8C ．10D ．15答案：C解析：由原位大三和弦的定义知，7k i -=，故i 可取1，2，3，4，5，共有5个，所以原位大三和弦共有5个，同理原位小三和弦也有5个，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名答案:B解析：预计需要志愿者完成超过500+1600－1200=900份的概率为0.05，则需要志愿者完成不超过900份的概率为0.95，9005018÷=，故至少需要18名志愿者，故选B5．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．a +2bB ．2a +bC ．a –2bD ．2a –b答案：D解析：因为单位向量a ，b 的夹角为60°，所以1||||cos602⋅=︒=a b a b . 215(2)2222+⋅=⋅+⨯=+=a b b a b b ，213(2)2222-⋅=⋅-⨯=-=-a b b a b b ，2(2)2112+⋅=⋅+=+=a b b a b b ，2(2)2110-⋅=⋅-=-=a b b a b b ，所以与b 垂直的是2a –b .故选D 6．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =。

2020高考仿真模拟模拟试卷(四)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x ∈Z |x 2<4}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B 中的元素个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．无数 答案 B 解析A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，2，所以A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12，1，2.故选B.2．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是( )A ．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B ．这两年的最大仓储指数都出现在4月份C ．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D ．2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显 答案 D解析 通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大， 这两年的最大仓储指数都出现在4月份， 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年，所以A ，B ，C 正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%，差异不明显，所以D 错误．故选D.3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 B解析 若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，如图1，则α与β不一定垂直，故①为假命题；若m ⊥α，m ⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β，故②为真命题；若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β，故③为真命题；若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，如图2，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B.图1 图24．已知复数z 1＝21＋i，z 2＝a ＋i(a ∈R )，若z 1，z 2在复平面中对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→(O 为坐标原点)，且|OZ 1→＋OZ 2→|＝2，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－3D ．1或－3答案 D解析 由题意知OZ 1→＝(1，－1)，OZ 2→＝(a,1)，因此OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋1,0)，故(a ＋1)2＝4，解得a ＝1或－3，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．30＋π B．30＋2π C．18－π4D ．18－π 答案 C解析 易知，所求几何体为一个长方体中间挖去一个小圆柱．所以，V ＝3×2×3－π×14×1＝18－π4，故选C.6．定义某种运算⊕，a ⊕b 的运算原理如图所示．设f (x )＝(0⊕x )(2⊕x )，则f (x )在区间[－1,1]上的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意，f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，0，0<x ≤1.故f (x )在区间[－1,1]上的最大值为1.故选C.7．如图，在等腰三角形ABC 中，已知∠BAC ＝120°，阴影部分是以AB 为直径的圆与以AC 为直径的圆的公共部分，若在△ABC 内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.3π9－1 B ．1－3π9C.3π9－12D.12－3π9答案 C解析如图所示，取BC的中点D，AC的中点O，连接AD，DO，设AB＝2，在△ACD中，AD＝1，CD＝3，S△ACD＝32，∴S△ABC＝3，在扇形OAD中，∠AOD＝60°，S扇形AOD＝12·π3·1＝π6，S△AOD＝34，∴S阴影＝2⎝⎛⎭⎪⎫π6－34＝π3－32，∴P＝S阴影S△ABC＝π3－323＝3π9－12.故选C.8．过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，其面积分别为S1，S2，当|S1－S2|最大时，直线l的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0C．x－y－2＝0 D．y－2x＋1＝0答案 A解析因为点P坐标满足x2＋y2≤4，所以点P在圆x2＋y2＝4内，因此，当OP与过点P 的直线垂直时，|S1－S2|最大，因为直线OP的斜率为k OP＝1－01－0＝1，所以直线l的斜率为k＝－1，因此，直线l的方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.故选A.9．函数f(x)＝12x＋sin x的图象大致是( )答案 C解析 因为f (x )＝12x ＋sin x 为奇函数，所以排除B ，D ；当x >0且x →0时，f (x )>0，排除A.故选C.10．已知半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ ＝π3，则t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪(0，3]B ．[－3，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233 答案 A解析 根据题意，设PQ 的延长线与x 轴交于点T ，|PB |＝|t |，由于PB 与x 轴垂直，且∠BPQ ＝π3，则在Rt △PBT 中， |BT |＝3|PB |＝3|t |，当P 在x 轴上方时，PT 与半圆有公共点Q ，PT 与半圆相切时，|BT |有最大值3，此时t 有最大值3，当P 在x 轴下方时，当Q 与A 重合时，|BT |有最大值2，|t |有最大值233，则t 取得最小值－233，t ＝0时，P 与B 重合，不符合题意， 则t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪(0，3]．故选A.11．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a ＋2与曲线y ＝e x ＋b －1相切，则1a ＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 由y ＝x －a ＋2得y ′＝1；由y ＝e x ＋b －1得y ′＝e x ＋b ；因为y ＝x －a ＋2与曲线y ＝e x ＋b －1相切，令e x ＋b ＝1，则可得x ＝－b ，代入y ＝e x ＋b －1得y ＝0；所以切点为(－b,0)．则－b －a ＋2＝0，所以a ＋b ＝2.故1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝1＋b 2a ＋a 2b ≥2，当且仅当b 2a ＝a 2b，即a＝b ＝1时等号成立，此时1a ＋1b取得最小值2.选B.12．在△ABC 中，B ＝30°，BC ＝3，AB ＝2，D 是边BC 上异于B ，C 的点，B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B ′，C ′，则△BB ′C ′面积的最大值为( )A.32B.337 C.237D.3－32答案 A解析 由B ＝30°，BC ＝3，AB ＝2，可得△ABC 为直角三角形，且C ＝90°，则以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立如图所示的直角坐标系．则A (1,0)，B (0，3)，C (0,0)，设D (0，λ)(0<λ<3)，则直线AD ：y ＝－λ(x －1)，即λx ＋y －λ＝0.设BB ′与AD 交于点E ，则BE ＝|3－λ|1＋λ2，又因为直线BE ：y －3＝1λx ，即x －λy ＋3λ＝0.此时C 到直线BE 的距离为h ＝|3λ|1＋λ2，所以BB ′＝2×|3－λ|1＋λ2，C ′到BB ′的距离为h ＝|3λ|1＋λ2，则所求面积S ＝12×2×|3－λ|1＋λ2×|3λ|1＋λ2 ＝3λ－3λ21＋λ2，因为S ′＝(1－3λ)(3λ＋3)(1＋λ2)2，所以当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，S ′>0；当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3时，S ′<0.所以当λ＝33时，S max ＝32，选A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.答案 －3解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tanπ4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝－3.14．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则AD →·BC →＝________. 答案 2解析 ∵BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·()AC →－AB →＝－13AB →·AC →＋23AC →2－13AB →2＝－13×1×2×12＋23×22－13×1＝2. 15．在等差数列{a n }中，若1≤a 1≤3,2≤a 4≤4，则a 10的最大值是________． 答案 10解析 依题意，设数列{a n }的公差为d ，再设a 10＝ma 1＋ka 4，则a 1＋9d ＝ma 1＋k (a 1＋3d )＝(m ＋k )a 1＋3kd ，所以⎩⎨⎧m ＋k ＝1，3k ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝－2，k ＝3，所以a 10＝－2a 1＋3a 4，又1≤a 1≤3,2≤a 4≤4，所以0≤a 10≤10.因为a 1＝1，a 4＝4时，a 10＝10，所以a 10的最大值是10.16．甲、乙、丙3人在同一个环形场地锻炼．甲以13(圈/分钟)的速度慢跑，乙以14(圈/分钟)的速度快走，丙以16(圈/分钟)的速度慢走．计时开始时，3个人的前进方向相同，且甲在乙后面13圈，乙在丙后面16圈(如图所示)．那么，经过________分钟，甲和乙2人第一次相遇；1个小时之内，甲、乙、丙3人________(填“能”或“不能”)第一次同时相遇．答案 4 不能解析 设经过t 分钟，甲和乙2人第一次相遇．依题意，13t －14t ＝13，解得t ＝4.所以，经过4分钟，甲和乙2人第一次相遇在B 处．设经过k 分钟，甲和丙2人第一次相遇．同理，经过16分钟，甲和乙2人第二次相遇(甲超过乙一圈)仍在B 处，且甲和乙2人以后每次相遇总在B 处．依题意，13k －16k ＝12，解得k ＝3.所以，经过3分钟，甲和丙2人第一次相遇在A处．同理，经过9分钟，甲和丙2人第二次相遇(甲超过丙一圈)仍在A 处．且甲和丙2人以后每次相遇总在A 处．又因为甲和乙2人每次相遇都在B 处．故甲、乙、丙3人不可能同时相遇．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为5 3.(1)求角C 的弧度数；(2)记θ＝max{A ，B ，C }(即θ为角A ，B ，C 中的最大角)，求tan θ. 解 (1)依题意，在△ABC 中，S △ABC ＝12ab sin C ＝10sin C ＝53，所以sin C ＝32，所以C ＝π3或2π3. (2)若C ＝2π3，则角C 最大，此时θ＝C . 所以tan θ＝－3； 若C ＝π3，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋25－20＝21，c ＝21，于是角B 最大，此时θ＝B .因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋21－25821＝2114，sin B ＝1－cos 2B ＝5714，所以tan θ＝tan B ＝533. 综上，tan θ＝533或－ 3. 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，设AC∩BD＝O，且∠PDO＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)如图，连接OP，由(1)知，BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，知BD⊥PO.在Rt△POD中，因为∠PDO＝π3，所以∠DPO＝π6，得PD＝2DO.又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝3，于是梯形ABCD的面积S＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13S ·PA ＝13×9×4＝12.19．(本小题满分12分)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数；(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75 min 的工人中随机抽取2人，求抽取2人中至少1人生产时间少于65 min 的概率．解 (1)第一组工人20人，其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人， ∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为620×200＝60. 第二组工人40人．其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30人，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为3040×400＝300. (2)第一组平均时间为x －1＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78.第二组平均时间为x －2＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5，∵x －1>x －2，∴乙车间工人生产效率更高．(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min 的工人有6人，其中生产时间少于65 min 的有2人，分别用A 1，A 2表示，生产时间不少于65 min 和少于75 min 的工人用B 1，B 2，B 3，B 4表示，抽取2人基本事件空间为Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)}，共15个基本事件，这15个基本事件发生的可能性是相等的．设事件A 表示“2人中至少1人生产时间少于65 min”，则事件A 表示“2人的生产时间都不少于65 min”，包含(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共6个基本事件，∴P (A )＝1－P (A )＝1－615＝35. 20．(本小题满分12分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 是抛物线C上的一个动点，过A 点作l 的垂线AH ，H 为垂足．已知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，且|AH |＋|AB |的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点B 的直线n 与抛物线C 交于点P .若|PF |＝λ|PB |，求实数λ的取值范围．解 (1)易知，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2， 根据抛物线的定义，|AH |＋|AB |＝|AF |＋|AB |≥|FB |＝p ，当且仅当A 点与坐标原点重合时等号成立．依题意，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)若直线n 的斜率不存在，则|PF |＝|PB |，λ＝1；若直线n 的斜率存在，设直线n 的方程为y ＝kx －1，根据对称性，不妨设k >0， 则过P 点作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则|PF |＝|PQ |. 因为|PF |＝λ|PB |，于是|PQ |＝λ|PB |，λ＝|PQ ||PB |.在直角三角形PQB 中，sin ∠PBQ ＝|PQ ||PB |， 所以λ＝sin ∠PBQ .因为函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以λ随着∠PBQ 的增大而增大； 又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以∠PBQ 随着tan ∠PBQ 的增大而增大， 所以λ随着k 的增大而增大．所以，当直线n 与抛物线C 相切时，λ的值最小． 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －1得14x 2－kx ＋1＝0. 令Δ＝k 2－1＝0得k ＝1. 此时，∠PBQ ＝π4，λ＝sin π4＝22， 所以此时λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.综上，实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ln xx －1. (1)当a ＝1时，判断f (x )有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； (2)若f (x )<x ＋1，求a 的取值范围． 解 函数f (x )＝ax ln xx －1，则x >0且x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． (1)当a ＝1时，f (x )＝x ln x x －1，则f ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2， 令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，①当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (x )>g (1)＝0， ∴f ′(x )>0，f (x )无极值点；②当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，g (x )>g (1)＝0， ∴f ′(x )>0，f (x )无极值点． 综上，当a ＝1时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )<x ＋1，得ax ln x x －1<x ＋1，即x x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0.令h (x )＝a ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝a x －1－1x 2＝－(x 2－ax ＋1)x 2.①当a ≤0时， x ∈(0,1)时，⎩⎨⎧ln x ＜0，x －1＜0；ax ln xx －1<0<x ＋1， x ∈(1，＋∞)时，⎩⎨⎧ln x ＞0，x －1＞0，ax ln xx －1<0<x ＋1， ∴ax ln xx －1<x ＋1成立，即a ≤0符合题意． ②当0<a ≤2时，x 2－ax ＋1≥2x －ax ≥0， ∴h ′(x )≤0；当x ∈(0,1)时，h (x )为减函数，h (x )>h (1)＝0， ∴x x －1⎝⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0成立； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )为减函数，h (x )<h (1)＝0， ∴x x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0成立； 即0<a ≤2符合题意．③当a >2时，由h ′(x )＝0，得x 2－ax ＋1＝0， 且Δ＝a 2－4>0；设x 2－ax ＋1＝0两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ∴x 1＋x 2＝a >0，x 1x 2＝1， ∴0<x 1<1<x 2；由h ′(x )>0，得x 2－ax ＋1<0， 解集为(x 1,1)∪(1，x 2)，∴h (x )在(x 1,1)上为增函数，h (x 1)<h (1)＝0， ∴x 1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x 1－x 1＋1x 1>0，∴a >2不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝3＋sin φ(φ为参数)．(1)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1， 即x 2＋y 2＋2x －23y ＋3＝0，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ－3sin θ)＋3＝0. (2)把θ＝α代入ρ2＋2(cos θ－3sin θ)ρ＋3＝0得ρ2＋2(cos α－3sin α)ρ＋3＝0.设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＋ρ2＝2(3sin α－cos α)，ρ1 ρ2＝3. 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2(3sin α－cos α)3＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，又射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ， ∴π2<α<5π6， ∴π3<α－π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6≤1，∴233<1|OA |＋1|OB |≤43，∴1|OA |＋1|OB |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤233，43. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|，记f (x )的最小值为m . (1)解不等式f (x )≤5；(2)若正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝5，求证：2a 2＋3b2≥2m .解 (1)①当x >1时，f (x )＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1≤5， 即x ≤2，∴1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，f (x )＝(1－x )＋(x ＋2)＝3≤5， ∴－2≤x ≤1；③当x <－2时，f (x )＝(1－x )－(x ＋2)＝－2x －1≤5，即x ≥－3，∴－3≤x <－2. 综上所述，原不等式的解集为{x |－3≤x ≤2}．(2)证明：∵f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x ＋2)|＝3， 当且仅当－2≤x ≤1时，等号成立． ∴f (x )的最小值m ＝3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ×12＋3b ×132＝5，即2a 2＋3b 2≥6，当且仅当2a×13＝3b ×12，即3a ＝2b 时，等号成立．。

2020高考仿真模拟(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则i＋i2＋i3＋…＋i2019等于()A．i B．1C．－i D．－1答案 D解析由于i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，且i n(n∈N*)的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.故选D.2．集合A＝{y|y＝2cos2x＋1}，B＝{x|log2(x＋2)＜2}，则A∩B＝()A．(－2,3] B．(0,2]C．[1,2) D．(2,3]答案 C解析因为A＝{y|y＝2cos2x＋1}＝{y|y＝cos2x＋2}＝[1,3]，B＝{x|log2(x＋2)＜2}＝{x|0＜x＋2＜4}＝(－2，2)，所以A∩B＝[1,2)，故选C.3．“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A．m＞14B．0＜m＜1C．m＞0 D．m＞1 答案 C解析若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞14，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，推不出m>14，即推不出不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是()A.23 B.12 C.14 D.16答案 B解析从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄，白}，{黄，蓝}，{黄，红}，{白，蓝}，{白，红}，{蓝，红}，共6种，这6种基本事件发生的可能性是相等的．其中包含白色的有3种，所以选中白色的概率为12，故选B.5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸答案 B解析 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.∴a 2＝15＋10＝25，∴《周髀算经》中所记录的小暑的晷长是25寸，即二尺五寸．故选B.6．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )答案 B解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，C ；又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x ＞e 0＝1，21＋e x －1＜0，cos x ＞0，∴f (x )＜0，排除D ，故选B.7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)·e －|x |(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则Aω的可能取值为( )A.π2B．πC.3π2D．2π答案 B解析∵f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π2，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ＝π2，∴f(x)＝A cosωx·e－|x|，∵f(0)＝2，∴A＝2，∵f(1)＝f(3)＝0，∴cosω·1e＝cos3ω·1e3＝0，∴cosω＝cos3ω＝0，取ω＝π2，则Aω＝π.故选B. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A．72 B．48 C．24 D．16 答案 C9．已知等边△ABC 的边长为2，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，若EB →·FC →＝23，EC →·FB→＝－1，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.712答案 C解析 ∵等边三角形ABC 的边长为2，∴AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝2，又AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，∴EC →＝EB →＋BC →＝BC →＋(1－λ)AB →，FB →＝FC →＋CB →＝(1－μ)AC →－BC →，∴EB →·FC →＝(1－λ)·AB →·(1－μ)AC →＝(1－μ)(1－λ)AB →·AC →＝2(1－μ)(1－λ)＝23，EC →·FB →＝[BC →＋(1－λ)AB →]·[(1－μ)AC→－BC→]＝－4＋2(1－μ)(1－λ)＋2(1－λ)＋2(1－μ)＝－1，∴2(1－λ)＋2(1－μ)＝3－23＝73，∴λ＋μ＝56，故选C.10．实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－12 C ．2 D ．5 答案 B解析 实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (－1,0)，B (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－12x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝3，∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ，∴y ＝－mx ＋z ，当m >12时，直线过点B 时，z 取得最大值，此时z ＝1，与z 取得最大值5矛盾，舍去；当0<m <12时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12不成立，舍去；当m ＝0或12时，易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12成立．故选B.11．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝12z ，x ＋yz∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 设3x＝4y＝12z＝t (t >1)，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ，∴x ＋yz ＝log 3t ＋log 4t log 12t ＝log 3t log 12t ＋log 4tlog 12t ＝log 312＋log 412＝2＋log 34＋log 43.∵1<log 34<2,0<log 43<1，∴1<log 34＋log 43<3；又log 34＋log 43>2log 34·log 43＝2，∴2<log 34＋log 43<3，∴4<2＋log 34＋log 43<5，即x ＋yz ∈(4,5)．∴n ＝4.故选C.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ＋mx ＋m 2，x <0，e x (x －1)，x ≥0(e 为自然对数的底数)，若方程f (－x )＋f (x )＝0有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0,2e)D ．(2e ，＋∞)答案 D解析 因为函数F (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数，F (0)≠0，所以零点成对出现，依题意，方程f (－x )＋f (x )＝0有两个不同的正根，又当x >0时，f (－x )＝e x －mx ＋m2，所以方程可以化为e x －mx ＋m 2＋x e x －e x ＝0，即x e x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，记g (x )＝x e x (x >0)，则g ′(x )＝e x (x ＋1)>0，设直线y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12与g (x )图象相切时的切点为(t ，t e t )，则切线方程为y －t e t ＝e t (t ＋1)(x －t )，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以－t e t ＝e t (t ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ⇒t ＝1或－12(舍去)，所以切线的斜率为2e ，由图象可以得m >2e.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1－ln x2x －2的定义域为________．答案 (0,1)∪(1，e]解析依题意得⎩⎨⎧x ＞0，1－ln x ≥0，2x －2≠0，得⎩⎨⎧x ＞0，0＜x ≤e ，x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1，e]．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m的取值范围是________．答案 (－1,1]解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知当－1<m ≤1时，f (x )在[－1，m ]上的最大值是1.15．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，若AB ⊥AD ，∠CAD ＝30°，BC ＝27，则△ABC 的面积为________．答案 2 3解析 因为D 是BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ABD ，即12AB ·AC sin120°＝2×12AB ·AD ，所以AD ＝34AC ，于是在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即(7)2＝AC 2＋316AC 2－2AC ·34AC ·32，解得AC ＝4，所以AD ＝3，于是S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12×3×4×12＝2 3.16．已知三棱锥P －ABC ，△ABC 为等边三角形，△P AC 为直角三角形，∠P AC ＝90°，∠PCA ＝45°，平面P AC ⊥平面ABC ，若AB ＝3，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为________．答案 21π解析 由∠P AC ＝90°，平面P AC ⊥平面ABC ，可知P A ⊥平面ABC ，球心在经过△ABC 的中心且垂直面ABC 的垂线上，也在线段P A 的中垂面上，故二者交点即球心，因为∠PCA＝45°，所以P A ＝3，所以三棱锥P －ABC 外接球的半径R 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(3)2＝214，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝21π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，①∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，②①－②，得a n2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 12＝1＋1，a 1＝4也适合，∴a n ＝n ·2n ＋1. (2)由(1)得，b n ＝(－1)n a n2＝n (－2)n ，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n ，③－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n ×(－2)n ＋1，④ ③－④得，3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n －n ×(－2)n ＋1＝－2[1－(－2)n ]3－n ×(－2)n ＋1，∴S n ＝－(3n ＋1)(－2)n ＋1＋29.18．(本小题满分12分)新个税法于2019年1月1日进行实施．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A 地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4b .(1)求a ，b 的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数) (2)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．解 (1)依题意，(a ＋0.008＋0.035＋0.027＋b )×10＝1，所以a ＋b ＝0.03. 又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006.因为0.08＋0.24<0.5,0.08＋0.24＋0.35>0.5，所以中位数在第三组， 所以中位数为70＋0.5－0.08－0.240.035≈75.14.(2)依题意，知分数在[50,60)的员工抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60,70)的员工抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人，所有的情况为(a ，b )，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，这28种情况发生的可能性是相等的．其中满足条件的为(a ，b )，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种，设“至少有1人的分数在[50,60)”的事件为A ，则P (A )＝1328.19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥P －ABC 放置在以AC 为直径的半圆面O 上，O 为圆心，B 为圆弧AC ︵上的一点，D 为线段PC 上的一点，且AB ＝BC ＝P A ＝3，PB ＝32，P A ⊥BC .(1)求证：平面BOD ⊥平面P AC ；(2)当PC→＝2PD →时，求三棱锥C －BOD 的体积． 解 (1)证明：由AB ＝P A ＝3，PB ＝32， ∴P A 2＋AB 2＝PB 2，∴P A ⊥AB ，又P A ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥平面ABC . ∵BO ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BO ，由BA ＝BC ，O 为圆心，AC 为直径，所以BO ⊥AC . 因AC ∩P A ＝A ，故BO ⊥平面P AC ，又BO ⊂平面BOD ，所以平面BOD ⊥平面P AC . (2)由PC→＝2PD →，知D 为PC 的中点， 而O 为圆心，AC 为直径，所以P A ∥DO ，所以DO ⊥平面ABC ，因为P A ＝3，所以DO ＝32，由题意知∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12×3×3＝92，由等体积法知V 三棱锥C －BOD ＝V 三棱锥D －BOC ＝13×S △BOC ·DO ＝13×12×92×32＝98.故三棱锥C －BOD 的体积为98.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x 2＋12a (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≤0，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ax －2x ＝a －2x 2x ，当a ≤0时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝a2(负根舍去)．令f ′(x )>0得0<x <a 2；令f ′(x )<0得x >a 2，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减． (2)当a ＝0时，f (x )＝－x 2<0，符合题意．当a >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2 ＝a ln a 2－a 2＋a 2＝a lna2≤0，∵a >0，∴ln a 2≤0，∴0<a2≤1，∴0<a ≤2.当a <0时，f (x )＝a ln x －x 2＋12a 在(0，＋∞)上单调递减，且y ＝a ln x 与y ＝x 2－12a 的图象在(0，＋∞)上只有一个交点，设此交点为(x 0，y 0)， 则当x ∈(0，x 0)时，f (x )>0，故当a <0时，不满足f (x )≤0. 综上，a 的取值范围为[0,2]．21．(本小题满分12分)如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．解 (1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)，直线l 与直线l 1的交点为(0,1)，∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0，由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2， ① 由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x, ②由①②得⎩⎨⎧y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，kk 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1xx 0 ＝(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1xx 0＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，∴x M ＝－8k 4k 2＋1， ∴y M ＝1－4k 24k 2＋1. 同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k 4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53. ∴当k 变化时，直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(1＋cos2θ)＝8sin θ.(1)求曲线C 的普通方程；(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，直线l 与y 轴交于点F ，与曲线C 的交点为A ，B ，当|F A |·|FB |取最小值时，求直线l 的直角坐标方程．解 (1)由题意得ρ(1＋cos2θ)＝8sin θ，得2ρcos 2θ＝8sin θ，得ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＝4y ，即曲线C 的普通方程为x 2＝4y .(2)由题意可知，直线l 与y 轴交于点F (0,1)，即为抛物线C 的焦点，令|F A |＝|t 1|，|FB |＝|t 2|，将直线l 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α 代入C 的普通方程x 2＝4y 中，整理得t 2cos 2α－4t sin α－4＝0，由题意得cos α≠0，根据根与系数的关系得，t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，∴|F A ||FB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝4cos 2α≥4(当且仅当cos 2α＝1时，等号成立)，∴当|F A |·|FB |取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为y ＝1.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|.(1)当m ＝5时，求不等式f (x )>2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 解 (1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎨⎧ 5＋2x (x <－1)，3(－1≤x ≤1)，5－2x (x >1)，由f (x )>2得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x <32. (2)由二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，知函数在x ＝－1处取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎨⎧ m ＋2x (x <－1)，m －2(－1≤x ≤1)，m －2x (x >1)在x ＝－1处取得最大值m －2， 所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.。

2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题课时规范练11函数的图像基础巩固组1.函数f(x)=则y=f(x+1)的图像大致是()2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图像为()3.(2018浙江,5)函数y=2|x|sin 2x的图像可能是()4.(2017全国3,文7)函数y=1+x+的部分图像大致为()5.已知函数f(x)=x2+e x- (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A. B.(-∞,)C. D.6.(2018衡水中学押题二,7)函数y=sin x+ln|x|在区间[-3,3]的图像大致为()7.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=-f(2x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则x i=()A.0B.mC.2mD.4m8.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为.综合提升组9.已知当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是()A. B.C.(1,)D.(,2)10.(2018湖南长郡中学四模,8)若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图像大致形状是()11.已知f(x)=则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是.12.(2018河北衡水中学押题二,16)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+3m有3个零点,则实数m的取值范围是.创新应用组13.(2018河北衡水中学金卷一模,12)若函数y=f(x)满足:①f(x)的图像是中心对称图形;②当x∈D时,f(x)图像上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M,则称f(x)是区间D上的“M对称函数”.若函数f(x)=(x+1)3+m(m>0)是区间[-4,2]上的“M对称函数”,则实数M的取值范围是()A.[3,+∞)B.[,+∞)C.(0,3]D.(3,+∞)14.(2018河北衡水中学17模,9)函数y=x∈的图像大致是()。