浅谈韦达定理的应用
齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你了解韦达定理吗?
的应用：
1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。
2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。
3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。
4. 一元二次方程的验根。
5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。
6. 与判别式的综合应用。
【中考真题欣赏】
例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数
根,•y 1,y 2是关于y 的方程y 2
+(2-b)y+4=0的两个根,二次方程.
解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7.
当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解.
当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,
解得y 1=4,y 2=1.
y 2-3y+2=0.
点评
本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.
例 2 (2001年四川省)已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x 1与x 2能否同号?若能同号,求出相应的m 的取值范围;•若不能同号,请说明理由.
解析 ∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m 2=0有两个非零实数根,
∴△ = [4(m-1)]2 -4×4m 2
=-32m+16≥0,
∴m ≤ 1
2
.
又x 1,x 2是方程4x 2+4(m-1)x+m 2=0的两个实数根.
∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=1
4
m 2
假设x 1,x 2同号,则有两种可能: ①若x 1>0,x 2>0,则
⎩⎨⎧+0x x 0x x 2121 即2(1)0,
10.4
m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩
∴m<1且m≠0,此时,m≤1
2
且m≠0; ②若x 1<0,x 2<0则有
⎩⎨⎧+0x x 0x x 2121 即2(1)0,
10.4
m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩
而m≤
1
2
时方程才有实数根, ∴ 此种情况不可能. 综上所述,当m 的取值范围为m≤
1
2
且m≠0时,方程的两实根同号. 点评：
存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.
【难题妙解】
例1：已知：①a 2
+2a-1=0,②b 4
-2b 2
-1=0且1-ab 2
≠0,求(221ab b a
++)2004
的值。
3
解析 由①知1+21a -2
1
a =0, 即(
1a )2-2·1
a
-1 =0,③ 由②知(b 2)2
-2b 2-1=0,④
∴1
a
,b 2为一元二次方程x 2-2x-1=0的两根.
由韦达定理,得 1a +b 2=2, 1
a
·b 2=-1.
∴221ab b a ++=[(1a
+b 2
)+ 2b a ]2004=(2-1)2004=1.
点评：
本题的关键是构造一元二次方程x 2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab 2≠0,而把a,-b 2看作方程x 2+2x-1=0的两根来求解. 例2： 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m 应当满足条件
⎩⎨⎧+=+=∆0
2m x x 02m 4-4m 212
）（ 即 (1)(1)0,
2.m m m -+>⎧⎨<-⎩
由①,得m>2或m<-1, ∴ m <-2.
(2)m 应当满足的条件是
⎪⎩⎪
⎨⎧+==+≥+=∆，，）（02m x x 0.-2m x x 02m 4-4m 2
1212
即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪
<⎨⎪>-⎩
或
∴-1.m 2-≤
(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,
(1)(1)0.m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩
即21,
2(2)10.
m m m m ><-⎧⎨+--+<⎩或
