11.04.19高一数学《平面与平面平行的判定和性质》(课件)

二、两个平面平行的判 定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、两个平面的位置关 系
（1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面 互相平行． （2）两个平面相交
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该 公共点的直线，就称这两个平面相交．
（3）两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点
②两个平面相交——有一条公共直线．
血液循环，帮助消除疲劳，减轻心理压力，又有利于胎儿的生长发育。燕麦所含钙、磷、铁、锌、锰等矿物质，则能预防骨质疏松症，促进伤口愈合，以及 防止发生贫血病等。此外，燕麦还是难得的含有抗氧化物的谷物，具有优异的抗氧化、消除体内自由基的作用。 [] 加工利用 中国以外燕麦初级加工产品主 要包括精选燕麦粒、切割；装修流程：https:///activity-topic-d ； 燕麦、燕麦片系列、燕麦粉和燕麦鼓，燕麦精细产品主要包括燕麦淀粉、 燕麦可溶性纤维素、燕麦抗氧化活性成分等。中国开发的产品主要有高纤维燕麦片、燕麦精粉、燕麦全粉、燕麦米、燕麦方便面、燕麦饮料、高纤维麸皮、 燕麦葡聚糖、燕麦淀粉、燕麦蛋白质和燕麦油等。高温短时挤压膨化技术、红外线灭酶技术、微波提取技术、超微粉碎技术和二氧化碳超临界流体萃取技术 等食品高新技术逐渐应用到燕麦产品的加工中。 燕麦片：市场上出售的燕麦片种类很多，根据加工工艺和使用方法的不同，有预煮燕麦片和快熟燕麦片。预 煮燕麦片在食用前需要在沸水中煮-分钟，快熟燕麦片在热水中浸泡-分钟即可食用。另根据原料与风味的不同，有原味燕麦片和复合营养燕麦片（以混合型 为主）。原味燕麦片只由燕麦一种原料制成，不外加糖、盐、脂类物质，保留了燕麦中的大部分营养，有种淡淡的天然麦香的味道，适合老年人、糖尿病人、 血脂及血糖偏高的人食用。复合营养燕麦片则是在燕麦片生产时添加奶粉、豆粉、大枣、核桃、杏仁、蔗糖、植脂粉等原辅料，可使燕麦片具有不同的口味， 并能达到速溶的目的。加入这些原料有效地补充了纯燕麦片中的糖、蛋白质和脂肪，更适合儿童和青少年等对能量需求较大的人群。另以人群分类，有添加 了天HA的婴儿配方燕麦片，添加枸杞、红枣、桂圆等原料的女性专用燕麦片。不同的原料和工艺生产的燕麦片产品，其口感、风味和速溶性等质量差别较大。 燕麦米：燕麦米由燕麦籽粒脱壳后得到，是一种主要的燕麦食品。燕麦米几乎完整保存了燕麦中所有的营养成分，可以直接蒸煮食用。 燕麦麸：燕麦麸是燕 麦加工过程中的副产品，蛋白质含量高达%，清蛋白、球蛋白、醇溶蛋白以及谷蛋白分别占总蛋白含量的.%、.8%、8.8%、.%。清蛋白在燕麦麸蛋白中含 量最高，且必需氨基酸尤其是赖氨酸和色氨酸含量特别高。色氨酸具有改善睡眠，预防糙皮病、抑郁症和调节情绪等功能，被称之为“第二必需氨基酸”。 而且有研究表明，燕麦麸各蛋白组分的分子量较小，易于消化吸收，蛋白质营养效价较高。 燕麦饮料：燕麦饮料有发酵型饮料，如燕麦生物乳，非发酵型饮 料，如燕麦纤维饮料和燕麦茶等。

变式训练
A
B
C
A1
B1
C1
D1
D
M
N
E
F
（课本练习第2题）
2、已知: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是CC1、 AA1的中点，求证: 平面BDE//平面B1D1F
A
D1
D
C
B
A1
B1
C1
E
F
G
变式训练
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
变式训练
3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1C∥平面A1C1D
D
定理的理解:
合作交流 运用新知
证明： ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴D1C1//A1B1，D1C1=A1B1, AB//A1B1，AB=A1B1, ∴D1C1//AB，D1C1=AB, ∴四边形D1C1BA为平行四边形, ∴ D1A//C1B, 又D1A 平面C1BD， C1B 平面C1BD， ∴D1A//平面C1BD,
×
×
（3）、一个平面 内两条不平行的直线都平行于 平面，则 与 平行。
（4）、如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
√
√
（5）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
×
直线的条数不是关键
直线相交才是关键
定理的理解:
练习.（课本练习第1题）1判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明： （1）已知平面 和直线 ， 若 ，则
不可能把其中一个平面内所有直线都取出逐一证明其平行另一平面。
1、平面β内有一条直线与平面α平行，平面α，β一定平行吗？

AC、BC、SC的中 ∴平面EFG∥平面ABC.
本节学习难点：平行关系的相互转化．
点，试
判断SG与
平面DEF的
位置关系，
∴PA∥平面D1BQ.
并给予证明． 观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线．
∵P，Q分别为DD1，CC1的中点，
[解析] 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[例2] 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，
(2)依判定定理通过一平面内有两相交直线与另一平面平行来判定两平面平行(线面平行⇒面面平行)．
∵[点E评F⊄] 平应面且用SA定SB理，A时S＝B，⊂一平S定面B要S＝A把B定，S理C的条，件找S全G. 为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是
又PQ∩QR＝Q，EF∩FG＝F，PQ，QR⊂平面PQR，EF，FG⊂平面EFG，∴平面PQR∥平面EFG.
c⊂β，d⊂β⇒α∥β
.
3．α∥β，a⊂α⇒ a∥β .
本节学习重点：平面与平面平行的判定定理． 本节学习难点：平行关系的相互转化．
1．由面面平行的定义知，若α∥β，则α与β无公共点， 若a⊂α，则a与β无公共点，从而a∥β.这样我们可以由“面 面平行”得到“线面平行”．
应用判定定理时，应特别注意“两相交直线”这个条 件，否则如右图α∩β＝a，a1∥a，a2∥a，……，a1、a2…… 都与α平行，但显然α不与β平行．
[分析2] 由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不 难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF∥平面SAB，
又SG⊂平面SAB，从而得出SG∥平面DEF. [证法2] ∵EF为△SBC的中位线， ∴EF∥SB. ∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB， ∴EF∥平面SAB. 同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F， ∴平面SAB∥平面DEF， 又∵SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.

（１）平面内有一条直线与平面平行，，平 行吗？ （２）平面内有两条直线与平面平行，，平 行吗？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
（2）分两种情况讨论： 如果平面β内的两条直线是平行直线，平面α 与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ，AD∥平面 BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD与平面BCC’B’不 平行。 如果平面β内的两条直线是相交的直线，两个平面 会不4;是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行 符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
bP a
线不在多，重在相交
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理； 3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行， 只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线 线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
证明面面平行的方法有： “雪亮工程"是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 1．面面平行的定义； 2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两

1.线面平行是否可用其它条件代替？
变式探究
如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
a , b ab=P a // b //
a
//
b
a'
a∥a ' , a' 线面平行 转 化 线线平行？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
a , b ab=P a // b //
符号语言
线不在多 贵在/相/ 交
P
a b
图形语言
面面平行 转 化 线面平行 转 化 线线平行？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
问题3
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平
面β, 则α∥ β吗?
模型 验证
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
小结
1.通过本节课的学习,你学会了 哪些判定面面平行的方法?
2.上述判定面面平行的方法体 现了什么思想?
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用

∴A′ABB′＝OOAA′＝23. 而 S△ABC＝12AB·AC＝12×2×1＝1. ∴S△SA△′ABB′CC′＝(A′ABB′)2， ∴S△A′B′C′＝49S△ABC＝49×1＝49.
性质定理 【分析】 面面平行 ――――→ 线线平行 ―――→ 线段成比例 ―――→ S△A′B′C′
• 【解】 相交直线AA′、BB′所在平面和两平 行平面α、β分别相交于AB、A′B′.
• 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
• 同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平 面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.
• ∴平面FHE∥平面BB′C′C，EF⊂平面FHE.
• ∴EF∥平面BB′C′C.
• 【规律方法】 本题证法一使用线面平行 的判定定理；证法二利用面面平行的性质 定 理 ， 关 键 就 是 找 到 过 直 线 EF 与 平 面 BB′C′C平行的平面．
• 要点三线与面、面与面平行的性质定理的 综合运用
• 求证：EF∥平面BB′C′C. • 【分析】 线线平行⇒线面平行⇐面面平行
• 【证明】 证法一：连结AF延长交BC于M， 连结B′M.
• ∵AD∥BC，
∴△ADF∽△MFB，∴MAFF＝DBFF. 又∵BD＝B′A，B′E＝BF，∴DF＝AE. ∴FAMF ＝EABE′. ∴EF∥B′M，B′M⊂平面 BB′C′C，EF⊄ 面 BB′C′C ∴EF∥平面 BB′C′C.
• 求证：四边形ABCD是平行四边形．
• 【分析】 可利用平面与平面平行的性质 定理证明线线平行．
• 【 证 明 】 在 ▱A′B′C′D′ 中 ， A′B′∥C′D′，
• ∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC，

（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面． ×
引导探究
第八章 立体几何
【例5】求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB＝CD．
证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β
分别相交于AC和BD．
∵α∥β， ∴BD∥AC．
又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
当堂诊学
第八章 立体几何
2.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，
平面A1DCE与B1B交于点E.
D1
A1
求证：EC∥A1D.
B1 C
证明∵BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，
1
∴BE∥平面AA1D.
由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就
能使这两个平面平行?
我们可以借助以下两个实例进行观察. 如图 8.5-11（1），a和b分别是矩形硬纸片的
两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗?如图 8.5-11（2），
c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗?
“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是
共线的，它们不能作为平面内的任意向量的基底，用它们不能“代表”
这个平面上的任意一条直线．
引导探究
第八章 立体几何
平面与平面平行的判定定理：
如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
• 图形语言：
• 符号语言：
a
β
P
目标引领
第八章 立体几何

平面与平面平行的判定和性质
第一页，编辑于星期一：点 四十三分。
一、两个平面的位置关系
（1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这Байду номын сангаас个平面
互相平行． （2）两个平面相交 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过
该公共点的直线，就称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
（转化为线面平行问题）
问题2：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以 确保两个平面平行（不相交）
第四页，编辑于星期一：点 四十三分。
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
第五页，编辑于星期一：点 四十三分。
例题分析
例题1: 如图，A，B，C为不在同一直线上的三点，AA`//BB`
出下面的结论：
// , a a //
即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平 行于另一个平面．
第十一页，编辑于星期一：点 四十三分。
三、两个平面平行的性质
（2）两个平面平行的性质定理
性质定理：如果两个平行平面
同时和第三个平面相交，那么它们 的交线平行．
//
即：
a
a
// b
//CC`，且AA`=BB`=CC`，求证平面ABC//平面A`B`C`
点击图片可以演示动画
第六页，编辑于星期一：点 四十三分。
例题分析
例题2: 已知正方体ABCD-A`B`C`D`，
求证：平面AB`D`//C`BD
D`
A`
D
A
C`

平面与平面平行的性质
平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面
文字语言 相交，那么它们的交线平行
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言
温馨提示 定理可简记为“面面平行，则线线平 行”．若有面面平行，就有线线平行，它提供了证明线线 平行的一种方法．
类型 1 面面平行性质定理的应用
②若 AB、CD 异面，如图，过点 A 作 AE∥CD 交 α 于点 E，取 AE 的中点 P，连接 MP、PN、BE、ED.
因为 AE∥CD，所以 AE、CD 确定平面 AEDC. 则平面 AEDC 与 α、β 的交线为 ED、AC， 因为 α∥β，所以 AC∥ED.
又 P、N 分别为 AE、CD 的中点， 所以 PN∥ED，所以 PN∥平面 α. 同理可证 MP∥BE.所以 MP∥平面 α. 又 MP∩PN＝P，所以平面 MPN∥平面 α. 又 MN⊂平面 MPN，所以 MN∥平面 α.
归纳升华 1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤： (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直 线中的一条； (2)判定这两个平面平行； (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由性质定理得出线线平行．
2．应用面面平行的性质定理，往往需要“作”或 “找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他 已知量联系起来．
[典例 1] 已知 AB、CD 是夹在两个平行平面 α、β 之间的线段，M，N 分别为 AB，CD 的中点，求证：MN∥ 平面 α.
证明：①若 AB、CD 在同一平面内， 则平面 ABDC 与 α、β 的交线为 AC、BD. 因为 α∥β，所以 AC∥BD， 又 M、N 为 AB、CD 的中点，所以 MN∥BD. 又 BD⊂平面 α，所以 MN∥平面 α.

例2. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
已知:平面 //平面,AB和DC为夹在 、
间的平行线段。求证：AB=DC.
A
D
证明：
AB // DC ⇒过AB，CD可作平面γ
AD
BC
BC // AD
//
AB // CD
C
B
ABCD为平行四边形 AB CD
面面平行的其它性质
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面；
探究3:当第三个平面和两个平行平面都相 交时，两条交线有什么关系？为什么？
结论:当第三个平面 和两个平行平面都 相交时，两条交线 平行
αa
b
β
下面我们来证明这个结论
已知:平面，，， // , a b求证：a // b
证明: a
b
｛a b
//
a, b没有公共点
a, b都在平面内
ME 平面PAD, AD 平面PAD
NE / /平面PAD, ME / /平面PAD
NE ME=E
ME, NE 平面MNE 平面MNE / /平面PAD
又MN 平面MNE MN / /平面PAD
例4.如图,在四棱锥P ABCD中, 底面ABCD为梯形, BC / / AD,
E为侧棱PD的中点,且BC 2, AD 4,求证: CE / /平面PAB.
证明: D, E分别为PA, PB中点
DE / / AB
DE 平面ABC, AB 平面ABC
DE / /平面ABC 同理可证DF / /平面ABC
DE DF D, DE, DF 平面DEF
平面DEF / /平面ABC
又平面DEF 平面PCM NF, 平面ABC 平面PCM CM