第2讲 线性规划与LINGO编程

Ling o与线性规划线性规划得标准形式就是(1)其中称为口标函数，自变量称为决策变量，不等式组(1)称为约束条件、满足不等式组(1)得所有得集合称为可行域，在可行域里面使得Z取最小值得称为最优解，最优解对应得函数值称为最优值。

求解优化模型得主要软件有L i ng o、Ma t 1 a b＞ Ex c el等。

其中Lingo 就是一款专业求解优化模型得软件，有其她软件不可替代得方便功能。

本文将简要介绍其在线性规划领域得应用。

—、基本规定1、目标函数输入格式ma x二函数解析式；或者min二函数解析式；2、约束条件输入格式利用：＞、V、〉=、〈二等符号。

但就是＞与＞二没有区别。

L ingo软件默认所以自变量都大于等于0、3、运算加(+),减(-)，乘(*),除(/),乘方(x A a),要注意乘号(*)不能省略。

4、变量名不区分大小写字母，不超过32个字符，必须以字母开头。

5、标点符号每个语句以分号“；”结束,感叹号“！”开始得就是说明语句(说明语句也需要以分号"；”结束)o但就是,mo d el, s e t s, data以"：”结尾。

endsets, e n ddata, e n d尾部不加任何符号。

6、命令不考虑先后次序7、MODEL 语句一般程序必须先输入MODEL：表示开始输入模型，以“END”结束。

对简单(1)例1求目标函数得最小值，约束条件为输入Ling o 程序:min = 2*x1 + 3*x2；x I + x2 >= 350?x1 >= 1 0 0;2A *X 1 + x2 <= 600;有两种运行方式：1、点击工具条上得按钮 即可。

2、点击菜单:LINGO —Solve运行结果如下：下面对其各个部分进行说明：Gl o bal o p tima 1 solution f oun d :表示已找到全局最优解。

Ob j e ctive value ：表示最优值得大小。

Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
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调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
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比较不同方案
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验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
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求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。

问题1.1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产 . 品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两 种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安 排生产计划，使工厂获利最大？
• 例1 用LINGO求解例1.1。 • 解 例1.1建立的线性规划数学模型为
max S 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 s.t 4 x2 12 x1 , x2 0
Range Report :
Ranges in which the basis is unchanged: Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 5.000000 3.000000 1.000000 4.000000 1.000000 1.333333 3.000000 4.000000 INFINITY Righthand Side Ranges Current Allowable RHS Increase 45.00000 5.000000 80.00000 10.00000 90.00000 INFINITY
在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型： model: max=2*x1+3*x2; x1+2*x2<=8; 4*x1<=16; 4*x2<=12; End
选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解” 按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为 “LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在 哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具 体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）。改正错误 以后再求解，如果语法通过, LINGO用内部所带的求 解程序求出模型的解, 然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”(求解状态)的窗口, 其内容为变量个数、 约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信 息, 点击Close关闭窗口, 屏幕上出现标题为“Solution Report”(解的报告)的信息窗口, 显示优化计算(线性规 划中换基迭代)的步数、优化后的目标函数值、列出各 变量的计算结果。本例的具体内容如下：

2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型求解
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Max＝ 72x1+64x2
2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480
解：直接在LINGO的模型窗口中输 入程序
LINDO/LINGO软件的求解过程
1. 确定常数
2. 识别类型
LINDO/LINGO预处理程序
LP QP NLP IP 全局优化(选) 分枝定界管理程序
ILP
线性优化求解程序 1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
IQP
INLP
非线性优化求解程序
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小