三维设计3.1.2 空间向量的基本定理

3.1.2空间向量的基本定理时间2010-12-07【课前预习】1、共线向量定理：练习：已知3,2a e b e ==-r r r r 。

试问a b r r 与是否平行？并求:a b r r2、 叫做共面向量。

共面向量定理： 3、空间向量分解定理： 4、基底、基向量思考：①任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底吗？②空间向量a r 、b r 、c r不共面能否推出它们之间不会平行？【预习检测】1、下列命题中正确的是：（ ）A 、若a r 与共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线 B 、向量a r 、b r 、c r共面即它们所在的直线共面C 、零向量没有确定的方向D 、若a r ∥b r ，则存在唯一的实数λ，使a b λ=r r2、如图，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中， 向量B A '、 D A '、BD 是 （ ）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量3、若向量{a r ，b r ，c r }是空间的一个基底，向量m u r = a r ＋b r ，n r = a r －b r ，那么可以与,m nu r r构成空间另一个基底的向量是（ ）A 、a rB 、b rC 、c rD 、2 a r【课内探究】1、共线向量定理：2、共面向量定理：例题2：已知矩形ABCD 和ADEF 所在的平面互相垂直，点M 、N 分别在BD ，AE 上，且分别是距B 点、A 点较近的三等分点，求证：MN //平面CDECD H F E变式练习：已知a r ，b r ，c r 不共面，并且,,p a b q a c r b c =+=+=-u r r r r r r r r r ，向量,,p q r u r r r是否共面？3、空间向量的基本定理 例3、课本p84例3练习： 0是△ABC 外任意一点, 点G 是△ABC 的重心,如图， 设→--OA = a r , →--OB = b r, →--OC=c r , 求证: →--OG =31(a r + b r +c r ).变式练习：如图：已知ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设→--OA =a r ，→--OB = b r ，→--OC = c r ， 则向量→--OD 用a r 、b r 、c r表示为 （ ）.（A ）a r –b r + c r . （B ）a r –b r –c r. (C) –a r –b r +c r . (D) –a r + b r –c r【当堂检测】1、在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a r ，=11D A b r ，=A A 1c r ，则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( )A ．-21a r ＋21b r ＋c r B ．21a r ＋21b r ＋c r C ．21a r -21b r ＋c rD ．-21a r -21b r ＋c r2、已知点O 是正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1的中心, 若→--AB = a r ，→--AD = b r , →--1AA =c r 则→--AO = .3、空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上， 且MG = 2GN ，用基底{→--OA ，→--OB ，→--OC }表示向量→--OG .【课后拓展案】 一、选择题：1、设向量a 、b 、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是：（ ）A.{a +b ，b －a ，a }B.{a +b ，b －a ，b }C.{a +b ，b －a ，c }D.{a +b +c ，a +b ，c }2、如图, ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是 ( ) (A) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--1AC = x →--AB +y →--AD . (B) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--AC = x →--AB +y →--1AA . (C) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--1AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .(D) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .3、在正方体OADB －CA ′D ′B ′中，点E 是AB 与OD 的交点M 是OD ′与CE 的交点，试分别用,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OD u u u r 。

3.1.2空间向量的基本定理学习目标：1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(重点、难点).3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．[自主预习·探新知]1．共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数x ，使a ＝x b .(2)向量共面的条件①向量a 平行于平面α的定义已知向量a ，作OA →＝a ，如果a 的基线OA 平行于平面α或在α内，则就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α.②共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量．③共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b .2．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .(2)基底如果三个向量a ，b ，c 是三个不共面的向量，则a ，b ，c 的线性组合x a ＋y b ＋z c 能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{a ，b ，c }，其中a ，b ，c 都叫做基向量．表达式x a ＋y b ＋z c 叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．[基础自测]1．思考辨析(1)向量a ，b ，c 共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．()(2)若向量e 1，e 2不共线，则空间任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．()[提示](1)×表示这三个向量的有向线段平行于同一平面．(2)×与e 1，e 2共面的任意向量a ，都有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )．2．给出的下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则存在唯一的有序实数对(x ，y)，使c ＝x a ＋y b ；②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为() A ．0B ．1C ．2D ．3B[只有②为真命题．]3．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【导学号：33242244】x ＝y ＝z ＝0[若x ≠0，则a ＝－y x b ＋zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.][合作探究·攻重难]向量共线问题如图3-1-11所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E→＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．图3-1-11[证明]设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．[规律方法]判定两向量共线就是寻找x 使a ＝x b (b ≠0)成立，为此可结合空间图形并运用空间向量运算法则化简出a ＝xb ，从而得a ∥b .[跟踪训练]1．如图3-1-12所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.利用向量法求证四边形EFGH 是梯形．图3-1-12[证明]∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝1232CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →，∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形.共面向量定理及应用对于任意空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．试证：EF →与BC →、AD →共面.【导学号：33242245】[思路探究]分析题意→利用向量的运算法则表示EF →→利用中点关系寻求EF →、BC →、AD →的关系→应用向量共面的充要条件→得出结论[解]空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，则EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →，②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →.所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．[规律方法]利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.[跟踪训练]2．如图3-1-13所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接PA ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM.应用向量共面定理证明：E 、F 、G 、H 四点共面．图3-1-13[证明]∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连接M 、N 、Q 、R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.∵MNQR 为平行四边形，∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ →＝23(MN →＋MR →)＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →) ＝2332PF →－32PE →＋2332PH →－32PE →＝EF →＋EH →.∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E 、F 、G 、H 四点共面.基底的判断及应用[探究问题]1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？[提示]不唯一，不共面．2．怎样理解空间向量基本定理？[提示](1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．(3)拓展：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组{x ，y ，z}，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．(1)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．图3-1-14(2)如图3-1-14，在三棱柱ABC-A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →.【导学号：33242246】[思路探究](1)判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．(2)借助图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a ，b ，c 表示出来．[解](1)假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面．则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．(2)AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BB ′→＋BC →)＝AB →＋12BB ′→＋12(AC →－AB →)＝b ＋12a ＋12(c －b )＝b ＋12a ＋12c －12b＝12a ＋12b ＋12c . AN →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′N →＝AA ′→＋A ′B ′→＋12B ′C ′→＝a ＋b ＋12(A ′C ′→－A ′B ′→)＝a ＋b ＋12(c －b )＝a ＋12b ＋12c .母题探究：1.(变换条件)若把本例3(2)中的AA ′→＝a 改为AC ′→＝a ，其他条件不变，则结果又是什么？[解]AM →＝AB →＋BM→＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(AC ′→－AB →)＝b ＋12(a －b )＝12a ＋12b . AN →＝AC ′→＋C ′N →＝AC ′→＋12C ′B ′→＝AC ′→－12B ′C ′→＝AC ′→－12(A ′C ′→－A ′B ′→)＝a －12(c －b )＝a ＋12b －12c .2.(变换条件、改变问法)如图3-1-15所示，本例3(2)中增加条件“P 在线段AA ′上，且AP ＝2PA ′”，试用基底{a ，b ，c }表示向量MP →.图3-1-15[解]MP →＝MC ′→＋C ′A ′→＋A ′P →＝12BC ′→－A ′C ′→－13AA ′→＝12(BB ′→＋BC →)－AC →－13AA ′→＝12[AA ′→＋(AC →－AB →)]－AC →－13AA ′→＝12(a ＋c －b )－c －13a ＝16a －12b －12c .[规律方法]用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量.提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来.)[当堂达标·固双基]1．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4D[根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA →、BM →、BN →共面且过相同点B ，故A 、B 、M 、N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a 、b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使d ≠k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a 、b 共面与条件矛盾．∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．]2．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是()A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC→C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC→D ．以上皆错B[法一：∵13＋13＋13＝1，∴选B.法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．]3．已知正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于()【导学号：33242247】A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD →D[由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ，∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →) ＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′→＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →.] 4．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．13[因为点M 在平面ABC 中，即M 、A 、B 、C 四点共面，所以x ＋13＋13＝1，即x ＝13.] 5．如图3-1-16所示，在空间四面体A-BCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？【导学号：33242248】图3-1-16[解]取AC 中点为G.连接EG ，FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)．∴EF →与AD →＋BC →共线．。

3.1.2 空间向量的根本定理一、根底过关1．“a ＝x b 〞是“向量a 、b 共线〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足以下条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，那么可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么AM →等于( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 3 5．A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，假设由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，那么λ＝________.6．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，那么OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．二、能力提升7．向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D8．在以下等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，那么a ，b ，c 共面．②假设两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，那么a ，b 共线．③假设a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，那么{a ，b ，c }构成空间的一个基底．10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，假设A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11.如下列图，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．三、探究与拓展13.如下列图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)假设EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .答案1．A 2．C 3．D 4．D 5.215 6.12a ＋14b ＋14c7．A 8．C9．210．解 因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.11．解 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →.∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．12．证明如图．EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →、B 1C →、EF →是共面向量．13．(1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，所以A 、E 、C 1、F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－AB →＋AD →＋13AA 1→. 所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13. 所以x ＋y ＋z ＝13.。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理一、引言空间向量是三维空间中的一个有向线段，是研究几何、物理等学科中经常使用的基本概念。

在研究空间向量的性质和应用时，需要掌握空间向量的基本定理。

二、定义1. 空间向量的表示在三维空间中，一个向量可以用它的起点和终点表示。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，则以A为起点，B为终点的有向线段AB就是一个向量，记作AB。

2. 空间向量的加法设有两个非零向量a和b，在它们各自平移后所在直线上任取一点P 和Q，并以它们为对角线作平行四边形，则以P为起点，Q为终点所得到的有向线段就是a+b。

3. 空间向量的数乘设k为实数，k与非零向量a相乘所得到的新向量记作ka。

当k>0时，ka与a同方向；当k<0时，ka与a反方向；当k=0时，ka=0。

4. 两个非零向量共线如果两个非零向量a和b共线，则存在实数k使得b=ka。

5. 两个非零向量垂直如果两个非零向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。

三、基本定理1. 平面向量的基本定理对于任意两个非零向量a和b，有以下三个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论称为平面向量的基本定理。

2. 空间向量的基本定理对于任意三个非零向量a、b和c，有以下六个结论：（1）a+b=b+a（交换律）（2）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）（3）k(a+b)=ka+kb（分配律）这些结论与平面向量的基本定理相同。

（4）a+(–a)=0对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。

（5）(–1)a=–a对于任意一个非零向量a，存在唯一一个与之相反的向量–a，使得它们相加等于零向量0。

而且当k=-1时，ka=-a。

这些结论称为空间向量的基本定理。

四、证明1. 平面向量的基本定理的证明（1）a+b=b+a由向量加法的定义可知，a+b和b+a的起点和终点相同，因此它们相等。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。

本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。

有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。

用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。

1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。

相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。

例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。

1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。

空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。

例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。

二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。

在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。

空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。