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用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。
求解二面角的六种常规方法作者：李淑芸来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助.1.定义法是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法.【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a,BD=2a,求二面角A—BD—C的大小.图1解:取BD的中点为O,分别连接AO、CO,∵AB=AD,BC=CD.∴AO⊥BD,CO⊥BD.∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.∵AB=AD=a,BD=2a,∴AO=22a.∵BC=CD=a,BD=2a,∴OC=22a.在△AOC中,OC=22a,OA=22a,AC=a,OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,即二面角A—BD—C为直二面角.2三垂线法是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法.【例2】如图2,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C,线段CDα,CD=100,∠BCD=30°,点D 到平面β的距离为253,求二面角α-AB-β的度数.图2解:过D作DE⊥β于E,DF⊥AB于F,连接EF.∵DF⊥AB,EF是DF在β内的射影,∴AB⊥EF(三垂线定理).∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.在Rt△DEF中,DF=12CD=50,DE=253,∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.3.垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角,则截面与二面角的两个面必有两条交线,这两条交线构成的角即为二面角的平面角,继而再求出其平面角的一种方法.【例3】如图3,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E-BD-C的大小.图3解:∵BS=BC,SE=EC,∴SC⊥BE,又∵SC⊥DE,∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA,∴BD⊥面SAC.∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=a,则SB=BC=2a.∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC.∴BC⊥SB.∴SC=2a,∠SCD=30°.∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.4.面积射影法所谓面积射影法,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系,利用cosθ=S射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,K∈BB1,M∈CC1,且BK=14BB1,CM=34CC1,求平面AKM与ABCD所成角的大小.图4解:连结AC,则由题意可知,△ABC是△AKM在平面AC上的射影.设平面AKM与ABCD所成角为θ,则cosθ=S射S=S△ABCS△AKM.令正方体的棱长为4,∴S△ABC=12AB•A C=12×4×4=8.在△AKM中,AK=12+42=17,AM=42+42+32=41,KM=42+22=20.由海伦公式可知S△AKM=221,∴cosθ=421,θ=arccos421.5.法向量法法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系,求出二面角的一种方法.【例5】如图5,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=ɑ,求平面PAB 和平面PCD所成的二面角的大小.图5解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示),则P(0,0,a),D(0,a,0),C(a,a,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n•PD=0,n•CD=0.即(x,y,z)•(0,a,-a)=0,(x,y,z)•(-a,0,0)=0.∴y=-z,x=0.即n=(0,1,-1).又AD成为平面PAB的法向量,而cos〈AD,n〉=(0,a,0)•(0,1,-1)a•2=22,∴AD与n所成的角为45°.因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.6.垂线法是指先利用待定系数法确定垂足,再利用公式求出二面角的大小.【例6】如图6,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC,已知PD=2,CD=2,AE=12,求(1)异面直线PD与EC的距离;(2)二面角E-PC-D的大小.图6解:(1)略.(2)以D为原点,DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.作DG⊥PC,可设G(0,y,z).由DG•PC=0得(0,y,z)•(0,2,-2)=0,即z=2y.故可取DG=(0,1,2).作EF⊥PC于F,设F(0,m,n),则EF=(-32,m-12,n).由EF•PC=0,得(-32,m-12,n)•(0,2,-2)=0,即2m-1-2n=0.又由F在PC上得n=-22m+2,故m=1,n=22,EF=(-32,12,22).因EF⊥PC,DG⊥PC,故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22,∴θ=π4.故二面角E-PC-D的大小为π4.(责任编辑金铃)。
法向量求二面角公式在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。
此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。
而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。
“法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示：α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|))其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。
要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。
N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1)N2 = (x2, y2, z2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。
第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。
以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。
这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。
当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。
另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。
本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。
然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。
用向量法求二面角的常用技巧作者：唐中奎来源：《新课程·中学》2019年第09期摘要：在高中数学教学中，不管是教学观念，还是教学方法，都发生了很大的变化，作为高中数学教师，需要积累丰富的教学经验以及诸多的解题技巧，并且充分认识到教学过程中存在的不足之处，进而采取有效的解决对策，提升教学水平。
其中，对二面角进行教学时，教师应该对向量法给予高度重视，让学生充分掌握常用的解题技巧。
主要阐述了采用向量法求二面角的常用技巧。
关键词：向量法;技巧;二面角由于新课改的不断推进，在现阶段的高中数学教学中，为了有效提高教学效率，数学教师应该从学生的学习情况出发，明确教学中存在的问题，不断调整教学模式，设计的教学内容要满足学生的实际需求，尤其要重视一些解题技巧，以此提高学生的解题能力。
一直以来，在高中教学中，向量法是重要的教学内容，在高考的考点中，二面角方面的命题也比较常见，通过空间向量的应用，为二面角命题提供了有效的解题方式。
下面以向量求解二面角问题为例。
题目：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥CD，PDC面与ABCD面相互垂直，ABCD为直角梯形，∠ADC为直角，AB∥CD，AB=PD=AD=1，DC=2，详情见图1。
（1）证明：BC垂直于面PBD;（2）求二面角B-PC-D的余弦值;（3）在PC中，是否存在点Q，可以使P-DB-Q等于45°，如果存在点Q，请给出具体位置，如果不存在，请说明理由。
一、根据现有的垂直关系构建空间坐标系（1）证明：因为PCD⊥ABCD，CD⊥PD，所以，PD⊥ABCD。
具体见图2所示。
以D为原点，构建D-xyz空间直角坐标系，那么，A（1，0，0），B（1，1，0），C （0，2，0），P（0，0，（1，1，0），因此，B⊥BC。
由于PD⊥ABCD，PD也就垂直于BC，因此，BC⊥PBD。
二、向量求解在求解二面角的过程中，能够直接转化成为两个平面的夹角问题，通过求出两个平面的法向量，可以找到答案，一般题中会给出一个平面的垂直线段，这就可以看作是法向量。
