根据图求传递函数

由伯德图确定传递函数

G(s)
K (1 1 s) 2 10
K (1 0.1s) 2
s(1 1 s) 2
s(1 5s) 2
0.2
穿越频率 1 ，因此，可以由L(1)=1，或者 G( j ) 1 1 确定K。
通常在穿越频率附近，转折频率在穿越频率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是 -20db/dec 的斜线，即可以近似为一个积分环节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的幅频特性可以认为是 0d的b 水平线，即可以近似为1。
例2.29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图2.58所示，确定该系统的传递函数。
L( )
-20
-60 1
0 0.2
10
-20 图2.58 最小相位系统的伯德图
解由于对数幅频特性的低频段是的直
线 20db / dec，所以，系统的传递函数有1个
积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传递函数为
2. 由伯德图确定传递函数
对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值对应的，因此，根据系统的对数幅频特性就可以写出系统的传递函数或者频率特性。例2.28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图2.57所示，确定该系统的传递函数。
dB
40
L( )
-20
20
0 0.1 0.4
-40 -20
假设系统是最小相位的，则根据所选择的对数幅频特性的渐近线，可以写出系统的传递函数。例如，某系统的实验数据如表2.4所示，其伯德图如图2.59所示。
表2.4 某系统的实验数据
0.1
0.2
0.4
1
2
4
10204099.6 49.3 23.7 7.96 3.26

第五章(5) 频域：用实验法确定系统的传递函数

第五节用实验法确定系统传递函数
例
已知采用积分控制液位系统的结构和对数频率特性曲线,试求系统的传和对数频率特性曲线试求系统的传 hr(t) 递函数。递函数。 1 K h(t)
1 4
L(ω)/dB
20 0 -20 -20dB/dec
S
Ts+1
φ(ω)
0 -90 -180
返回解: 将测得的对数 -40dB/dec 1 = 曲线近似成渐 0.25S2+1.25S+1) 近线: 近线 ω 1 φ(s)= (S+1) (S/4+1)
ω
一用实验法确定系统的伯德图二根据伯德图确定传递函数第五节用实验法确定系统传递函数一用实验法确定系统的伯德图若线性系统是稳定的可用实验的方法获得其伯徳图具体步骤如下
第五章频率特性法
第五节用实验法确定系统传递函数
频率特性具有明确的物理意义，频率特性具有明确的物理意义，可用实验的方法来确定它.这对于难以列用实验的方法来确定它这对于难以列写其微分方程的元件或系统来说,具有写其微分方程的元件或系统来说具有很重要的实际意义。很重要的实际意义。
0
L(ω段的曲线与横轴相交点的频率为的频率为ω 轴相交点的频率为 0 20lgK 因为 =40 故 lgω0-lg1
1
ω0
ωc
ω
-40dB/dec
20lgK=40lgω0 K=ω02
第五节用实验法确定系统传递函数
例由实测数据作出系统的伯德图如图所示，试求系统的传递函数。所示，试求系统的传递函数。由图可得：解: 由图可得： L(ω)/dB 根据 0 ≤ξ ≤0.707 -40dB/dec ω0 =3.16 -20dB/dec 40 取 ξ=0.38 20lgMr=3dB 3dB 20 Mr=1.41 0 由频率曲线得 2ω0 ω 0.5 1 -60dB/dec Mr= G(s)= =1.41 -20 φ(ω) ξ 2 21-ξ 2 0 ω 3.16 (2S+1) -90 2(0.25S=±0.92 ξ ± 得：1 2+0.38S+1) -180 S -270 ξ2=±0.38 ±

《自动控制原理》第二章传递函数

G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s)G 2 ( s) H ( s)
∑ C ( s ) = Φ ( s) R( s) + Φ ( s) N ( s) =
G2 ( s )[G1 ( s) R ( s) + N ( s )] 1 + G1 ( s)G 2 ( s ) H ( s)
20
N ( s)
14
例2.23
R(s)
G4 G1 A G3 H2 H1
C
p1 = G1G2G3
_
-
B
G2
C (s)
∆1 = 1
L1 = −G1 G 2 H 1
p2 = G1G4
∆2 = 1
L2 = − G 2 G 3 H 2 L3 = −G 1 G 2 G3
L4 = − G 4 H 2
注意：回路注意：找不全是最大的问题
5
1 R 1 G1 -1 1 G2 -1 1 G3 -1 K C
1
-1
•前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，前向通路只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。 •回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。回路:起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。回路 •回路中所有支路的乘积称为回路增益。回路中所有支路的乘积称为回路增益。回路中所有支路的乘积称为回路增益 •不接触回路：回路之间没有公共节点时，不接触回路：回路之间没有公共节点时，不接触回路不接触回路。这种回路叫做不接触回路。 •在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。在信号流图中，在信号流图中可以有两个或两个以上不接触回路。

传递函数及方块图剖析

则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks

如何用梅逊公式求传递函数

• 通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。
• 回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
1/8/2024
如何用梅逊公式求传递函数
4
信号流图的等效变换
• 串联支路合并：
ab x1 x2 x3
8
例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。
k
R(S) b
m
d
V1
l
g V3 e
V2
h
C(S)
f f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
1/8/2024
如何用梅逊公式求传递函数
9
信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后
的代数方程所表示的变量间
信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。
一、信号流图及其等效变换
组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
R1
N
1
E G1 P
G2
Q
1
R(s)
C
E(s)
-
G1(s)
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个

自动控制原理习题解答

3-8
已知系统的闭环传递函数为 GB (s)
=
Y (s) R(s)
=
(s2
15.36(s + 6.25)
，试估算
+ 2s + 2)(s + 6)(s + 8)
系统性能指标。
解：高阶系统可以降阶，系统有一对零极点 − 6.25 和 − 6 ，是对偶极子，可以相消。系统剩下三个极点 −1 ± j 和-8，显然 −1 ± j 是系统的主导极点，所以系统降阶后，闭环传
解 (1) 当τ = 0时则原系统的开环传递函数为
G(s) = 10 s(s + 2)
3-2
与G(s) =
ω
2 n
比较可知
s(s + 2ζωn )
由
ω2ζn2ω=n
10 =
2
得
ωn = 10
ζ =
10
10
(2) 当τ ≠ 0时则原系统的开环传递函数为
G(s) =
10
s(s + 2 +10τ )
3-10 设单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定系统稳定时 K 的取值范围。
（1） G(s)H (s) =
K
s(s + 1)(0.2s + 1)
(2) G(s)H (s) = K (0.2s + 1) s(s + 1)(s + 1)
解 (1) 闭环传递函数为
∴GB (s)
=
K s(s + 1)(0.2s + 1) + K
=
0.2s 3
K + 1.2s 2
+s+
K

根据bode图求传递函数

Bode图的特点与意义
01
Bode图的特点是直观、易于理解，能够清晰地展示系统的频率响应特性。
02
通过Bode图，可以方便地分析系统的稳定性、带宽、阻尼比等
关键参数。
Bode图在控制系统分析和设计中具有重要意义，是分析和设计
03
线性时不变系统的重要工具之一。
03
如何从Bode图求传递函数
利用Bode图的频率响应求传递函数
THANKS
感谢观看
利用Bode图的相位响应求传递函数
相位响应
相位响应是Bode图中的另一个重要特性，它描述了系统在不同频率下的相位延迟。
传递函数的确定
通过观察Bode图的相位响应，可以确定传递函数的极点和零点。极点和零点对应于相位响应的-90度和+90度，通过这些点的位置和数量可以反推出传递函数的分子和分母。
传递函数的应用
系统分析和设计
通过分析传递函数，可以对系统进行稳定性分析、性能分析和优化设计等。
控制工程
在控制工程中，传递函数被广泛应用于线性时不变控制系统的分析和设计，如PID控制器等。
信号处理
在信号处理中，传递函数用于描述线性时不变滤波器的特性，如低通滤波器、高通滤波器等。
02
在低频段，斜率为-20dB/dec；在高频段，斜率为0dB/dec。
结论
该系统在低频段具有较大的增益，随着频率的增加，增益逐渐减小，并在高频段趋于稳定。由于存在一个极点在s=1处，该系统是不稳定的。
实例三：复杂的多阶系统
01
传递函数
$G(s) = frac{1}{s^2 + 2s + 5}$
02
Bode图

根据bode图求传递函数

此外，系统存在另二个转折频率：1和20rad/s。对应的典
型环节分别为：
1,
1
s 1 s / 20 1
综上所述，系统传递函数为：
G(s) K s 1 1 1 1 0.1 s s 1 s / 20 1

10s 1
s(s 1)(0.05s 1)
例2：已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。
5
例3 求解传递函数
L()/dB
20
0
-20dB/dec
-40dB/dec
10 20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

12 -20dB/dec
-40dB/dec
6
100(s 2)
10(0.5s 1)
Gk (s)

s(s 1)(s
20)
s(s
1)(0.05s 1)
例4：根据对数幅频特性，求系统的传递函数。
(rad/s)
-40
解：系统低频段斜率为－20dB/dec，v=1，I型系统。
-20lgw+20lgK
k =1。
在ω1= 0.1处，渐近线变为水平线，故ω1对应的应是一阶微分环节的转折频率。对应的传递函数为：s 1
0.1
L() 20
-20
0 -20
0.1
1
20 -40
(rad/s)
绘制近似对数幅频曲线的步骤：
① 在半对数坐标上标出所有的转折频率（1/T）；
② 确定低频段的斜率和位置；
③ 由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，
曲线的斜率发生相应的变化。
1
例1：已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。

专题化简模型结构图,求取传递函数

1 R1 -
C2s
1 B+C
1
C1s
_ R2
(a)
(b) 消除局部反馈回路
1
C(s)
C2s
R(s) +
1
_
R1C1s 1
1
C(s)
R2C2s 1
R1C2s
(b)
（C）消除主反馈回路
R(s)
1
C(s)
R1C1R2C2s2 (R1C1 R2C2 R1C2)s 1
注意：方块图的化简方法不是唯一的，人们应充分地利用各种变换技巧，选择最简捷的路径，以达到省时省力的目的。
--
-
H 1(s)
G3(s) H 2(s)
+ C(s)
例4
R(s) + _
_
1
+
R1
A
1 B+ C
C1s
_
1
1
R2 D
C2s
C(s)
解：利用方块图变换法则 (a) 比较点A前移，分支点D后移
R(s) +
R1 _
1 R1 -
C2s
1 B+C
1
C1s
_ R2
(a)
1
C(s)
C2s
R(s) +
R1 _
A
AG
A
6 分支点后移
G
A
AB
7 比较点与分支点 A +
交换
-
AB
B
A
8 化成单位并联
G1
+ AG1 AG2
+
G2
A A G2
AG G
1A
G
B +

例某系统的结构图如图所示试求系统的传递函数

① 保持系统的稳态值不变； ② 瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为
Gs

ss
20000
5s
500

ss

40
5
s
1

40
ss
5
500
近似后的闭环传递函数为
s 40
提示：该例显示了用劳斯判据是系统稳定性的方法。讨论了两种特殊情况（劳斯阵某行元素全为零和第一列某元素为零）下劳斯阵的组成方法。
12
例4.闭环控制系统的结构图如图所示。试求满足下列两个条件的三阶开环传递函
数 Gs，应满足的条件: (1)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零；
(2) 闭环系统的特征方程为 s3 4s2 6s 10 0。

c
则闭环系统传递函数为
14
s

1
Gs Gs

as3

k bs 2

cs

k
特征方程式为 as3 bs2 cs k s3 4s2 6s 10 0
比较系数得即
a 1 ， b 4 ， c 6 ， k 10
G
s

s
s2
10பைடு நூலகம் 4s

Cs Rs

1
提示：本题用等效变换法做较复杂。主要困难可能出现在分支点和相加点互相移动时（本例中的第一步变换），其移动的思路大致是：（参考图a）当原图
的反馈点（即分支点）A前移到 A 点时，A点的反馈值比在A点反馈少了s Rs，为了保证变换的等效性，需在相加点 B处加以补偿，大小为s Rs ，于是有了
第三行元素全为零，对辅助方程 2s4 2 0

化简结构图求传递函数的步骤

17
2.7 小结本章主要介绍数学模型的建立方法。作为线性系统数学模型的形式, 介绍了两种解析式和两种图解法。
1）微分方程
基本概念
物理、化学及专业上的基本定律中间变量的作用简化性与准确性要求
基本方法
直接列写法
原始方程组线性化消中间变量化标准型
由传递函数拉氏反变换微分方程转换法由结构图传递函数微分方程
E-E0 R2 I2 C1s Eo
1
Eo
-1
-1
11
信号流图与结构图布局等效对应关系：
结构图：输入端
相加点分支点传递线
方框
输出端
信号流图：源节点混合节点支路汇点
信号流图代数化简 1)只有一个输出支路的节点的值等于其输入乘增益. 2)串联支路的总增益等于所有支路增益的乘积。 3)并联支路的总增益等于各支路增益之和. 4)混合节点可以通过移动支路的方法消掉. 5)回路可以根据反馈联接的规则进行简化.
1
1 E+
1
1
－
R1 C1s
－ R2
C2s
求各串联连接支路的传递函数 R1C2S
Ei +- + -
1 R1C1S
+
1
- R2C2S
图2-14
Eo
Eo
4
消去内部两个负反馈环
R1C2S
Ei +-
1
R1C1S 1 1
R1C1S
1
R2C2 S
Eo
1 1 R2C2 S
求串联连接的传递函数
R1C2S
Ei + -
22
4 种模型之间的转换关系可用图 2-19 表示。

2.3 系统的传递函数方框图及其简化

2)相加点
相加点是信号之间代数求和运算的图解表示.在相加点处,输出信号(离开相加点的箭头表示)等于各输入信号(指向相加点的箭头表示)的代数和,每一个指向相加点的箭头前方的+号或-号表示信号在代数运算时的符号.必须是具有相同量纲的.
X 1 ( s)
X 1 ( s) X 2 ( s)
X 2 ( s)
X 1 ( s) X 2 ( s)

X 1 ( s)
X 2 ( s)

X 1 ( s) X 2 ( s)

X 2 ( s)
一般应避免分支点和相加点之间的相互移动
三、方框图简化的一般方法（法1）
1.确定系统的输入量和输出量.若作用在系统上的输入量或输出量有多个,则必须分别对每一输入量,逐个进行方框图的简化,以求得各自的传递函数. 2.若方框图中有交叉连接,则利用分支点或相加点的移动规则,将交叉消除,简化成无交叉的多回路方框图的形式.(大回路套小回路) 3.对多回路方框图,按照先里后外的顺序依次对各个回路进行简化. 4.写出系统的传递函数.
前向通道传递函数 G ( s ) 与反馈回路传递函数 H ( s )
的乘积定义为开环传递函数 GK (s) B( s) GK ( s ) G ( s ) H ( S ) E ( s)
前向通道传递函数 G ( s ) 与反馈回路传递函数 H ( s ) 的乘积定义为开环传递函数 GK (s) B( s) GK ( s ) G ( s ) H ( s ) E (s) 无量纲. 系统闭环传递函数
M ( s)
U a ( s)

E ( s)
d
L
1 ( Ls R )
I a (s)

自动控制第五课传递函数

[例2-2] 图2-3为两级RC网络组成的滤波电路，写出以ui为输入，uo为输出的微分方程。

解对于回路 L1有u R1 + uC 1 = ui对于回路 L2 有 uR 2 + uC 2 = uC1 元件约束为u R 1 = R1 × i1 u R 2 = R 2 × i2uC1 = uC 2 1 C1i1i2ò ( i1 - i2 ) dt ò i2 dt = u o回节首1 = C2回章首1ui 上述方程组消去中间变量 i1 , i2 , uC1 ，得到以入，为输出的微分方程为uo 为输d 2uo du R1C1 R2C2 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) o + uo = ui (2-12) dt dt设时间常数为 T1 = R1C1 , T2 = R2C2 , T3 = R1C2d 2uo duo T1T2 2 + (T1 + T2 + T3 ) + u o = ui dt dt(2-13) (2-14) (2-15)简写为&&o + (T1 + T2 + T3 )u &o + uo = ui T1T2u这是一个二阶微分方程，各阶导数的系数都是常系数，由各线性元件的值所确定，所以该系统又称为二阶线性定常系统。

回章首回节首2解对于回路 L1有u R1 + uC 1 = ui对于回路 L2 有 uR 2 + uC 2 = uC1 元件约束为1 = C1 1 C2i1i2u R 1 = R1 × i1u R 2 = R 2 × i2uC1ò ( i1 - i2 ) dt ò i2 dt = u ouC11 = ( i1 - i2 ) C1 s1 i2 = u o C2suC 2 =uC 2 =回章首回节首3i2 = C2 suou R 2 = R2 × i2 = C2 suo代入回路 L1 有u R1 + uC 1 = uiR1 × i1 + R2C2 suo + uo = ui Þ i1 = 1 (ui - R2C2 suo - uo ) R1对于回路 L2 有 uR 2 + uC 2 = uC11 1 R2C2 suo + uo = ( (ui - R2C2 suo - uo ) - C2 suo ) C1s R1 Þ R1R2C1C2 s 2uo + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) suo + uo = ui &&o + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 )u &o + uo = ui Þ R1R2C1C2us t拉氏反变换： 1．A(s)=0全部为单根 F(s)可以分解为cn c1 c2 F ( s) = + + .... + s - s1 s - s2 s - sn(2-81)其中ci = [ F ( s) × ( s - si )] s = s(2-82)i为复变函数F(s)对于极点s=si的留数。

自动控制原理传递函数计算

G(s) = e s
四、传递函数举例说明
例1.
如图所示的RLC无源
L
网络，图中电感为L
（亨利），电阻为R （欧姆），电容为C
ui
（法），试求输入电压ui(t)与输出电压 uo(t)之间的传递函数。
R
i C uc
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
C R=1
北京航空航天大学
L1
L2
P11 P22
L3 L4 L2 L4
L3 L4
Ui (s) = Ls R 1/ sC I (s)
Uo(s) = 1/ sCI(s)
则传递函数为
Uo (s) = 1/ sC =
1
Ui (s) Ls R 1/ sC LCs2 RCs 1
五、用梅森（S.J.Mason）公式求传递函数
• 梅森公式的一般式为：
n
PK K
G(s) = K =1
利用梅森公式求传递函数(2)
2. 求 Pk ,k
P1 = G1G2G3G4G5G6
1 = ?
R(s) G1
-
求余子式1
H4
4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
2
H2
3
H3
H1
C(s) G6
1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特
征式的求法，计算 1
求余式1
R(s) G1

例1某系统的结构图如图所示试求系统的传递函数

有
24
3s 2 12s 8 0
s1 3.155 不在根轨迹上，舍去。 s2 0.845 是分离点， s1,2 2 1.155，
分离角为 90 。根据幅值条件可求出分离点处的增益
k2 s2 s2 2 s2 4 3.1
④ 根轨迹与虚轴的交点特征方程为劳斯表为
2. 解：因为
k1k 2 Y s 2 Rs s as k 2
k1k 2 k1k 2 1 Y s 2 Rs 2 s as k 2 s as k 2 s
所以
k1k 2 1 y lim yt lim s 2 k1 2 t s 0 s as k 2 s
于是，渐近线与实轴交点为 2, 0 。，
180 2k 1 a 3
当k 0 时当 k 1时
a 180
a 60
Qs ss 2s 4 代入方程 ③ 求分离点：由开环传递函数知 Ps 1 ，
Ps Qs Ps Qs 0

A
s 1
s
1 s
C s
结构图
1
1.解：
Rs

s
s2
k

1 s

A
s 1
s
1 s
C s
结构图
s
s2

Rs

k

B

1 s

s 1
s
A
1 s
C s
2
（a）
s
s2

Rs

k

B

用梅逊公式求传递函数

R(s) E(s) C(s)
B(s)
G(s)
H(s)
5
闭环传递函数 1). r(t)作用下系统的闭环传递函数
在下图(a)所示的反馈系统中，为求取r(t)作用下系统的闭环传递函数，可令n(t)=0。
N(s) R(s) E(s)
+
G1(s) H(s)
(a)
G2(s)
C(s)
-
B(s)
R(s) G1(s) G2(s) H(s)
闭环传递函数闭环传递函数rt作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数在下图a所示的反馈系统中为求取rt作用下系统的闭环传递扰动扰动nt作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数在下图a所示系统中为求取nt作用下系统的闭环传递函数可令rt0此时图a可简化为图b
用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数
3
图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以
P1 G1G2 G3G4 G5 G6 1 1 由梅逊公式求得系统的传递函数为 ( s) P1 1
G1G2 G3 G4 G5 G6 1 G1G2 G3G4 G5 G6 H 1 G2 G3 H 2 G4 G5 H 3 G3G4 H 4 G2 G3 G4 G5 H 2 H 3
L1 G1G2 G3 G 4 G5 G6 H 1 L2 G 2 G3 H 2 L3 G 4 G5 H 3 L4 G3 G 4 H 4
故
∑Li=L1+L2+L3+L4
2
在上述四个回路中，互不接触回路有：L2、L3，它们之间没有重合的部分，因此有
∑LiLj= L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

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