韦达定理在解析几何中的应

韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理步骤

1、 设直线0AxByC与曲线交于两点1122(,),(,)AxyBxy,既设而不求。

2、 直线与曲线方程联立方程组。

3、 消去x, 得到关于或y的一元二次方程.

4、 结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。

韦达定理注意与向量的联系

一，求弦长

.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式

∣AB∣=∣x1-x2∣21k=)1](4)[(221221kxxxx

或∣AB∣=∣y1-y2∣211k =)11](4)[(221221kyyyy ，

1．设直线21yx交曲线C于1122(,),(,)AxyBxy两点。

（1）若12||2xx，则||AB

10

（2）12||2yy，则||AB 102

2．斜率为1的直线经过抛物线24yx的焦点，与抛物线相交于,AB两点，则||AB= 8

例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。已知向量mxnmxny1122201101，，，，，，，（其中x，y是实数），又设向量122122mmnnmnuruuruurruurur，，且mn∥，点Pxy，的轨迹为曲线C。

（I）求曲线C的方程；

（II）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当MN423时，求直线l的方程。

例2,直线y=kx-2交椭圆x2+4y2=80交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则∣PQ∣等于___________.

练习1：过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4

二，求弦中点坐标

例4，已知直线 x-y=2与抛物线 y2= 4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________________

.7. 经过椭圆2212xy的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A、B两点. 设O为坐标原点，则OAOBuuuruuurg等于（ ）

A. 3 B. 13 C. 13或3 D. 13

练习2：求直线y=2521x和圆x2+y2=16相交所成的弦的中点坐标。

四，求曲线的方程

例5，顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为15.求此抛物线方程。

例6,抛物线 y= -22x.与过点M(0,-1)的直线L相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程.

练习4:求m的值使圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0的两个交点A、B满足OA⊥OB.

（07西二文）设直线1:xyl与椭圆)0(12222babyax相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F.

（II）若F是椭圆的一个焦点，且FBAF2，求椭圆的方程.

五、与向量的联系

（19）（本小题共14分）

已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件||||22PMPN.记动点P的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若,AB是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOBuuuruuur的最小值.

26．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(

（1） 求双曲线C的方程

（2） 若直线2:kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA（其中O为原点）求 K的取值范围 （07西二文）设直线1:xyl与椭圆222141(0)2yxbb相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F.

（I）求b的取值范围。

（05春招）O为坐标原点，过点(2,0)p且斜率为K（K为常数）的直线L交抛物线22yx于1122(,),(,)AxyBxy 两点

（1）写出直线L的方程。(2)求12xx•于12yy•（3）求证：OAOBuuuruuur