第2章 滚动训练(二)

滚动训练(二)一、填空题1.若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为________.考点 双曲线的标准方程题点 求双曲线焦点答案 ⎝⎛⎭⎫－62，0 解析 ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62. 2.已知命题p ：1≤x ≤4，命题q ：x 2－4x ＋3>0，则p 是綈q 的____________条件. 考点 充分条件、必要条件、充要条件的判断题点 逻辑联结词和充分条件、必要条件、充要条件的判断答案 必要不充分解析 由x 2－4x ＋3>0，解得x <1或x >3，所以綈q ：1≤x ≤3，则綈q ⇒p ，但是p ⇏綈q ，所以p 是綈q 的必要不充分条件.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线方程答案 x 220－y 25＝1 解析 由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，又由一条渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝b a，解得a 2＝20，b 2＝5. 4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆方程答案 x 245＋y 236＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 将点(－5,4)代入得25a 2＋16b 2＝1. 又离心率e ＝c a ＝55， 即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， 解得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. 5.下列命题中：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题.其中真命题的个数是________.考点 命题题点 命题的否定、否命题、逆否命题答案 2解析 “∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0”为真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题为“若x 2＋x －6<0⇒－3<x <2，则x ≤2”为真命题；命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”为假命题，所以其逆否命题为假命题.6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线方程答案 x 24－y 23＝1 解析 椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274， 所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1. 7.设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率答案 52解析 联立直线方程x －3y ＋m ＝0与双曲线渐近线方程y ＝±b ax 可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由P A ＝PB ，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm 3b ＋a 2－0am 3b －a ＋－am 3b ＋a 2－m ＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝ a 2＋b 2a 2＝52. 8.已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若||k 1k 2＝14，则椭圆的离心率为________. 考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率答案 32解析 设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0).|k 1k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b 2a 2＝14，可得3a 2＝4c 2，从而e ＝c a ＝32. 9.已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则AP ＋AF 2的最小值为________.考点 双曲线的标准方程题点 求双曲线方程中的最值问题答案 37－2 5解析 由题意知，AP ＋AF 2＝AP ＋AF 1－2a ，要求AP ＋AF 2的最小值，只需求AP ＋AF 1的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则AP ＋AF 1＝PF 1＝37，∴AP ＋AF 2＝AP ＋AF 1－2a ＝37－2 5.10.设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2＝________. 考点 圆锥曲线的几何性质题点 求圆锥曲线离心率答案 2解析 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，F 1F 2＝2c ，由题意得PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，所以PF 21＋PF 22＝2a 21＋2a 22.又因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2.所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即2a 21＋2a 22＝4c 2.所以⎝⎛⎭⎫a 1c 2＋⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 二、解答题11.已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A ，B 两点，试问A ，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长.考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1， 故a 2＝1，b 2＝3，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2，∴F 2(2,0)，∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72<0， ∴A ，B 两点不位于双曲线的同一支上.∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－2)2－4×⎝⎛⎭⎫－72＝6. 12.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积.考点 双曲线的几何性质题点 双曲线中的焦点三角形(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明 方法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝2 3. ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23. kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.方法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解 △F 1MF 2的底F 1F 2＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e 的值；②若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，求椭圆离心率e 的取值范围；(2)设直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，问当点P 在椭圆上运动时，a 2ON 2＋b 2OM 2是否为定值？请证明你的结论.考点 椭圆的几何性质题点 椭圆几何性质的综合应用解 (1)①因为圆O 过椭圆的焦点，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，所以b ＝c ，所以b 2＝a 2－c 2＝c 2，a 2＝2c 2，所以e ＝22. ②由∠APB ＝90°及圆的性质，可得OP ＝2b ，所以OP 2＝2b 2≤a 2，所以a 2≤2c 2，所以e 2≥12，22≤e <1. (2)a 2ON 2＋b 2OM 2的值为定值，证明如下： 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 0－y 1x 0－x 1＝－x 1y 1， 整理得x 0x 1＋y 0y 1＝x 21＋y 21.因为x 21＋y 21＝b 2，所以x 0x 1＋y 0y 1＝b 2，同理x 0x 2＋y 0y 2＝b 2.从而直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 2.令x ＝0，得ON ＝|y |＝b 2|y 0|， 令y ＝0，得OM ＝|x |＝b 2|x 0|， 所以a 2ON 2＋b 2OM 2＝a 2y 20＋b 2x 20b 4＝a 2b 2b 4＝a 2b 2， 所以a 2ON 2＋b 2OM 2为定值，定值是a 2b 2. 三、探究与拓展14.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值为32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围为________.考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率范围答案 ⎣⎡⎭⎫35，22 解析 因为PT ＝PF 22－(b －c )2(b ＞c )， 而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1，②联立①②，得35≤e ＜22. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2).设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆几何性质的综合应用(1)解 由题意知b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32， 所以b a ＝1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，所以a ＝22，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.② 方法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3， 即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3. 由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 20－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上. 方法二 设T (x ，y ).联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3. 因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9， 即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上.。