【K12教育学习资料】高考数学二轮复习 限时训练19 直线与圆 文

专题五 解析几何第1讲 直线与圆(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.2．已知直线l 1的方向向量a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为______________．3．若0≤θ≤π2，当点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14时，这条直线的斜率为________．4．(2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为______________．5．若某圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是______________．6．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是______________．7．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是____________． 8．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，过原点的直线l 与圆C 相切，则所有切线的斜率之和为________．9．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．10．直线x ＋a 2y ＋1＝0与直线(a 2＋1)x －by ＋3＝0互相垂直，a 、b ∈R 且ab ≠0，则|ab |的最小值为________．11．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20 (m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．12．若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．二、解答题13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)判断两圆的位置关系，并求连心线的方程；(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，被圆C 2截得的弦长为2.14.已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0.(1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．15．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，设P 、Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．答 案1．1 2. x ＋3y －15＝0 3.－334．(x －2)2＋y 2＝10 5．(x －2)2＋(y －1)2＝16．[－3，3] 7. 22，128．－2 9. 12 10．2 11．4 12．2 313．解 (1)圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 2＝72＋42＝65>r 1＋r 2，∴两圆相离，连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.(2)直线m 的斜率显然存在．∵直线m 被圆C 1截得弦长为4.∴直线m 过圆C 1的圆心C 1(－3,1)．∴设直线m 的方程为y －1＝k (x ＋3)．∴C 2(4,5)到直线m 的距离：d ＝|7k －4|k 2＋1＝3，∴k ＝28±18646. ∴直线方程为y －1＝28±18646(x ＋3)．14．解 (1)将圆的方程配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y －3)2＝37－4m4，故有37－4m4>0，解得m <374.将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，消去y ，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 22＋x －6×3－x2＋m ＝0，整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，① ∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m －27)<0，解得m >8.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫8，374. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，②由(1)及根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4m －275， ③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1·y 2＝3－x 12·3－x 22＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]， 将③代入上式，得y 1·y 2＝m ＋125，④ 将③④代入②得x 1·x 2＋y 1·y 2＝4m －275＋m ＋125＝0，解得m ＝3. 代入方程①检验得Δ>0成立，∴m ＝3.15．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， ∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵OM ＝ON ，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12， ∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′ (－4，－2)，则PB ＋PQ ＝PB ′＋PQ ≥B ′Q ，又B ′到圆上点Q 的最短距离为B ′C －r ＝(－6)2＋32－5＝35－5＝2 5.所以PB ＋PQ 的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23.。

高中数学必修2——直线与圆复习知识点一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

高考年新课标数学文二轮复习试题专题新编直线与圆SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-专题六 解析几何第1讲 直线与圆1．(2010年河南市调研)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．夹在两条平行直线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积为( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π3．已知直线l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且它们之间的距离为4，如果原点(0,0)位于已知直线与直线l 之间，那么l 的方程为( )A ．3x ＋4y ＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．3x ＋4y －19＝0D ．3x ＋4y ＋21＝04．(2010年高考江西卷)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．[－33，33] C ．[－3， 3 ] D ．[－23，0] 5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)6．若直线xa－yb＝1(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心，则3a＋b的最小值为()A．8 B．4＋2 3C．4 3 D．4＋ 37．(2010年高考广东卷)已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________________．8．设直线l1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转α角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕P沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l3：x＋2y－1＝0，则直线l1的方程为________________．9．(2010年天津一中质检)两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0和直线l2：2x＋my－1＝0，分别根据下列情况求实数m与n的取值．(1)l1与l2平行；(2)l1与l2垂直．11．如图，直角三角形ABC的顶点A的坐标(－2,0)，直角顶点B的坐标为(0，－22)，顶点C在x轴上．(1)求BC边所在直线的方程；(2)圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程．12．已知曲线x2＋y2－4x－2y－k＝0表示的图象为圆．(1)若k＝15，求过该曲线与直线x－2y＋5＝0的交点、且面积最小的圆的方程；(2)若该圆关于直线x＋y－4＝0的对称圆与直线6x＋8y－59＝0相切，求实数k的值．专题六第1讲直线与圆1．【解析】选 D.法一：将选项分别代入题干中观察，易求出D符合要求，故选D.法二：∵直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，∴a·(a＋2)＝－1，∴a＝－1.2．【解析】选B.夹在两条平行线之间的最大的圆的半径为两平行线间距离的一半，而两平行线间的距离d＝|0＋20|32＋?－4?2＝205＝4，所以r＝d2＝2，则圆的最大面积S＝πr2＝4π.3．【解析】选C.与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线可设为3x＋4y＋m＝0，由两平行线之间的距离公式可得|m－1|32＋42＝4?m＝－19或m＝21，即直线方程为3x＋4y＋21＝0或3x＋4y－19＝0，原点位于直线l与直线3x＋4y＋1＝0之间，可将点(0,0)代入两直线解析式，乘积为负的即为所求，故应选C.4.【解析】选 B.如图，若|MN|＝23，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－(3)2＝1.∵直线方程为y＝kx＋3，∴d＝|k·2－3＋3|1＋k2＝1，解得k＝±33.若|MN|≥23，则－33≤k≤3 3.5．【解析】选D.曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心为(－a,2a)，要使得圆C所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a＞0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|＞2，故a＞2.6．【解析】选B.∵圆x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心为(1，－1)，∴1a＋1b＝1，∴b＝aa－1＞0，可得a＞1.3a＋b＝3a＋aa－1＝3a＋1a－1＋1＝3(a－1)＋1a－1＋4≥23＋4(当且仅当a＝3＋33时等号成立)．7．【解析】设圆心坐标为(a,0)(a＜0)，则由圆心到直线的距离为2知|a|2＝2，故a＝－2.因此圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.【答案】(x＋2)2＋y2＝28．【解析】由题意可知l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2. 由⎩⎨⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0， ∴P (－3,2)，l 1过P 点，∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.【答案】2x －y ＋8＝09．【解析】本题考查的是两圆的位置关系，以及对称性，可用数形结合更直观．由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为x －?－1?2－?－1?＝y －1－2－1，即y ＝－x .根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P (1,2)可得它关于直线y ＝－x 的对称点即Q 点的坐标为(－2，－1)．【答案】(－2，－1)10．【解】(1)显然两直线的斜率都存在，两条直线的方程化为l 1：y ＝－m 8x －n 8和l 2：y ＝－2m x ＋1m(m ≠0)， 故只需⎩⎪⎨⎪⎧ －m 8＝－2m ，－n 8≠1m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±4，n ≠?2， 即当m ＝4且n ≠－2或当m ＝－4且n ≠2时，两直线平行．(2)法一：若两直线的斜率都存在，则可得两条直线的斜率分别为－m 8，－2m， 但由于(－m 8)×(－2m )＝14≠－1， 所以，此时两直线不垂直．若m ＝0，则两条直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在，于是两直线垂直．综上可知，当m ＝0，且n ∈R 时，两直线垂直．法二：因为两直线垂直，所以只需2m ＋8m ＝0，即m ＝0.故当m ＝0且n ∈R 时，两直线垂直．11．【解】(1)k AB ＝－220－?－2?＝－ 2. ∴k BC ＝－1k AB ＝22， ∴直线BC 的方程为y ＋22＝22(x －0)， 即y ＝22x －2 2. (2)由直线BC 的方程可得C 点坐标为(4,0)，又圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3，∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0.12．【解】(1)当k ＝15时，(x －2)2＋(y －1)2＝20，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)．∵已知圆的圆心(2,1)到直线x －2y ＋5＝0的距离为5，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－2y 0＋5＝0，y 0－1x 0－2＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝3. r ＝ ?25?2－?5?2＝15，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝15.(2)已知圆的圆心(2,1)关于y ＝－x ＋4的对称点为(3,2)， ∴点(3,2)到6x ＋8y －59＝0的距离为|6×3＋8×2－59|62＋82＝52，即r ＝52. ∴ 16＋4－4?－k ?4＝52，∴k ＝54.。

2021年高考数学二轮复习直线与圆训练题理1．已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”，是“l1∥l2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝03．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为( )A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝04．(xx·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.175．(xx·海南质检)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x ＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x－1)2＋y2＝1C．(x＋1)2＋y2＝4 D．(x－2)2＋y2＝46．(xx·山东潍坊一中模拟)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A．2 B．3C．4 D．67．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．8．(xx·浙江省名校联考)设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．9．(xx·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．10．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．11．(xx·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．12．(xx·广东佛山一模)已知A(－2,0)，B(2,0)，C(m，n)．(1)若m＝1，n＝3，求△ABC的外接圆的方程；(2)若以线段AB 为直径的圆O 过点C(异于点A ，B)，直线x ＝2交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论．1．选C 由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2．选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.3．选C 将方程分离参数a 可得a(x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得交点为(－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x－4y ＝0.4．选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min ＝52－(1＋3)＝52－4.5．选A 令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.6．选C 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为(－1,2)，半径为 2.因为圆关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，所以圆心在直线2ax ＋by ＋6＝0上，所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b)到圆心的距离为d ＝a ＋12＋b －22＝a ＋12＋a －3－22＝2a 2－8a ＋26＝2a －22＋18. 所以当a ＝2时，d 有最小值18＝32，此时切线长最小，为 322－22＝16＝4.7．解析：所求直线过圆：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝08．解析：如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C(3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A ，B 的横坐标分别为2、4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.答案：2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝09．解析：取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)． 答案：(2,4)10．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1,2)．(1)若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0；(2)若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.11．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为.12．解：(1)法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意可得⎩⎨⎧4－2D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1＋3＋D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝0，F ＝－4，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－4＝0，即x 2＋y 2＝4.法二：线段AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，直线AC 的斜率为k 1＝33， ∴线段AC 的中垂线的方程为y －32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12. 线段AB 的中垂线方程为x ＝0，∴△ABC 的外接圆圆心为(0,0)，半径为r ＝2.∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＝4. (2)直线CD 与圆O 相切．证明如下：由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，半径r ＝2， 设点R 的坐标为(2，t)， ∵A ，C ，R 三点共线，∴∥， 而＝(m ＋2，n)，＝(4，t)，则4n ＝t(m ＋2)，∴t ＝4nm ＋2，∴点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4n m ＋2，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2n m ＋2， ∴直线CD 的斜率为k ＝n －2n m ＋2m －2＝m ＋2n －2n m 2－4＝mn m 2－4， 而m 2＋n 2＝4，∴m 2－4＝－n 2，∴k ＝mn －n 2＝－m n，∴直线CD 的方程为y －n ＝－mn(x －m)，化简得mx ＋ny －4＝0，∴圆心O 到直线CD 的距离d ＝4m 2＋n 2＝44＝2＝r ，∴直线CD 与圆O 相切．!29784 7458 瑘E36035 8CC3 賃/27998 6D5E 浞^26574 67CE 柎38099 94D3 铓t]!&,。

【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练19 直线与圆 文(建议用时30分钟)1．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D.设所求直线方程为x －y ＋C ＝0过点(0,3)， ∴0－3＋C ＝0，∴C ＝3， ∴所求直线方程为x －y ＋3＝0.2．(2015·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D.利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程． 圆的半径r ＝1－02＋1－02＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．(2016·陕西高三质检)若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( ) A ．[0,4] B ．[0,3] C ．[0,2]D ．[0,1]解析：选A.设圆心为B ，则B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0，即直线l 过圆心，故选A.4．(2016·洛阳市高三统考)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A.圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2⇒a <－2，|2a |>2故选A.5．(2016·北京海淀模拟)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 解析：选B.|AB |＝cos α＋12＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 6．(2015·高考安徽卷)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12解析：选D.方法一：由3x ＋4y ＝b 得y ＝－34x ＋b 4，代入x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，并化简得25x 2－2(4＋3b )x ＋b 2－8b ＋16＝0，Δ＝4(4＋3b )2－4×25(b 2－8b ＋16)＝0，解得b ＝2或12.方法二：由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.7．(2014·高考湖南卷)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C.将圆C 2的方程化为标准方程，利用圆心距等于两圆半径之和求解． 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9.8．(2015·高考福建卷)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.将点的坐标代入直线的方程，得到a ，b 所满足的关系式，再利用基本不等式求最值．将(1,1)代入直线x a ＋y b＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C.9．(2016·太原市高三模拟)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．3 5 B ．6 5 C ．415 D ．215解析：选D.将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝2－12＋－1－02＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.10．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B.先根据已知条件分析△ABC 的形状，然后确定外心的位置，最后数形结合计算外心到原点的距离．在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B. 11．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)解析：选D.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋12＋n ＋12＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ，又m ，n ∈R ，有mn ≤m ＋n24，∴m ＋n ＋1≤m ＋n24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.12．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3解析：选D.如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴|OP |＝－32＋－12＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.13．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________. 解析：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2. 答案：214．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案：4±1515．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析：根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解圆心．因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以4－22＋0－m2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝25416．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 解析：设出点D 的坐标，求出点D 的轨迹后求解．设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0, 3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OC →|＝x －12＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7，故x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.答案：7＋1。

由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x2＋y2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0.则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)＞0.y 1＋y 2＝2k k2＋1.x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k2＋1.因为OM →＝OA→＋OB →.故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k2＋1，2k k2＋1.又点M 在圆C 上. 故4k2＋12＋4k2k2＋12＝4.解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A .B 两点.OM →＝OA →＋OB →.且点M 在圆C 上.得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半.为1.即d ＝11＋k2＝1.解得k ＝0.]5．(20xx·惠州模拟)已知直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为4 3.且P 为圆C 上任意一点.点A 为定点(2,0).则|PA |的最大值为( )A.29－13 B ．5＋13 C ．27＋13D.29＋13D [根据题意.圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13的圆心C 为(－3.m ).半径r ＝13.若直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为4 3.则圆心到直线的距离d ＝r2－⎝⎛⎭⎪⎫4322＝1. 则有|－12＋3m ＋1|16＋9＝1.解可得：m ＝2或m ＝163(舍).则m ＝2.点A 为定点(2,0).则|AC |＝25＋4＝29. 则|PA |的最大值为|AC |＋r ＝29＋13. 故选D.]6．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线.切点分别为A .B .则点C 到直线AB 的距离为________．4 [以OC 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522.AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦.所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y －22＝5－254.化简得3x ＋4y －5＝0. 所以点C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.]7．已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A .B 两点.且∠AMB ＝π3.则实数a ＝________.±3 [直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4.所以直线l 过定点(0,4).且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4.所以圆心为M (0,2).半径为2.如图.因为∠AMB ＝π3.所以△AMB 是等边三角形.且边长为2.高为 3.即圆心M 到直线l 的距离为 3.所以|－6＋12|a2＋9＝ 3.解得a ＝± 3.]8．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个.则实数a 的取值范围为________．(－32.32) [由圆的方程可知圆心为(0,0).半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个.所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝2＋1.即d ＝|－a|12＋12＝|a|2＜3.解得a ∈(－3 2.32)．][能力提升练] (建议用时：15分钟)9．(20xx·武汉模拟)已知圆C 经过点A (0,0).B (7,7).圆心在直线y ＝43x 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆C 相切且与x .y 轴截距相等.求直线l 的方程．[解] (1)根据题意.设圆C 的圆心为(a .b ).半径为r .则其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆C 经过点A (0,0).B (7,7).圆心在直线y ＝43x 上.则有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝r2，a －72＋b －72＝r2，b ＝4a 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，r ＝5，则圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. (2)若直线l 与圆C 相切且与x .y 轴截距相等. 分2种情况讨论：①直线l 经过原点.设直线l 的方程为y ＝kx .则有|3k －4|1＋k2＝5.解得k ＝－34.此时直线l 的方程为y ＝－34x ；②直线l 不经过原点.设直线l 的方程为x ＋y －m ＝0.则有|7－m|1＋1＝5.解得m ＝7＋52或7－5 2.此时直线l 的方程为x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.综上可得：直线l 的方程为y ＝－34x 或x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.10．(20xx·南昌模拟)如图.已知圆O 的圆心在坐标原点.点M ( 3.1)是圆O 上的一点．(1)求圆O 的方程；(2)若过点P (0,1)的动直线l 与圆O 相交于A .B 两点．在平面直角坐标系xOy 内.是否存在与点P 不同的定点Q .使得|QA||QB|＝|PA||PB|恒成立？若存在.求出点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．[解] (1)点M ( 3.1)是圆O 上的一点.可得圆O 的半径为3＋1＝2. 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率为0.可得直线方程为y ＝1.A ( 3.1).B (－ 3.1). 由|PA |＝|PB |.可得|QA |＝|QB |.即Q 在y 轴上.设Q (0.m ). 若过点P (0,1)的动直线l 的斜率不存在.设直线方程为x ＝0. 则A (0,2).B (0.－2).由|QA||QB|＝|PA||PB|可得|m －2||m ＋2|＝13.解得m ＝1或4.由Q 与P 不重合.可得Q (0,4).下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点.也满足|QA||QB|＝|PA||PB|成立．若直线的斜率存在且不为0.可设直线方程为y ＝kx ＋1. 联立圆x 2＋y 2＝4.可得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2). 可得x 1＋x 2＝－2k 1＋k2.x 1x 2＝－31＋k2. 由k QA ＋k QB ＝y1－4x1＋y2－4x2＝kx1＋1－4x1＋kx2＋1－4x2所以线段AB 的长度是455.]【押题2】 已知圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心为M .点P 是圆M 上的动点.点N (1,0).点G 在线段MP 上.且满足(GN →＋GP →)⊥(GN →－GP →)．(1)求点G 的轨迹C 的方程；(2)过点D (0,2)的直线l 与曲线C 交于A .B 两点.若以AB 为直径的圆恰好过原点O .求直线l 的方程．[解] (1)因为(GN →＋GP →)⊥(GN →－GP →).所以(GN →＋GP →)·(GN →－GP →)＝0.即GN →2－GP →2＝0.所以|GN →|＝|GP →|.所以|GM |＋|GN |＝|GM |＋|GP |＝|MP |＝4＞2＝|MN |.所以点G 在以M .N 为焦点.长轴长为4的椭圆上．可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0).则2a ＝4,2c ＝2.即a ＝2.c ＝1.则b 2＝3.所以点G 的轨迹C 的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意知.直线l 的斜率必存在.设直线l 的方程为y ＝kx ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x24＋y23＝1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.由Δ＞0得k 2＞14.(*)设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2).则x 1＋x 2＝－16k 3＋4k2.x 1x 2＝43＋4k2.因为以AB 为直径的圆恰好过原点O .所以OA ⊥OB .即OA →·OB →＝0.则有x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝0.(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0.得41＋k23＋4k2－32k23＋4k2＋4＝0.即4(1＋k 2)－32k 2＋4(3＋4k 2)＝0.解得k 2＝43.满足(*)式.所以k ＝±233.故直线l 的方程为y ＝±233x ＋2.。

直线和圆的复习参考题（文科）一、选择题1、直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是A 、x ＋2y －1＝0B 、2 x ＋y －1＝0C 、2 x ＋y －3＝0D 、 x ＋2y －3＝02、 “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、与直线044232:22=+--++=y x y x x y l 平行且与圆相切的直线方程是（ ）A ．05=±-y xB ．052=±-y xC ．052=±+y xD ．052=±-y x 4、方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A 、322>-<a a 或B 、232<<-aC 、232>-<a a 或D 、322<<-a 5、若直线l ：03=+-y x 被圆C ：()()4222=-+-y a x )0(>a 截得的弦长为32，则a 的值是（ ）A 、2B 、22-C 、12-D 、12+6、从原点向圆 0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（）A 、πB 、π2C 、π4D 、π6 7、已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ） A 、），（2222- B 、），（22- C 、），（4242-D 、），（8181- 8．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1B ．CD ．39．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x10、直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于( )A ．5B ．5C ．52D ．5411、直线01243=-+y x 关于直线01086=++y x 的距离为( )A 、522B 、 517C 、511D 、1017 12、若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥ 二、填空题13．过点()1,2P 且和直线0325=++y x 的夹角为45的直线方程为 14、直线(21)(3)(1)0m x m y m --+--=恒过一个定点，则这个定点的坐标是 。

专题限时集训(九) 直线与圆[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．(2019·江阴模拟)点P 是直线x ＋y －2＝0上的动点，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，则线段PQ 长的最小值为( )A.2－1 B ．1 C.2＋1D ．2A [根据题意，圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，半径r ＝1，圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|2|2＝2，则线段PQ 长的最小值为2－1，故选A.]2．直线l 1：mx －2y ＋1＝0，l 2：x －(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件C [由l 1∥l 2得－m (m －1)＝1×(－2)，得m ＝2或m ＝－1，经验证，当m ＝－1时，直线l 1与l 2重合，不合题意．所以“m ＝2”是“l 1∥l 2”的充要条件，故选C.]3．圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条D [根据题意，圆x 2－4x ＋y 2＝0，即(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)，半径为2； 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0，即圆(x ＋2)2＋y 2＝1，其圆心坐标为(－2,0)，半径为1； 则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共4条．故选D.]4．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6A [由题意可知，圆心P (2,3)，半径r ＝2， ∴圆心P 到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |1＋k2，由d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝r 2，可得4k 21＋k 2＋3＝4，解得k ＝±33.设直线的倾斜角为α，则tan α＝±33，又α∈[0，π)， ∴α＝π6或5π6.]5．在平面直角坐标系xOy 中，以(－2,0)为圆心且与直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0(m ∈R )相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝16 B ．(x ＋2)2＋y 2＝20 C ．(x ＋2)2＋y 2＝25D ．(x ＋2)2＋y 2＝36C [将直线(3m ＋1)x ＋(1－2m )y －5＝0变形为(3x －2y )m ＋(x ＋y －5)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.即直线恒过定点M (2,3)．设圆心为P ，即P (－2,0)，由题意可知， 当圆的半径r ＝|MP |时，圆的面积最大，此时|MP |2＝r 2＝25. 即圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.]6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．x －y －3＝0 [记题中圆的圆心为O ，则O (1,0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为x －y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.102 [联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a 2＝5a(a >0)．故222－⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.]8．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．3 [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径为r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－42＝105＝2. 所以四边形PACB 面积的最小值为|PC |2min －r 2＝4－1＝ 3.][能力提升练] (建议用时：20分钟)9．实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则yx －1的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ C [设yx －1＝t ，，则tx －y －t ＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝1有交点，∴圆心(－1,0)到直线tx－y －t ＝0的距离d ＝|－t －t |t 2＋1≤1，解得－33≤t ≤33.故选C.]10．(2019·赣州模拟)已知动直线y ＝kx －1＋k (k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0(圆心为C )交于点A 、B ，则弦AB 最短时，△ABC 的面积为 ( )A ．3B ．6 C. 5D ．2 5D [根据题意，圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，其圆心为(1，－2)，半径r ＝3.动直线y ＝kx －1＋k ，即y ＋1＝k (x ＋1)，恒过定点P (－1，－1)，又由(－1－1)2＋(－1＋2)2＜9，可知点P (－1，－1)在圆C 的内部，动直线y ＝kx －1＋k (k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0(圆心为C )交于点A 、B ，当P 为AB 的中点即CP 与AB 垂直时，弦AB 最短，此时|CP |＝5，弦AB 的长度为2×r 2－|CP |2＝4，此时，△ABC 的面积S ＝12×|CP |×|AB |＝12×4×5＝2 5.故选D.]11．若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过椭圆M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y ＋1)2＝4 [∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴1m －1＝12m ，解得m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 经过点(0,1)，从而n ＝4，故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.]12．(2019·九江二模)已知圆E 经过M (－1,0)，N (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32三点．(1)求圆E 的方程；(2)若过点C (2,2)作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ，求直线AB 的方程． [解](1)根据题意，设圆E 的圆心E 坐标为(a ，b )，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b 2＝r 2，a 2＋b －12＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，r ＝1，则圆E 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)根据题意，过点C (2,2)作圆E 的两条切线，切点分别是A ，B ， 设以C 为圆心，CA 为半径的圆为圆C ，其半径为R ， 则有R ＝|CA |＝|OC |2－r 2＝7， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝7， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋1＝0，又由直线AB 为圆E 与圆C 的公共弦所在的直线，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－4x －4y ＋1＝0，解得2x ＋2y －1＝0，则AB 的方程为：2x ＋2y －1＝0.题号 内容押题依据1点到直线的距离公式，数形由动态的观点，分析直线与圆的位置关系，并通过数结合思想 形结合的思想及方程思想确定方程的具体位置，体现了高考的最新动向2直线与圆的位置关系，平面向量，轨迹问题，根与系数的关系用代数的方法研究直线与圆的位置关系可以巧妙的将函数与方程，根与系数的关系等知识交汇在一起，考查考生的运算能力和等价转化能力【押题1】 已知直线l ：x －2y ＋4＝0，圆C ：(x －1)2＋(y ＋5)2＝80，那么圆C 上到l 的距离为5的点一共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [由圆C ：(x －1)2＋(y ＋5)2＝80，可得圆心C (1，－5)，半径R ＝45， 又圆心C (1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×－5＋4|12＋－22＝155＝35， 如图所示，由图象可知，点A ，B ，D 到直线x －2y ＋4＝0的距离都为5，所以圆C 上到l 的距离为5的点一共3个，故选C.]【押题2】 已知圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝16，点A (10,0)． (1)设点P 是圆C 上的一个动点，求AP 的中点Q 的轨迹方程； (2)直线l ：kx －y －10k ＝0与圆C 交于M ，N ，求AM →·AN →的值． [解](1)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则(x 0－2)2＋(y 0－2)2＝16， 由x ＝x 0＋102，y ＝y 0＋02，解得x 0＝2x －10，y 0＝2y .代入圆的方程可得：(2x －10－2)2＋(2y －2)2＝16， 即(x －6)2＋(y －1)2＝4.∴AP 的中点Q 的轨迹方程为：(x －6)2＋(y －1)2＝4.(2)直线l ：kx －y －10k ＝0与圆C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 把直线l 的方程代入圆的方程可得：(x －2)2＋(kx －10k －2)2＝16， 化为：(1＋k 2)x 2－(20k 2＋4k ＋4)x ＋100k 2＋40k －12＝0.Δ＞0.∴x 1x 2＝100k 2＋40k －121＋k 2，x 1＋x 2＝20k 2＋4k ＋41＋k2. ∴AM →·AN →＝(x 1－10，y 1)(x 2－10，y 2)＝(x 1－10)(x 2－10)＋y 1y 2＝(x 1－10)(x 2－10)＋(kx 1－10k )(kx 2－10k )＝(1＋k 2)x 1x 2－(10k 2＋10)(x 1＋x 2)＋100＋100k 2＝(1＋k 2)100k 2＋40k －121＋k 2－(10k 2＋10)20k 2＋4k ＋41＋k2＋100＋100k 2＝48.。

2021年高考数学二轮复习直线与圆专题训练（含解析）A级——基础巩固组一、选择题1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0解析由题意知直线l与直线PQ垂直，所以k l＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1.又直线l经过PQ的中点(2,3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.答案 A2．(xx·四川成都二模)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.答案 B3．(xx·山东潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( ) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±3，选D.答案 D4．(xx·山东青岛一模)过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4解析如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.故选A. 答案 A5．(xx·北京朝阳一模)直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝16交于不同的两点M ，N ，且|MN →|≥3|OM →＋ON →|，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－22，－2)∪[2，22)B ．(－42，－22)∪[22，42)C ．[－2,2]D ．[－22，2 2 ]解析 设MN 的中点为D ，则OM →＋ON →＝2OD →，|MN →|≥23|OD →|，由|OD →|2＋12|MN →|2＝16，得16＝|OD→|2＋14|MN →|2≥|OD →|2＋14(23|OD →|)2，从而得|OD →|≤2，由点到直线的距离公式可得|OD →|＝|m |2≤2，解得－22≤m ≤2 2.答案 D6．(xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π. 答案 A 二、填空题7．(xx·山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析 ∵圆心在直线x －2y ＝0上， ∴可设圆心为(2a ，a )． ∵圆C 与y 轴正半轴相切， ∴a >0，半径r ＝2a .又∵圆C 截x 轴的弦长为23，∴a 2＋(3)2＝(2a )2，解得a ＝1(a ＝－1舍去)． ∴圆C 的圆心为(2,1)，半径r ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝48．(xx·重庆卷)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析 由题意，得圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y＋a ＝0的距离d ＝|－1－2＋a |2＝22r ＝322，即|－3＋a |＝3，所以a ＝0或a ＝6.答案 0或69．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析 易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b ≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤ 2＋1.答案2＋1三、解答题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.11．(xx·课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.B 级——能力提高组1．(xx·河南南阳联考)动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π解析 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2，b ，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24－b ＋22＋12≤b24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.答案 D2．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 假设直线l AB ：x a ＋y b ＝1.由于圆心(0,0)到l 的距离为1，可得a 2b 2＝a 2＋b 2.又a 2b 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222，所以a 2＋b 2≥4.又因为|AB |＝a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．答案 23．(xx·江苏卷)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，k AB ＝b －60a －0＝34.解得a ＝80，b ＝120. 所以BC ＝170－802＋0－1202＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －60－d≥80，即⎩⎪⎨⎪⎧680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－60－d≥80.解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大．所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．23405 5B6D 孭39756 9B4C 魌39310 998E 馎_35376 8A30 訰5?40649 9EC9 黉m736800 8FC0 迀25106 6212 戒#21703 54C7 哇P。