3.4.1商不变性质应用

小数乘除法一、小数乘法小数乘法计算法则：①先按整数乘法算出积,再给积点上小数点.②看因数中一共有几位小数,就从积的右边起或个位数出几位,点上小数点.③当乘得的积的小数位数不够时,要在前面用0补足,再点小数点.注：先点点,再划零.求积的近似值：算出精确值后再根据要求保留相应位数运用运算定律和性质进行小数乘法的简算.能进行小数乘法的估算.能发现规律、运用规律写出结果.因数与积的变化规律一个因数扩大多少倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变.一个因数不变,另一个因数扩大缩小多少倍,积也扩大缩小多少倍.一个因数扩大多少倍,另一个因数扩大多少倍,积就扩大它们的乘积倍.小数乘法中的比大小当一个因数大于1时,积大于另一个因数.另一个因数≠0当一个因数小于1时,积小于另一个因数.另一个因数≠0当一个因数等于1时,积等于另一个因数.随堂练习一填空1、13.65扩大倍是1365；6.8缩小倍是0.068……用简便方法写出来是 ,保留两位小数是 .3、把7.1687保留整数约是 ,精确到千分位约是 .4、4.09×0.05的积有小数,5.2×4.76的积有位小数.5、根据13×28=364,很快地写出下面各式的积.1.3×2.8= 0.13×0.28= 13×2.8= 0.013×28= 0.13×2.8= 1.3×0.028=6、在○里填上>、<或=163×0.8 ○16336×2.8○36二判断题正确的打√,错误的打×1、0.03与0.04的积是0.12.2、一个数的1.65倍一定大于这个数.3、53.78保留一位小数是53.8.4、一个数乘小数,积一定小于这个数.三选择把正确答案的序号填入括号里①、一个小数的小数点右移动2位,再向左移动3位,这个小数 .A、扩大了10倍B、缩小10倍C、扩大100倍D、缩小1000倍②、下面各式得数小于0.85的是 .A、0.85×1.01B、0.85×0.99C、0.85×1四计算1、直接写出得数0.6×0.8=3×0.9= 2.5×0.4= 3.6×0.4=12.5×8= 50×0.04= 80×0.3= 1.1×9=2、竖式计算3.08×0.43 13.5×26.748×0.353、脱式计算能简算的要用简算12.5×0.4×2.5×8 9.5×1014.2×7.8+2.2×4.2 0.87×3.16+4.64五列式计算11.25乘4.2减5,差是多少2比4.7的1.5倍多3.05的数是多少二、小数除法会计算小数除法.小数除法法则：利用商不变性质,将除数变成整数,被除数扩大相同的倍数,再根据除数是整数的方法进行计算,除到哪位商哪位,被除数的小数点和商的小数点对齐.求商的近似值：根据要求除到所需保留位数的后一位即可.能运用商不变的性质进行小数除法的简算,能进行小数除法的估算.循环小数：①能正确的识别循环小数、有限小数、纯循环小数、混循环小数.②能根据余数的特点正确的找到循环节,能用简便记法表示循环小数③能够进行循环小数和有限小数的比大小.会求循环小数的近似值④循环小数相关概念有限小数：小数位数是有限的小数.小数纯循环小数循环小数混循环小数无限小数：小数位数是无限的小数.无限不循环小数一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数.循环小数中,从小数部分第一位开始循环的叫做纯循环小数.不是从第一位开始循环的叫混循环小数.循环节：循环小数中重复出现的数字.循环小数的一般写法：写两个循环节,点上省略号.简便写法:写一个循环节,在首位和末位点上循环点.被除数、除数、商的变化规律：被除数和除数同时扩大缩小相同的倍数,商不变.除数不变,被除数扩大缩小多少倍,商扩大缩小多少倍.被除数不变,除数扩大缩小多少倍,商缩小扩大多少倍.小数除法中的比大小：当除数大于1时,商小于被除数.被除数≠0当除数小于1时,商大于被除数.被除数≠0当除数等于1时,商等于被除数.小数除法随堂练习一填空1两个数相除时,如果除数扩大100倍,要使商不变,被除数应 .2计算2.025÷1.47时,先将1.47的小数点向移动位,使它 ,再将除数2.205的小数点向移动位,最后按除数是整数的除法进行计算.3两个不为0的数相除,除数时,商就大于被除数；除数时,商就小于被除数.48.24÷0.063保留一位小数,商就要计算到第位小数.5在实际应用中,小数除法的商也可以用法保留一定的小数位数,求出商的 .63.25÷0.7保留一位小数约等于；保留一位小数约等于；76.1919…的循环节是 ,可简写成保留两位小数是 .二、计算1、口算.2.4÷2 48÷0.6 96÷33.24÷240.24÷0.2 4.8÷6 0.96÷0.03 3.24÷0.242.4÷0.2 4.8÷0.6 9.6÷0.33.24÷2.42、用竖式计算29.29÷29 5.98÷0.23 19.76÷5.2验算4.035÷2.4保留一位小数 32÷4.2 保留两位小数 35÷74商用循环小数表示3、脱式计算213.6÷0.8÷0.3 16.6÷5.5×1.732.8×10.5÷0.6 42÷5.25÷0.25三、小数四则混合运算能将整数四则混合运算的运算顺序迁移到小数计算中,按照正确的运算顺序进行小数四则混合运算.简便运算1.29＋3.7＋2.71＋6.3 7.14－0.53－2.47 5.17－1.8－3.2320÷1.25÷8 17.8÷1.78×4 4.5÷1.812.5×0.96×0.8 1.25×2.5×32 4.9÷1.40.79×199 3.25×99+3.25 12.5×16.8-12.8×12.512.5×10.8 7.7＋1.54÷0.7 0.279×343＋6.07×27.9+5×2.79四、解决问题一基础典型题例1、用一部收割机收大豆,5天可以收割20.8公顷.照这样计算,7天可以收割多少公顷62.4公顷大豆需要多少天才能收完练习：工程队修一条路,计划每天修2.4千米,12天修完.实际每天修3.6千米,可以少修多少天二行程问题例2、爸爸的公司离家有60千米,他下班开车回家,汽车每小时行驶50千米.爸爸回家大约要多少小时保留整数生日party在七点开始,爸爸五点半才下班,爸爸能准时赶到吗练习：一艘船每小时行12.5千米,42小时到达目的地.如果每小时行15千米,到达目的地需要多少小时三数字问题例3、小华在计算3.6除以一个数时,由于商的小数点向右点错了一位,结果得24.这道题的除数是多少2、把一个小数的小数点向右移动一位后,就比原数大32.76,求原数是多少3、把一个小数的小数点向左移动一位后,和原数的和是14.85,求原数是多少四分段问题例4、四年三班34个同学合影.定价是24.5元,给4张相片.另外再加印是每张2.3元.全班每人要一张,一共需付多少钱2. 出租车收费标准：起步价：3千米以内,收费5元.超过3千米,每千米收费1.2元.1小明爸爸上班从家坐出租车到公司,共付车费9.8元,他家离公司有多远2小红家离学校11千米,如果坐出租车去上学,需付出租车费多少元五易混题例5、小明骑自行车2.5小时行驶3.2千米,1求每小时行多少千米2每千米需多少小时练习：用50千克黄豆可做出12.5千克的豆腐,1求每千克豆腐需要多少千克黄豆2每千克黄豆可做多少千克豆腐六进一法或去尾法例6、一根木料长10.5米,先截取相等长度的5小段,共8.5米.剩下的要截成0.8米长的小段,最多还能截出几段这样长的木料练习：五年级有176名同学外出秋游,小型客车限乘32人/辆,如果乘小型客车,那么至少需要多少辆限乘45人/辆,如果乘大型客车,那么至少需要多少辆小数乘除法课后练习一、填空二、1、除数是小数的除法,先移动的小数点,使它变成数,除数的小数点向右移动几位, 的小数点也向移动几位位数不够的,在的末尾用“”补足然后按照除数是的除法进行计算.三、2、在下面括号里填上适当的数.四、0.36÷1.2= ÷12= 87÷0.03= ÷3=五、375÷0.25= ÷25= 2.4÷0.06=240÷ =六、×15=7.5七、×8=90八、40.5÷ =15九、3、 60时= 日 84分= 时 105秒= 分4、把6.6,6.63,6.6错误!,6.错误!,6.6……,按照从大到小排序 .5、3.7÷3的商,用循环小数的简便记法表示是,保留两位小数是 .6、3.47÷0.62,商是5.5 时,余数是 .7、一个三位小数,保留两位小数是 1.50,这个三位小数最大是 ,最小.8、一个小数的小数点向左移动一位,得到的数比原数少2.52,这个小数是.9、在下面各题的里填上“＞”、“＜”或“= ”.0.1÷0.3 0.333 4.4÷2 4.4×0.5 789×1.001 78934×0.98 34 0.6×1.01 0.6 0.02×1 0.023.5×5.3 5.3×3.54.8×0.999 4.8×1.01二、选择题1、如果两个数相乘的积小于被乘数,那么乘数 .1大于1 2小于1 3等于12、30分= 时10.3 23 30.53、2.5÷0.01与 2.5×100 的结果比较 .1商较大2积较大3相等4、24.6× 4.6+246× 0.44+24.6用简便方法计算应该是 .124.6×4.6+0.44+1 224.6×4.6+4.4+1324.6×4.6+4.45、一个小数扩大3倍后得到的数比原数大 7.2,原来的小数是.121.6 23.6 32.4三、计算1、根据 46×5=690,1575÷15=105,直接写出下面各题的结果.4.6×15= 0.46×0.15= 15.75÷0.15= 15.75÷1.5=2、竖式计算52.95÷75 84.01÷31用乘法验算 5.08×0.65保留两位小数9.62÷0.158得数保留两位小数 14.2÷11商用循环小数表示3、根据25×5=125,直接写出下列各题得数.2.5×5=125÷5=12.5÷25=1.25÷5=0.125÷5=1250÷5=4、混合运算,能简算的要简算0.398+0.36+3.64 4.02＋5.4＋0.98 73.8－1.64－13.8－5.3636×0.25+7.5×3.6 3.8×10.1 15.6×13.1－15.6－15.6×2.1 三、应用题1、一瓶油连瓶重3.4千克,用去一半后,连瓶还重1.9千克.原来有油多少千克瓶重多少千克2、小华和小川两人同时从乙地分别向甲、丙两地背向而行,小华每小时走3.2千米,小川每小时走2.6千米,走了4小时两人相距多远3、一个学生从家到学校,先用每分钟50米的速度走了2分钟,如果这样走下去,他上课就要迟到8分钟；后来他改用每分钟60米的速度前进,结果早到了5分钟,求这个学生从家到学校的距离是多少4、小明在数学考试时,不细心把一个数除以4.75计算成乘4.75,结果是406.125,这道题的正确答案应是多少5、中国网通宽带上网套餐资费标准：50元可上网200个小时,平均每元钱可上网多少个小时每上网一小时要应缴网费多少元6、妈妈要用一根 25米长的红丝带包装牛奶礼盒.每个礼盒要用 1.5米长的丝带,这些红丝带可以包装几个礼盒包装 17个礼盒,丝带够吗7、.在一个汽车停车场停车一次至少要交费0.5元.如果停车超过1小时,每多停0.5小时要多交0.5元.一辆汽车在离开停车场时交了5.5元,这辆汽车停了几个小时。

(完整)苏教版四年级数学上册教学反思苏教版四年级上册《教课反省》第一单元1.1认识毫升教后记：认识毫升是在学生已经认识升的基础上持续要研究的比较小的容量单位，在平时生活中学生常常在饮料瓶上、果汁杯上、食用油桶上接触过毫升，可是关于1毫升有多少，它与升之间的关系是多少，还没有充足的认识和丝毫感知，所以我在教课时先复习升的有关知识进一步稳固成立升的观点，而后让学生同组学生着手察看比较发现这两个单位用在上的大小不同，而后尽量多做活动，掂一掂，倒一倒让学生体验指定的毫升数，在滴一滴中体验1毫升有多少让学生开放思想体验成功成立毫升的表象。

1.2认识容量和升教后记：本课主要认识了容量单位“升”，学生能初步的知道升是计量液体容量的多少，而且知道还能够用字母“L表”示，它和我们以前研究的长度单位和重量单位有所差别，也有所近似，比如填适合的单位名称，单位换算，判断对错，解决问题里都会出现这种题目。

第一让学生感知一升有多少，经过实验，让学生也能理解大概有两瓶矿泉水那么多，但好多学生对升仍是不太熟习，这要让学生学完本课后在生活中慢慢感觉容量，知道一盆水大概几升，一桶水大概几升。

1.3升与毫升练习一教后记:本课是研究了升与毫升之间的进率进行练习的，主要让学生练习单位之间的转换，知道1升=1000毫升，需要特别重申的是10升=( )毫升毫升=90毫升，在这个基础上再练习容量单位的比较大小。

讲堂中我选择了一些填适合的单位名称，有些同学仍是对升与毫升没有概念，这晋升只好让学生在生活中慢慢领会。

第二单元2.1《除数是整十数的笔算》教课反省数学今日教课《除数是整十数商是两位数除法》，能够说又行进了一步。

但今日学下来，有些学生思想出现了杂乱。

因为上一节课，学生试商是直接预计“几百几十里面最多有几个几十”的，因为商是一位数，能够这样思虑。

但今日这节课商是两位数了，不可以直接预计了。

所以要试着指引学生从概括“除数是两位数的笔算除法法例”下手，来打破难点。

《除数是小数的除法》教学后记除数是小数的除法是小数除法学习中的重点，也是难点，同时在计算教学中也处于关键地位。

为了让学生更好的理解，根据知识的迁移规律，我引导学生把新知识转化为已有的知识进行学习，效果较好。

教学时，我首先和学生一起回忆商不变的性质，发现有些孩子对已有的知识有些模糊，我就和孩子们一起再举例，在举例中完善对商不变性质的理解，便于应用。

孩子们举的例子也很丰富：6÷3=2 12÷6=2被除数和除数同时乘2，商不变。

100÷5=20 50÷1=50被除数和除数同时除以2，商不变。

3÷1=3 300÷100=3被除数和除数同时扩大100倍，商不变。

……通过举例之后，孩子们对商不变的性质理解掌握熟练了，我就和孩子们一起开始学习除数是小数的除法。

我用引导性的问题引领学生进入新知的学习之中：“说一说：这几道题目和前面学习的题目有什么不同？能不能把除数是小数的除法转化为前面学习的题目进行计算呢？”38.5÷1.4= 38.5÷0.77= 4.08÷3.4=学生尝试进行转化，说说根据是什么。

这样，通过转化练习，让学生明白除数是小数的除法可以转化为除数是整数的除法进行计算，感受转化思想和迁移方法在数学学习中的应用。

为了让学生更好的掌握计算方法，我对竖式计算的格式进行了强调，特别对像38.5÷0.77和4.08÷3.4这样被除数和除数位置不一样的情况进行了详细的讲解，大部分学生理解较好，作业中出现的错误也很少，个别孩子理解模糊，在计算中出现以下几方面的错误：（1）转化时没有把小数点划掉（或者把去掉小数点后最高位上的0划掉），因此导致计算时商错误。

（2）个别孩子计算时把被除数和除数都转为整数，遇到被除数小数位数多时，就在除数的末尾添0，因此出现除数过大，不知道该怎么进行计算。

如：4.08÷3.4转化为：408÷340 。

第一单元 分数乘法（一）分数乘法意义：1、分数乘整数的意义：（与整数乘法的意义相同） 就是求几个相同加数的和的简便运算。

◆“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。

例如：53×7表示: 求7个53的和是多少？ 或表示：53的7倍是多少？2、一个数乘分数的意义：就是求一个数的几分之几是多少。

◆“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。

第一个因数是什么都可以。

例如：53×61表示: 求53的61是多少？ A× 61表示: 求A 的61是多少？（二）分数乘法计算法则：1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。

2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

◆为了计算简便,能约分的先约分再计算。

3、分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

（三）积与因数的关系：1、一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

a ×b=c,当b >1时，c>a.2、一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。

a ×b=c,当b <1时，c<a (b ≠0).3、一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。

a ×b=c,当b =1时，c=a . ◆在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。

（四）分数混合运算1、分数合运算顺序：(与整数相同)，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的。

2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。

乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a ×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c（五）分数乘法应用题 ——用分数乘法解决问题◆已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。

第一单元小数除法1、除数是整数的小数除法计算法则：除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和（）的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添（）再继续除。

2、除数是小数的小数除法计算法则：除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成（）;除数的小数点向右移动几位，（）的小数点也向右移动几位(位数不够的，在被除数末尾用0补足)，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

3、在小数除法中的发现：①当除数大于1时，商小于被除数。

如：3.5÷5=0.7②当除数小于1时，商大于被除数。

如：3.5÷0.5=7练习1： 4.5÷0.96○4.5 4.5÷1.2○4.5 4.5÷1.0○4.54、小数除法的验算方法：商×除数=被除数(通用)5、商的近似数：四舍五入、进一法、去尾法取积、商的近似值，究竟要保留几位小数，一般是根据题目要求决定。

如果题目要求保留一位小数，就要看第（）位小数；如果要求保留两位小数，就要看第（）位小数……然后按（）法取近似值。

1、在实际生活中，如果以“元”为单位，只要保留两位小数即可。

2、在实际情况中，取近似值时还可能用到“进一法”如：装油，铺地砖。

“去尾法”如做衣服，做蛋糕等。

3、取商的近似值时，要除到比需要保留的小数位数多一位，然后再四舍五入。

6、循环小数问题：1、小数部分的位数是有限的小数，叫做（）。

例如：5.67，8.54。

2、小数部分的位数是无限的小数，叫做（）。

例如：5.67245…，5.6767…。

3、一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做（）。

例如：0.333…，5.6767…，4.123123…。

4、一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的（）。

5、用简便方法写循环小数的方法：①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。

商不变的规律：四年级数学的探索之旅在四年级的数学学习中，我们会遇到一个有趣而又重要的概念——商不变的规律。

这个规律不仅能帮助我们更高效地解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维和数学素养。

一、什么是商不变的规律？商不变的规律，也被称为商的恒定规律或除法的性质。

简单来说，当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的商是不变的。

用数学公式表示就是：(a×k) ÷ (b×k) = a ÷ b，其中a 是被除数，b是除数，k是任意非零实数。

二、商不变的规律的应用简化计算：当面对较大的数字进行除法运算时，我们可以利用商不变的规律来简化计算过程。

例如，计算9800 ÷ 400时，我们可以将其转化为(98÷4) × (100÷100)，这样计算起来就更加简便了。

解决实际问题：在日常生活中，我们经常会遇到需要按比例分配的问题。

利用商不变的规律，我们可以快速找到各部分的数量。

比如，如果一个班级有40名学生，需要平均分成4个小组，那么每个小组应该有多少学生呢？利用商不变的规律，我们可以迅速得出每个小组有10名学生。

三、如何理解和应用商不变的规律？通过实例理解：我们可以通过一些具体的例子来理解商不变的规律。

比如，如果我们有8个苹果，要平均分给2个人，每人得到4个。

如果我们有16个苹果，还是平均分给2个人，每人仍然得到8个。

这就是因为被除数和除数都扩大了2倍，但它们的商保持不变。

练习和巩固：通过大量的练习，我们可以更好地掌握和应用商不变的规律。

在练习过程中，我们不仅要关注计算的正确性，还要关注解题的思路和方法。

四、结语商不变的规律是四年级数学中的一个重要概念，它不仅能帮助我们简化计算过程，还能培养我们的逻辑思维和数学素养。

通过深入理解和不断练习，我们可以更好地掌握和应用这个规律，为未来的数学学习打下坚实的基础。

3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。

2022-2023学年五年级数学上册典型例题系列之第三单元小数除法计算篇（解析版）编者的话：《2022-2023学年五年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。

本专题是第三单元小数除法计算篇。

本部分内容是小数除法的计算法则及商的相关规律，考点和题型以计算为主，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十七个考点，欢迎使用。

【考点一】除数是整数的小数除法。

【方法点拨】1.计算法则：按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果被除数的整数部分比除数小，不够商1，要在商的个位上写0，然后点上小数点，再继续除；如果除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添0再继续除。

2.口诀：小数除法不难算，小数点对齐是关键；整数部分不够除，商“0”再点小数点；末位如果有余数，后面添“0”继续算。

【典型例题】竖式计算。

85.44÷16= 42.84÷7= 101.7÷9=67.5÷15= 230.4÷6= 21.24÷36=解析：5.34；6.12；11.3；4.5；38.4；0.59【对应练习1】列竖式计算。

（带*号的要验算）50.4÷6＝ 2.04÷24＝ 1.8÷12＝ *9.52÷16＝16.8÷28＝ *15.6÷24＝ 0.416÷32＝ *3.64÷52＝解析；8.4；0.085；0.15；0.595；0.6；0.65；0.013；0.07【对应练习2】列竖式计算。