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§直线的的倾斜角和斜率教学设计教学目标：知识与技能：理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率，掌握过两点的直线斜率的计算公式；过程与方法：帮助学生进一步理解数形结合思想；情感态度与价值观：能用公式和概念解决实际问题。
体会数学的魅力。
教学重、难点重点是直线倾斜角及斜率的概念，及过两点的直线斜率公式的掌握； 难点是直线倾斜角及斜率概念的建立，相互关系及公式的一般性的理解 教学过程： 探究活动一 小组活动:作一条过原点的直线和一条与轴正方向成45度角的直线， 探究1：在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置？归纳总结：确定直线位置的几何要素：倾斜角的定义：探究2：倾斜角的范围规定：当直线与轴平行或重合时，倾斜角为_____。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕倾斜角的范围：_____。
探究活动二思考1: 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？思考2：初中学过的“坡度〔比〕〞是什么含义？斜率的定义：一条直线的倾斜角的_____值叫做这条直线的斜率,即思考3：直线的倾斜角与斜率的关系课堂练习1：判断正误①直线的倾斜角为，那么直线的斜率为。
〔〕②任一条直线都有倾斜角，也都有斜率。
〔〕③因为平行于轴的直线的斜率不存在，所以平行于轴的直线的倾斜角不存在。
〔〕④两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等。
〔〕2．在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-3的直线。
探究活动三：由直线上两点的坐标计算直线的斜率〔1〕m= 时，过点A、B的直线的斜率为2〔2〕m = 时，过点A、B的直线的倾斜角为45°思考题：点M2m3,m, Nm-2,1,(1)求MN的斜率；(2)当m为何范围时，直线MN的倾斜角为锐角，直角，钝角？课堂小结：１．直线倾斜角的定义：2．直线斜率的定义：3．直线上两个点，那么直线斜率的计算公式：。
《直线的倾斜角与斜率》教学方案..．情感、态度与价值观.）斜率公式给出了求斜率的反映了斜率是垂直变、元芳说：“过点（2，1），例题讲解就………. 电子屏幕直线的倾斜角与斜率（1）一、倾斜角的定义：二、斜率的定义三、斜率的坐标公式《直线的倾斜角与斜率1》教案说明本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。
教案的设计考虑了以下几方面内容：一、教学内容的数学本质（1）直线的应用直线作为平面几何的基本元素，在生活技术和自然科学研究中首先要作为被研究的对象，它是由几何到代数必经之路，16世纪开始，由于制造业和航海业的迅速发展，产生了许多迫切需要解决的问题，如航海中船的定位、速度问题等等，在这种形势下笛卡尔解析几何确立，如今的航天、导弹、卫星定位都有直线的影子。
如果把解析几何看成是我们科学发展的“必经路”那直线就是“铺路砖”。
（2）内容理解北师大教材侧重于由直观、归纳、理解的过程，本节也不例外，数学的本质是由现实到理论，由形到数的过程，如何把直线的“形”度量并表示出来是这解课的最终目标，倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜度的量，它们之间以及与坐标之间是有密切联系的，而如何建立、推导相互间的关系，是这节课的主要任务。
二、教学目标解析1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程；2、通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想；3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想；4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
三、教学内容与地位作用解析本节课是北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修2）第二章§2.1.1的内容。
1.1 直线的倾斜角和斜率-北师大版必修2教案一、教学目标1.掌握直线倾斜角的概念与计算方法；2.掌握直线斜率的概念与计算方法；3.能够进行直线倾斜角和斜率的计算；4.能够应用所学知识解决与直线倾斜角和斜率相关的问题。
二、教学重点1.直线倾斜角的概念与计算方法；2.直线斜率的概念与计算方法；3.直线倾斜角与斜率的关系。
三、教学难点1.直线倾斜角的概念和计算方法的理解；2.直线斜率的概念和计算方法的掌握；3.直线倾斜角与斜率的联系及应用。
四、教学过程1. 导入（5min）教师出示两条直线，询问学生两条直线是否相互平行、相互垂直，如何判断？2. 学习内容1：直线倾斜角（15min）1.介绍直线倾斜角的概念；2.讲解如何计算直线倾斜角；3.举例进行讲解。
3. 学习内容2：直线斜率（20min）1.介绍直线斜率的概念；2.讲解如何计算直线斜率；3.举例进行讲解。
4. 学习内容3：直线倾斜角和斜率的关系（20min）1.介绍直线倾斜角和直线斜率之间的关系；2.讲解如何由倾斜角求斜率、由斜率求倾斜角；3.举例进行讲解。
5. 练习（15min）1.授课之后留给学生一定时间进行板书的记忆；2.出示几道练习题让学生进行练习；3.导师可以督导学生的答题过程，并适时地帮助学生解决不理解的问题。
6. 课堂讲解（15min）1.解答学生提问；2.引导学生举出日常生活中关于直线倾斜角和直线斜率的实例；3.帮助学生发现直线倾斜角、直线斜率的重要性。
五、教学后记本节课主要讲解了直线倾斜角和直线斜率的概念及计算方法，并指导学生如何求倾斜角和斜率。
本节课重点和难点为直线斜率和直线倾斜角两个概念的讲解，并引导学生深入理解和掌握这两个概念的联系。
通过练习和课堂讲解，使学生能够更好地掌握所学内容，并能在实际应用中运用所学知识。
“形”——倾斜角，一个是“数”——斜率，通过学生的主动参与实现知识由感性认识到理性认识的转变。
教学方法和手段1）教学方法：观察探究、启发引导与学生的自主实践相结合。
通过师生、生生的交流与合作，实现学生自觉、主动、积极地学习。
2）教学手段：利用多媒体教室，使学生通过交互式电子白板、几何画板来主动的探求刻画直线的要素，以及猜想、实验、证明斜率与倾斜角的关系。
自主操作运用《几何画板》软件进行数据处理、分析，并和老师、同学进行交流，实现师生、生生间的互动。
教学环节教学内容活动设计设计意图提出问题导入新课通过观察图形得出：刻画一条位置确定的直线需要一个点和一个方向。
提问：怎样刻画一条位置确定的直线呢？思考：一个点在坐标系中可以用坐标来刻画一个方向在坐标系中如何刻画呢？-----引出课题《直线的倾斜角和斜率》自然合理地提出问题，从最简单的问题着手，创造轻松的氛围。
让学生感知刻画一条位置确定的直线需要一个点和一个方向，两个条件缺一不可。
抽象概括探究新知（一）学生目前对直线倾斜程度的认识都来自对直线图形的直观感受，我们通常在形容直线倾斜程度的时候是以什么为参照的呢？这种以水问：如何刻画直线的方向呢？问：生活中通常以什么方向作为参照来刻画物体的倾斜程度呢？（水平方向）问：直线的方向在坐标系中能不能以轴正方向为参照通过一个角度来刻画呢？探究直线倾斜角的概念，通过对已有相关知识的回顾和深入分析以及观察图形，自然地提出问题，以问题制造悬念，引平方向为参照方向的视觉习惯让学生感受到，直线的倾斜程度或者说方向需要一个几何角度来衡量。
探究直线倾斜角的概念-----引出直线倾斜角的定义让学生动手实践感知四种不同类别的倾斜角。
对于一条与x轴重合或平行的直线，它的倾斜角为︒0,倾斜角的范围为），︒︒1800[。
领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情。
1.1直线的倾斜角和斜率一、教材的地位与作用直线的倾斜角与斜率是北师大版必修2第二章第一节的内容。
直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，突出解析几何的本质――几何问题代数化，初步体会借助平面直角坐标系用代数的思想研究几何图形的思想，担负着开启全章的重任。
本节课涉及了两个概念――倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，也为后续微积分的学习奠定了基础。
二、教学目标1.知识与技能：(1)理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式(2)理解每条直线的倾斜角唯一，但不是每条直线都有斜率2.过程与方法：通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，培养学生观察、分析和概括的能力。
3.情感态度与价值观目标：体会几何问题代数化的思想方法，通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识的喜悦。
三、教学重难点重点：直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌握过两点的直线斜率公式。
难点：直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建构。
四、教法与学法教学用具数学概念学习主要有两种方式，即概念的形成和概念的同化，相应的形成了两种教学方式。
基于这种特点，我把本节课设为三个主要阶段，对应采用不同的教法和学法。
比如情景观察、活动探究、小组讨论、讲练结合等。
教具：多媒体五、教学过程设计1.一次函数的图象有何特点？2.对于给定函数21y x=+如何作出它的图象？思考:在平面直角坐标系中,如何确定直线?（探究活动一：倾斜角概念的得出）通过对问题：“经过一点P的直线有无数条，怎样借助直角坐标系把它们区分开？”的探究，是想让学生自己发现引入倾斜角的必要性，并尝试如何定义倾斜角的概念。
教师可以借助几何画板演示直线束。
学生观察并研究解决方案。
进而共同归纳出倾斜角的概念。
这个环节主要想让学生经历探究过程后掌握倾斜角和斜率两个概念，体会概念的产生是自然的，并不是硬性规定的。
《直线的倾斜角与斜率》教学设计一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。
本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。
二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。
倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。
而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。
因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。
据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。
理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。
二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。
2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。
3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。
事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。
在教学中应注意引导学生认识到这种联系。
函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。
基于上述分析，确定本课时的教学难点为：直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。
北师大版高中必修21.1直线的倾斜角和斜率课程设计教学目标1.掌握直线的倾斜角和斜率的定义和计算方法。
2.知道直线倾斜角和斜率的几何意义和应用。
3.能够应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
教学内容1. 直线的倾斜角和斜率的定义直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与水平线的夹角，通常用 $\\alpha$ 表示，其取值在0°到90°之间。
其中，正斜线的倾斜角范围是0°到45°，负斜线的倾斜角范围是45°到90°。
直线的斜率直线的斜率是指斜率的倾斜程度，是指相邻两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值，通常用k表示。
2. 直线倾斜角和斜率的几何意义和应用直线倾斜角的几何意义直线的倾斜角度量直线相对于水平线的倾斜程度，可用于描述物体相对于地面的倾斜角度，例如，房屋的倾斜角度、坡道的坡度等。
直线斜率的几何意义直线的斜率代表线段在线性坐标系中的斜率，若线段方向向上，则斜率为正；若线段方向向下，则斜率为负；若线段是竖直的，则斜率为无穷大；若线段是水平的，则斜率为0。
直线倾斜角和斜率的应用直线的倾斜角和斜率在实际生活中有广泛的应用：•用直线的斜率求直线的方程。
•判断两条直线是否平行或垂直。
•求平面内两点之间的距离或坐标系上一点到一直线的距离。
3. 直线的倾斜角和斜率的计算方法直线斜率的计算方法设直线上两点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则直线的斜率k的计算公式为：$$k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$直线倾斜角的计算方法设直线与水平线的夹角为 $\\alpha$，则直线的倾斜角的计算公式为：$$\\tan\\alpha = k$$其中，k为直线的斜率。
教学过程1. 授课步骤一首先介绍直线的倾斜角和斜率的定义，让学生了解直线倾斜角和斜率的概念和意义。
步骤二接着讲解直线倾斜角和斜率的计算方法，例如，通过直线上两点的坐标计算斜率，通过斜率计算直线的倾斜角等。
2.1直线的倾斜角和斜率教学设计（北师大版必修2）2.1.1直线的倾斜角和斜率教学设计1 教学内容分析1.1教学内容本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容，主要学习直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的斜率公式.1.2教材所处地位及前后的联系本节内容是高中解析几何内容的重点，涉及的直线倾斜角，斜率是解析几何中的重要概念。
这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。
本节内容的学习，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫；为最终通过解决代数问题来解决几何问题打下基础。
2教学目标2.1知识目标理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
2.2能力目标通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学生的数学理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力；通过练习增强学生分类讨论的意识。
2.3情感、态度与价值观学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用.3学情分析3.1认识结构经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程.3.2情感结构随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣.4 教学重点、难点分析4.1教学重点直线的倾斜角和斜率的概念。
4.2教学难点斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。
5教学方法本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法，增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。
注：此模板可另附纸，字数1500-2021字，为教学案例和教学论文的发表奠定基础。
课题直线的倾斜角和斜率教学目标：1、知识与技能（1）结合具体图形探索确定直线的几何要素；（2）理解直线和倾斜角的概念；（3）掌握计算直线的斜率公式；2、过程与方法在概念体系中理清概念的发展线索和相应关系，顺应学生的认知基础和认知特点，突出思维主线，注重揭示思维的合理性和必然性，强调学科思想方法的渗透，让学生体会到用代数方法研究几何问题的基本思路。
3、情感、态度、价值观认识数学内容之间的内在联系，加强数形结合认识问题的观念，感受坐标系的价值。
教学重点：倾斜角和斜率是倾斜程度在几何和代数两方面的不同表述，通过两点斜率计算公式沟通理解两者间的关系。
教学难点：对斜率和解析几何思想的理解教学课时：1课时教学方法：运用类比启发的数学思想、方法进行教学教学工具：交互式电子白板教学过程：引言：初中通过平面几何的学习我们对平面图形有了初步认识，前面一段时间主要学习了立体几何，对空间几何体也有了一定程度的认识，今天开始我们学习解析几何。
解析几何的基本思想是通过建立直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，这节课我们就从代数的角度来研究平面中最基本的图形——直线。
一、提出问题，导入新课问：怎样刻画一条位置确定的直线呢？意图：让学生认识到直线上两点确定了倾斜程度，从而认同刻画一条位置确定的直线需要一个点和一个方向。
二、抽象概括，探究新知问：如何刻画直线的方向呢？学生目前对直线倾斜程度的认识都来自对直线图形的直观感受，我们通常在形容直线倾斜程度的时候是以什么为参照的呢？这种以水平方向为参照方向的视觉习惯让学生感受到，直线的倾斜程度或者说方向需要一个几何角度来衡量。
对于一条与x轴相交的直线t，把x轴的正方向按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合所成的角，叫做直线的倾斜角。
对于一条与x轴重合或平行的直线，它的倾斜角为︒0,倾斜角的范围为0[。
︒180，︒）倾斜角是一个“形”，是从一个几何角度刻画在直线方向的图形，怎么把倾斜角这个“形”的问题转化成“数”的问题呢？问：现实生活中如何刻画事物的倾斜程度呢？铅直高度当水平长度为1个单位长度时，坡度=铅直高坡度=水平长度度（为后面教学做铺垫）问：生活中用“坡度”这个比值来刻画道路的倾斜程度 那么教学上用什么样的数值来刻画直线的倾斜程度呢？三、思考交流，概念教学1、交互式电子白板展示，对于过原点的直线OP （类比坡度）通过观察分析︒=0α 0=k ︒=90α k 不存在 ︒︒900＜＜α 0＞k ︒︒18090＜＜α 0＜k从这个定义中，让学生体会到，斜率是一个“数”，它是从代数角度来刻画直线的倾斜程度。
教学设计1．1 直线的倾斜角和斜率整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧．本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．三维目标1．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．2．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神．3．培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识，培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练．重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式． 教学难点：斜率公式的推导． 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(如图1所示)在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．图1思路2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．推进新课新知探究提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②下列图(图2)中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？⑤正切函数的定义域是什么？⑥任何直线都有斜率吗？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且l 与x轴不垂直，如何才能求出直线l的斜率呢？活动：①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．．．．．可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了．②考虑正方向．③动手在坐标系中任意作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线对x 轴正方向的倾斜程度．规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以，倾斜角的范围是0°≤α＜180°.④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念．倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫作这条直线的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.⑤指导学生回忆正切函数相关知识．⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率(倾斜角是90°的直线没有斜率)．当α∈[0°，90°)时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当α∈(90°，180°)时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．⑦教学时可与教材上的方法一样推出．这样显得简捷明了，合情合理且科学严谨． 讨论结果： ①用倾斜角．②都不对．与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背．③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角．④有，常用的有坡度比． ⑤定义域：{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥倾斜角是90°的直线没有斜率．⑦过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． 应用示例思路1例1 求过已知两点的直线的斜率． (1)直线PQ 过点P (2,3)，Q (6,5)； (2)直线AB 过点A (－3,5)，B (4，－2)． 解：(1)如图3，直线PQ 的斜率k ＝5－36－2＝12；(2)如图4，直线AB 的斜率k ＝－2－54－(－3)＝－1.图3 图4例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1,2及－3的直线a ，b ，c ，l .活动：要画出经过原点的直线a ，只要再找出a 上的另外一点M .而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定；或者由k ＝tan α＝1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x 轴的正半轴为角的一边，在x 轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可．解：设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x ，y )，根据斜率公式有1＝y －0x －0，所以x ＝y .可令x ＝1，则y ＝1.于是点M 的坐标为(1,1)．此时过原点和点M (1,1)可作直线a . 同理，可作直线b ，c ，l .画图略. 变式训练如图5，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率．图5解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率. 例3 已知直线的倾斜角，求直线的斜率． (1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝3π4.活动：指导学生根据定义直接求解． 解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0； (2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3； (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在； (4)∵tan 3π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－tan π4＝－1，∴倾斜角为3π4的直线斜率为－1.点评：通过此题的训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率．当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；倾斜角是90°的直线没有斜率. 变式训练1．已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当(1)sin α＝35；(2)cos α＝35；(3)cos α＝－35时，分别求直线l 的斜率k .解：(1)当sin α＝35时，∵0°≤α＜180°，∴k ＝tan α＝±34.(2)当cos α＝35时，∵0°≤α＜180°，∴0°≤α＜90°.∴k ＝tan α＝43.(3)当cos α＝－35时，∵0°≤α＜180°，∴90°＜α＜180°.∴k ＝tan α＝－43.2．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π D ．直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D思路2例1 求经过点A (－2,0)，B (－5,3)的直线的斜率和倾斜角． 解：k ＝3－0－5－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又∵0°≤α＜180°，∴α＝135°. ∴该直线的斜率是－1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α.(1)P 1(－2,3)，P 2(－2,8)；(2)P 1(5，－2)，P 2(－2，－2)．解：(1)∵过P 1，P 2的直线与x 轴垂直， ∴直线斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)k ＝tan α＝－2－(－2)－2－5＝0，∴直线斜率为0，倾斜角α＝0°.例2 已知三点A ，B ，C ，且直线AB ，AC 的斜率相同，求证：这三点在同一条直线上． 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合．因此A ，B ，C 三点共线．点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练1．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，求实数m 的值． 解：由题意，知k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC .∴m －312－2＝－1.∴m ＝92. 2．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于__________．答案：12例3 已知三角形的顶点A (0,5)，B (1，－2)，C (－6，m )，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD |的长．活动：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式． 解：D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－52，m －22，∴k AD ＝m －22－5－52－0＝1.∴m ＝7. ∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫－52，52.∴|AD |＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫5－522＝522. 变式训练1．过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．答案：k ＝－22＝－1，倾斜角为3π4.2．如图6中菱形ABCD 的∠BAD ＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．图6解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°，直线AB 和DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k ＝tan60°＝3，直线AB 和DC 的斜率为k ＝tan0°＝0，直线AC 的斜率为k ＝tan30°＝33，直线BD 的斜率为k ＝tan120°＝－ 3.知能训练1．已知直线l 的倾斜角的变化范围为α∈⎣⎡⎭⎫π6，π3，求该直线斜率的变化范围． 解：∵α∈⎣⎡⎭⎫π6，π3， ∴斜率k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，3.2．已知直线l 的斜率k ∈[－1，3)，求该直线的倾斜角的范围． 解：∵k ＝tan α∈[－1，3)， ∴倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π∪⎣⎡⎭⎫0，π3.拓展提升已知点A (－2,3)，B (3,2)，过点P (0，－2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．活动：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形． 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 课堂小结通过本节学习，要求大家：(1)掌握直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围． (2)掌握直线斜率的概念．(3)掌握已知直线的倾斜角(或斜率)，求直线的斜率(或倾斜角)的方法．作业习题2—1 A 组第1,2,3,4题．设计感想在直线的倾斜角和斜率的学习过程中，引导学生注重倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系．掌握过已知两点的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线等．在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口．同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间．透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构．新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉．本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求．备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况．解：①0°≤α＜90°.作出y＝tanα在[0°，90°)区间内的函数图像，由图像观察可知：当α∈[0°，90°)时，y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大．所以，当α∈[0°，90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大．②90°＜α＜180°.作出y＝tanα在(90°，180°)区间内的函数图像，由图像观察可知：当α∈(90°，180°)时，y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，|y|不断减小．所以当α∈(90°，180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小．点评：针对以上结论，虽然有当α∈[0°，90°)时，随着α增大直线斜率不断增大；当α∈(90°，180°)时，随着α增大直线斜率不断增大．但是当α∈[0°，90°)∪(90°，180°)时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论．(设计者：于新彬)。
《直线的倾斜角和斜率》教案南昌外国语学校教学目标:一、知识目标：1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围2．理解直线的倾斜角的唯一性和斜率的存在性3．斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式二、能力与情感目标：培养学生运用代数方法解决几何问题的思想和能力，在自我探索斜率坐标公式的过程中培养学生的自学能力。
渗透坐标法、数形结合、分类讨论，由一般到特殊及由特殊到一般等基本数学思想方法，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。
培养学生运用数学语言表达数学的交流与评价能力．培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
教学重点：倾斜角、斜率概念及斜率公式教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解，直线斜率的坐标公式的推导教学方法：启发、引导、讨论、讲练结合。
教学过程：一、直线的确定：我们在初中学习过一次函数，其图像是直线。
请同学们在同一个平面直角坐标系中画出下列一次函数的图像。
(1) y=x+1 (2)y=2x+1 (3)y=-x+1问：画一次函数图像的依据是什么？两点确定一条直线问：在平面直角坐标系中，还有什么条件可以刻画一条确定的直线？类比初中用方位角表示点的位置，引导学生得出确定直线的几何条件——一个点和一个方向。
二、直线的倾斜角和斜率：由直线的方向引入直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角。
当直线l与x轴平行时，直线的倾斜角为0°通常用α表示倾斜角，问：根据定义，倾斜角α的范围是什么？0°≤α＜180°.为了用坐标的方法刻画直线的倾斜角，引入直线的斜率。
当0°＜α＜90°时观察直线上的点O(0,0),P(1,k)当横坐标x从0到1增加1个单位时，纵坐标y 从0增加到k(k ＞0),称k 为直线的斜率，显然斜率为正。
《直线的倾斜角和斜率》教学设计教材分析:本课是北师大版数学必修二第二章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法.本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用.直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键. “坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想.教学目标：【知识与能力目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.掌握直线的斜率公式及应用.【过程与方法】通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力.【情感态度与价值观】通过合作探索，互相交流，增强团队意识，培养协作能力.教学重难点：【教学重点】直线的倾斜角和斜率的概念，直线斜率公式及其应用；【教学难点】斜率公式的推导.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来.问题1：在直角坐标系中,两点确定一条直线，只知道直线上的一点P ,能不能确定一条直线呢?过一点可以作无数条直线，那么它们的区别在哪里呢？问题2：那么如何描述直线的倾斜程度呢？在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”如何表示“坡度”？如果说倾斜角从几何图形的角度描述了直线的倾斜程度，那么我们可以从代数的角度来量化直线的倾斜程度吗？问题3：任一直线一定有倾斜角和斜率吗?斜率的正负与倾斜角有何关系？举例说明.已知给定两点()111y ,x P ，()222y ,x P ，如何求出21P P 的斜率k ？二、新课探究： 1.倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0180α≤<．注：1.要清楚定义中含有的三个条件① 直线向上方向；②x 轴正向； ③小于180的角.2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3.倾斜角α的范围是0180α≤<.当0α=时，直线与x 轴平行或与x 轴重合.4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.2.斜率⑴ 直线斜率的定义：一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope ）,通常用小写字母k 表示.()90tan ≠=ααk .⑵ 直线的倾斜角与斜率之间的关系： 直线情况平行于α情况 由左向右上升垂直于x 轴由右向左上升α的大小 k 的情况k 的增减性由斜率的定义可知，当α在(090)，范围内时，直线的斜率大于零；当α在(90180)，范围内时，直线的斜率小于零；当0α=︒时，直线的斜率为零；当90α=︒时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(90除外)为一一对应关系，且在)090⎡⎣，和(90180)，范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在)090⎡⎣，或(90180)，范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．⑶ 两点确定直线的斜率已知两点),)(,(),,(21222111x x y x p y x p ≠则由这两点确定直线的线率?=k 课本上是用坐标法推导的，分两种情况:斜率公式：已知点111(,)P x y 、222(,)P x y ，且12P P 与x 轴不垂直，过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率公式2121y y k x x -=-.注：1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°，直线与x轴垂直；(2) k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1，y 2和x 1，x 2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4) 当y 1= y 2时，斜率k =0，直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合； (5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： (1) 由1P 、2P 点的坐标求k 的值；(2) 已知k 及1122,,,x y x y 中的三个量可求第四个量； (3) 已知k 及1P 、2P 的横坐标(或纵坐标)可求12||PP ； (4) 证明三点共线.三、知识应用：题型一 倾斜角、斜率概念例1、判断题① 直线的倾斜角为α，则它的斜率为αtan ； ② 直线斜率为αtan ，则它的倾斜角为α；③ 因为所有的直线都有倾斜角，所以所有的直线都有斜率；④ 因为平行于y 轴直线的斜率不存在，所以平行于y 轴直线的倾斜角不存在. 解：① 如果=90α︒，那么此直线无斜率；② 错，αtan 中的角度α可能不在倾斜角范围内；③ 错，在锐角范围内，直线的倾斜角越大,它的斜率也越大，从0到正无穷大，在钝角范围内直线的倾斜角越大，它的斜率也越大，倾斜角为90度 斜率不存在.斜率并非随着角度连续递增；④ 错，斜率不存在但倾斜角存在.题型二 倾斜角与斜率例2．求斜率或倾斜角题型三 已知两点求斜率例3．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）； （3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3【答案】（1）34-（2）0（3）95（4）不存在解： 当倾斜角α=90°时，斜率不存在；当α≠90°时，2121y y k x x -=-．（1）2(1)3314k --==---；（2）2(2)051k ---==-；（3）549235k --==--；（4）∵倾斜角α=90°，∴k 不存在．例4．直线l 过点A （1，2），B （m ，3）且斜率为1，求m ．解：3211m -=- 得m=2.例5．经过两点(),1A m ，()12---m ,m B 的直线倾斜角为︒60，则m 的值为_________.解：211tan 60m m m︒---==--=2m .【设计意图】练习掌握已知两点求斜率的公式.教学反思：本课是北师大版数学必修二第二章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法.所以要让孩子很好的理解，不急于求成，理解并掌握倾斜角和斜率如何反应直线的倾斜程度并如何刻画.。
课题：直线的倾斜角和斜率（第一课时）阜阳市第二中学洪海涛【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。
③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
（3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的作用。
【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。
【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。
【教学手段】多媒体辅助课堂教学。
【教学过程】创设情境，导入新课利用利用激光舞表演这情境，向学生设问为什么这些光线可以组成美丽的图案？为什么光线会有不同的位置？（学生回答）怎样来刻画直线的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。
问题情境，形成概念如果把跷跷板抽象成一条直线，那么跷跷板的运动过程中就形成了一系列的直线，那么这些直线有什么共同点和不同点呢？问题1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？过一点可以画几条直线？问题2、与轴正方向成30º角的直线有多少条过定点P且与轴正方向成30º角直线有多少条？引导学生得出倾斜角的意义和概念。
普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）
数学2（必修）
第二章解析几何初步
§直线的倾斜角和斜率（教学设计）
府谷中学井霞霞
教学目标
一、知识与技能
通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角及斜率之间的对应关系。
掌握过两点的直线斜率的计算公式。
二、过程与方法
1通过直线的倾斜角的概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
2通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
三、情感态度与价值观
1通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
2通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。
教学重点：
直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式；
教学难点：
斜率概念的理解和斜率公式的推导。
教学过程设计。
高中数学北师大版必修2第二章《1.1直线的倾斜角和斜率》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
一、知识与技能
(1)正确理解直线的倾斜角及斜率的概念.
(2)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
二、情感态度与价值观
(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.
(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
2学情分析
比较我市其他学校,我校学生数学基础比较薄弱,学生接受能力不强,这就要求教师授课时要认真细致地讲明白每一个知识的细节。
3重点难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式应用.
4教学过程
4.1教学过程：
新设计
(一)直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗?
如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
(1)它们都经过点P.
(2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:。
