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第一章 质点运动学

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第一章 质点运动学

第一章 质点运动学
第一章
1—1
质点运动学
一质点在平面 xOy 内运动，运动方程为 x=2t， y = 19 − 2t 2 (SI)。(1)求质点的运动轨
道；(2)求 t=1s 和 t=2s 时刻质点的位置矢量；(3)求 t=1s 和 t=2s 时刻质点的瞬时速度和瞬时 加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时 x、y 分量各为多少?(5)在什 么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大? [解] 质点的运动方程: x = 2t ， y = 19 − 2t 2 (1)消去参数 t，得轨道方程为:
所以
u 2 − v 2 = sa
即 a = (u 2 − v 2 ) / s = h 2 v 2 / s 3
1—8 质点沿 x 轴运动，已知 v = 8 + 2t 2 ，当 t = 8 s 时，质点在原点左边 52m 处(向右为 x 轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位置；(3)分析质点的运动性 质。 [解] (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t 又 v=dx/dt 所以 dx=vdt 对上式两边积分，得
由 t=0 时 v=0 得 c=g 所以，物体的速率随时间变化的关系为:
g (1 − e − Bt ) B (2) 当 a=0 时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B v=
1—12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a，此后随 t 均匀增加，经时间 τ 后， 加速度变为 2a，经 2τ 后，加速度变为 3a，……。求经时间 nτ 后，该质点的加速度和所走 过的距离。 [解] 由题意可设质点的加速度与时间 t 的关系为 at = a + kt 又 (k 为常数)
vx =
dx = − rω sin ωt dt dy vy = = rω cos ωt dt dz vz = =c dt

大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT

大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT

方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ

第1章-质点运动学

第1章-质点运动学
为了描述速 度随时间
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2

即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z

r

P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。

第1章 质点运动学

第1章 质点运动学

100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z

第1章-质点运动学

第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率

大学物理——第1章-质点运动学

大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C

大学物理第一章质点运动学

大学物理第一章质点运动学

∫ d x = ∫ (2t −t )dt
2 0 0
t
质点的运动方程
13 x = t − t （m） ） 3
2
(3) 质点在前三秒内经历的路程
s = ∫ vdt = ∫ 2t − t 2 dt
0 0
3
3
令 v =2t-t 2 =0 ，得 t =2
8 s = ∫ (2t − t )dt + ∫ (t − 2t)dt = m 0 2 3
初始条件为x 初始条件为 0=0, v0=0 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动方程； 质点在前三秒内 运动方程 求 (1) 质点在第一秒末的速度 运动的路程。 运动的路程。 解 (1) 求质点在任意时刻的速度 dv dv a= = 2 − 2t 由 dt dv = (2 − 2t) dt 分离变量 两边积分
y
P点在 系和 '系的空间坐标 、 点在K系和 系的空间坐标、 点在 系和K 时间坐标的对应关系为： 时间坐标的对应关系为：
y'
r v
P
}
r r
o z
r r′
o' x x'
r R
z'
伽利略坐标变换式
2. 速度变换 r r vK、vK′ 分别表示质点在两个坐标系中的速度 r r r d r ′ d(r − vt) r r r vK′ = = = vK − v dr′ r dt t r 即 vK′ = vK − v r r r vK = vK′ + v 伽利略速度变换
dv = g − Bv dt 分离变量并两边积分
t dv ∫0 g - Bv = ∫0 dt v
g v = (1− e−Bt ) B

第一章 质点运动学

第一章 质点运动学
16
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j

第一章_质点运动学

第一章_质点运动学
v
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角

大学物理上第一章质点运动学ppt

大学物理上第一章质点运动学ppt

加法法则
当有两个或多个质点同时运动时，它们的速 度可以通过矢量加法进行合成。
速率
速度的大小称为速率，用标量符号表示。
04 质点的加速度
瞬时加速度
定义
瞬时加速度是指在某一时刻， 质点运动速度的变化率。
计算公式
$a = frac{dv}{dt}$，其中$a$是 瞬时加速度，$v$是质点的速度， $t$是时间。
定义
平均速度是指在一段时间内质点位移量与时间的比值。
关系
瞬时速度是平均速度在时间趋于零时的极限值，即平 均速度的极限状态就是瞬时速度。
应用
在分析质点运动规律时，通常先求平均速度，再通过 极限思想求得瞬时速度。
速度的矢量性质
矢量表示
速度是一个矢量，具有大小和方向，可以用 矢量符号表示。
方向与正方向
速度的方向与质点运动的方向一致，通常规 定正方向为速度的方向。
重力加速度，大小为 $9.8m/s^{2}$，方向竖 直向下。
圆周运动
圆周运动的定义
质点在平面或空间以一定半径作圆周运动的运动形式。
圆周运动的描述参数
线速度、角速度、周期和频率。
圆周运动的向心加速度
大小为$a = v^{2}/r$，方向指向圆心。
相对运动
相对运动的定义
01
两个物体相对于第三个参照物的运动。
质点运动学的基本概念
质点
没有大小、形状，只有质量的 理想化模型，用于描述实际物 体的运动。
速度
描述质点运动快慢和方向的物 理量。
参考系
用来确定质点位置和描述其运 动的参照物。
位移
质点在空间中的位置变化量。
加速度
描述质点速度变化快慢和方向 的物理量。

第一章 质点 运动学

第一章 质点 运动学

rB
r
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误 注： r (或称 r |) 位矢大小的变化量
r r
r r
s r
s r
s r
平均速度： v
r t
单位： m s 1
平均速度的方向与 t 时间内位移的方向一致
质点作变加速圆周运动，切 向加速度和法向加速度的大小方 向
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?
例 设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,
以初速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 并
略去空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其
y
B
角速度：
lim
t d dt

R
s
A

角加速度：
t 0

O
x
lim
t 0
t

d dt
圆周运动的角量描述
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
RES 1.5 108 3 RE 6.4 10
2.4 10 1
4
地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺 寸的影响，作为质点处理。
质
点
研究地球自转
v R
地球上各点的速 度相差很大，因 此，地球自身的 大小和形状不能 忽略，这时不能 作质点处理。

大学物理第一章 质点运动学

大学物理第一章 质点运动学
力学(mechanics)
§1 §2 §3 §4 §5 §6 质点运动学(kinematics) 质点动力学(dynamics) 功和能(work and energy) 动量守恒定律 (momentum conservation) 刚体的定轴转动(rotation) 流体力学(fluid mechanics)
v
t
g b
(1 e bt )
t
x vdt
0
g b
t
g b2
(1 e bt )
例题6、质点在流体中下落，a=-kv2，k=0.4m-1， t=0时，v=v0，求：从原点以上10m处开始下落， 速度减小到v0/10时到原点的距离。
解： d v dv dx a kv2 d t dx dt
r xi h j v0 vx dr dt dx v vx r dr x dt
2 h 2 v0
dx
dt dx dt
2
i r x ( h)
2 2 2 2
dt v vx i dv dt

h x x
v0
a

x
3
i
二、当v或a为已知时，求位置矢量



当v或a为时间函数时，直接根据定义积分，并代入 初始条件，可求出位矢； 当v或a为位置参量函数时，可做变量替换后，用分 离变量法积分，并代入初始条件，再求出位矢； 例如：已知 v=v（x） dx dx
物体定位，必须有参照物，我们称之为参照系。
2、 坐标系 利用坐标系,能在 点与数组之间建立 一个对应,从而在 几何图形与方程之 间建立一个对应的 关系.
三、 位置矢量
1. 位置矢量 质点在任一时刻的 空间位置,用位置 矢量来表示。

第一章质点运动学

第一章质点运动学

3v 1.73v， y 轴正向 沿
作业：习题1-7，1-9
练习：习题1－6
提示：1-1题为第一类质点运动学问题,即 运动方程 加速度
速度 加速度
1-2题为第二类质点运动学问题,即
速度 运动方程
§1-3
圆周运动
y
y
平面极坐标 质点在A点的位置由 （r,θ）来确定． 以（r,θ）为坐标的 坐标系称为平面极坐标系
x x(t ) 分量式 y y (t ) z z(t )
—参数方程
2.运动方程
y
y (t )
r (t )
P
x(t )
从上式中消去参数 t ，可 z (t ) z 得质点运动的轨迹方程:
o
x
f ( x, y, z) 0
选择题.已知一质点位置矢量的表达式为 ： r 2i 5 j 37k ,则该质点作 (A) 匀速直线运动。 (B) 静止。 (C) 抛物线运动。 (D)一般曲线运动。
物 理 学
第一章
质点运动学
§1-1
质点运动的描述
一 参考系 质点 1.参考系 为描述物体运动而选定的标准物,称 为参考系。 参考系选取的不同，物体运动的描 述不同，即对物体运动的描述具有相 对性。 2.质点 忽略物体的体积与形状,将其抽象为 具有同等质量的点，称为质点. 质点是理想模型.
二 位置矢量
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0， 则有 t x 2 ，带入 y 中可消去参数 t ，
可得轨迹方程为
轨迹图
t 4 s
6
y 0.25x x 3.0
2
y/m

第一章 质点运动学

第一章 质点运动学

六. 单位 本课程采用国际单位制（ ）， ），其中 本课程采用国际单位制（SI），其中 长度单位 时间单位 速度单位 加速度单位 米（符号 m） ） 秒（符号 s） ） 米每秒（ 米每秒（符号 m/s ） 米每二次方秒（ 米每二次方秒（符号 m/s2 ）
例题1-4 已知质点作匀加速直线运动，加速度 已知质点作匀加速直线运动， 例题 求这质点的运动方程。 为 a ，求这质点的运动方程。 dv = a 常量），积分得 ），积分得 解 由定义 （常量）， dt
∆r = r1 − r
即等于质点位矢在∆t O 即等于质点位矢在∆ 时间内的增量。 时间内的增量。且有
r
r ∆t 时间内位移 1
t +∆t 时刻位矢 ∆
x
∆r = x1i + y1 j − xi − yj = ( x1 − x )i + ( y1 − y ) j
时间内质点通过的路程 为标量 路程∆ 为标量， ∆t 时间内质点通过的路程∆s为标量，仅当 ∆t→0时，位移的大小 时 lim ∆r = ∆s
d 2 x dv x ax = 2 = = −ω 2 R cos ω t dt dt d 2 y dv y ay = 2 = = −ω 2 R sin ω t dt dt
由此得加速度的大小
v a = ω R cos ωt + sin ωt = ω R = R
2 2 2 2
2
如果把加速度写成矢量式， 如果把加速度写成矢量式，则有
本课程中只讨论平面内的运动问题， 本课程中只讨论平面内的运动问题，常用坐标 系有平面直角坐标系 极坐标系和自然坐标系。 平面直角坐标系、 系有平面直角坐标系、极坐标系和自然坐标系。
二. 质点 一般情况下， 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化

第1章-质点运动学

第1章-质点运动学
1 2 θ = θ 0 + ω0 t + α t 2 2 2 ω = ω0 + 2α (θ − θ 0 )
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物 体运动状态发生变化时所遵循规律的 学科。
§1-1 质点、参考 系、坐标系
1-1-1 质点
质点（particle） ：具有一定质量的几何点 两种可以把物体看作质点来处理的情况:
• 作平动的物体，可 以被看作质点。 • 两相互作用着的物 体，如果它们之间的 距 离远大于本身的线度， 可以把这两物体看作质 点。
z
v r1 v r2
v v1 v v2
y
o
v v v ∆v = v2 − v1
x
v v1 v v2
平均加速度
v v ∆v −1 a= m ⋅s ∆t
v ∆v
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致 结论：
当∆t→0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。
v v ∆v dv d 2 r v = = 2 瞬时加速度： a = lim dt dt ∆t → 0 ∆ t
v v v v v = v x i + v y j + vz k
速度的三个坐标分量：
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt
速度的大小：
v 2 2 2 v = v = vx + v y + vz
• 速率
在∆t时间内，质点所经过路程∆s对时间的变化率
平均速率：
∆s −1 v= m ⋅s ∆t
v ∆θ e t (t )
Q ∆θ =
∆s
ρ
O
∆θ
v et (t + ∆t )

大学物理第一章 质点运动学

大学物理第一章 质点运动学
这一类型问题是直线运动中较简单，也是大家 在中学就已熟习的。 •匀速直线运动： a 0, v 常量，x x0 vt
a 常量，v v0 at,
•匀变速直线运动：
1 2 x x0 v0t at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
注意：以上各式仅适用于匀加速情形。
t t
要求 v( y )，可由
dv dv dy dv a v dt dy dt dy
有
积分得
v
dv kv v dy
2
dv kdy v
y dv v ky v0 v k 0 dy ln v0 ky, v v0e
1－3 曲线运动
一．运动的分解
如图，A、B为在同一高度的两个小球。在同一 时刻，使A球自由落体，B球沿水平方向射出，虽然 两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。 说明，B球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运 动，在竖直方向作自由落体运动。
其大小注意a aa a2 x 2 y2 z
dv dv a a dt dt
•描述质点运动的状态参量的特性 状态参量包括
r , v, a
应注意它们的
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。
（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。 （3）相对性。对不同参照系有不同的描述。
1 gx y xtg 2 2 2 v0 cos 19.6 2 50tg 50tg 19.6(1 tg ) 2 cos
两边一起定积分得
dv dv adt kv dt kdt 2 v
2

v
v0
t dv k dt 2 0 v
v0 v(t ) kv0t 1

第1章 质点运动学

第1章 质点运动学
r
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别

质点运动学

质点运动学

et (t)
A
Δs
Δθ
Δθ
Δ et
o
B
et (t + Δt)
dθ 1 en (t) = v dt ρ o' det dθ 1 v =v en = v en 切向加速度分量 an dt dt ρ 2 dv v2 d s 1 ds 2 a= et + en = et + ( ) en 2 dt ρ dt ρ dt
ds v = vet = et dt
dv d(vet ) a= = dt dt det dv = et + v dt dt
反映速度大小的变化
反映速度方向的变化
dv d s 切向加速度分量： a t = = 2 dt dt
2
det v ? dt
t时间内： Δet
Δθ 大小： Δet = 2 et sin( ) 2 当 Δt 0 有 Δθ 0 Δθ 大小： Δet = 2 Δθ 2
lim Δr = dr ——元位移 记： Δ t 0
Δt 0
lim Δr = dr ——元位移的大小
A B
Δr
3、Δ r 与Δ r 的区别
——标量 = rB Δr = r B -r A A
Δr Δr
（三角形的两边之差小于第三边）
rA
o
rB
二、速度
7/8班
A
Δr
et
Δs
Δr 平均速度： v = Δt Δs 平均速率： v = Δt
2
2
2
极坐标系：
随时间变化 横向单位矢量 径向单位矢量
eθ
极径

er
极角
极点

r θ
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第一章质点运动学一、考纲要求1.位移、路程、速度、速率、加速度、平均速度、瞬时速度的概念；质点模型2.匀速直线运动和匀变速直线运动的速度公式和位移公式；速度图像和位移图像3.运动的合成和分解4.曲线运动中质点的速度方向5.抛体运动(竖直上抛运动和平抛运动)的规律6.简谐运动，简谐运动的振幅、周期和频率；简谐运动图像7.弹簧振子和单摆模型，单摆的周期公式；简谐运动的条件，用单摆测重力加速度g8.波动；横波和纵波；横波的图像；波长、频率和波速之间的关系。

二、知识结构质点的运动分类直线运动曲线运动简谐运动、简谐波形式匀速直线运动匀变速直线运动平抛物体的运动匀速圆周运动弹簧振子单摆机械波电磁波条件F合=0ｖ０≠0F合与运动方向共线F合与v0方向垂直，F合=恒量F合=大小恒定总指圆心F回=-kx 均匀介质无阻质v＝s/tv～t图像s～t图像v t=v0+atS=v0+21at22as=v2t-v20v=21(v0+v t)v～t图像S x=V0tS y=21gt2v=22y0vv+S=22ySSx+v=s/tω=θ/tv=ωγ=2πfγ=2πγ/Ta=v2/γ=ω2γ=4π2f2γ=22T4γπ1.机械能守恒2.x=Asinωt3.振动图象1.v=λf2.y=AsinX3.波动图像实例自由落体运动、竖直上抛运动重力场和匀强电场中类平抛圆锥摆、转动平台、竖面上圆运动重力场、复合场中单摆振动、交变电场中带电粒子的简谐运动运动的合成和分解方法一维运动二维运动实例平行四边形定则A绝=A相+A牵（代数和、规定正方向A绝=A相＋A牵1.船渡河问题2.相对自身或某物体以速度ｖ抛出另一物体三、知识点、能力点提示1.通过对速度v ，速度改变量Δv 和加速度a=Δv/Δt 的理解，弄清它们的区别2.理解速度、速率和平均速度，明确它们的区别3.掌握匀变速直线运动的基本规律，并能熟练地推导出几个有用的推论，即⎢⎢⎢⎣⎡-=+=−−→−⎥⎥⎦⎤+=+=20202002)(2121V vt aS v v v at t v S atv v t t 导出4.由以上基本规律和推论，熟练证明以下重要的结论，并能运用这些结论灵活解答具体问题： (1)做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等时间内的位移之差为恒量，即 ΔS=S n -S n-1=aT 2=恒量 (2)做匀变速直线运动物体，在一段时间内平均速度，等于中间时刻的瞬时速度，即v 21=v =21(v o+v t) (3)关于初速度等于零的匀加速直线运动(T 为等分时间间隔)，有以下特点： ▲1T 末、2T 末、3T 末……瞬时速度之比 v 1∶v 2∶v 3∶……∶v n =1∶2∶3∶……∶n ▲1T 内、2T 内、3T 内……位移之比 S 1∶S 2∶S 3……:S n =12∶22∶32∶……∶n 2▲第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移之比 S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ∶……∶S N =1∶3∶5∶……∶(2N-1) ▲从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比 t 1∶t 2∶t 3∶……∶t n =1∶2-1)∶3-2)∶… …∶n -1-n5.掌握运动学中追及问题、相遇问题中的临界条件或极端值的分析方法，会通过绘制准确直 观的示意图判断相关因子之间的逻辑联系，并列出合理和完整的联立方程。

6.理解速度图像与位移图像，熟练掌握图像在横轴、纵轴上截距、图像与横轴包围的“面积 ”和图像斜率的物理意义。

要求能将这些信息迁移至其它图像中，拓展识别、处理图像问题 的能力。

(1)S ～t 图像斜率ΔS/t=v v ～t 图像斜率Δv/t=a 〖ZK)〗 (2)v ～t 图像所围“面积”表示t 时间内位移7.运动的合成和分解。

充分掌握以下三个原理和定则：(1)运动独立性原理(2)分运动和它们的合运动的等效性原理(3)分运动和它们的合运动的同时性原理 (4)运动的合成和分解互为逆运算，遵守平行四边形定则或矢量三角形定则；常用正交分解的方法 要求：掌握相对运动问题的坐标变换(一维运动情况)，会应用相对运动思想解决问题，达到 简化运算。

8.理解描述简谐运动的物理量——位移x 、振幅A 、周期T 和频率f 的物理意义；熟练掌握简谐 运动的两个重要特征：动力学特征(回复力) F=-kx 运动学特征(位移、加速度) x=Asin ωt 、a=-kx/m 9.单摆模型、单摆的周期公式和单摆等时性的应用——测重力加速度的原理和方法要求：会识别等效单摆；能灵活、准确地判断等效单摆模型中的等效摆长；会确定单摆在不同的变速运动参照系或不同力场中的等效重力加速度g ′——即g ′值等于摆球静止在平衡位置时摆线张力T 与摆球质量m 的比值：g ′＝T/m10.简谐运动的图像及其意义——简谐运动质点在不同时刻离开平衡位置的位移。

(1)振幅A 、周期T(或频率f)(2)任一时刻质点的位移x 、回复力F 、加速度a 、速度v(即图像上该点的斜率)、动能和势能 的变化情况11.描述波动的物理量——波长λ、频率f 和波速v 。

要求：理解三个物理量的意义和确定方法 (1)波长λ——波在一个周期内沿波动方向传播的距离，即 λ＝vT(2)频率f ——对于所有波(机械波、电磁波)，均遵守以下规则：在任何介质中传播的同一列 波，其频率保持不变，总等于波源的振动频率(3)波速v ——波在单位时间内传播的距离。

可写成 v=Δx/t 或v=λ/T12.波的图像及其物理意义——同一时刻沿波动方向上所有质点离开平衡位置的位移要求：会利用波动图像和波动规律 (1)确定振幅A 、波长λ(2)根据波的传播方向或波源位置确定该时刻各质点的瞬时振动方向 (3)根据波长λ、振幅A 、波动方向或某质点该时刻振动方向画波的图像(4)根据各质点振动方向确定该时刻各质点的振动速度、回复力、机械能的变化，并熟练掌握波形微平移法、带动法；熟练掌握已知波形和波动方向，画出Δt 前后波形的特殊点法和平移法。

(5)灵活、准确地处理波的传播过程中的双向性和多解性问题。

即▲应用Δx=v Δt ，注意由于波速v 的正、负可能取值(即双向性)引起的多解的分析▲分析上式Δx=v Δt ，注意由Δx=n λ+x 和Δt=nT+t 体现的波动的重复性引起的多解的分析 13.掌握带电粒子在复合场中的动力学问题和运动学问题的处理方法(1)能熟练运用力学规律和运动学知识分析带电粒子在交变电场中的运动问题(2)能熟练运用力学规律和运动学知识分析通电导体在匀强磁场中的运动情况和导体切割磁感线时的电磁感应现象中的运动问题四、能力训练1.一筑路工人在长300米的隧道中，突然发现一辆汽车在离右隧道口150米处以速度v o =54 千米/小时向隧道驶来，由于隧道内较暗，司机没有发现这名工人。

此时筑路工正好处在向 左、向右跑都能安全脱险的位置。

问此位置距右出口距离是多少?他奔跑的最小速度是多大?2.在宽L 的平行街道上，有以速度v 鱼贯行驶的汽车，已知车宽为b 、车间距为a 。

行人要以最小速度安全穿过车道所用时间为多少?这个最小速度是多大?此行人沿直线穿过街道所用时间为多少?3.一质点由A 向B 做直线运动，已知A 、B 相距s ，质点初速度v o 、加速度a ，若将s 等分成n 段 ，质点每通过n s 距离时加速度增至na，求质点运动到B 点时的速度。

4.小车内有一光滑斜面，当小车在水平轨道上做匀变速直线运动时小物块A 恰好能与斜面保持相对静止，在小车运动过程中某时刻(此时小车速度不为零)，突然使小车迅速 停止，则在小车停止过程中，小物块A 可能( )A.沿斜面滑下B.滑斜面滑上去C.仍与斜面保持相对静止D.离开斜面做曲线运动5.雨点竖直下落到地面，速度约10米/秒。

若在地面上放一横截面积为80平方厘米、高10厘米的圆柱形量筒，经30分钟，筒内接得雨水高2厘米。

现因风的影响，雨水下落时偏斜30°，若用同样的量筒接雨水与无风所用时间相同，则所接雨水高为 厘米。

6.处于平直轨道上的A 、B 两球相距S ，同时向右运动，其中A 做匀速运动，速度为v ，B 做静止开始加速度为α的匀加速运动，则A 、B 只能相遇一次的条件是什幺?能相遇两次的条件又是什幺?7.两辆完全相同的汽车沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定加速度刹车。

在它刚停止时，后车也以相同加速度刹车。

若前车刹车行驶距离为s，要使两车不相撞，则两车匀速行驶时的车距至少应为8.为了测定某辆轿车在平直路上起动时的加速度(轿车起动时的运动可近似看作匀加速运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那幺这辆轿车的加速度约为 ( )A.1m/sB.2m/sC.3m/sD.4m/s9.某同学用一个测力计、木块和细线粗略地测定木块与一固定斜面间的动摩擦因数μ，设此斜面倾角不大，不加拉力时，木块在斜面上静止。

(1)他是否要用测力计称出木块的重力(答“要”或“不要”)?(2)写出实验的主要步骤。

(3)推出求μ的公式。

10.(1)如下图所示，一质点自倾角α的斜面上方的O点沿一光滑斜槽从静止开始下滑，要使质点以最短时间滑到斜面上，则斜槽放置时与竖直方向的夹角β应为多大?(2)若该斜槽放置在一竖直平面上的圆周上，圆半径为r，斜槽上端固定在圆的最高点p，另一端分别在圆周上A、B、C点，且PA、PB、PC与竖直直径夹角分别为θ1、θ0、θ3，试证：一质点沿 PA、PB、PC从静止开始滑动到A、B、C所用时间相等。

(3)利用(2)中的结论讨论本题中的问题(1)，并求出最短运动时间t min11.一人骑摩托车追赶距他h=400m处的平直公路上正以v o=54km/h速度匀速行驶的一辆汽车，当摩托车与汽车相距d=500m时，此人开始沿一条直线匀速追赶汽车，如右图所示。

问此人应以多大的最小速度向什幺方向运动才能追上目标?12.从地面以初速度v o竖直上抛一物的同时，从它正上方h高处以初速v(v＜v o)水平抛出另一物体，求两物间最短距离。

13.某同学身高 1.8m，在校运动会上参加跳高比赛时，起跳后身体横着越过了1.8m高处的横杆，据此估算他起跳时竖直向上的速度约为( )A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s14.两高度相同的光滑斜面甲和乙的总长度相同，其中乙斜面在D点有一平滑的拐角。

现让两个完全相同的小球从两斜面顶端同时自由释放，不计拐角处的能量损失，则哪一只小球先滑到斜面底端?15.有一颗地球的同步通讯卫星，日落后两小时能在赤道上观察者的正上方看到它，试估算它的高度。

16.A、B是真空中相距为d的平行金属板，长为L，加上电压后板间电场可视为匀强电场。