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中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析

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中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析【真题精讲】【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．CM B（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【解析】解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．A B M C N E D∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD=． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。

具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）∵4sin 5DF C CD ∠==， ∴3cos 5C ∠=， ∴310225t t -=⨯， 解得258t =． A B M CNF D② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ．则2CN CH =，∴()321025t t =-⨯． ∴6017t =． A B M CNHD③ 当MC CN =时，则102t t -=．103t =． 综上所述，当258t =、6017或103时，MNC △为等腰三角形．【例2】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。

【解析】：（1）结论：CF 与BD 位置关系是垂直；证明如下：ΘAB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。

（2）CF ⊥BD ．(1)中结论成立． 理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD 【思路分析3】这一问有点棘手，D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X 。

分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+． ②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ= ， ∴44CP x x =+， 24x CP x ∴=+．【例3】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，G A B C D E FMBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。

第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。

第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。

题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠∵M 是AD 中点∴AM MD =∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形．（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠， 60MPQ =︒∠∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)∴BMP QPC =∠∠∴BMP CQP △∽△ ∴PC CQ BM BP= ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-， A DC B PM Q 60∴444x y x -=- ∴2144y x x =-+ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。

由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X 取对称轴的值时Y 有最小值。

接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了。

由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。

（3）解： PQC △为直角三角形∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC ==∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。

如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。

当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）图3图2 图1F E A B C D A BCD E F G GF EDC BA【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。

从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。

第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。

第二问将△BEF 旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。

事实上，本题的核心条件就是G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。

连接AG 之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF 的垂线。

于是两个全等的三角形出现了。

（1）CG EG =（2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG =．证明：连接AG ，过G 点作MN AD ⊥于M ，与EF 的延长线交于N 点．在DAG ∆与DCG ∆中，∵AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，，∴DAG DCG ∆∆≌．∴AG CG =．在DMG ∆与FNG ∆中，∵DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，，∴DMG FNG ∆∆≌．∴MG NG =在矩形AENM 中，AM EN =在Rt AMG ∆与Rt ENG ∆中，∵AM EN MG NG ==，，∴AMG ENG ∆∆≌．∴AG EG =．∴EG CG =MN图2A BC D E F G【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。

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专题41 几何问题(1)之动点问题【热点专题】

专题41 几何问题(1)之动点问题【热点专题】

第七部分 几何图形综合
专题41 几何问题（1）之动点问题
数学
题型精讲
题型一：圆背景下的动态探究题 【例 1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水 轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m 的筒车⊙O 按逆时针方向
每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点 A、B 筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时 间．
PQ PQ2．在
Rt△POQ 中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形 OPCQ 的面积 S＝S△POQ+S△PCQ
可得出答案．
题型二：四边形动点探究 【例 3】（2021·山东中考真题）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 落在 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交 于点 H，与 AE，CD 分别相交于点 G，M，连接 HC （1）求证：AG＝GH； （2）若 AB＝3，BE＝1，求点 D 到直线 BH 的距离； （3）当点 E 在 BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？
【分析】（1）如图 1 中，连接 OA．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问 题． （2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，过点 P 作 PD⊥OC 于 D，解直角三角形求出 CD 即可． （3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，可得∠POH 的度 数即可解决问题．
【例 2】（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线 OM 上一点，OA＝8cm．动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速 运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以 1cm/s 的速度沿 ON 竖直向上作匀速运 动．连接 PQ，交 OT 于点 B．经过 O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、 QC．设运动时间为 t（s），其中 0＜t＜8． （1）求 OP+OQ 的值； （2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由． （3）求四边形 OPCQ 的面积．
中考数学专题复习之几何图形动点问题

中考数学专题复习之几何图形动点问题


12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二 几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值 最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延 长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二 几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N， 使得△PMN周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之 间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二 几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二 几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二 几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
(完整版)中考数学动点问题专题讲解

(完整版)中考数学动点问题专题讲解


中, 有长度保持不变的线段，这条线段是
2 21
GH= NH= OP=2.
B
3 32
(2) 在 Rt △ POH 中 ,
OH
2
2
OP PH
2
36 x ,
∴
MH
1 OH
1 36
x2 .
2
2
O
在 Rt △ MPH中 ,
MP
PH 2 MH 2
x 2 9 1 x2 1 36 3x 2 .
4
2
P
Ny x
G
MHA 图1
∴ y =GP=2 MP=1 36 3x2 (0< x <6). 33
(3) △ PGH是等腰三角形有三种可能情况 :
① GP=PH时, 1 36 3x 2 3
x , 解得 x
6 . 经检验 , x
② GP=GH时, 1 36 3x 2 2 , 解得 x 0 . 经检验 , x 3
③ PH=GH时, x 2 .
段 , 并求出相应的长度 .
(2) 设 PH x ,GP y , 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域
( 即自变量 x 的取值范围 ).
(3) 如果△ PGH是等腰三角形 , 试求出线段 PH的长 .
解:(1) 当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 , 于是线段 GO、GP、 GH
又∠ DAB+∠ADB=∠ ABC=75° ,
∴∠ CAE=∠ADB,
∴△ ADB∽△ EAC, ∴ AB BD , CE AC
D
E
B
C
图2
∴1
x , ∴y
1
.
y1
x
初中数学几何的动点问题专题练习_附答案解析版

初中数学几何的动点问题专题练习_附答案解析版

动点问题专题训练1、如图，已知ABCBC=厘米，点D为AB的中点．==厘米，8△中，10AB AC（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△的哪条边上相遇？△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．3、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．（备用图）4、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？5、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B====︒∥，，，．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN AB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．C6、如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．7、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠=，且EF交正方形外角DCG∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A DFG B图1 A DFGB图2A DFC GB图38、已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设O B x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒． ····················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯， 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ············ （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） ···· 1分 （2）86OA OB ==， 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ·································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ········· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······················· 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ······························ 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ················ 3分3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =PA =8+k .在Rt△AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3，∴PE . ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，∴△AOB ∽△PEB ，∴2,AO PE AB PB PB =，∴PB =∴8PO BO PB =-=，∴8)P -，∴8k =-.当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,8)，∴k =8，∴当k8或k=8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB =， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6.解（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.图4P图5∴AB =4,AC∴AO =12AC……………………8分 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==． ·························· 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒==··················· 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC∴43310BC BK KH HC =++=++= ················ 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==∴1037GC =-= ························· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG = ··························· 5分 即10257t t -= （图①） A D C B K H （图②）A D CB G M N解得，5017t =··························· 6分 （3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =····························· 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -== 又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD == ∴535t t -= 解得258t = ···························· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC = 即553t t -= ∴258t = ····························· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===- 解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△A DCB M N （图③） （图④） A D CB M NH E（图⑤）ADCBH N MF∴FC MCHC DC = 即1102235tt-=∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ···· 9分8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······ 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··· 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC··········· 3分 （2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·························· 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN == ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··························· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分图1A DE BF C G图2A D EBF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形． ····· 10分 9解：（1）Q （1，0） ··························· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ····················· 2分 （2） 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB = 3分 过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ， 则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ·············· 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ········ 6分 图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CPM N 图5A D EBF （P ）CMN GGRG此时P 的坐标为（9415，5310） ． ······················ 7分 （4） 当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················ 9分10.解：（1）正确． ··············· （1分） 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． （2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ······················ （5分） AE EF ∴=． ····························· （6分） （2）正确． ················· （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ． 使AN CE =，连接NE ． ··········· （8分）BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠．NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ····················· （10分） AE EF ∴=． （11分）11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ·························· 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△.AD F G B M A D FC G B N由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ······························ 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. ······················ 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠.又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OCOA OB''=，得2OC OB ''=. ····················· 9分 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016. ····················· 10分。