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江西省2019-2020学年高二上学期第二次联考数学(文)试卷

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数学试卷（文 ）第I 卷（选择题)一、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.只有一个选项是符合题目要求的)1．已知命题p 为假命题，命题q 为真命题．在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，假命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④2．设,,a b c 分别是ABC ∆中所对边的边长，则直线sin 0sin sin 0bx By c Ax ay c --=++=与的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 3．下列命题中错误．．的个数是（ ） ①“2x <-”是“ln(3)0x +<”的必要不充分条件.②命题“若22x =，则x x =的否命题是“若22x ≠，则x x ≠. ③当,R αβ∈时，命题“若sin sin α≠，则αβ≠”的逆否命题为真命题.④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +<”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．()y f x =已知曲线在点/(6,(6))23,(6)(6)f y x f f =-++=处的切线方程为则（ ） A ．11-B ．18-C ．17D ．305. 已知直线()1:2400l mx y m m +--=>在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线1l 与直线2:3310l x y +-=间的距离为（ ）A B C D ．0 6．已知双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>与直线2y x =+交于,M N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为12，则nm的值是( )A B C ．12 D ．27．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（ ）A． B ． C ． D ．2+ 8．已知命题:121p m x m -≤≤+，命题:23q x x <>或，若p 的充分不必要条件是非q ，则实数m 的取值范围是（ ）.13A m m ≤≥或 .13B m ≤≤ .13C m << .D m 不存在9．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ）A ．3寸B ．4寸C ．5寸D ．6寸10．从双曲线2222=1(a>0,b>0)x y a b-的左焦点F 引圆22x a =2＋y 的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT －与b a －的关系为( )A ．|MO MT b a －＞－B ．MO MT b a －＜－C ．MO MT b a －＝－D ．MO MT －与b a －无关11．在ABC ∆中，12,AB AC BC AB AC ===+=,,E F G 分别为,,AB BC AC 三边中点，将,,BEF AEG GCF ∆∆∆分别沿,,EF EG GF 向上折起，使,,A B C 重合，记为S ，则三棱锥S EFG -的外接球表面积的最小值为( )A ．92π B ．16π C ．18π D ．36π12．已知直线:10l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(1)(1)4C x y -+-=交于M 、N 两点．若存在11,2k ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，使得AM NB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是( )A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭第II 卷（非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．已知函数()f x 可导且/(1)2f =-，则()()11lim2x f x f x→--= ____________.14. 在三棱锥P ABC -中，PB BC,PA AC 4,PC 2====，若过AB 的平面α将三棱锥P ABC -分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的余弦值为____________.15．过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则OFAF=____________. 16．已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,点P 在椭圆C 上，线段2PF与圆：222x y b +=相切于点G ，若G 是线段2PF 的中点，e 为椭圆C的离心率，则223a e b+的最小值是_____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17．（本小题共10分）已知函数()31f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程； （2）求过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程．18．（本小题共12分）定义:圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比λ”.(1)设圆220:(2)1C x y -+=，求过点P ()10-，的直线关于圆0C 的距离比λ=(2)若圆C 与y 轴相切于点A ()03，，且直线y x =关于圆C 的距离比λ=求出圆C 的方程. 19．（本小题共12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB DM PA ∠=︒⊥，，4PA PD AB ===，M 为BC 中点． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点M 到平面PBD 的距离．20．（本小题共12分）在多面体ABCDEF 中, //,DE AF DE ⊥平面,5ABCD EC =,BF =,四边形ABCD 是边长为3的菱形. （1）证明: BD CF ⊥；（2）线段CD 上是否存在点G ,使AG ∥平面BEF ,若存在,求CGCD的值；若不存在,请说明理由.21.（本小题共12分）已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=. （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； 22．（本小题共12分） 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．（1）若点A 的横坐标为3，且||FA 与双曲线22:14x M y -=的实轴长相等，求抛物线C 的方程；（2）对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥， ①求证：点P 的坐标为0(,0)x -；②求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.文科数学参考答案1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．B 9．A 10．C. 11．B 12．C13． 115．34 1617.解：（1）由()23f x x '=，()00f '=，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为1y =．.......................5分（2）设切点的坐标为()300,1x x +，则所求切线方程为()()3200013y xx x x -+=-代入点()1,1的坐标得()3200031x x x -=-，解得00x =或032x = ．.......................8分 当032x =时，所求直线方程为274230x y --=,当00x =时，所求直线方程为1y = 所以过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程为274230x y --=或1y =．....................10分18. （1）设过点()10P -，的直线方程为(1)y k x =+， 由圆220:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为1r =，=k =所以所求直线的方程为x x 或．．.......................6分 （2）设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得222(3)a b r +-=……①，a r =，……=……③由①②③联立方程组，可得3,3,3a b r =-==或1,3,1a b r ===，所以圆C 的方程为()()22339x y ++-=或()()22131x y -+-=．．..................12分 19. 解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，∴BCD 是等边三角形，又M 是BC 的中点， ∴DM BC ⊥，又//BC AD ， ∴DM AD ⊥， 又DM PA PA AD A ⊥⋂=，，∴DM ⊥平面PAD ，又DM ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．．.......................5分 （2）取AD 的中点H ，连接PH BH ，，∵44PA PD AB AB BD AD ======，，∴PH AD ⊥，且PH BH ==由（1）可知平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PH ⊥平面ABCD ，故PH BH ⊥，∴PB =4PD BD ==，∴12BDPS=⨯=．.......................8分 设M 到平面PBD 的距离为h，则13M PBD V h -=⨯=又112324M PBD P BDM V V --==⨯⨯⨯=，4=，解得h =． ∴点M 到平面PBD ．．.......................12分20.解：(1)证明:连接AC ,由DE ⊥平面,//ABCD DE AF ,得AF ⊥平面ABCD , 又BD ⊂平面ABCD 所以AF BD ⊥, 由四边形ABCD 是菱形,得AC BD ⊥,又,AC AF A AC ⋂=,AF ⊂平面ACF 所以BD ⊥平面ACF ，因为CF ⊂平面ACF ,所以BD CF ⊥.．.......................5分(2)解:存在这样的点G ，且23CG CD =.证明如下: 连接AG 交BD 于M ,过M 作//MN DE 交BE 于N ,连接FN .因为23CG CD =,且DMG BMA ∆∆∽，所以34BM BD =. 因为//MN DE 所以34MN BM DE BD ==,即34MN DE =. 因为DE ⊥平面ABCD ,5,3EC CD ==,所以4DE =,所以3MN =. 因为//DEAF ,3BF AB ==,所以3AF =.于是//MN AF 且MN AF =,所以四边形AMNF 为平行四边形， 于是//AM FN ,即//AG FN ，又FN ⊂平面BEF ,AG ⊄平面BEF ,所以AG ∥平面BEF ...................12分21. （1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124QF QF F F +=>． 由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2a =，c =所以曲线C 的方程是：2214x y +=；................ 4分（2）由题意可知：()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ，当AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：()222148440k x kmx m +++-=， 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k-⋅=+④，..................7分 因为0MA MB ⋅=，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，()()()()2212121110k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：()()()2222244811101414m km k k m m k k --++-+-=++，（有公因式1m -）继续化简得： ()()1530m m -+=，35m =-或1m =（舍）， 当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x = (11)分过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；...................12分 22解：（1）由题意，知,0,|22()|3p p F FA =+，∵||FA 与双曲线22:14x M y -=的实轴长相等，∴342p+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =．...................3分（2）①设直线AB 的方程为：()00x my x m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩得：20440y my x --= 012x ≥ 2016160m x∴∆=+> 1212044y y m y y x +=⎧∴⎨=-⎩ 设(),0P P x ，则()22,P PE x x y =--，()11,P PA x x y =-,,A E P 三点共线即//PE PA ()()21210P P x x y y x x ∴-+-=即()()221212211221121244P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==1240y y m +=≠ 0120444P x y yx x -∴===- ()0,0P x ∴-得证. ..................7分②EPB ∆为等腰直角三角形 1AP k ∴= 即()()()()12121222121212124114y y y y y y x x y y y y y y +++===-+-- 124y y ∴-= ()22121204161616y y y y m x ∴+-=+=，可得：201m x =-20m > 01x ∴<，又012x ≥ 01,12x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭d ∴===t =，1,2t ⎛∈ ⎝⎦，则202x t =- 24242t d tt t-∴==-42y t t =-在⎛ ⎝⎦上单调递减2d ⎫∴∈⎪⎪⎣⎭...................12分。

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江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学(文)试题及参考答案

江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学(文)试题及参考答案

江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,3,4,5,6,8120A B xx x ==-+>∣，则()RA B ⋂=（ ）A.{}2,3,4,5B.{}2,3,4,5,6C.{}3,4,5D.{}3,4,5,62.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数()()23i i (z a =++其中)a R ∈为“等部复数”，则复数i z a +在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“x y >”的一个充分条件可以是（ ） A.12x ye-> B.44x y > C.1xy> D.22xt yt > 4.已知两个非零向量,a b 满足(2)a a b ⊥-，且3a b a b+=-，则,a b 的夹角为（ ）A.3π B.2π C.23π D.4π5.在区间()1,5-与()1,5内各随机取1个整数，设两数之和为M ，则2log 2M >成立的概率为（ ） A.35 B.58 C.815 D.7156.函数()3sin x x f x x x+=-的大致图象为（ ）A. B.C. D.7.作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法中，正确的是（ ） A.0.0018a =B.若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C.根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为310D.这100份花费费用的中位数是4200元8.过双曲线222x y -=上任意一点(),P x y 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形OAPB 的面积为（ ） A.12B.1C.2D.4 9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比51t -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin1822427sin 27t t --的值为（ ）A.-4B.4C.-2D.210.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()1112,33nn n n nna S S S S++=-=+，则2023S =（ ） A.202331- B.202331+ C.2023312+ D.2022312+ 11.若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3,BC AB ==E 在线段BA 上，3BA BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）A.83π B.2π C.43π D.π12.已知函数()222ln 1xx ax f x e x++=-，当()0,x ∞∈+时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],1∞-B.(2,1e ∞⎤--⎦ C.(],e ∞- D.(],2∞-二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若前n 项和为n S 的等差数列{}n a 满足712812a a a +=-，则17S =__________.14.已知变量x y ､满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32x y +的最大值__________.15.已知圆221:1O x y +=，圆222:(2)4O x y -+=.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.16.函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，且()33y f x =+为偶函数，()32y g x =++为奇函数，对x ∀∈R ，均有()()21f x g x x +=+，则()()77f g =__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为x （千元），带动的销量为y （千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.y10 12 13 18 19 21 24 27（1）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程.（2）（i ）若该省A 城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A 城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：()()()()()()()11222111ˆˆˆ,,nniiiii i nnni iii i i x x y y x x y y r ba y bx x x x x y y =====----===----∑∑∑∑∑.参考数据：()()()8821169,20i i i i i x x y y x x ==--=-=∑∑.18.（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++=（1）求角C ； （2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 面积的取值范围.19.（12分）如图所示，圆锥的高3PO =，底面圆O 的半径为1，延长直径AB 到点C ，使得1BC =，分别过点,A C 作底面圆O 的切线，两切线相交于点E ，点D 是切线CE 与圆O 的切点.（1）证明：平面PDE ⊥平面POD ； （2）点E 到平面PAD 的距离为1d ，求1d 的值. 20.（12分）已知函数()313f x ax x =+，函数()2sin x g x e x x =-+. （1）求函数()g x 的单调区间；（2）记()()()F x g x f x =-'，对任意的()0,0x F x ≥≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆方程：22221(0)x y a b a b +=>>，其离心率为22e =，且,P Q 分别是其左顶点和上顶点，坐标原点O 到直线PQ 的距离为233. （1）求该椭圆的方程；（2）已知直线:2l y kx =+交椭圆于,A B 两点，双曲线：22142x y -=的右顶点,E EA 与EB交双曲线左支于,C D 两点，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出定值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂､多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2sin2ρθ=.（1）若射线:6l πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，求OP ；（2）若,A B 为G 上的两点，且23AOB π∠=，求AOB 面积S 的最大值. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()322f x x x x =+---. （1）求()f x 的最小值m ；（2）若,a b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式22111a b b a +≥++.江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.68 14.5 15.20(x +=或20)x += 16.61616.由函数()33f x +为偶函数，则()()3333f x f x +=-，即函数()f x 关于直线3x =对称，故()()6f x f x =-；由函数()32g x ++为奇函数，则()()3232g x g x ++=--+-，整理可得()()334g x g x ++-+=-，即函数()g x 关于()3,2-对称，故()()46g x g x =---；由()()21f x g x x +=+，则，可得()()266(6)1f x g x x -+-=-+，得()()24(6)1f x g x x +-=-+故()()()()2214(6)1f xg x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨--=-+⎪⎩，解得()()2621,620f x x x g x x =-+=-， ()()772822616f g =⨯=.故答案为：616.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答.17.（1）3345566810121318192124275,1888x y ++++++++++++++====.经计算可得()()()8182169ˆˆˆ3.45,18 3.4550.7520iii i i x x y y bay bx x x ==--====-=-⨯=-∑∑. 所以所求线性回归方程为ˆ 3.450.75yx =+. （2）（i ）当10x =时，ˆ 3.45100.7535.25y=⨯+=，所以预计能带动的消费达3.525万辆.（ii ）因为3035.2510%35.25->，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A 城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A 城市人口数量有限､商品价格水平､消费者偏好､消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）. 18.（1）因为222sin sin cos cos sin 2A B A B C +++= 所以()()2222sin sin sin 1sin 1sin C A B A B -=+-+-可得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理可得：222a b c ab +-=.由余弦定理知，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===因为()0,C π∈，所以3C π=（2），由（1）知，3C π=所以23A B π+=又ABC 是锐角三角形， 可得02B π<<且2032B ππ<-<解得62B ππ<< 由正弦定理知：sin sin b c B C =又2b =可得sin sin b C c B ⋅==所以2sin 11233sin 2sin 223sin 2tan ABCB Sbc A B B B ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⨯-== ⎪⎝⎭因为62B ππ<<所以tan B >ABCS<<故ABC面积的取值范围为⎝.19.（1）由题设，PO ⊥平面,ABD D 又是切线CE 与圆O 的切点，CE ∴⊂平面ABD ，则PO CE ⊥，且OD CE ⊥，又,,PO OD O PO OD ⋂=⊂平面,POD CE ∴⊥平面POD ， 又CE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面POD . （2）,30,OD CE CD OCD AE CE ∠⊥∴==∴==1111111333332P ADE ADE E PAD PAD V S PO V S d d --=⋅===⋅=⋅113d ∴=20.（1）()2sin xg x e x x =-+则()'2cos xg x e x =-+且()00g =，令()()()()()(),'sin ,0,,'sin 1sin 0,x x x g x x e x x x e x x x ϕϕ∞ϕϕ'==-∈+=->-≥在()0,∞+上单调递增，所以()()()00x g x g ϕ''=>=，所以()g x 的单调递增区间为()0,∞+，()(),0,'2cos cos 10x x g x e x x ∞∈-=-+<-≤，所以()g x 的单调递减区间为(),0∞-.（2）()()()22sin 1xF x g x f x e x x x =-'=-+--，且()00F =，()[)cos 22,0,,x F x e x ax x ∞='+--∈+令()()()','sin 2,x G x F x G x e x a ==--令()()()','cos 1cos 0xH x G x H x e x x ==-≥-≥，所以()'G x 在[)0,+∞上单调递增， ①若()()1,''01202a G x G a ≤≥=-≥， 所以()'F x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()'00F x F '≥=， 所以()()00F x F ≥=恒成立. ②若()1,'01202a G a >=-< ()()()'ln 222sin 220G a a +=-+>，所以存在()()00,ln 22x a ∈+，使()0'0G x =，故存在()00,x x ∈，使得()0G x '<，此时()G x 单调递减，即()F x '在()00,x 上单调递减， 所以()()00F x F ''=，故()F x 在()00,x 上单调递减， 所以此时()()00F x F =，不合题意.综上，12a.21.（1）由已知可知：()(),0,0,P a Q b -，所以PQ =POQ 中，等面积可得：1122ab =2,a b ==所以该椭圆方程为22142x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 由()2,0E 可设直线AE 方程：1122x x y y -=+直线BE 方程：2222x x y y -=+ 将直线AE 与双曲线22142x y -=联立可得：()2212111211424420x x x y y y y y --+-+=. 又因为2211142x y -=代入上式中可得：()()111221122420x x x y y y y --+= 解得：1312y y x =-代入直线AE 方程：314x x =所以C 点坐标为11124,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理可得D 点坐标为：22224,y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以直线CD 的斜率()()2112122112121212222222441444444CD kx kx y y x x x x x x k x x x x x x ⎛⎫++-----+ ⎪⎝⎭====----.所以直线CD 的斜率为定值该定值为-122.（1）62sin2πϕρρθ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩（2）设()[)2,,0,23A B A B πρθρθθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 2sin2A ρθ= 42sin 23B πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin 23AOBA B Sπρρ=⋅⋅142sin22sin 223πθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin2sin2cos222θθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 4264πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当462ππθ-=时即6πθ=时AOBS23.（1）()min 1102101()251313x x x f x f x x x x =-<⎧⎪+≤≤⎪=∴⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩（2）由（1）可知2a b +=()()()()222222221111111211144114a ab b a b a b a b ab a b b a b a ⎡⎤++⎛⎫++++=+++≥++=⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦或由柯西不等式114≥=当且仅当1a b ==时取等号.。

【高考数学】立体几何中的截面

【高考数学】立体几何中的截面

立体几何中的截面【基本知识】1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。

其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。

最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能 3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是（）例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④ 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小AB C H A 1 B 1 C 1 D 1E F GDA B C DA 1B 1C 1D 1EF G H图（2）图（1）ACBD孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（）A ．21B ．87C ．1211 D ．4847例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值.基本方法介绍①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； ②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究；例5 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？C 1 A B CD A 1D 1 B 1EG F 图（1）例6 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周长≥一、单选题1．【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】在正方体1111ABCD A B C D -中，F 为AD 的中点，E 为棱1D D 上的动点(不包括端点)，过点,,B E F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（） A ．四边形B ．等腰梯形C ．五边形D ．六边形2．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 如图圆锥PO ，轴截面PAB 是边长为2的等边三角形，过底面圆心O 作平行于母线PA 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为( )A ．1B ．12C ．13D ．144．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）A ．在平面11BDDB 内存在直线与平面EFG 平行 B ．在平面11BDD B 内存在直线与平面EFG 垂直C ．平面1//AB C 平面EFGD ．直线1AB 与EF 所成角为45︒5．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A ．2B ．4C ．D ．6．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成45︒角，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C D ．137．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．68．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A ．89πB ．1118πC ．512π D ．49π 9．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π10．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（）A ．B ．C ．D ．12．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．613．【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C ．2D 14．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（）A B C ．D ．15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（）A ．90︒B ．30C ．45︒D ．60︒16．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形17．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．318．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A B C ．4D 19．【四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学（文)试题】已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3ππC ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（）A ．43B ．94C ．92D ．3二、填空题21．【山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题】已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为__________；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是__________．22．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是 ③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）23．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ；11 / 11④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）24．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.三、解答题25．【2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析)】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．。

江西省九江市十校2023-2024学年高三第二次联考数学试题

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江西省九江市十校2023-2024学年高三第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}012M =,,，{}2|1N x x =∈≤Z ，则()M N =R I ð（ ） A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0D ．1-2．已知复数z 满足i 2i z =-，其中i 为虚数单位，则2i z=+（ ） A ．43i 5+-B ．43i5+ C ．35i 4+- D ．34i 5+3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．160-B ．160C ．80D ．80-4．已知火箭在t 时刻的速度为()V t （单位：千米/秒），质量为()m t （单位：千克），满足()()0lnm V t V u m t =+（u 为常数），0V 、0m 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量01000m =千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为00V =，经过1t 秒后的速度()12V t =千米/秒，此时火箭质量()1800m t =千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）． A ．4B ．5C ．6D ．75．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为2x =-B ．AFO V 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得POF V 为等边三角形6．已知在四边形ABCD 中，22AC BC ==，π6ACB ACD ∠=∠=，2π3ADC ∠=，则BD 的长为（ ）A B CD7．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的上顶点为P ，离心率为12，过其左焦点倾斜角为30°的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若PAB V 的周长为16，则E 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．221129x y +=C ．2211612x y +=D ．2213627x y +=8．已知函数()()21,2231,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩ ，若方程()()12f f x =的实根个数为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12二、多选题9．已知0a >且1a ≠，满足2x a =，8y a =，则（ ） A ．若2a =，则4x y += B ．若1x y +=，则16a = C ．若2a >，则4x y +<D ．若1x y +<，则16a >10．已知()πcos 2f x x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0ω>，若函数()f x 的图象关于π3x =-对称，且函数()f x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()π1f =C ．5π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．()4π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212n n n a a a ++=+，若120a a =≠，则（ ）A ．{}12n n a a +-是等比数列B ．{}2n n a a +-是等比数列C ．{}12n n S S +-是等差数列D ．{}212n n a S +-是等差数列三、填空题12．已知锐角α满足3sin 4cos 4αα+=，则tan2α=．13．将甲，乙，丙三名志愿者分配到A ，B ，C 三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到B 社区的条件下，甲分配到A 社区的概率为．14．将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体积之和的最大值为．四、解答题15．据统计，截止2023年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计M 社区100户居民的网上购物情况如下图表所示：(1)是否有99.9%的把握认为M 社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？(2)用频率估计概率，现从M 社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为X ，()P X k =表示20位居民中有K 位居民喜欢网上购物的概率，当()P X k =取得最大值时，求k 的值． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．16．在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，E ，F 分别为11A B ，AC 的中点，EF=(1)求证：AE BC ⊥；(2)若2AE =，求二面角1C AA B --的正弦值．17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点()3,4P 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若直线PA ，PB 的斜率互为倒数，证明：直线l 过定点．18．已知函数()()ln f x x a =+，直线:l y x =与曲线y =f x 相切． (1)求实数a 的值；(2)若函数()()e 1xm F x f x x x =+-+有三个极值点1x ，2x ，3x ，求实数m 的取值范围．19．已知无穷数列{}n a 中，0n a ≥，记{}12max ,,,n n A a a a =L ，{}12min ,,n n n B a a ++=L ，n n n d A B =-．(1)若{}n a 为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即*n ∀∈N ，4n n a a +=），直接写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；(2)若{}n a 为周期数列，证明：*0n ∃∈N ，使得当0n n >时，n d 是常数；(3)设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=L 的充分必要条件为{}n a 为公差为d 的等差数列．。

江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解

江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解

C.若一个回归直线方程 ，则变量 每增加一个单位时， 平均增加3个单位
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）