自回归模型

自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。

(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。

式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt 依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。

(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。

实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。

(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。

二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。

φ越大，自回归过程的波动影响越持久。

(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。

随机过程的自回归模型随机过程是描述随机事件随时间变化的数学模型。

自回归模型是一种常用的随机过程模型，它假设当前时刻的随机变量值与前一时刻以及过去的随机变量值有关。

一、引言随机过程在众多领域中都有广泛的应用，如金融领域的股票价格变动、通信领域的信号传输、天气预测等。

为了更好地描述随机过程中的随机性和变化规律，研究者提出了各种各样的统计模型。

其中，自回归模型是一种重要的方法。

二、自回归模型的基本概念自回归模型是指当前时刻的随机变量值与前一时刻以及过去的随机变量值之间存在一定的关系。

自回归模型可以用数学表达式表示为：X(t) = c + Σ(ai * X(t-i)) + ε(t)其中，X(t)表示当前时刻的随机变量值，c为常数项，ai为系数，X(t-i)表示过去时刻的随机变量值，ε(t)为噪声项。

三、自回归模型的特点1. 随机性：自回归模型中的噪声项ε(t)具有随机性，能够很好地描述随机过程中的不确定性。

2. 滞后效应：自回归模型中的系数ai表示随机变量值与过去时刻的关系，不同的系数对应不同的滞后效应。

3. 参数估计：自回归模型中的系数ai可以通过最小二乘法等统计方法进行估计，得到模型的参数。

四、自回归模型的应用1. 金融领域：自回归模型可以用于股票价格预测、汇率波动预测等金融领域的分析和建模。

2. 信号处理：自回归模型可以用于信号压缩、降噪等信号处理的应用中。

3. 时序数据分析：自回归模型可以用于时序数据的分析和预测，如天气预测、销售预测等。

五、自回归模型的改进和扩展1. 非线性自回归模型：在自回归模型的基础上引入非线性关系，提高模型的拟合能力。

2. 高阶自回归模型：考虑更多过去时刻的随机变量值，提高模型的时序预测能力。

3. 多变量自回归模型：考虑多个随机变量之间的关系，更好地描述多维随机过程。

六、总结自回归模型是一种常用的随机过程模型，能够很好地描述随机性和变化规律。

它在金融、信号处理、时序数据分析等领域有广泛的应用。

自回归模型法什么是自回归模型法自回归模型法（Autoregressive Model）是一种用于时间序列预测和分析的统计方法。

它基于时间序列中的自相关性，通过使用过去若干时间点的数据来预测未来的观测值。

自回归模型法广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，有助于我们理解时间序列数据的变化规律，进行预测和决策。

自回归模型法的基本原理自回归模型法的基本原理是建立一个线性模型，其中包括时间序列观测值和之前的观测值之间的关系。

它假设当前观测值与之前若干个观测值之间存在一种确定的关系，可以用线性方程来表示，其中过去的观测值是预测当前观测值的重要因素。

自回归模型法具体的形式可以表示为：其中，是当前观测值，是常数项，是自回归系数，是过去的观测值，是误差项。

自回归模型法的关键是确定自回归系数和误差项的取值。

通常使用最小二乘法来估计自回归系数，使得观测值和预测值之间的误差最小化。

通过对时间序列的历史数据进行拟合，可以得到一个自回归模型，用于预测未来观测值。

自回归模型法的应用举例1.经济预测：自回归模型法可以应用于经济领域的预测和决策。

例如，可以使用过去几个季度的经济数据，预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府制定宏观经济政策。

2.股票价格预测：自回归模型法可以应用于股票市场的预测和交易决策。

通过分析历史股票价格数据，可以建立一个自回归模型，用于预测未来股票价格的涨跌趋势，帮助投资者做出买入或卖出的决策。

3.气象预测：自回归模型法可以应用于气象学中的天气预测。

通过分析过去几天或几周的气象数据，可以建立一个自回归模型，预测未来几天的气温、降雨量等天气指标，为农作物种植、航空运输等提供参考。

自回归模型法的优缺点自回归模型法具有以下优点：•能够捕捉时间序列数据中的自相关性，提供对未来观测值的预测。

•模型结构简单，易于理解和实现。

•可用于分析和理解时间序列数据的变化规律，揭示隐藏在数据背后的规律和趋势。

然而，自回归模型法也存在一些缺点：•假设观测值之间存在线性关系，可能无法准确描述非线性的时间序列数据。

常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。

AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。

2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。

MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。

3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。

ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。

4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。

ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。

5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。

SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。

6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。

LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。

以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。

自回归（AR ）模型理论模型自回归（AutoRegressive, AR ）模型又称为时间序列模型，数学表达式为+−++−=1:()(1)...()()na AR y t a y t a y t na e t其中，e(t)为均值为0，方差为某值的白噪声信号。

Matlab Toolbox研究表明，采用Yule ‐Walker 方法可得到优化的AR 模型[1]，故采用aryule 程序估计模型参数。

[m,refl] = ar(y,n,approach,window)模型阶数的确定有几种方法来确定。

如Shin 提出基于SVD 的方法，而AIC 和FPE 方法是目前应用最广泛的方法。

若计算出的AIC 较小，例如小于‐20，则该误差可能对应于损失函数的10‐10级别，则这时阶次可以看成是系统合适的阶次。

am = aic(model1,model2,...)fp = fpe(Model1,Model2,Model3,...)AR预测yp = predict(m,y,k)m表示预测模型；y为实际输出；k预测区间；yp为预测输出。

t k y t k−−−−−y y y y t y t(1),(2),...,(1),(,...,(y t)2),(1),()当k<Inf时，yp(t)为模型m与y(1,2,…t‐k)的预测值；当k=Inf时，yp(t)为模型m的纯仿真值；默认情况下，k=1。

在计算AR模型预测时，k应取1，原因参照AR模型理论公式。

compare(y,m,k)[yh,fit,x0] = compare(y,m,k)Compare的预测原理与predict相同，但其对预测进行了比较。

||||1001||||y yh fit y μ⎛⎞−=×−⎜⎟−⎝⎠AR 误差e = pe(m,data)pe 误差计算。

采用yh=predict(m,data,1)进行预测，然后计算误差e=data ‐yh;[e,r]= resid(m,data,mode,lags); resid(r)resid 计算并检验误差。

自回归(AR)模型自回归模型(Autoregressive model)的形式为：1122n n n p n p n X X X X ϕϕϕε---=++++ (5.1.1)式中p ϕϕ,,1 为模型参数；n X 为因变量，12,,...,n n n p X X X ---为“自”变量。

这里“自”变量是同一(因此称为“自”)变量，但属于以前各个时期的数值，所谓自回归即是此含义。

最后，},1,0,{ ±=n n ε是白噪声序列，即ko k n n n E E δσεεεε2)(,0)(==+，也就是说随机序列}{n ε的均值为零，方差为2εσ，且互不相关，它代表不能用模型说明随机因素。

假定()0,()t n E X t n ε=<，即随机影响与数据值无关。

p 为模型的阶数。

用)(p AR 来简记此模型。

引入向后推移算子B ： k n n k B X X -=，C C B k =， ,1,0=k (C 为常数)并记)1()(221p p p B B B B ϕϕϕ----=Φ则式(5.1.1)可重写为()p n n B X εΦ= (5.1.2)称多项式方程()0p λΦ=为)(p AR 模型的特征方程，它的p 个根p λλλ,,,21 称为模型的特征根。

特征根可能是实数，也可能是复数。

如果这p 个特征根都在单位圆外，即1,1,2,...,i i p λ>=则称)(p AR 模型是稳定的或平稳的。

称上式为平稳性条件。

这里应引起读者注意的是，平稳时间序列{}n X 是指n X 的均值为常数(我们设其为零)且自相关函数为齐次的随机时间序列；而平稳的()AR p )则指它满足平稳性条件：()0p λΦ=的根均在单位圆外。

这两种“平稳”是两个不同的概念。

如，对于)1(AR 模型，其特征方程为011=-x ϕ特征根111-=ϕλ，从而)1(AR 的平稳性条件是11<ϕ。

在条件11<ϕ下，有111110N k N n n n n k n N k X X X εϕϕεϕ----==+==+∑ ∑∞=-=01k k n k εϕ (5.1.3)由于k ε表示第k 期的预测误差，因此上式表示对平稳的)1(AR 模型，n X 可由过去各期的误差线性表示。

自回归模型一、 预测方法综述预测方法大体上分为定性预测法、时间序列预测法和因果模型预测法。

定性预测法是在数据资料掌握不多的情况下，依靠人的经验和分析能力，用系统的、逻辑的思维方法，把有关资料加以综合、进行预测的方法。

定性预测法包括特尔斐法、主观概率预测法、判断预测法等方法。

时间序列预测法是依据预测对象过去的统计数据，找到其随时间变化的规律，建立时序模型，以判断未来数值的预测方法。

其基本思想是:过去的变化规律会持续到未来，即未来是过去的延伸。

时间序列预测法包括时间序列平滑法、趋势外推法、季节变动预测法等确定型时间序列的预测方法和马尔可夫法、随机型时间序列的预测方法。

因果模型预测法是把所要预测的对象同其他有关因素联系起来进行分析，制定出揭示因果关系的模型，然后根据模型进行预测。

因果模型预测法包括回归分析预测法、经济计量模型法、投入产出预测法等。

由于时间序列预测法和因果模型预测法都是以统计资料为依据，应用统计方法进行预测的，所以有时两者统称为统计预测。

到目前为止，已有近二百种预测方法。

1987年，Ledes和Farbor首次将神经网络引入到预测领域中，无论是从思想上、还是技术上都是一种拓宽和突破。

常用的分析和预测方法有下面几种:(1) 投资分析方法。

这是市场分析家常用的方法。

(2) 时间序列分析法。

这种方法主要是通过建立综合指数之间的时间序列相关辩识模型，如自回归移动平均模型(ARMA)、齐次非平稳模型(ARIMA)等来预测未来变化。

(3) 神经网络预测法。

神经网络是一种最新的时间序列分析方法。

(4) 其他预测方法。

如专家评估法和市场调查法等定性方法、季节变动法、马尔柯夫法和判别分析法等定量预测方法。

传统的预测方法大都采用线性模型来近似地表达预测对象的发展规律。

如最常用的AR模型预测，就是在时间序列平稳的假设基础之上，对其建立线性模型，然后采用模型外推的方法预测其未来值。

然而这些方法只适用于平稳时间序列的预测。

异方差回归与自回归模型异方差回归与自回归模型是统计学中常用的两种回归分析模型，它们在预测变量和被解释变量之间关系时都有不同的优势。

异方差回归模型和自回归模型在很多情况下都可以用来拟合数据，但是它们在拟合数据时有一些不同点，这也是它们之间的区别。

一、异方差回归模型异方差回归模型是对线性回归模型的改进，它是一种更强大的统计模型，用于预测两个变量之间的关系，可以更好地描述和预测变量之间的关系。

异方差回归模型是一种可以考虑样本异方差的线性回归模型，主要用于检验两个变量之间是否存在显著的线性关系，所谓“异方差”指的是变量之间的方差不一致，即观察值之间的方差可能随着自变量的变化而变化。

异方差回归模型的应用主要是为了更好地拟合观察数据，使得变量之间的关系更加精确准确，从而更好地描述变量之间的关系，从而更好地预测变量之间的关系。

二、自回归模型自回归模型是一种时间序列模型，它试图通过考察当前变量和其他变量的历史数据来推断当前变量的变化，建立变量之间的关系。

自回归模型将当前变量的值作为另一个变量的函数，从而推断出当前变量的值，而不是直接使用给定的数据进行拟合。

自回归模型有助于我们更好地理解时间序列中变量之间的关系，从而更好地预测这些变量的变化。

自回归模型的优势在于，它可以更好地捕捉时间序列数据之间的长期趋势，从而更好地预测未来的变化趋势。

总结异方差回归模型和自回归模型是两种统计学中常用的回归分析模型，它们在预测变量和被解释变量之间关系时都有不同的优势。

异方差回归模型是一种可以考虑样本异方差的线性回归模型，主要用于检验两个变量之间是否存在显著的线性关系，而自回归模型是一种时间序列模型，它试图通过考察当前变量和其他变量的历史数据来推断当前变量的变化，从而更好地捕捉时间序列数据之间的长期趋势，从而更好地预测未来的变化趋势。

⾃回归（Autoregressive ，AR ）模型⾮⾃回归（Non-autoregressi 。

前⾔回归分析（regression analysis ）是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的⼀种统计分析⽅法，运⽤⼗分⼴泛。

回归分析按照涉及的⾃变量的多少，可分为⼀元回归分析和多元回归分析；按照⾃变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和⾮线性回归分析。

回归(regression)：Y 变量为连续数值型(continuous numerical variable)。

应⽤现状⽬前主流的神经机器翻译模型为⾃回归模型，每⼀步的译⽂单词的⽣成都依赖于之前的翻译结果，因此模型只能逐词⽣成译⽂，翻译速度较慢。

Gu 等⼈提出的⾮⾃回归神经机器翻译模型(NAT)对⽬标词的⽣成进⾏独⽴的建模，因此能够并⾏解码出整句译⽂，显著地提升了模型的翻译速度。

然⽽，⾮⾃回归模型在翻译质量上与⾃回归模型有较⼤差距，主要表现为模型在长句上的翻译效果较差，译⽂中包含较多的重复词和漏译错误等。

⾮⾃回归(Non-autoregressive ，NAR)模型并⾏⽣成序列的所有标记，与⾃回归(AR)模型相⽐，⽣成速度更快，但代价是准确性较低。

在神经机器翻译(neural machine translation ，NMT)、⾃动语⾳识别(automatic speech recognition ，ASR)和语⾳合成(TTS)等不同的任务中，⼈们提出了包括知识提取和源-⽬标对齐在内的不同技术来弥补AR 和NAR 模型之间的差距。

在这些技术的帮助下，NAR 模型可以在某些任务中赶上AR 模型的准确性，但在其他任务中则不能。

ARAR 模型，即⾃回归（AutoRegressive, AR ）模型⼜称为时间序列模型，数学表达式为:y (t )=n∑i =1a i y (t −i )+e (t )此处的n 表⽰n 阶⾃回归。

AR 模型是⼀种线性预测，利⽤前期若⼲时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型。

自回归模型推导自回归模型是一种常用的时间序列分析方法，它可以用来预测未来的数据趋势。

本文将着重介绍自回归模型的推导过程。

首先，我们需要了解什么是自回归模型。

自回归模型是一种线性模型，它基于当前数据点的历史值来预测未来的值。

它的数学表达式为：y_t = β_0 + β_1*y_(t-1) + β_2*y_(t-2) + ... + β_p*y_(t-p) + ε_t其中，y_t是当前时间点的数值，y_(t-1)、y_(t-2)、...、y_(t-p)是t时刻之前的历史值，β_0、β_1、β_2、...、β_p是自回归系数，ε_t是误差项。

接下来，我们将介绍自回归模型的推导过程。

首先，我们需要对自回归模型进行变形，将其转化为矩阵形式。

我们将自回归模型中的历史值y_(t-1)、y_(t-2)、...、y_(t-p)构成一个p维的向量Y_t，将自回归系数β_1、β_2、...、β_p构成一个p维的向量β，将误差项ε_t构成一个1维的向量ε。

则自回归模型可以写成如下形式：y_t = β_0 + β*Y_t + ε_t接下来，我们需要确定自回归系数β。

我们使用最小二乘法来确定β，将误差项的平方和最小化。

我们将自回归模型中的所有数据点构成一个n×(p+1)的矩阵X，其中第一列为常数项1，后面p列是历史值。

则自回归模型可以写成如下形式：Y = X*β + ε其中，Y是一个n×1的列向量，X是一个n×(p+1)的矩阵，β是一个(p+1)×1的列向量，ε是一个n×1的列向量。

我们使用最小二乘法来确定β。

最小二乘法的目标是使误差项的平方和最小化，即：min(ε'*ε)对上式求导得到：2*X'*ε = 0解出β的值，即可得到自回归系数。

最后，我们需要检验自回归模型的拟合效果。

我们可以使用残差分析来检验模型的拟合效果，检验其是否符合高斯白噪声的分布。

如果残差符合高斯白噪声的分布，则说明自回归模型的拟合效果良好。

arima模型ARIMA模型（英语：A uto r egressive I ntegrated M oving A verage model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。

ARIMA(p，d，q)中，AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。

“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。

对时间序列数据进行分析和预测比较完善和精确的算法是博克思-詹金斯(Box-Jenkins)方法，其常用模型包括：自回归模型（AR模型）、滑动平均模型（MA模型）、（自回归-滑动平均混合模型）ARMA模型、（差分整合移动平均自回归模型）ARIMA模型。

ARIMA(p，d，q)模型是ARMA(p，q)模型的扩展。

ARIMA(p，d，q)模型可以表示为：其中L是滞后算子（Lag operator），非平稳时间序列，在消去其局部水平或者趋势之后，其显示出一定的同质性，也就是说，此时序列的某些部分与其它部分很相似。

这种非平稳时间序列经过差分处理后可以转换为平稳时间序列，那称这样的时间序列为齐次非平稳时间序列，其中差分的次数就是齐次的阶。

将记为差分算子，那么有对于延迟算子，有因此可以得出设有d阶其次非平稳时间序列，那么有是平稳时间序列，则可以设其为ARMA(p,q)模型，即其中，分别为自回归系数多项式和滑动平均系数多项式。

为零均值白噪声序列。

可以称所设模型为自回归求和滑动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。

当差分阶数d为0时，ARIMA模型就等同于ARMA模型，即这两种模型的差别就是差分阶数d是否等于零，也就是序列是否平稳，ARIMA模型对应着非平稳时间序列，ARMA模型对应着平稳时间序列。