华南理工大学线性代数与解析几何试卷(8)

习题一1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n 级排列 (1)21n n -。

解：（1）(134782695)04004200010τ=++++++++= ；（2）[(1)21]n n τ-=(1)(1)(2)102n n n n --+-+++=。

2.选择i 和k ，使得： 1）1274i 56k 9成奇排列；2）1i 25k 4897为偶排列。

解：（1）令3,8i k ==，则排列的逆序数为：(127435689)5τ=，排列为奇排列。

从而3,8i k ==。

（2）令3,6i k ==，则排列的逆序数为：(132564897)5τ=，排列为奇排列。

与题意不符，从而6,3i k ==。

3.由定义计算行列式11122122313241424344455152535455000000000a a a a a a a a a a a a aaaa 。

解：行列式＝123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑，因为123,,j j j 至少有一个大于3，所以123123j j j a a a中至少有一数为0，从而12345123450j j j j j a a a a a =（任意12345,,,,j j j j j ），于是123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-=∑。

4.计算行列式：1）402131224---； 2）1111111*********----； 3）41241202105200117；4）1464161327912841512525--；5）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++++++++。

华南理工大学期末考试《 解析几何》试卷A 答案与评分标准一. 解:(1) 又直线的坐标式参数方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 211 设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）。

(2) 设切点为()00,x y ,因为切线的方向数X Y ：为1:0或0:1,()()0220000101:023,1212y X Y x x y y ⎧+=⎪=⎨⎪++=⎩--0x 当：时，由方程组解得切点为，或，，∴ 平行于x 轴的切线方程为y=2与y=-2.(3) x 2+y 2＝2z(4) (－1):1, 抛物型.(5) 30162=-'+'y x , 053=--y x .(6) (-12,-26,8)(7) 二次曲线的矩阵为12012321002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且{}{}()()00,,1,,1,v X Y k x y k ===()()()()()21211002002100200430,1,3,11).1,,10,2132).3,,,150,21,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点.(8) 设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为： 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x即：0539=++z y x .二．用向量法证明三角形的余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .证明： 证明：（1）如图1，△ABC 中，设＝b,＝,＝a ，且|a|＝a ，|b |＝b ,|c |＝c . 则a ＝b －c , (5分)2＝(b －c )2＝b 2+2－2b ⋅＝b 2+2－2|b|||cos A . 此即 a 2＝b 2+c 2－2bc cos A. (10分)三. 给定两异面直线：01123-==-z y x 与10211zy x =-=+，试求它们的公垂线方程。

线性代数与几何答案华南理工大【篇一：华南理工大学线性代数与解析几何试卷(14)】s=txt>华南理工大学期末考试《线性代数－2007》试卷a注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。

1．设矩阵a1 2??3 4??, b1 23??456??, c??14?25，则下列矩阵运算无意义的是【】36??a. bacb. abcc. bcad. cab2.设n阶方阵a满足a2–e =0，其中e是n阶单位矩阵，则必有【】a. a=a-1b. a=-ec. a=ed. det(a)=13.设a为3阶方阵，且行列式det(a)=?12,则a*【】 a. ?14b. 14c. ?1d. 1 4.设a为n阶方阵，且行列式det(a)=0，则在a的行向量组中【】a.必存在一个行向量为零向量b.必存在两个行向量，其对应分量成比例c. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合d. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】 a．a1?a2,a2?a3,a3?a1 b. a1,a2,2a1?3a2 c. a2,2a3,2a2?a3 d.a1,a2,a1?a36.向量组(i): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【】a.(i)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出b.(i)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 c.(i)中任意两个向量线性无关d.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1kmam?0【】a．a的行向量组线性相关 b. a的列向量组线性相关 c. a的行向量组线性无关 d. a的列向量组线性无关a1x1a2x2a3x308.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组?bx?bx?bx?02233?11的基础解系含2个解向量，则必有【】a.a1a2b2b30 b.a1a2b1b20 c.a1a3a1a2a30 d.b1b2b1b2b3【】9.方程组?x?2x?x?1 有解的充分必要的条件是1233 x3x2xa123?2x1x2x31a. a=-3b. a=-2c. a=3d. a=2【】a. 方程组有无穷多解b. 方程组可能无解，也可能有无穷多解c. 方程组有唯一解或无穷多解d. 方程组无解12. n阶方阵a相似于对角矩阵的充分必要条件是a有n个【】a.互不相同的特征值b.互不相同的特征向量c.线性无关的特征向量d.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间rn的子空间的是【】a. {(a1,a2,?,an)|a1a2?0}b. {(a1,a2,?,an)|c. {(a1,a2,?,an)|a1?1}d. {(a1,a2,?,ana)|?an1i?nii0} 1}14.【】1001?1 2a. 011b. ?5?2-10 1 -1c. ?1 -11 0d.0 -10 -11 0 015.若矩阵a?0 2 a正定,则实数a的取值范围是【】 0 a 8?? a．a 8b. a＞4c．a＜-4 d．-4 ＜a＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A 卷）《 2007线性代数 》试卷填空题（共20分） （1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，则12007P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=（4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i E A λ=-∑=选择题（共20分）（1） 将矩阵n m A 的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ：A ， 乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵（2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,}r A r m n=<。

集合{:,}nM X AX B X R==∈则A，M是m维向量空间， B，M是n-r维向量空间C，M是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，22A B=，则以下命题哪一个成立A，A B=±， B，()()r A r B=C，det detA B=±， D，()()r A B r A B n++-≤（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵1A-为正交矩阵， B，矩阵 -1A-为正交矩阵C，矩阵*A为正交矩阵， D，矩阵 -*A为正交矩阵（5）4n阶行列式111110100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：A，1， B，-1 C， n D，-n三、解下列各题（共30分）1．求向量513β⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。

华南理工大学期末考试《 2006线性代数 》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。

0．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=1．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=2．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=-85．231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：1、2、-3二、 选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ c ）。

DA ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ A ）。

A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。

则（ C ）。

DA ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。

DA ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。

A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信号与系统》试卷B1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭 卷；2分/题，共20分）1） 信号x(n), n=0,1,2,3,…是能量有限的意思是a) x(n)有限；b) |x(n)|有界；c)()2n x n ∞=<∞∑; d)()01Nn x n N=<∞∑。

c2） 一个实信号x(t)的偶部是a) x(t)+x(-t); b) 0.5(x(t)+x(-t)); c) |x(t)|-|x(-t)|; d) x(t)-x(-t)。

b 3） LTI 连续时间系统输入为(),0ate u t a ->，冲击响应为h(t)=u(t), 则输出为a)()11at e a --; b) ()()11at e t a δ--; c) ()()11ate u t a --; d) ()()11at e t aδ---。

c 4） 设两个LTI 系统的冲击响应为h(t)和h 1(t)，则这两个系统互为逆系统的条件是 a) ()()()1h t h t t δ*=; b) ()()()1h t h t u t *=; a c) ()()()1h t h t u t *=-; d) ()()10h t h t *=。

5） 一个LTI 系统稳定指的是a) 对于周期信号输入，输出也是周期信号；b)对于有界的输入信号，输出信号趋向于零；c)对于有界输入信号，输出信号为常数信号；d)对于有界输入信号，输出信号也有界 d6） 离散信号的频谱一定是a) 有界的；b) 连续时间的；c) 非负的；d) 连续时间且周期的。

d 7） 对于系统()()()dy t y t x t dtτ+=，其阶跃响应为 a) ()/1t e u t τ-⎡⎤-⎣⎦; b) ()/1t e t τδ-⎡⎤-⎣⎦; c) ()/1t e u t τ-⎡⎤+⎣⎦; d) ()/1t e t τδ-⎡⎤+⎣⎦. a8） 离散时间LTI 因果系统的系统函数的ROC 一定是a) 在一个圆的外部且包括无穷远点； b)一个圆环区域；c) 一个包含原点的圆盘；d) 一个去掉原点的圆盘。

1 1 （ ai ≠ 0, i = 1, 2,L , n ） 。 M 1 + an
⎛1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ * 2、设矩阵 A = 0 1 0 ，且满足方程 A* BA = 2 BA − 9 E ，其中 A 为 A 的伴随矩 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎝ ⎠
阵，试求矩阵 B 。
⎧ x1 − ax2 − 2 x3 = −1 ⎪ 3、 问： a 为何值时， 线性方程组 ⎨ x1 − x2 + ax3 = 2 有唯一解， 无解， 有无穷多解？ ⎪ 5x − 5x − 4x = 1 2 3 ⎩ 1
（C） k1 （ β 2 ＋ β 1 ）＋ k 2 （ β 2 ＋ β 3 ）＋ k 3 （ β 3 ＋ β 1 ） ； （D） k1 （ β 1 － β 2 ）＋ k 2 （ β 2 － β 3 ） 。 4、设向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关，则下列向量组线性相关的是 （A） α1 , 2α 2 ,3α 3 , 4α 4 ； （B） α1 , α1 + α 2 , α1 + α 2 + α 3 , α1 + α 2 + α 3 + α 4 ； （C） α 4 , α 3 − α 4 , α 2 − α 3 , α1 − α 2 ； （D） α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 4 , α 4 + α1 。 。
第 4 页
并在有无穷多解的情况下，用基础解系表示其通解。 4、已知 R 线性变换 T 在基 η1 = (−1,1,1) ， η 2 = (1, 0, −1) ， η3 = (0,1,1) 下的矩阵为
3
⎛ 1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ ，求 T 在基 ε1 = (1, 0, 0) ， ε 2 = (0,1, 0) ， ε 3 = (0, 0,1) 下的矩阵。 ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎝ ⎠

2009年华南理工大学研究生入学考试数学分析试卷第八题解答01(10分)设函数()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在x a =的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求'(0)?f = 解：由导数的定义我们有：00000()(0)()()'(0)limlim(()())(()())lim ()()()()lim lim ()()'()'()2'()x x x x x f x f a bx a bx f x x a bx a a bx a x a bx a a bx a b b a bx a a bx a b a b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ→→→→→-+--==+----=+---=--+---=+=02(10分)设0x y π<<<，试证：sin 2cos sin 2cos y y y y x x x x ππ++>++。

证：设()sin 2cos (0)f x x x x x x ππ=++<<，则'()cos sin (0),''()sin (0)f x x x x x f x x x x πππ=-+<<=-<<于是''()0f x <，'()f x 严格单调递减，故'()'()0f x f π>=，因此()f x 严格单调递增，于是立即得到所要证的不等式。

03(10分)设0,0x y >>，求2(,)(4)f x y x y x y =--的极值。

解：22322(,)(4)4f x y x y x y x y x y x y =--=--，求偏导数得：222322222(,)832(832)0(,)42(42)0(,)862(,)2(,)(,)834x y xx yy xy yx f x y xy x y xy xy x y f x y x x x y x x y f x y y xy y f x y x f x y f x y x x xy=--=--==--=--==--=-==--注意到0,0x y >>，即得到二元一次方程组8320420x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得极值点为21x y =⎧⎨=⎩，于是(2,1)(2,1)64((2,1))320(2,1)(2,1)48xx xy yx yy f f H f f --===>--，故由(2,1)60xx f =-<知点（2，1）是极大值点，极大值为4.04（10分）设2arctan(1)()(1cos )xu du t dtf x x x +=-⎰⎰，求0lim ()?x f x →=解：22()()arctan(1),'()2arctan(1),()(1cos )xug u dug u t dt g u u u f x x x =+=+=-⎰⎰，于是2200020()()()'()lim ()limlimlimlim 3(1cos )3222arctan(1)22lim arctan133346xxx x x x x x g u dug u dug x g x f x x x x x xx x x x ππ→→→→→→====-+===⨯=⎰⎰05（10分）计算?Cxdy ydx -=⎰其中C 为椭圆()222(32)1x y x y +++=，方向为逆时针方向。

研究生《线性代数》考试题 2008年12月姓名 院（系） 学号一、单项选择题：（每小题 4分，共24分）1、已知A 是n 阶方阵，则|A **|=_________，其中A **是指A 的伴随矩阵的伴随矩阵（a ） |A|1-n （b ） ()21-n A（c ） |A|1+n （d ）||1A2、设n 阶方阵A 满足A 2＋2A ＋3E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有_________。

A. 矩阵A 是实矩阵B. A=-EC. det(A)=1D. -1是矩阵A 的一个特征值3、下列结论成立的是_______________（a ）1α，……，s α线性无关，则任一向量i α不能由其余向量线性表示 （b ）1α，……，s α线性相关，则任一向量i α可由其余向量线性表示 （c ）1α，……，s α线性相关，至少存在某两向量成比例（d ）1α，……，s α中任意两向量不成比例，则1α，……，s α线性无关4、已知矩阵A 53⨯的秩为3，1β ，2β，3β是线性方程组AX ＝B 的三个线性无关的解，则 AX ＝B 的通解可表示为：_____________（a ）1k 1β＋2k 2β＋3k 3β （b ）1k （2β－1β）＋2k （3β－1β）＋1β （c ）1k （2β＋1β）＋2k （2β＋3β）＋3k （3β＋1β） （d ）1k （1β－2β）＋2k （2β－3β）5、设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是_________。

A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a －6、n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个_________A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量二、填空题（每小题 4分，共24分）1、设矩阵,1 00 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，*B 为B 的伴随矩阵，则*B A T= 。

华南理工大学线性代数与解析几何期中考试
一．选择题
1.设A 为n 阶对称矩阵, B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ).
(A)BA AB -; (B)BA AB +; (C)2)(AB ; (D)BAB ;
2.均为n 阶方阵, 则下面结论正确的是( ).
(A)若A 或B 可逆, 则AB 必可逆; (B)若A 或B 不可逆, 则AB 必不可逆; (C)若B A 、均可逆, 则B A +必可逆; (D)若B A 、均不可逆, 则B A +必不可逆.
3.若n 阶方阵B A 、都可逆, 且BA AB =, 则下列( )结论错误.
(A)11--=BA B A ; (B)A B AB 11--=; (C)1111----=A B B A ; (D)11--=AB BA ;
4.设C B A 、、为同阶方阵, 且E ABC =, 则下列各式中不成立的是( ).
(A)E CAB =; (B)E C A B =---111; (C)E BCA =; (D)E B A C =---111.
二．填空题
2. 求此平面方程
3.设n i a i ,3,2,1,0=≠, 且⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=-00
000000000121
n
n a a a a A ,则1-A
=
三．解答题 1.设n 阶矩阵A 和B 满足:
AB B A =+.
(1)证明: E A -为可逆矩阵, 其中E n 阶单位矩阵; (2)证明: BA AB =
;
(3)已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=200012031B , 求矩阵A .
2.（附加题）计算下面行列式。

华东理工大学线性代数 作业簿（第八册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________6.1 二次型及其标准型1. 填空题(1)设三阶矩阵A 的行列式为0,且有两个特征值为1，1-，矩阵A 与B 合同,B 与C 合同,则矩阵C 是_____阶矩阵,其秩_____)(=C r .解：三，2.(2) 设n 阶矩阵A 与正交阵B 合同，则_____)(=A r . 解：n . 因B 为正交阵，故B 可逆.A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得B AC C =T ，故)()(B r A r ==n .(3)二次型211221)(),,,(∑∑==-=⋅⋅⋅ni i ni i n x x n x x x f , 则此二次型的矩阵=A , 二次型的秩为______, 二次型的正交变换标准型为________________.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1 (11)...1...111...11n n n ，1-n ，222121,n ny ny ny -++⋅⋅⋅+ 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）. 因此求二次型的秩有两种方法：1) 直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.(4) 二次型,)(T Ax x x f = 其中A A ≠T ，则二次型的矩阵为_____ ____.解：)(21T A A +. 提示：A 不是二次型的矩阵，因A 不是对称阵。

注意到Ax x x f T )(=的值是一个数，即)()(T x f x f =，故有x A A x x f x f x f )(21)]()([21)(T T +=+=. 而)(21T A A +为对称阵.(5) 设n 元(n >2)实二次型()T f x x Ax = )(T A A =其中的正交变换标准型为22212y y -，则=A ______，矩阵A 的迹为 _____.解：0, 1-. 提示：A 的特征值为11,λ=22,λ=-30n λλ=⋅⋅⋅==，根据A A tr ni ini i ==∏∑==11),(λλ 易得.(6) 如果二次型2221231231213(,,)5526f x x x x x cx x x x x =++-+ 236x x - 的秩为2，则参数c = _____，1),,(321=x x x f 表示的曲面为__________.解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵33⨯A 的秩为2，故0||=A ，由此可求得c = 3. 再求出A 的特征值为9,4,0321===λλλ，即标准型为232294y y f +=，由此知1),,(321=x x x f 为椭圆柱面.2. 已知二次型322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=（0a >） 通过正交变换化成标准型23222152y y y f ++=，求a 的值及所用的正交变换矩阵Q .解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002a a A ，)9(22a A -=，由123A λλλ=即10)9(22=-a 得 2=a .A 有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。

2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名 班级 成绩单序号一． 填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ).2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（ ）。

3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（ ）。

4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（ ）。

5．已知n 阶矩阵100...0010...0001...0..................000...1000...01A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( )A.222()AB A B =,B. 111()AB A B ---=,C. | A+B|=|A|+|B|,D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（ ）Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基， Ｃ．1T A A -=， Ｄ．d e t 1A =± 3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基.且,,m n k m k n ≠<<,则( ) A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。

1 , 2 , , r，1 , 2 , , t 线性表示；
因此，向量组1 1 , 2 2 , , n n 可由向量组1 , 2 , , r，1 , 2 , , t 线性表示, 则rank(1 1 , 2 2 , , n n ) rank(1 , 2 , , r，1 , 2 , , t ) r t 即：rank(A B) r t rank ( A) rank ( B )
三、 (第3章第6题) 证明：若方程组 a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 系数矩阵的秩等于矩阵 an1 a x a x a x b nn n n n1 1 n 2 2 b1 的秩，则这个方程组有解。 a12 b2 a1n ann bn a1n b1 bn 0
九、（第四章第14题）证明V {( x1 , x2 , x3 ) | 2 x1 x2 3 x3 0}是R 3的 一个子空间，并求V 的一组基。 证： 设任意向量 =(a1 , a2 , a3 )T , (b1 , b2 , b3 )T V , 任意k , t R, 则 2a1 a2 3a3 0, 2b1 b2 3b3 0 k t (ka1 tb1 , ka2 tb2 , ka3 tb3 )T 由于 2(ka1 tb1 ) (ka2 tb2 ) 3(ka3 tb3 ) =k (2a1 a2 3a3 ) t (2b1 b2 3b3 ) 0 所以，k t V . 则V 是子空间。 x1 c1 x1 1 0 解方程组： 2 x1 x2 3 x3 0 x2 2c1 3c2 x2 c1 2 c2 3 x c x 0 1 2 3 3 则 (1,2,0)T ,(0,3,1)T 是子空间V的一组基。

ab
cd
4. 求相应的i,j值： (1) 17i52 j6成偶排列； 解：由于排列是7阶排列，i,j是 3,4 或 4,3
当i 3, j 4时，
(1735246) 1 2 3 4 5 6 +7
031 2110 8
1735246是偶排列，此时，i 3, j 4 i 4, j 3时，1745236是奇排列，不符合要求。
13 +23 +33 +43 23 33 43 解：原式 13 +23 +33 +43 13 23 33
13 +23 +33 +43 43 13 23 13 +23 +33 +43 33 43 13
1 23 33 43 （13 +23 +33 +43）1 13 23 33
1 43 13 23 1 33 43 13
解：行列式D不为零的元素少于n个,n行中至少 有某一行的元素全为0. 则D=0.
10 用行列式的定义计算下列行列式： a00b
（3）0 a b 0 0ba0 b00a
解：原式 (1) (1234) a11a22a33a44 (1) (1324) a11a23a32a44 (1) (4231) a14a22a33a41 (1) (4321) a14a23a32a41 (1)0 a4 (1)1a2b2 (1)5b2a2 (1)6 b4 (a2 b2)2
1 23 33 43 100 0 -7 -19 -37
0 56 -26 -56 0 19 37 -63
1 23 33 43
r38r 2
r 43r 2
0 -7 -19 -37

第三章 线性方程组第一章中的克莱姆法则解决了部分线性方程组的求解问题。

当系数矩阵行列式||0A =，或方程组的个数与未知量个数不相同时，克莱姆法则无法给出解的存在性。

另外即使可用克莱姆法则求解的线性方程组，其解法也非常麻烦，这一章主要解决一般线性方程组的求解问题。

§1 解的有关概念线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 写成矩阵形式为 AX B =，记(|)A A B =称为方程组的增广矩阵。

如果0X 满足0AX B =，则称0X 为线性方程组AX B =的解；如果对任意X ，AX B =均不成立，称线性方程组AX B =无解。

定义1：设有线性方程组11 (I)A X B = 和22 (II)A X B = ，如果(I)的解全是(II)的解，且(II)的解也是(I)的解，则称线性方程组(I)与(II)同解。

如果线性方程组的解能用统一的形式来表示，则该解称为线性方程组一般解（或通解）；相对应的具体的解称为特解。

求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。

从而写出方程组的解。

§2 线性方程组的解法定义2：下列变换称为方程组的初等变换： 1) 交换两个方程位置； 2) 某一方程的非零k 倍；3) 某一方程的k 倍加到另一方程上。

性质1：方程组的初等变换是同解变换。

按同解的定义验证每经过一次方程组的初等变换均不改变方程组的解即可。

性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初行等变换。

事实上系数矩阵为简化阶梯形的线性方程组可直接写出方程组的解。

由第二章又知任一非零矩阵可以的经过一系列初等行变换化为简化阶梯形，从而由性质2可以利用增广矩阵的初等行变换来求解线性方程组。

例1：解方程组1234123412342121255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪--+=-⎨⎪-++=⎩ 解：121111211112010121110020200101125110040400000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。

2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名 班级 成绩单序号一． 填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ). 2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（ ）。

3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（ ）。

4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（ ）。

5．已知n 阶矩阵10...0010 (00)01...0..................000 (100)...01A λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是( ). 二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( ) A.222()AB A B =, B. 111()AB A B ---=, C. | A+B|=|A|+|B|, D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（ ） Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基，Ｃ．1T A A -=， Ｄ．det 1A =±3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基. 且,,m n k m k n ≠<<,则( )A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。

《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设()1123123,(1,,)αβ==，TT B A βαβα==,，则3___________A =.提示：A 3=βαββαβααββαβααTT T T T T T 3)(==2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322=--I A A ，则=-1A ____________.提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I4．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。

5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆.提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。

(二)选择题1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有 （ ）（A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC = 提示：A 的逆矩阵为BC2．12321,,0,312Q t P QP t ⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭已知是三阶非零矩阵且则 （ ）()1()1()2()2A B C D --提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．1112132122232122231112131313233311132123313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦设2100010,101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则必有 （ ）12211221()()()()A APP B B AP P B C PP A B D P P A B ====提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)21,0,,0,21(=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )()()()()T A B IC ID I αα-+提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+ （ ） （A ） B=E （B ） A=E （C ）A=B （D ）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ii 则其中 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题1．2101,02010AB I A B A I B ⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭设,为单位矩阵,求矩阵。