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小学数学探究教学中的哲学思考作者：仇保益来源：《南北桥》2020年第12期【摘要】数学在小学必修课程的教学中占据十分重要的比例，是一门锻炼学生数学能力，培养学生逻辑思维能力的学科，而探究教学是小学数学教学中一种十分重要的教学方式。
新课标改革也提出了，小学数学教学要适应学生身心发展的特点，从学生已经掌握的生活经验入手，引导学生通过自主探究进行数学学习，获取数学能力，提升运用数学知识解决实际生活问题的能力。
但是，由于小学生认知水平有限，受各方面能力的影响，学生自主探究形成的知识体系可能与真正的数学知识原理存在一定的差异。
教师结合教学经验剖析数学内容中存在的哲学思想，并将这些哲学思想融入数学教学之中对学生的数学学习有着十分重要的作用。
本文在此基础上对小学数学探究教学中的哲学思想进行分析，并提出看法。
【关键词】小学数学数学探究教学哲学思考中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2020.12.019数学是对数量关系进行探究的一门抽象学科，具有很强的逻辑性，而哲学是对世界认知体系和规律的总结，不仅具有逻辑性，还具有思辨性。
数学和哲学二者之间有着十分微妙的联系，在一定程度上可以说数学是哲学的现实表现和数量体现。
随着课程改革的发展，学校教育开始意识到学生自主探究学习在数学教学中的重要意义，而如何更好地开展自主探究性学习却成了一大难点。
学生在自主探究学习的过程中往往会出现很多问题，教师可以引导学生站在哲学的角度辩证地思考问题，这对学生的自主探究学习有着十分重要的作用。
一、将哲学渗透到小学数学探究学习中的重要性我国新课标改革提出，不仅要有效培养学生对学习方法和学习思想的认识，还要帮助学生形成正确的价值观和情感生活态度。
因此在教学中，教师将哲学与数学有机融合，将两个相互影响了上千年之久的学科更好地整合，不仅能满足学生对于知识的学习，更能有效地提高学生的精神高度，为学生启蒙哲学思想。
小学数学探究教学中的哲学思考
岳欣云
【期刊名称】《课程．教材．教法》
【年(卷),期】2012(000)009
【摘要】小学数学教学在探究活动中经常会遇到数学内容的形式性与数学发现的经验性之间的矛盾问题，已有研究囿于教育学的视界，缺少数学哲学角度的反思，因而对这一问题的思考不够深入细致。
而只有在数学哲学和数学教育双重视角的观照下，对小学数学探究教学的认识才会更为完整、深入，对小学数学探究教学的驾驭才能游刃有余、从容不迫。
【总页数】5页(P101-105)
【作者】岳欣云
【作者单位】首都师范大学教育学院,北京100089
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
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数学教学中的哲学思想教育学校：武宁一中作者：晏欢摘要：本文以高中数学教学为炼炉，哲学的一些基本思想为粗钢，试图通过哲学思想在数学教学中的一些运用来展示数学穿插哲学思想后的教学优势，以便更好地培养学生学习数学的兴趣，提高数学教学质量。
在论述中，具体讲述哲学思想在数学教学中的重要性，并用大量例证讲述哲学思想在数学教学过程中的实用性。
其中运用到的哲学观点有：物质第一性观点、发展和联系的观点、对立与统一的观点、实践的观点、创新的观点。
关键词：哲学思想、数学教育、联系发展、实践、对立统一、辨证、创新。
前言：数学与哲学是两个紧密相关的学科。
众所周知，数学作为一门独立科学是从哲学母体中脱胎而来的。
古今中外的数学家无不有着深厚的哲学基础，历来的数学问题无不透着浓厚的哲学思想气息。
在提倡素质教学的当代，要把正确的哲学思想引到数学教育中已成必然。
在数学教学过程中，用正确的哲学思想引导学生学习数学、学好数学已是一个不容忽视的问题。
正文：20世纪以前的数学思想，散在于哲学家著作之中。
哲学家研究数学的目的只是让其为哲学体系服务，或为哲学理论提供数学例证，柏拉图、亚里士多德、波爱修尽是如此。
这时的数学哲学还没有从哲学母体中分离出来，处于孕育阶段，但哲学思想对数学的支配指导作用是不容置疑的。
20世纪初，数学基础学派的出现标志着数学从哲学母体中分离出来，这时才有单独研究数学自身发展的问题，数学才是真正为自己发展服务的。
各种数学思潮结合着各种哲学思想极力为自己的观点而争辩。
逻辑主义、直觉主义、形式公理主义，还有被誉为“20世纪90年代数学教育主要口号”的建构主义，在这种争辩下数学体系不断发展壮大，成为现代生活中不能替代的重要的学科。
在数学问题的大讨论中，这种争辩不仅推动着数学本身的发展，而且把数学与哲学的紧密关系表现得淋漓尽致。
本文具体讲述下面几个穿插在数学中的哲学思想：一：物质第一性的哲学观点认识数学是唯物的，就是要承认数学对象的存在具有第一性。
新课程背景下数学教学的哲学思考祁平(苏州市教育科学研究院215003)高中数学新课程改革已向我们迎面走来,许多专家站在历史与科学的高度,对/数学教材0/数学教学0/数学本质0等问题提出了建议与思考,对推进数学课程改革所起的作用是积极的,深远的.而我作为新教材的一位参与者,作为一位刚刚离开讲台的一线教师,作为一位长期从事数学教育的研究者,通过近年来对高中数学新课程的研究及实施情况的调研,带着如沐春风的喜悦,也带着沉重的思索,对当前的数学教学提出一些思考,供大家参考.1新课程背景下的数学教学必须正确处理好/传统0与/现代0的关系新课程的实施,无疑给课堂教学的改革吹来缕缕春风.人们关注新课程理念,关注新教材内容的变化,关注新的教学方式、学习方式的转变.随着课改的推进,人们也越来越认识到,课堂教学是实施素质教育的主阵地,如何看待数学教学质量是课改的重要问题.当前课堂教学中有一些问题令人担忧.例如:课堂教学/抱着0传统,你改你的路,我过我的桥;否定传统,对教材认识停留在表面,片面地以能力为中心;教学目标混乱,教学设计缺乏理性思考.因此,认真审视当前的课堂教学,正确处理好/传统0与/现代0的关系,这是有质量的数学教学的基础.111我们必须用继承与发展的眼光落实新课程提出的/三个维度0(知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观)首先,数学是需要基础的.缺乏基础的能力是脆弱的,缺乏基础的方法是脆弱的,缺乏基础的教学是脆弱的.优秀的/传统0必须重视,必须处理好继承与发展的关系.例如,/在平面向量的坐标表示0的教学活动中,我们应在学生较好理解、正确掌握/平面向量的坐标表示方法和坐标运算0的前提下,进行一些能力训练,开展一些/合作、交流0的学习活动.在重视基础前提下的能力培养才是真正意义上的发展能力的教学.又如,在/向量的数量积0的教学中,有位教师在引导学生获得a#b=|a|#|b|cos H时,没有进行一些基础训练就和学生一起讨论)))/向量的数量积满足结合律吗?0.虽然后来的讨论是热烈的,但笔者认为,教师的讨论忽视基础,是低级的、肤浅的讨论.因为,学生对/a#b=|a|#|b|cos H0认识刚刚开始,还没有深入地理解,更不可能较熟练地掌握.走进学生心灵的知识才是有力量的知识,由此开展的讨论才是真正意义上的讨论.否则,许多学生会感觉课堂上的/交流0是云里雾里的交流,数学离他们越来越远.作为数学学科的特点,基础更具有其特殊的意义.重视基础,发展基础,才能更好地发展学生的能力.近几年的全国高考数学试卷强调/基础0,也为当前的中学数学课程改革提了个醒:数学需要基础,缺乏基础的能力是脆弱的.其次,数学是强调思维的科学.近二十年的数学教学研究,人们越来越重视数学的理性思维的培养.重视数学理性思维的培养是数学新课程理念对优秀/传统0的继承和发展.因此,如何有效地培养学生的理性思维是新课程背景下的数学教学的重要问题.我们要在继承的前提下,用新的眼光认识这一问题.我们的教学活动要避免为提问题而提问题的现象.我们要充分认识什么是有质量的问题.我们要避免为探究而探究的现象.要充分认识到我们在探究活动中培养了学生哪些能力?哪些素质?问题研究、问题解决是培养学生思维能力最好的内容,我们要在新课程理念指导下发展/问题研究0、/问题解决0的教学,提高学生的思维水平.再次,现代教学技术的应用要在有效性上下功夫,要成为完善和改进传统教学方法(手段)、提高教学效率的现代/技术0.例如,关于函数y= A sin(X x+U)图象的性质的教学.方法一:运用多媒体技术在屏幕上一次次演示相应的图象及它们之间的关系(X的变化、A的变化,U的变化),图象优美,有动感.但是课后发现学生对概念的理解不深入,不准确,所呈现的/感性0图式没有给学生留下思考的空间,遗忘速度也加快了.方法二:教师先用传统的方法重点讲清二个函数的图象y=sin x-P3、y=sin2x-P3的作法,并观察研究它们之间的关系,进而在屏幕上运用多媒体技术演示一组三角函数的图象,在动态的环境下进一步认识图象性质,思考一些问题,回答课堂练习.方法二反映了教师能正确处理好/传统0与/现代0的关系,技术的运用科学有效,并使学生经历了/无图语言y有图语言y动感图语言y无图语言0的思维过程.课后发现,学生对概念的认识深刻,并能在问题研究中正确运用.112我们要从教材的变化中把握好/传统0与/现代0的关系新教材不是数学内容(知识点)的简单组合,不是将/传统内容0任意删减,不是将体现/现代0的内容与理念随意堆砌与叠加.我们必须用哲学的眼光来研究教材.首先,我们要研究新教材的哪些内容是继承传统而保留下来的?为什么要保留这些内容?是简单的保留吗?例如:/三角函数0一节的内容,新教材作了较好的保留.对这节内容,新课程从六个方面提出了教学要求.新教材不是简单的保留传统内容,对三角函数中y=sin(X x+U)等内容的要求也作了新的规定,给学生较大的发展空间.教学中我们必须继承科学的教学方法,遵循教学规律.我们看到的/赶进度0/随意提高要求0的现象不是极少数,这样的教学能体现新课程理念?课堂教学质量令人担忧.其次,我们要全面、深入地研究新教材的/变化0,要研究教材为何要作如此变化?如何系统地认识这一变化?在教学计划、教学方案中如何科学地体现这一变化?例如,新教材/立体几何初步0一章与/传统教材0有较大变化.在内容上,如/三垂线定理0等新教材删去了.在要求上,如/线面垂直0的判定定理,教材是通过/直观感知0和/操作确认0归纳得到的,删去了难度较高(繁)的证明.在新教材与传统教材的变化中,我们要看到/变化0的原因、/变化0的目标和/变化0的科学性.同时,我们还要看到/变化0中/不变0的东西,那才是有力量的数学教学的高度表现.正如新教材/立体几何初步0有一些变化,包括呈现形式.但是,我们必须认识:学生学习/立体几何0的认知规律是不变的,在传统的立体几何教学中优秀的教学经验(教学的灵魂)是永恒的.笔者痛心地看到这样的教学行为:教师/发现0教材降低了/线面平行0、/线线平行0的要求,发现教材上的呈现方式简单,一节课处理完了这部分内容.教师在课堂上的表现是认真的,勤奋的,但学生思考的时间、领悟的时间少了.虽然这部分内容降低了一些要求,但学习理解,准确掌握这些定理及其初步应用需要一个过程,需要学习的时间.热闹的交流不能替代学生心灵的实践与思考.这种违反认知规律的教学,其课堂上的交流必定是肤浅的、浮躁的,学生的讨论必定是低效的,,如何发展学生的知识,如何发展学生的能力,如何发展学生的素质,这是/现代0与/传统0永恒的主题,是有质量的数学教学的根本目标./传统0的教学理念中有许多优秀的内容(思想)需要继承和发展,它是新课程/现代0的教学理念的重要组成部分.同样,/传统0的教学内容中有许多是新课程继续保留的内容.它们是相互联系,又有区别的.新课程是在不断发展,经过不断否定的过程而呈现在我们面前.改革需要理性和勇气,继承传统同样需要理性和勇气.正如香港大学梁贯成先生所说/,,另一种危险是我们简单地跟随国际潮流,结果丢掉了我们自己的优点.在我们的文化中,长期存在的弱点需要巨大的勇气来改变.但是我们需要更大的勇气来抵制那些-发达.国家中正在发生的变化,并且坚持一些传统价值来保持我们的优点;最为困难的是区别什么该改变,而什么不应该改变!02数学教学)))我们要给学生什么/数学是人类最高超的智力成就,也是人类心灵最独特的创作0(克莱因).那么数学教学如何也体现心灵的最独特的创作呢?从数学的本质和新课程一切为了学生发展的理念出发,数学教学必须关注三个问题:如何振奋学生精神?体现文化的教育.如何发展学生的数学能力?体现思维品质的教育.如何培养学生对数学美的鉴赏和追求?体现科学与艺术的教育.从新的视角来思考如何发展学生的知识、如何发展学生的能力和如何发展学生的素质,对当前的数学教学有一定的指导意义.211数学教学要给学生一种精神苏霍姆林斯基说:/教育的艺术就在于能看到取之不尽的人类精神世界的各个方面0.数学精神体现了人类追求/真、善、美0的崇高精神.如何培养学生奋发向上的精神,如何培养学生求真、求实的品质,如何培养学生良好的心理素质,是数学教育智慧的重要内容.人在未来的发展中必须具备一种奋发向上的精神,缺乏这种精神,任何人在多变、多险的世界上难以有所发展,难以生存.任何一种教育,能给学生这种精神,就是成功的教育.这就是教育的意义.我们要在努力体现数学文化的教育上下功夫.教学中,教师能从文化的高度,让学生欣赏数学,欣赏新课本上一些美妙的定理与概念,使学生透过历史上这些光辉灿烂的定理的证明、优美概念的形成过程,看到人类生生不息,为之奋斗的历史画卷.这是呼唤人心灵的教育,这样的教育更象/春风化雨0,不是刻意的教学安排,而是教师教育思想的自觉实践,是我们教师在研究新课程、研究学生、研究教法的过程中生成的教育智慧.有位名师执教了/函数的概念0,赶来听课的老师激动不已:/我们看来简单的内容,原来那么富有诗意0./名师0是如此震撼学生心灵的.名师先声引人,先声夺人;名师似行云飘逸,引领学生对美的追求;名师深入浅出,学生感到春雨般的滋润;学生和名师共鸣,整个课堂教学不是简单的教的/活动0,是/教化0的活动.后来名师在说课时告诉大家,备这节课花了一个小时,也可以说是花了一辈子的时间.因此,能走进学生心灵,震撼学生心灵的教学一定是富有教育智慧的教学,一定是经过老师不断学习、不断反思、不断研究生成的智慧.212数学教学要在发展学生的数学能力上下功夫新课程提出的/倡导积极主动,勇于探索的学习方式0理念,要求我们教师在发展学生的数学能力、发展学生的思维空间、发展学生的创新意识上加强研究,积极探索.数学能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识,发展学生的思维能力是数学教学的重要任务.数学思维能力是以数学知识为素材,通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面来表现的.培养创新意识是理性思维的高层次表现.如观察、猜想、类比、抽象、概括、证明等是合情推理能力的基本要素.著名数学家曹广福先生说/任何一门科学如果没有了猜想,没有了合理推理,就不可能有发展0.因此,如何发展学生的理性思维(只强调数学的严格思维训练和培养逻辑思维是不够的,甚至会形成呆板的思维习惯),新课程丰富了它的内涵,也提出了更高的要求./再创造0就是一个很有意义的教学方法.这里所提出/再创造0是笔者近十多年来教学实践的总结,与弗兰登塔尔的/再创造0意义不尽相同,是广义上的/再创造0.首先是指教学中,教师要把握时机,展现数学家的思维过程(创造过程),让学生感受、亲历数学家真实的思维过程,看到数学家当初是如何进行分析,归纳,抽象,论证的,是如何进行判断,绕过障碍,走向成功的.这是培养学生数学能力、数学品质并结合教材的朴素而又科学的方法.其次是指教学中,教师让学生展现自己的原思维过程.再次是指教学中,真实展现教师自己的思维过程,尤其要真实展现教师的错误的思维或无效的思维过程,并让学生评价错误的原因、无效的原因,引出问题:如何避免这样的错误思维或无效思维?如何提高思维的有效性?这样的/再创造0展现了数学家、教师和学生的真实的思维情景,展现了数学研究是如何从失败走向成功的过程,充分暴露了教师或学生思维中的曲折或错误的情景,并让学生看到改正错误、调整方向的思维过程.这样的/再创造0能使学生始终处于积极的状态,师生之间的交流是心灵间的交流,学生的思维容量增加了.日本教育家米山国藏认为:/成功的数学教育应当是数学的精神,思维方法深深地永远地铭刻在学生的头脑里,长久活跃于他们的日常业务中,虽然那时,数学的知识已淡忘了.0发展数学能力就是要发展学生未来发展所需要的能力.213数学教学应该是培养学生对数学美的鉴赏和追求、体现科学和艺术的教学培养学生对美的鉴赏与追求,对数学美的认真审视和正确运用,是富有智慧的教学的高度表现:它能培养学习兴趣,培养教学能力,它能让学生受到艺术的感染,提高发现能力和积极的人生态度.数学美包含数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题和数学模型的概括性、典型性、普通性、奇异性等.在教学中充分发挥数学的美育功能,对培养学生的审美情感、审美能力,对培养学生的创新素养,对学生的发展将起到多方面的作用.新课程强调/问题情境0、/概念形成0、/定理证明0、/方法产生0和/数学应用0等等,这些内容都蕴含着/数学美0.培养学生对美的鉴赏和追求就是一种教育智慧,正如著名数学家徐利治所说,数学教育与教学的目的之一,应当让学生获得对数学美的审美能力,从而既有利于激发他们对数学科学的爱好,也有助于增长他们的创造发明能力.新课程强调数学的应用,无疑是正确的.如何体现数学的应用之美?一些关注社会发展、科学发展的应用问题还不多,近几年的高考命题在这方面作了积极的探索.但有些教师对数学/应用0的认识存在问题.为了应用而应用的现象很严重,如编制的或选讲的应用题不贴近学生,让学生望而生畏;或者题干冗长,牵强附会,要花费很长的读题时间,学生读而生厌.等等,这些必须引起我们的思考:¹你给出的/应用问题0真正体现了数学的应用了吗?会不会是假应用?º你给出的/应用问题0能培养学生的数学应用意识吗?»你给出的数学/应用问题0会引起学生对数学学习的兴趣吗?如果不是,不妨远离这些除了让学生讨厌数学外没有其他作用的所谓的/数学应用问题0.一流的数学大师总在提醒人们:简单就是美.希尔伯特的二十三个著名问题,每一个的表达都是简单明了.数学应用意识能力的培养不应成为学生学习数学的新的障碍和负担,应在教学活动(包括考试)中自然、轻快地进行,应成为提高学生学习数学的热情与兴趣的一个新的内容,新的方法.千万不要成为数学学习的一个新杀手.课改必须进行理性的思考,高考必须作积极引领.什么样的应用题是优秀的应用问题,是可以作为例题选讲的或可以作为试题考查的?哪些应用题只能作为研究性学习的内容,让学生在课外实践活动中完成,或部分完成,重在过程中培养应用能力.因此,应用能力的培养在课堂内,必须是简单明了的应用问题为主,在课堂外可以结合/社会实践0、/研究性学习0每学期开展一些活动,真正成为学生欢迎的数学学习的一个新内容.法国数学家庞卡莱说:/数学象绘画与音乐一样,使他的信徒得到欢快.他们赞美数与形那种奇妙的和谐;当一个新发现向他们展现出一片总想不到的景色时,他们为之惊讶;他们感到快乐,即便不说有什么意义,难道不具有一种关系特征吗?0数学美给学生的影响是广泛的,深远的,它是我们数学教育工作者永远要研究的课题.3新课程背景下理想的数学教学的思考什么是有效的数学教学?什么是充满生命活力的课堂是新课程背景下理想的数学教学的核心内容.离开/有效0谈/理想0是脆弱的.没有/活力0,追求理想是缺乏生机的.311有效的数学教学有效的数学教学首先是教师教育哲学的问题.教学生什么?如何教学生什么?教学生如何学什么?这是有效教学的根本问题.例如:新教材对三角公式/c os(A-B)=cos A# c os B+sin A#sin B0的教学.有位教师机械照搬新教材的/引入情境0,近20分钟的/引入0反而使学生感到迷惘,教师的/辛勤工作0偏离了教学重心.也有教师改进课本上的问题情境,设计新的引入方案,重点放在如何教学生学习/cos(A-B)= c os A#cos B+sin A#sin B0的证明及基本应用,同时也突出数学思想(构造、转化)的应用.整个教学过程,教学主线明确,教师的主导作用、学生的主体性在数学学习活动中很好体现,教学效果受到人们的充分肯定.其次,倡导新型的教研文化是有效的数学教学的根本保证.文化是灵魂.新的教研文化是让教师积极参与新课标、新教材研究,并促进每一位教师发展的文化.它强调教师合作学习研究与个人学习研究同等重要.教师在教研活动中真正感受到这样的/研究0能使自己看清了方向,在和同伴的不断交流、反思中发现教学中的问题、发现解决问题的方法.这样的教研活动促进了教师对数学新教材的理性思考,是/有效备课0的组成部分.同时,我们要强调教师个人的研究.要做到三个研究,一是研究课标和教材,教师仅仅对/新教材0的观点、思想的研究是不够的,还必须研究专家对/新教材0的内容、观点和思想的理解是什么?许多专家(包括一线的特级教师、学科带头人等)在新课程的各个层面进行了研究,对新课程理念、新教材内容变化、重点问题的认识等,提出了许多有价值的观点和思想,应引起我们高度重视.第三个研究是教师基于前面二个研究的基础上而进一步得到的对新教材的自我认识和研究,这种/再研究0,是教师自己的思想和创造,由此实施的教学才是有质量的教学,才能真正处理好生成性教学目标与预设性教学目标之间的辩证关系,才能真正处理好内适质量、外适质量和人文质量三者之间的辩证关系,才能真正处理好/学0、/导0、/教0三者之间的辩证关系.再次,有效的数学教学必须在教学的每个环节上体现教师的创造性.例如,有效的/问题情境0创设.有效的/问题情境0是指能激发学生兴趣、激发学生思考的一种问题模式.要研究/问题情境0的价值,为什么要引入这一问题情境?什么样的问题情境才是有效的?反对浮躁,即反对把问题情境当作一种时尚,反对把问题情境/八股化0.新课引入的问题情境,要蕴含数学的思想、数学的本质,并能很好地贴近学生,从而起到先声夺人、发人深思的效果.低质量的/情境0设置会引起学生思考/乏味0,不如/开门见山0、/直奔主题0.培养/探究0的/问题情境0,首先必须是问题要有典型,要有思想(有典型才行,有思想才灵).其次是问题的设计要符合学生的认知规律,要符合/最近发展区0理论.学生由问题引起认知冲突、思维碰撞,由此广泛的展开师生交流,在探究的过程中培养创新能力.但我们要避免/开放过度0的问题情境,要避免/探究无力0和/探究无味0的/问题情境0./探究无力0是指教师设计的/问题情境0超越了学生生活背景,认知水平,从而导致学生/无力探究0,影响课堂效率./探究无味0也是一种/浪费0,所给的问题情境缺乏探究的意义,仅仅是在问题中贴上了/探究0的标签.正如一些考题很时尚的标上/请学生探究,,0,去掉这句话,还是原来试卷上、课本上的问题.因此,有效的问题情境的创造必须研究二个关键问题:一是问题的/研究性0能否引起更多学生的兴趣,引起更多学生的深入思考,从而有效的培养学生发现问题,研究问题的科学素养.二是问题的/障碍性0与学生的认知水平是否辩证统一,会不会严重阻碍学生的接受与兴趣,影响研究质量和效率.教师在教学的每个环节上要体现自己的研究与创造,还包括:/有效的提问0、/有效的合作、交流0、/有效的例题0、/有效的思维训练0、/有效的归纳0、/有效的评价0等.由此进行的师生之间的交流是心灵的交流,使师生心灵的目光穿越无限的时空.这是数学教师教学艺术的具体表现.正如N#布特勤所说:/现代数学,这个最令人惊叹的智力创造,已经使人类心灵的目光穿过无限的时间,使人类心灵的手延伸到无边无际的空间.0312理想的数学教学是让课堂充满生命活力的教学31211我们要关注每一个具体的学生.即我们教学活动的设计、实施要关注每一个具体学生的今天和明天的发展.课堂教学要研究每一个学生对教学的每一个内容的心理反应,数学教学要给每一个学生一片阳光,努力做到每一个概念的学习,每一个问题的研究能在不同程度唤醒学生的心灵,并成为学生难忘的经历.31212教学方式的转变、学习方式的转变是课堂充满生命活力的重要特征.31213师生共同发展是课堂充满生命活力的高度表现.数学教学是一门遗憾的艺术,因此,探索理想的数学教学是一个永无止境的过程.4结束语国学大师王国维在/人间词话0中说:/诗人对宇宙和人生,须入乎其内,又须出乎其外.入乎其内,固能写之;出乎其外,固能观之.入乎其内,故有生气;出乎其外,故有高致.0面对课改,深入地研究/高中课改新理念0与/我国优秀的数学教育传统0如何更好地整合与渗透,就是/入乎其内0./出乎其外0,就是要求我们跳出课改看课改,要求我们站在历史与民族未来前途的高度,审视新课程改革,要在不断实践与研究中看到成绩的同时,更要看到存在的问题,尤其要看清存在的问题中的核心问题)))新课程背景下的数学教学的质量问题(指体现知识、能力、素质和谐发展的质量).从而使我们看清方向,使我们的实践和研究更有意义,更有高度,更有力量.参考文献1郑毓信.数学课程改革:路在何方?中学数学教学参考,2006, 1-22钱佩玲.新课程理念下的双基教学.数学通报,2004,43章建跃.数学教育改革中几个问题的思考.数学通报,2005,7 4祁平.文化观下的数学教学的实践与思考.数学通报,2003,1。
实验探究的智慧之花在课堂绽放———一堂高三数学实验探究课赏析吴 锷 （江苏省苏州第十中学 ２１５００６）背景 能否将数学实验探究引入高考复习，目前大家对此意见不一，心存疑虑，是否会占用复习时间，影响复习效果，耽误复习进度，以及复习中怎样选择适合学生探究的内容等．针对这样一种现状，苏州市教科院在高三数学复习课中引进数学实验与探究方面进行了探索与尝试，２０１３年１２月１１日在苏州中学举行了专题研讨会，市教科院院长祁平先生选择了苏州中学高三文科班开设了一堂别开生面的高三数学实验探究示范课，旨在高三复习后期帮助学生克服复习倦怠，为学生营造开放式的数学学习环境，加速数学知识的迁移和促进数学知识的同化，激发学生学习数学的兴趣． 笔者应邀参加了苏州市教科院在苏州中学举行的数学实验探究的专题研讨活动，观摩了市教科院院长祁平先生在苏州中学高三文科班上的一堂别开生面的高三数学实验探究课，享受了一次数学思维的盛宴，祁平老师的教学智慧让我深受启发．现将部分精彩片段以及本人的一些感悟整理出来，与大家分享．１ 精彩教学片段回眸与赏析问题１ 动点犃（狓，狔）在圆狓２＋狔２＝１上，点犃绕坐标原点犗按逆时针匀速旋转，１２秒钟旋转一周，已知狋＝０时，犃在点（１２，槡３２）处，则当０≤狋≤１２时，动点犃的纵坐标狔关于时间狋的函数的单调增区间为 ．师：请生１对着大屏幕朗读题目，其他同学随着生１的读题思考本题并试着说出解题思路．生２：要求出动点犃的纵坐标狔关于时间狋的函数，由于点犃在圆狓２＋狔２＝１上，我想可以利用正弦函数．图１教师根据生２的思路画出单位圆，生２在黑板上进行标注（图１）．生２：因为点犃绕坐标原点犗按逆时针匀速旋转，１２秒钟旋转一周，所以θ＝２π１２狋＝π６狋，此时函数的表达式为狔＝ｓｉｎ（π６狋＋π３），利用正弦函数的单调性可知其增区间为［０，１］和［７，１２］．师：同学的想法很好，能很快联系三角函数，说明我们对课本知识掌握得比较到位．但对于一个填空题，要在较短的时间较快地解决问题是我们十分关心的一个问题．当动点犃在圆周上运动，我们把目光盯紧函数值狔的变化，会有什么发现呢？这个问题引发了同学们的积极思考，纷纷在草稿纸上作出犃点的纵坐标狔，同学们惊讶地发现，由于１秒钟转过３０°，因此当０≤狋≤１和７≤狋≤１２时，函数值狔随着时间狋的增大而减小，通过尝试与观察快速地解决了这个问题．师：从同学们笑容里，我读到了同学们通过自己的观察和模拟而解决问题的兴奋．其实生２所给出的方法也是很好的，如果我把题目改成“求函数犳（狋）的解析式”，那么用刚才实验的方法就不怎么好处理了．赏析 问题１在本节课中起到了抛砖引玉的作用，祁平老师的本意应该希望学生上来就能够通过动点在单位圆上的运动而观察猜想出结果，而生２的解法游离了教师的预设，此时，教师没有立刻拉回来，而是机智地顺着学生的思路，让方法回归课本，起到了预料之外的效果．由于有了解法比较，让同学们更感受到实验探究的作用，激发了学生学习的兴趣和热情，为后续问题的展开奠定了基础．问题２ 已知犪＞０，犫＞０，犮＞０，犪２＋犫２＝犮２，当狀＞２且狀∈犖 时，试比较犮狀与犪狀＋犫狀的大小．（有了解决问题１的经历，当同学们看到这个问题的时候，就显得成熟了很多，临近的同学在一起纷纷讨论……）生３：等式犪２＋犫２＝犮２两边同除以犮２，可以得到（犪犮）２＋（犫犮）２＝１，所以０＜犪犮＜１，０＜犫犮＜１，由此猜想犪狀犮狀＋犫狀犮狀＜１．师：这是一个大胆的猜想，你们能证明吗？请回答．生４：是不是可以把它看成指数函数，利用其单调性来证明，就是设狔＝（犪犮）狓，由条件可知是减函数．又狀＞２，所以（犪犮）狀＜（犪犮）２，同理（犫犮）狀＜（犫犮）２，故犪狀犮狀＋犫狀犮狀＜（犪犮）２＋（犫犮）２＝１．师：这个方法突出了函数的思想和观点，能够如此联想和知识迁移，说明这位同学对这个问题真正理解了．（同学们掌声予以鼓励和祝贺……）师：对于这一问题，同学们还有没有其它的想法和思路？生５：刚才我和边上的同学讨论，发现由条件犪＞０，犫＞０，犪２＋犫２＝犮２，可以构造一个直角三角形，取特殊值犪＝３，犫＝４，犮＝５，尝试计算后得出犪狀犮狀＋犫狀犮狀＜１．再联想到可以设犪＝犮ｃｏｓθ，犫＝犮ｓｉｎθ，问题就转化为证明（ｃｏｓθ）狀＋（ｓｉｎθ）狀＜１．师：刚才生５的方法，瞻前顾后，体现了从特殊到一般的数学思想，“观察、猜想、验证”这也是人们思考和解决问题的最常见的哲学观点．赏析 祁平老师设计的这一问题，为学生营造了一个可以展开试验———猜想———证明的探究环境，从课堂观察的角度来看，学生在教师所营造的实验氛围中，合作学习互相鼓励，教师在教学中不断地点拨和引导，拓展了学生的视野；教师的适时鼓励，激发了学生的学习热情；不同的探究角度，催生了不同的解题思路；数学的思想和方法在解决问题的过程中得到了有效的渗透．问题３ 数列｛犪狀｝中，已知犪１＝１２，犪狀＋１＝狀犪狀狀＋１狀犪狀＋１，求数列｛犪狀｝的前２０１３项的和．师：请同学们认真读题、审题，选择实验的目标，探索其解题的途径．（学生合作讨论，分外热烈，教师巡视，适时点拨……）生６：我研究了题目的结构特征，发现两边取倒数就可以转化成一个等差数列．我的解题思路是这样的：１犪狀＋１＝（狀＋１）（狀犪狀＋１）狀犪狀，即１（狀＋１）犪狀＋１－１狀犪狀＝１，故｛１狀犪狀｝成等差数列，我用狀＝１，２，３代入计算后，猜想这个数列的通项公式是犪狀＝１狀（狀＋１），其前２０１３项和为２０１２２０１３．师：生６两边取倒数是一个实验的手段，抓住了题目的结构特征，解法体现了转化与化归的数学思想．事实上，像形如犪狀＋１＝３犪狀＋１的结构就可以猜想它与等比数列有关．赏析 祁老师的讲解过程详略得当，该讲的时候讲透，可以放的时候就一放到底，自始至终在引导学生关注题目的结构特征，创设思维环境，渗透化归的思想，帮助学生寻找和选择实验的目标，适时点拨方法，这样的高三复习效果事半功倍．问题４ 已知点犃（４，０），犅（４，４）为正方形犃犅犆犇的两个顶点，直线犾１，犾２将正方形犃犅犆犇的面积四等分，且犾１过点犕（３２，３），求直线犾２的方程．师：这题有很多方法可以解，就看同学们从什么角度选择怎样的目标去观察和分析．生７：直线犾１，犾２将正方形犃犅犆犇的面积四等分，我猜想应该是直线犾１，犾２的交点过正方形的中心犘．师：这是一个非常好的想法，充分利用了正方形中心的对称性，那么由直线犾１的定位，怎样确定犾２呢？生７：根据对称性，只要△犘犈犆与△犘犉犅全等就可以利用犈点的坐标确定犉的坐标，这样犾２的方程就可以确定了．生８：我的方法比生７的要简单一点，是这样的：实验操作也是利用正方形的对称性（如图３），只要利用△犘犈犌与△犘犉犎面积相等，同样利用犈点的坐标确定犎点的坐标，这样犾２的方程就可以确定了．运算要比生７的简单．图２ 图３生８的方法让同学们非常激动，报以热烈的掌声……师：讲得非常好，对称是数学之美，抓住了对称这一核心，利用数形结合问题就顺利解决了．赏析 从课堂观察的角度看，祁平老师设计的这一问题给学生留下了广阔的思维空间，让学生在动手操作中享受了数学的对称之美，同时也让学生感受到同样是数形结合，不同的处理方法其效果也大不一样．学生创造性研究获得了满堂喝彩，我认为这就是祁老师所期待的教学效果．问题５（２０１２年江苏卷）已知椭圆狓２２＋狔２＝１的左、右焦点分别是犉１和犉２，设犃，犅是椭圆上位于狓轴上方两点，且犃犉１∥犅犉２，犃犉２与犅犉１交于点犘．（１）若犃犉１－犅犉２＝槡６２，求直线犃犉１的斜率；（２）求证：犘犉１＋犘犉２为定值．师：这是一道江苏卷的考题，其运算量之大难倒了很多优秀的考生．（大屏幕展示考试中心提供的标准答案，学生一片惊讶……）图４ 图５ 师：同学们请先研究第（１）小题，怎样化难为易，简化计算过程呢？同学们要抓住所给图形的结构特征进行探究．（围绕怎样求犃犉１和犅犉２，学生讨论……）生９：为了求犃犉１的斜率，我的思路是设其斜率为犽，因为犃犉１∥犅犉２，写出犃犉１和犅犉２的直线方程，与椭圆方程联立求出犃，犅的坐标，其中都是关于犽的式子，由犃犉１－犅犉２＝槡６２，斜率犽就出来了．同学们议论着，一致认为生９的方法运算太繁了，没有信心做下去．师：生９的方法是一个常规解法，确实运算量比较大，特别是在高考所指定的短时间内完成有难度．师：对于这个问题，如果仅从常规计算的思路去求解，确实困难重重，但如果我们从整体及其几何特征去观察和分析，设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），发现延长犅犉２交椭圆于点犆（狓３，狔３），由椭圆的对称性可知犃与犆关于原点中心对称，则犆（－狓１，－狔１），易得犉２犆＝（１－狓３）１＋犽槡２，犅犉２＝（狓２－１）１＋犽槡２，所以犃犉１－犅犉２＝犉２犆－犅犉２＝１＋犽槡２［２－（狓２＋狓３）］＝槡６２，这样我就只要利用狔＝犽（狓－１），狓２＋２狔２－２＝０｛，得出（１＋２犽２）狓２－４犽２狓＋２犽２－２＝０，将狓２＋狓３＝４犽２１＋２犽２代入就可以快速求得犽＝槡２２．教室里响起了长时间的掌声，同学们为祁老师充满美感的创新解法而喝彩，兴奋之情难以言表．师：想到了对称，数学的美感和魅力犹然而生，刚才的解法是通过对称性将“松散的犃犉１，犅犉２”的问题转化为有联系的“犆犉２，犅犉２”的问题，这是高质量的运算和有思维的运算，高考非常注重这样的创新能力．对于第（２）小问，同学们有什么想法呢？生１１：犘犉１＋犘犉２为定值槡３２２．师：为什么？生１１：我令犘犉１⊥狓轴，由条件可知犘犉２⊥狓轴，犘犉１与犘犉２的交点在狔轴上，这样就得出了犘犉１＋犘犉２＝槡３２２．师：那么同学们怎么证明这一结论呢？生众：要证明点犘在椭圆８狓２９＋８狔２＝１上．（下课铃声响起，同学们意犹未尽……）师：同学们，猜想为我们打开了解题的大门，由犘犉１＋犘犉２＝槡３２２联想到证明点犘在椭圆上为我们提供了解题的思路与途径，这一问题的证明留给大家课后研究．赏析 在解题过程中，如何灵活自如、不失时机地调整视角，不但可以曲径通幽，使“难”题不难，而且能独辟蹊径，达奇思妙解之效果．对同一数学表达式用不同的“眼光”去观察，用不同的观点去分析解题过程，用不同的眼光审视同一个表达式，从不同的角度理解它，联想它在不同背景中的含义，就能迅速找到解题“入口”，得到各种解法，数学解题的视野由此而变得越来越开阔．祁平老师选择了这一经典的高考题作为本节课的高潮，优秀试题的“迷人风光”和高层次的理性思维给同学们留下了深刻的印象．在祁老师的启发引导下，同学们感受到了数学解题中化难为易、追求简单的思维方式，让学生对数学之美有了更高的认识，从情感、直觉，尤其是审美的角度来认识数学美（简单美、对称美等），对激发学生的学习热情和学习质量具有独特的意义．２ 课堂特征与教学特色富有思维和审美品位的数学课堂就像一首唱响主旋律的优美的歌，祁平老师的这节数学实验探究的高三复习课，就是一个追求简约，充满美感、充满活力的数学课堂，处处闪烁着数学思想的光芒．祁老师的课堂特征可以用２４个字来概括，即“有疑问、有沉思、有猜想、有想象、有联想、有争议、有惊讶、有笑声”，是一个具有生命活力的课堂，充满幸福感的课堂．其主要的教学特色可归结为以下几点．（１）感受数学直觉，适时回归课本本节课祁平老师把看似互不关联的几个问题，用数学实验的思想和方法把它们串在了一起，从不同的角度引导学生对这些问题进行实验和探索，处处让学生感受数学直觉，每一个发现总是想方设法尽量让学生得出来，教师的作用就是引导，在关键处导一导、推一推，打造出一幅“涓涓细流润芬芳”的美好图景，让学生在动手实验的过程中自然地解决问题，祁老师的预设在课堂里产生了许多意外的生成，如问题１的研究引发了如何求三角函数的解析式，又如问题５求弦长的方法体现了通性通法，而回归椭圆的定义又回到了课本的原点．这种高三复习课的处理方法体现了源于课本，又高于课本的教学策略．（２）突出学生主体，培养思维能力祁平老师这节课所设计的所有问题，以及围绕这些问题所进行的铺垫，为学生营造了一个良好的数学探索研究的平台，学生主动参与，师生互动，生生合作交流，共同探究．在教学中祁老师留给学生足够的体验、实践、认识表现的机会，让他们在实践中获得体会，学到知识，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，学生的思维能力和数学素养在课堂里得到了有效的提升．（３）追求数学本真，渗透数学思想祁平老师在教学过程中处处渗透数学思想方法，追求数学的本真，以问题为背景，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出理性的判断，鼓励学生能够更注重应用数学的观念、方法与语言去提出、分析和解决问题．通过引进数学实验，让学生体验思想的历程，品尝数学的味道，教给学生用数学的眼光、意识、思想、方法去观察、分析、解决问题所必要的思维策略，这对学生来说终身受用．（４）拓宽学生视野，彰显数学美感数学活动，实际上是一个探索自然界潜藏奥秘的过程，这本身就是一个体验美的过程经历．祁平老师这节课，自始至终充满着美感，在宏观上追求数学的理性之美、简约之美，在问题的解决过程中让学生感受数学的对称之美，方法之美．３ 关于数学实验探究的几点思考（１）“数学实验”与其他理科实验是否一样“数学实验”不同于一般的理科实验，数学实验不是简单的数学操作，数学实验是高质量的思维．“数学实验”的目标是让学生的思维启动有“理”，运行有“力”，“数学实验”使学生从“听”数学，转变为在教师的指导下“做”数学，这是一种学习方式的改变，变被动地接受“现成”的数学知识为像“研究者”一样去发现探索知识．事实证明，通过数学实验探究，学生对有关知识的印象比过去死记硬背要深刻得多，尤其是理性化的认识能力和理解能力得到提高．同时由于学生通过实验、观察、猜想、验证、归纳、表述等活动，他们不仅形成对数学新的理解，而且学习能力、数学素养得到了提升．（２）“数学实验”需要教师高超的教学艺术数学实验不是简单的师生交流，所以只提数学实验是不够的，还需要强调在教师主导下的高质量的师生“交流”．这种在实验基础上的交流，最终学生要从感性认识到达理性认识，从理解到应用，这就需要把数学作为语言符号存储在自己的大脑中，在师生交流过程中，教师容易组织起不同意见的讨论甚至争辩，也可以利用这个机会启发诱导，教师对问题的深刻阐述、机智的解题策略设计、对学生规律性错误的分析、对数学美的诠释都是十分宝贵的，这些都是数学实验所无法取代的，数学实验的展开与深入需要老师有高超的教学艺术和课堂驾驭能力，这样才能真正体现教师在数学教学中所发挥的作用．（３）数学能否深入浅出使一般人更容易理解人们普遍认为数学之所以难学，是因为数学的“抽象性“与“严谨性”，而这正是数学的优势，正由于数学的抽象性，它才能高度概括事物的本质，也才能在广泛的领域得到应用．正由于数学语言和推理的严谨，不管自然科学还是社会科学，当从定性研究进入定量研究时都求助于数学．那么数学就非得板起严肃的面孔，使人敬而远之吗？数学就不能深入浅出，使一般人容易理解吗？我们认为通过“问题—实验—探究—交流—总结—感悟—提高”这种新的学习模式，学生可以理解问题的来龙去脉，它的发现及完善过程，从感觉到理解，从意会到表述，从具体到抽象，从说明到证明．一切都是在学生眼前发生的，抽象却易于理解，严谨却合情合理．这样的数学实验缩短了学生和数学之间的距离，数学变得可爱亲近了．。
《基本不等式》教学设计一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A 版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R +≥∈.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.四．教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.五、教学过程设计1.创设情境【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.（请学生在学案上课前完成：4S S S =+大正方形直角三角形小正方形()2222142c ab a b a b ∴=⨯+-=+.） 【引言】右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.【思考1】赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你还记得这个证明过程吗？ （请学生表述推导过程，教师课件展示.）【过渡】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？【思考2】观察变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？（教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观察并归纳： 生1：4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+；生2：0S ≥小正方形，得()02≥-b a .） 【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系.【归纳】对于两直角边a b 、，有222a b ab +≥.【思考3】上式中何时等号成立？(请学生说明：当a b =时, 222a b ab +=；当a b ≠，222a b ab +>.教师归纳:当且仅当a b =时，等号成立.)【探究1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数a b 、，上式都成立吗？请证明自己的结论.（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明.教师利用投影仪展示学生的完整证明过程.强调a b =和a b ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义.）【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数a b 、，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.【设计意图】思考2请学生讨论等号成立的条件，了解“当且仅当”的含义，由于此时学生还没有学习简易逻辑的相关知识，无需从“充分必要条件”的角度加以说明.探究1给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫.在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想.2.基本不等式0,0)2a b a b +≥>> 【过渡】实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的体现，我们再看这样一个情境.【探究2】如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别为a b 、，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？（请学生自主探究完成，并说明：生1：22S S a b +=+12，32S S ab +=4，由不等式 222a b ab +≥3S S S S +≥+124得： ，当且仅当a b =时，等号 成立.生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的正方形翻折，并没有将较大的正方形完全覆盖，故：3S S S S +≥+124 ）【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为a b 、, 根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？(请学生说明：若两正方形的面积分别为a b 、，则其边长分别为b a 、，得：)0,0a b a b +≥>>当且仅当a b =时，等号成立.)【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式)0,0a b a b +≥>>，当且仅当a b =时，等号成立.【设计意图】从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式222a b ab +≥，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以运用“割补法”在图形中体现不等式222a b ab +≥.进而提出引申问题，自然地由不等式222a b ab +≥过渡到)0,0a b a b +≥>>，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式222a b ab +≥与不等式)0,0a b a b +≥>>的内在联系.【思考4】回顾不等式()0,02>>≥+b a ab b a （①）的生成过程中，你发现它与不等式ab b a 222≥+（②）有怎样的联系呢？（请学生说明： 生1：()222222244,0,0a b aba b ab ab a b ab a b a b +≥∴++≥∴+≥>>∴+≥生2：因为0,0a b >>ab 即得①式.生3：在②式中用a 代替2a ，b 代替2b 即得①式.）【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现不等式222a b ab +≥与不等式)0,0a b a b +≥>>的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的.同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯.【说明】通常我们把上式写作0,0)2a b a b +≥>>，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）【思考5】你能否证明基本不等式？（请学生思考完成.生1：（比较法）210222a b a b +-=≥+∴≥ 当且仅当a b =时，等号成立；生2：（综合法）(20a b a b -≥∴+≥当且仅当a b =时，等号成立;生3：（分析法）()()()()220a b a b a b a b +≥∴+≥∴+-≥∴≥∴+≥要证只要证只要证只要证上式显然成立。
-083-2023年第20期（总第358期）课堂在高中数学教学中，培养学生的抽象能力有助于学生有效理解教学知识和掌握数学学习方法。
但是从实际教学情况来看，当前部分高中数学教师对学生抽象能力的培养还不够重视，特别是在激发学生对数学问题的探究兴趣、引导学生深入分析与解决数学问题方面，部分教师未充分发挥引导作用，导致学生获得实践体验的机会比较少，制约了学生数学抽象能力的培养效果，这不利于高中数学教学效率与质量的提升。
对此，高中数学教师需要深入分析这些问题，采用科学合理的措施来解决问题，使学生通过高中数学学习获得抽象能力的发展［1］。
鉴于此，本文对高中数学教学中学生抽象能力的培养途径进行探究与分析。
一、抽象能力的基本内涵抽象能力就是在思维活动中通过对事物进行整体性分析，将事物本质内容提取出来形成概念和范畴的过程。
数学抽象能力以分析、比较、综合等为基础，学生在参与这些活动的过程中，可以获得更多形象了解数学知识和科学分析数学问题的机会。
二、在高中数学教学中培养学生抽象能力的作用（一）深化学生对数学知识的理解高中数学知识逻辑性和抽象性较强，学生学习起来有一定难度。
在向学生教授这些数学知识时，教师若注重培养学生的抽象能力，就能更好地引导学生对知识形成过程进行分析和推导，从而锻炼学生的数学逻辑思维能力，帮助学生更加深入透彻地理解所学的数学知识。
（二）助力学生有效掌握数学学习方法高中数学学习对学生综合能力的要求比较高，在教学中，教师通过培养学生的抽象能力，可以指导学生运用比较、分析等方法研究和讨论课堂问题，促使他们在分析与解决问题的过程中，探索出适合自己的数学学习方法，使学生获得更好的成长与发展［2］。
（三）提高高中数学教学的质量现代教育事业的不断发展，对高中数学教学提出了新的要求，教师除了教授学生知识，还要注重发展学生的学科核心素养。
在教学中培养学生的数学抽象能力，有助于学生自觉主动地参与到数学知识学习和探究活动中，建立完善的知识结构，帮助学生有效利用学过的知识、方法解决实际问题，从而提高高中数学教学的质量。
教学品质名师之路的哲学思考祁建新（原创版）目录1.引言：对教学品质的理解与名师的追求2.哲学思考：名师之路的理论基础与实践探索3.哲学思考在教学品质提升中的作用：启发性、引导性和实践性4.结论：走向名师之路的哲学思考对我们的启示正文【引言】在教育领域，教学品质一直受到广泛关注。
人们普遍认为，优秀的教师是提升教学品质的关键。
因此，探索成为名师的道路成为了许多教育工作者的追求。
然而，在追求教学品质的过程中，我们需要对教学品质以及名师的含义进行深入理解。
同时，借助哲学思考来审视这一过程，为我们提供理论基础和实践探索。
【哲学思考：名师之路的理论基础与实践探索】哲学思考是一种深入探究事物本质的方法，它可以帮助我们挖掘教学品质的内涵以及名师的价值。
从哲学角度审视教学品质，我们可以发现它不仅仅关乎教师的教学技巧和方法，还涉及教育理念、价值观、教育目标等多方面。
同样，哲学思考也使我们对名师的认识更加丰富和全面。
名师不仅具备高超的教学技艺，还需要具备教育智慧、独立思考和创新能力。
在实践探索中，哲学思考可以帮助我们发现并分析教学中的问题，从而提出改进措施。
例如，在面对教育不平等现象时，哲学思考可以引导我们思考教育公平的本质，从而提出有针对性的解决方案。
同时，哲学思考还可以帮助我们跳出传统的教育模式，从更宽广的视角去审视教育，从而实现教育的创新和突破。
【哲学思考在教学品质提升中的作用：启发性、引导性和实践性】哲学思考在提升教学品质中具有重要的作用。
首先，哲学思考具有启发性。
它可以帮助我们发现问题的本质，从而找到解决问题的方法。
例如，在面对学生学习困难的问题时，哲学思考可以引导我们深入探究学生学习困难的根源，从而提出有效的解决办法。
其次，哲学思考具有引导性。
它可以引导我们树立正确的教育观念，从而提升教学品质。
例如，在面对应试教育和素质教育的抉择时，哲学思考可以帮助我们明确教育的真正目的，从而坚定走素质教育之路的信念。
最后，哲学思考具有实践性。
关于初中数学课堂探究式教学的策略研究作者：侍富平祁世林来源：《新课程·中旬》2015年第10期摘要：初中学习在一个学生的学习生涯中起到了承上启下的作用，既是对前面小学阶段所学内容的回顾，也是为之后高中阶段的学习打基础。
初中阶段的学习对于一个学生来说是非常重要的，数学又是三大主科之一，也就成为学生初中学习的一大重点、难点。
随着国家对教育改革的政策变化，我国的“素质教育”将会逐渐取代“应试教育”，而初中数学的教学模式也必然要随之而改变，所以现阶段的教学实践探究尤为重要，只有将教学的课题探究与初中数学教学融合起来，才能在实践探索当中找到顺应改革的正确教学模式。
关键词：初中；数学教学；实践；课题探究我国对国民的教育问题越来越重视，并不停地强调对教育的深化改革，只是苦于至今都还没有找到适合中国国情和国民综合素质的改革道路。
所以，现阶段的教育改革中将“素质教育”作为重点，即要求学生在品德、素质、健康等方面共同发展。
就目前的教育改革情况而言，只有在教学中将教学实践与探究式教学相结合，才能使“素质教育”改革落到实处。
实践探究要从课堂内，课堂外，校园内和校园外同步进行，将课题探究式教学落实到工作中。
一、充分利用教学设备培养学生的探究意识如果学生在听课时候没有集中注意力，那么无论老师所讲的内容是什么，都没有意义。
故而只有让学生积极参与到课堂当中，才能达到课堂教学的最佳效果。
随着社会的发展，教学设备越来越齐全，由此在课堂教学中我们应该利用这些教学设备在有限的时间内调动学生的积极性。
各个学校都会有配套齐全的多媒体设备而且操作简单、快捷，这就为我们的课堂教学提供了有利条件。
我们可以充分利用多媒体设备，将教案制作成PPT的形式会吸引学生的注意力，这样就可以使单调的课堂变得丰富多彩。
另外，PPT演示更容易使学生对所学内容记忆深刻。
比如，在“二元一次方程”的内容中，单纯地来讲，对于学生而言，二元一次方程的内容比较晦涩难懂，很难有效掌握其知识点，但如果是利用多媒体设备直接对学生进行演示，具体的图解可以帮助学生培养空间想象力，使抽象的内容形象具体化。
