广东专版八年级数学下册第十七章勾股定理第4课时勾股定理的逆定理习题课件新版新人教版

19．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，称为 勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章
a＝12(m2－n2)，
算术》，其勾股数组公式为：b＝mn，
其中 m>n>0，m，n 是互质的
c＝21(m2＋n2)，
奇数．
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
17．如图所示，D 是△ABC 的边 BC 上一点，已知 AB＝13，AD＝12， AC＝15，BD＝5，试求△ACD 的面积．
解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝169，AB2＝132＝169，∴AD2＋BD2＝AB2， ∴△ABD 是直角三角形，∴AD⊥BC．在 Rt△ADC 中，CD2＝AC2－AD2 ＝152－122＝81，∴CD＝9，S△ADC＝12AD·CD＝12×12×9＝54.
A．6
B．4.5
C．2.4
D．8
7．在△ABC 中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝15cm，则 S△ABC 的值为 (B )
A．10cm2
B．54cm2
C．180cm2
D．90cm2
8．已知三角形 ABC 的三边长为 a＝18，b＝82，c＝80，则此三角形为 __直__角__三角形．
勾股数
⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形有( C )
A．1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
5．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，且(a＋b)(a －b)＝c2，则( A )
A．∠A 为直角 B．∠B 为直角 C．∠C 为直角 D．△ABC 不是直角三角形
6．三角形的三边长分别为 6，8，10，它的最短边上的高为( D )

过了2秒后行驶了50米，此时测得小汽车与车速检测仪
间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪
个方向?这辆小汽车超速了吗?
小汽车在车 速检测仪的2秒后
你觉的此题解对了吗?
50米
小汽车
北偏西60° 方向 25米/秒=90千米/时 40米 >70千米/时∴小汽车超速了
30米 北 30°
60°
车速检测仪
50米
东60°方向
车速检测仪
25米/秒=90千米/时
60°
>70千米/时∴小汽车超速了
40米
2秒后
探究二、补例 如图，在四边形ABCD中，AB=3， BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的 面积．
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
D
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
30 D
C 75°4350°1°5°东 30
3
30°
甲船追赶乙船用了2小时，
60 速度是(15 15 3)千米/时．
时间 60 15 4(小时)
30 2
60°45°
30°
A
东
拓展练习
7.我们学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13 这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什么关系？
OC 10002 5002
5002 22 1 500 3 AB 500 500 3
2
2
OB 500 3 500 3
5002 3 3 500 6
北
A
O 60°
500
500 3 C 东
45°
500 3
500 6

17.2 勾股定理的逆定理
【基础梳理】 一、互逆命题(定理) 1.互逆命题:如果两个命题的题设和结论正好_相__反__, 那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个 叫做原命题,那么另一个叫做它的_逆__命__题__.
2.逆定理:如果一个定理的_逆__命__题__经过证明是正确的, 那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理.
【错因】在等式两边同除以含有字母的式子,漏掉了等 腰三角形的情况.
【解析】∵AB=5cm,BC=6cm,AD=4cm, 又∵AD为BC边上的中线, ∴BD=6×1 =3(cm),
2
∴AB2=AD2+BD2,∴△ADB为直角三角形, ∴∠ADB=90°,∴∠ADC的度数是90度. 答案:90
【微点拨】 由三边判定直角三角形的三步法
【纠错园】 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判 断△ABC的形状.
(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数,并 说明理由.
【思路点拨】(1)仔细观察可发现给出的勾股数中,斜 边与较大的直角边的差是1,根据此规律及勾股定理公 式不难求得b,c的值. (2)根据第(1)问发现的规律,代入勾股定理公式中即可 求得b,c的值.
(3)将第(2)问得出的结论代入第(3)问中,看是否符合规 律,符合则说明是一组勾股数,否则不是.
二、勾股定理的逆定理 1.内容:如果三角形的三边长a,b,c满足_a_2_+_b_2=_c_2_,那 么这个三角形是直角三角形. 2.应用:通过边长的计算,可以判断一个三角形是否 是直角三角形.
ห้องสมุดไป่ตู้
三、勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个_正__整__数__,称为勾 股数.

4.工人师傅想要检测一扇小门两边 AB .CD
是否垂直于底边 BC,但他只带了一把卷尺,你
能替工人师傅想办法完成任务吗? A
D
驶向胜利 的彼岸
B
C
5.已知a.b.c为△ABC的三边,满
足 a 2 c2 b 2 c2 a 4 b 4,试判断
△ABC的形状.
解 ∵ a2c2- b2c2 = a4 – b4
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆 定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.学.科.网
1.长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能 搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( B )
A 1个 B 2个 C 3个
D 4个
2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,
1、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公 园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现要 在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公 路将两村连通,经测得 AB=600m,AC=800m,问此 公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
400
A
B
D 1000
C
2、三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边 上的高为( B)
A .17 B .15 C .8 D .120 17
3、△ABC中，如三边长a,b, c分别为: am 2 n 2,bm 2 n 2,c2 m
其中 m,n为正整数，且 m，n那么△ABC是直角三角形吗？为什 么？
4、如下图，在正方形ABDC中，E是
CD的中点，F为BD上一点，且
A
C
BF=3FD，求证∠AEF=90º.

在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形 两直角边的平方和 三边关系 等于斜边的平方

2021/12/13
（1）（13） （12）
（2）
（11）
（3）
（10） （9）
（4） （5）（6）（7）（8）
第六页，共二十八页。
实验操作： （1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三(dì sān)数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． （2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角
证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想 ；
2．了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一 定为真命题．
学习重点：
探索并证明勾股定理的逆定理.
2021/12/13
第四页，共二十八页。
逆向(nì xiànɡ)思考 提出 问题
思考(sīkǎo) 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
说一说： 1.勾股定理的逆定理的内容是什么？ 2.它与勾股定理的联系(liánxì)与区别．
勾股定理的逆定理：
如果(rúguǒ)三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这
个三角形是直角三角形．
2021/12/13
第十六页，共二十八页。
1. 判断(pànduàn)由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°，
D
∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13，
∴ AC2+CD2=52+122=169．
又∵ AD2=132=169，
即 AC2+CD2=AD2，
A
∴ △ACD是直角三角形．
B
C
∴ 四边形ABCD的面积为 134+1512=36．

15．已知 a，b，c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 c2－a2－b2＋ |a－b|＝0，则△ABC 的形状为_等__腰__直__角__三__角__形__．
16．(习题5变式)如图是一块地，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m， BC＝12 m，且CD⊥AD，求这块地的面积．
解：连接AC，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝4，CD＝3，∴AC2 ＝AD2＋CD2＝42＋32＝25，又∵AC＞0，∴AC＝5，又∵BC＝12，AB＝ 13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝169，∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC－S△ADC＝30－6＝24(m2)
18．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n2 3 4 5…
22 32 42 52 a － － － －…
1111
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1)的式子表示：
b 4 6 8 a＝__n_2－__1__，b＝__2_n__，c＝__n_2＋__1__．10 … 2 3 4 5 (2)猜想以a，b，c为2 边的三2 角形是2 否为直2 角三角形？并证明你的猜想． c ＋ ＋ ＋ ＋ … 解：是直角三角形．证明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2
10．(习题4变式)如图，AD为△ABC的中线，且AB＝17，BC＝16， AD＝15，则AC等于( C )
A．15 B．16 C．17 D．18
11．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1， 则△ABC是( )B
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
形的有__①__③__④___．(填序号)

解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）
∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2
=c2 ∴△ABC是直角三角形。
5、如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点， F为BD上一点，且BF=3FD，求证：∠AEF=90º.
A
C
E
B
FD
例2、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林 公园的中心,在森林公园附近有 B .C 两个村庄,现 要在 B.C 两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直 公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问 此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
400
A
60°
B
D 1000
30° C
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 6:03:27 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021

2
2
证明： 在△ABC中AB⊥BC，根据勾股定理得： AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5， ∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三 角形， ∴AC⊥CD
练习 如图所示，在四边形ABCD中，已知： AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝ 90°，求∠DAB的度数．
4．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC
＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为
．
5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …
b
4
6
8
10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示：a＝ n2﹣1；b＝2n；c＝ n2+1 ；
题型四 利用勾股定理的逆定理证明实际问题
例4 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领
海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东 方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立 即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走 私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海 里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不 变，最早会在什么时候进入我国领海？
������2 − 12������ + 36 + ������2 − 16������ + 64 + ������2 − 16������ + 64 = 0