五年级数学奥数：最大公因数

学生课程讲义最大公因数与最小公倍数是小学数学的基本内容，求几个数的最大公因数或最小公倍数的基本方法有因数分解法、短除法、辗转相除法等，在课外活动及竞赛中经常出现这两个概念及用其求解方法处理的问题，a1，a2,...an这n个数的最大公因数用记号（a1，a2,...an）表示，最小公倍数用[a1，a2,...an]表示。

【例1】求2520，14850，819的最大公因数和最小公倍数。

随堂练习1求35，98，112的最大公因数和最小公倍数，（用因数分解法）【例2】求36，108，126的最大公因数和最小公倍数。

随堂练习2求403，527，713的最大公因数和最小公倍数。

【例3】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，那么这条小路长（）米。

随堂练习3甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？【例4】a=36,b=54，证明（a,b）×[a,b]=a×b随堂练习4设a=108，b=720,验证：（a,b）×[a,b]=a×b 【例5】现有4个不同的自然数，它们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么，这4个数的公因数最大是（）随堂练习5有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公因数，那么这些最大公因数最大值是多少？【例6】某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以。

数的整除(3)最大公因数、最小公倍数教室 _______ 姓名 _________ 学号 _________【知识要点】1、儿个数公有的因数，叫做这儿个数的公因数；其中最大的一个叫做这儿个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数记作(a, b)o2、儿个数公有的倍数，叫做这儿个数的公倍数；其中最小的一个叫做这儿个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数记作[a, b]o3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：(1)(a, b) X [a, b] =aXb：(2)若a>b,则a-b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

(3)a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】例1.中数是24,甲、乙两数的最小公倍数是168,最大公因数是4,求乙数。

解：由性质(1)得到乙数二168X4一24 = 28・例2•将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边氏应是长方形的长和宽的公因数，乂要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。

(90, 42)二6.至少能剪90 X424- (6X6) =105 (块)•例3.马鹏和李虎计算屮、乙两个自然数的乘积，马鹏把屮数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407,那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11,而11是质数，所以乙数是11, 乂473=43 XII, 407 = 37X 11,所以屮数是47,甲乙两数的乘积应为：47X11=517 或1X477=477.例4•有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2. 3、4、5、6、7 的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数加上1. [2, 3, 4, 5, 6, 7] =420, 最小数是：420+1=421。

最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。

包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。

如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。

最大公因数小学奥数题100道及答案(完整版)题目1：求18 和24 的最大公因数。

答案：6。

通过分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3，所以最大公因数是2×3 = 6。

题目2：求30 和45 的最大公因数。

答案：15。

30 = 2×3×5，45 = 3×3×5，最大公因数是3×5 = 15。

题目3：已知两个数的积是120，它们的最大公因数是6，求这两个数。

答案：12 和10。

因为最大公因数是6，设这两个数分别为6a 和6b（a、b 互质），则6a ×6b = 120，ab = 10，所以a = 2，b = 5 或 a = 5，b = 2，这两个数为12 和10。

题目4：求48 和64 的最大公因数。

答案：16。

48 = 2×2×2×2×3，64 = 2×2×2×2×2×2，最大公因数是2×2×2×2 = 16。

题目5：求25 和35 的最大公因数。

答案：5。

25 = 5×5，35 = 5×7，最大公因数是5。

题目6：两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，其中一个数是18，求另一个数。

答案：45。

因为最小公倍数×最大公因数= 两数之积，所以另一个数= 90×9÷18 = 45。

题目7：求56 和70 的最大公因数。

答案：14。

56 = 2×2×2×7，70 = 2×5×7，最大公因数是2×7 = 14。

题目8：已知两个数的最大公因数是4，它们的和是20，求这两个数。

答案：12 和8 。

设这两个数分别为4a 和4b（a、b 互质），4a + 4b = 20，a + b = 5，所以a = 1，b = 4 或a = 4，b = 1，这两个数为12 和8。

课题：最大公因数和最小公倍数专题简析1：（最大公因数）几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。

求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。

例1 求下面每组数的最大公因数。

45和18 51和17 28和96 24、38和1860和36 180和240 72和60 60、36和72 例2 120的因数有多少个？例3 一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？例4 有三根小棒，长分别是12厘米，14厘米，16厘米，要把它们都裁成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？例5 一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？举一反三1、将一块长80米、宽60米土地划分成面积相等的小正方形。

问：小正方形的面积最大是多少？2、一个长方体木块，长2.7米，宽18分米、高15分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。

、，正方体的棱长最大是多少分米？3、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？4、有一个三角形花圃，三边的长度分别是56米、36米、24米。

现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。

问：一共栽多少株菊花？5、一块三角形地，要在三条边上按等距离插红旗（三个顶点必须各插一面），要使插的面数最少，应该准备多少面红旗？甲48米 72米乙 54米丙专题简析2：（最小公倍数）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。

小学五年级数学思维训练（奥数）《最大公因数》专题训练（含答案）最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。

课本向我们介绍了用列举法来求几个数的最大公因数。

本讲我们一起来探讨用短除法、辗转相除法等几个方法求几个数的最大公因数。

自然数a、b的最大公因数可以记作（a，b）。

例1用短除法求36和54的最大公因数。

分析与解答：人们常常用短除法求两个数的最大公因数，短除法的形式如下：2 36 54 ……先同时除以公因数2；3 18 27 ……再同时除以公因数3；3 6 9 ……再同时除以公因数3；2 3 ……除到两个商为互质数为止。

把上式中所有的除数相乘所得的积即为36和54的最大公因数，即（36,54）=2×3×3=18.随堂练习：用短除法求40和32的最大公因数。

例2求45、60、90这三个数的最大公因数。

分析与解答：与前面的例1不同的是这道题要求三个数的最大公因数。

方法1：可以用列举法。

45的因数有：1，3，4，5，9，15，45；60的因数有：1,2,3,4,5，6,10,12,15,20,30,60；90的因数有：1,2,3,4,5，6,10,15,18,30,45,90.45,60和90的公因数有：1,3,5,15；所以（45,60,90）=15.方法2：也可以用短除法。

345 60 90 ……先同时除以公因数3；5 15 20 30 ……再同时除以公因数5；3 4 6 ……除到三个商只有公因数1为止。

把上式的除数3和5相乘所得的积即为45,60,和90的最大公因数，即（45,60,90）=3×5=15.随堂练习：用短除法求36、48和60的最大公因数。

例3求319和377的最大公因数。

分析与解答：求这两个数的最大公因数如果用短除法很难找出它们的公因数，我们可以用下面这种新的方法：用较大的数377除以较小的数319；377÷319=1 (58)上面的算式中有余数58，用上式中的除数319除以余数58：319÷58=5 (29)上面的算式中仍有余数，再用上式中的除数58除以余数29：58÷29=2上式中没有余数了，这时算式中的除数29就是想319和377的最大公因数，即（319,377）=29上面这张求最大公因数的方法被古希腊的大数学家欧几里德命名为“辗转相除法”。

利用最大公因数解题月日姓名[知识要点]1．最大公因数的性质.（1）如果a与b互素，那么a和b的最大公因数是1.（2）如果a是b的整数倍，那么a和b的最大公因数是b.（3）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商是互素数.2．求最大公因数的常用方法.（1）列举法（2）短除法（3）分解素因数法[课前热身]1.用短除法求最大公因数11和31 23和46 32，24和16[典型例题]例1.一个房间长450厘米，宽330厘米.现在计划用方砖铺地.问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间的地面铺满？例2.有3根铁丝；长度分别是12厘米，18厘米和24厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？总共可以截成多少段？例3．有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均组成几个小组，并且每个小组得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？例4.文员室给小学数学组的老师发白板笔。

如果发24支，平均发给每位老师差4支；如果发45支，平均发给每位老师后还剩3支；如果发72支，平均发给每位老师还剩2支。

求小学数学组最多有几位老师？随堂小测姓名成绩1．用一个数分别去除30，60，75都能整除，这个数最大是多少？.2．一块长方形的地，长180米，宽160米.现在在这块土地四周种树，要使株距相等，问在这块土地四周最少要种多少棵树？（长方形四个顶点上必须有树）3．有三根钢管，它们的长度分别是24厘米，20厘米，48厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？总共可以截成多少段？4.今有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克.平均分给幼儿园的几个班，每个班分到的这3种水果的数量分别相等，那最多能分给几个班？5.有铅笔433支，橡皮260块，平均分配给若干个小学生分到最后铅笔余13支，橡皮余8块，问：小学生最多有多少人？课后作业姓名家长签名成绩1.用短除法求最大公因数19和38 14和21 25，150和1002.把一块长8分米，宽6分米的铁皮分割为同样大小的若干个小正方形铁皮，如不许剩下正方形的块数又要最少，那么可以割成多少块？3．两根钢筋长分别是42分米，48分米，截尽可能长的小段，不许有剩余，问每小段最长是多少分米？总共可以截成多少段？4.老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮全部分给班里的同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量分别相等，那么每个同学各拿到多少？5.幼儿园一个班借阅图书，如果借35本，平均分发给每个小朋友差1本；如果借56本，平均分发给每个小朋友后还剩2本；如果借69本，平均分发给每个小朋友则差3本，求这个班的小朋友最多有多少人？。

五年级奥数第25讲最大公因数知识要点几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最大公约数记做(a，b)，如果(a，b)＝1，则a和b互质。

求几个数的最大公约数可以用分解质因数法和短除法等方法。

例1、一张长方形的纸，长75厘米、宽6分米。

现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法?如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块?练习：1、把一张135厘米长、105厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块?2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米?3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。

问小正方形的面积最大是多少?例2、一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米?练习：1、一个长方体木块的长是45厘米、宽36厘米、高24厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米?2、有50个梨、75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组?3、有3根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米?例3、一个数除200余4，除300余6，除500余10。

求这个数最大是多少?练习：1、一个数除425余5，除500少4，除300余6，这个数最大是多少?2、如果把110本练习本平均分给五(1)班同学，则多5本；如果把210本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240多本练习本平均分给这班同学，还少5本，五(1)班最多有多少名同学?3、一个数，除410时余5，除242时少1，除550时余10，这个数最大是多少?例4、一条道路由甲村经过乙村到丙村。

学科教师辅导讲义知识梳理一、约数和倍数的定义整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。

如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；18的约数有1、18、2、9、3、6。

注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。

④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。

如果数a与数b 相乘的积是数c，a与b都是c的因数。

二、质数与合数（1）只有1和本身两个约数的数叫做质数（或素数）；（2）除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数；（3）1既不是质数，也不是合数；（4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

（5）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质约数，例如15=3×5，3和5叫做15的质约数。

（6）把一个合数用质约数相乘的形式表示出来，叫做分解质约数。

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。

其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数，记作（12,18）=6。

（7）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数；如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。

现在请同学们找一找24和16的最大公因数是多少。

生：是8。

师：你是用什么方法做的呢？生：……师：分解质因数再找最大公因数是一个很好的办法,大家也运用得很熟练,但是在数字比较大的时候,运用起来就没有那么得心应手了,所以老师今天要教大家一个更好的办法。

我们一起来看例题一。

【探究新知,引入新课：学生们对因数和公因数有一定的了解,因此我们这节课要让他们明白因数、公因数、最大公因数的区别与联系,会用短除法求最大公因数。

并且运用最大公因数解决实际问题。

】【板书课题：最大公因数】二、探索发现授课［40分］［一］例题1：［10分］有两根木条,一根长35厘米,另一根长30厘米,现在要将它们锯成同样长的小段没有剩余,每段最长是几厘米？讲解重点：让学生理解要使剪成的小段同样长,且木条没有剩余,那么每段长就是两根木条长度的最大公因数。

［请一位学生读题］师：你从题中找到什么有用的信息？生：……师：那么要把它们锯成同样长的小段且没有剩余,同学们可以说说你对这句话的理解。

生：……师：是的。

35和30除以每段的长度正好整除,没有余数。

那么这个除数和这两个数有什么关系呢？生：……师：是的。

就是公因数。

那么问题问每段最长是几厘米,那么是让我们求什么呢？生：最大公因数。

师：我们现在不用分解质因数的方法做,老师教你们另一种方法,短除法。

先看看老师是如何用短除法来求最大公因数的,然后说一说你们观察到的结果。

板书：［35,30］=5答：每段最长是5厘米。

师：同学们从老师刚刚的计算过程中发现了什么吗？生1：35÷5=7,30÷5=6,符号的左边是除数,符号底下是商,而且商是写在对应的被除数下面。

生2：5是两个数的公因数。

生3：7与6是互质数。

师：是的,同学们都观察得很仔细。

这个符号我们叫做短除号,就是将我们列竖式计算时的除号倒过来了。

符号左边写上两个数的公因数,符号上是两个要求最大公因数的数即被除数,符号下面是商,我们在用短除法求最大因数时,短除号下面的商要计算到两个数为互质数为止。

五年级奥数-最大公因数和最大公约数介绍:最大公因数和最大公约数是五年级奥数中重要的数学概念。

最大公因数指的是几个数中能够同时整除它们的最大正整数，而最大公约数是几个数中能够同时被它们整除的最大正整数。

掌握这两个概念对于解决奥数问题非常重要。

介绍最大公因数:最大公因数是指几个数中能够同时整除它们的最大正整数。

例如，对于数字12和18来说，它们的最大公因数是6，因为6是12和18的公因数，并且没有其他比6更大的公因数。

我们可以通过列举出两个数的所有因数，然后找到它们的公因数，并从中选出最大的那个数，就可以得到最大公因数。

介绍最大公约数:最大公约数是指几个数中能够同时被它们整除的最大正整数。

例如，对于数字24和36来说，它们的最大公约数是12，因为12能同时被24和36整除，并且没有其他比12更大的数能同时被它们整除。

我们可以通过列举出两个数的所有约数，然后找到它们的公约数，并从中选出最大的那个数，就可以得到最大公约数。

最大公因数和最大公约数的关系:最大公因数和最大公约数有一个重要的关系，即它们是相等的。

也就是说，对于任意两个数来说，它们的最大公因数和最大公约数是相等的。

这是因为最大公因数是能够同时整除这两个数的最大正整数，而最大公约数是能够同时被这两个数整除的最大正整数，因此它们是相等的。

解决问题的方法:在解决奥数问题中涉及到最大公因数和最大公约数的时候，我们可以使用一些简单的方法来求解。

一种常见的方法是通过展开数字的因式分解，然后求得最大公因数和最大公约数。

另一种方法是使用辗转相除法，通过不断地进行除法运算，直到余数为0，最后的除数即为最大公因数或最大公约数。

总结:最大公因数和最大公约数是五年级奥数中重要的数学概念。

掌握这两个概念可以帮助我们更好地解决奥数问题。

在求解最大公因数和最大公约数时，我们可以使用因式分解或辗转相除法等方法。

最大公因数和最大公约数的关系是相等的，即它们的值是相同的。

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最大公因数例1：试求出270与252的最大公因数。

例2：试求出1617，1155，2695的最大公因数。

例3：把一块长为56厘米，宽42厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共裁成几块？例4：一块长方形的布长7米5分米，宽6米，现在要把它裁成一块块正方形的布，有几种裁法？如果要使裁得的正方形布最大，那么这个正方形的边长是多少？可以裁多少块？例5: 一个长方体木块，长2.7分米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余。

正方体的棱长最大是多少分米？例6: 有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加打扫教室卫生的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支。

参加打扫卫生的同学最多有多少名？例7: 有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？例8：某幼儿园到图书馆借书，如借35本，平均分发给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。

问幼儿园最多有多少个小朋友？例9：两个数的和是70，它们的最大公因数是7。

这两个数的差是多少？例10：十个自然数之和等于1001，这十个自然数的最大公因数可能取的最大值是多少？应用与拓展1. 试求出1071与819的最大公因数。

2. 试求出210，924，1089的最大公因数。

3.一块长方形的纸片，长96厘米，宽60厘米，把它裁成同样大小的正方形，而无剩余，至少可以裁多少块？4. “六一”儿童节，学校准备将图书120本，钢笔180只，笔盒240个全部装成礼品袋，每袋礼品相同，送给学校尽可能多的班级，每班一袋应装多少袋？每袋三种东西各有多少？5. 有3根铁丝，长度分别是12厘米，18厘米和24厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？6．某班级开展为“希望小学”捐款活动，老师只记下四个小组各捐的钱分别是：261元、319元、261元、348元，又知道每个人捐的钱数一样多且超过1元。

4、最大公因数姓名：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫作这几个数的最大公因数。

a,b的最大公因数一般用(a,b)表示。

公因数只有1的两个数是互质数。

当两个或两个以上的数是互质数时，我们就说它们互质。

最大公因数的性质如下：①如果a、b互质、那么a和b的最大公因数是1。

②如果a是b的整数倍，那么a和b的最大公因数是b。

③两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

④两个数的最大公因数的因数，一定是这两个数的公因数。

⑤两个数的公因数都是这两个数的最大公因数的因数。

⑥如果a＞b,那么a-b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数，即两个数的最大公因数必定能整除这两个数的差。

因此，当两个数很大且比较接近时，不妨把较大的数换成两者的差，替代原来的数求最大公因数。

这也是我们后面要讲到的辗转相除法的理论依据。

⑦a+b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

求几个数的最大公因数，可以用分解质因数法和短除法。

最大公因数在数学中的应用十分广泛，最常用的解题方法是先分解质因数，看它可以是哪些数的乘积，然后结合其他条件解决问题。

例1.求36、108、126的最大公因数。

（36，108，126）=随堂练习1.求2520、14850、819的最大公因数。

例2.有一张75厘米，宽6分米的长方形纸片，现在要把它裁成若干正方形，使正方形的边长为整数厘米，且不能有剩余，有几种裁法?如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少个?随堂练习2.有一块长方形纸片，长80厘米，宽48厘米。

现在，要把它剪成边长都是整数厘米，且面积相等的小方形纸片，恰无剩余。

那么，至少可以剪多少块?例3.有一条街道AC,在AC的一点B处道路拐弯.AB长630米，BC长560米。

现要在条街道的一侧等距安装灯,A,B,C三点必须各安装一盏路灯，那么，这条街道最少装多少盏灯?（提示：先画图再思考，结合植树问题）随堂练习3.有一条街道由A经B到C,已知A,B相距140米，B,C相距105米。

最大公因数（约数）与最小公倍数（2）专题分析：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

例2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

例3、已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

例4、某幼儿园借阅图书，如借35本，平均分给每个小朋友差1本；如借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如借69本，平均分给每个小朋友则差3本。

这个班的小朋友最多有多少人？例5、一些三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一行，中间的一个数是多少？例6、有甲、乙、丙三种溶液，分别重614千克、433千克、922千克。

现在要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：每瓶最多装多少千克？练习1、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组？3、两个数的积为5766,且它们的最大公因数为30,那么这两个数各为多少?4、以知A 数为24,A 与B 的最小公倍数为168,最大公因数为4,那么B 数为多少?5、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6人,如果减少一条船,正好每船坐9人,求这个班有多少人?6、两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,那么这两数的和为多少?7、有一批砖,长45厘米,宽为30厘米,至少用这样的砖多少块,才能铺成一个正方型?8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树，画好“记号”后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做多少个“记号”？9、有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，然后沿有记号的地方剪断。