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不等式放缩技巧十法

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第六章 不等式第二节 不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 2 已知函数bx a x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f [简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+- 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- .简析 不等式左边123nn n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212111.2222nna a a x x x ++++++=+=+= 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。

本题还可以推广为：若22212n p a a a +++=，22212(,0)n q p q x x x +++=>，试求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。

请分析下述求法：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212.222n n a a a x x x p q +++++++=+=故n n x a x a x a +++ 2211的最大值为2p q+，且此时有(1,2,,)k k a x k n ==。

上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2,,)k k a x k n ==，即必须有2211nnk kk k a x===∑∑，即只有p=q 时才成立！那么，p q ≠呢其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：2222221222221,1,()()()()n n p q q q axxx+=+++=则有1122n nn n a x a x a x a x pq +++++=222222122222)()]()()()()n npqp q q q axxx++++++=于是，1122max ()n n a x a x a x +++1,2,,).k n ==结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==，则由||||||m n m n ⋅≤立刻得解： 22222211221212||.n n n n a x a x a x a a a x x x pq +++≤++++++=且取“＝”的充要条件是：1212nn x x x a a a ==。

特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已! 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb a b 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法 2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得=-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。

如理科题的主干是：证明.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n (可考虑用贝努利不等式3=n 的特例)例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a nn a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。

[简析] 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤ni ini ini ii bab a 121221])([的简捷证法：⇔>)(2)2(x f x f >⋅+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg nn a n xx x x ⋅+-++++)1(321lg2 2])1(321[x x x x n a n ⋅+-++++⇔ ])1(321[2222x x x x n a n n ⋅+-++++•<而由Cauchy 不等式得2))1(1312111(x xxxn a n ⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅•++<)11(22 ])1(321[22222x x x x n a n ⋅+-++++ (0=x 时取等号)≤])1(321[2222x x x xn a n n ⋅+-++++• （10≤<a ），得证！例7 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）[解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<（0x >）的结构特征，可得放缩思路：⇒+++≤+nnn a n n a )2111(211211ln ln(1)ln 2n n n a a n n +≤++++ nn n n a 211ln 2+++≤。

于是nn n n n a a 211ln ln 21++≤-+， .22112211)21(111ln ln )211()ln (ln 11211111<--=--+-≤-⇒++≤---=+-=∑∑n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<- 【注】：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n来放缩：⇒-+-+≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n 111(1)(1)(1)n n a a n n ++≤++-111ln(1)ln(1)ln(1).(1)(1)n n a a n n n n +⇒+-+≤+<--111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ，即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+【例8】已知不等式21111[log ],,2232n n N n n *+++>∈>。

2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n【简析】 当2≥n 时na a a n a a n na a n n n n n n n 11111111+=+≥⇒+≤-----，即 n a a n n 1111≥--.1)11(212ka a n k k k n k ∑∑=-=≥-⇒于是当3≥n 时有⇒>-][log 211121n a a n .][log 222n b b a n +< 注：①本题涉及的和式n13121+++ 为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论][log 21131212n n >+++ 来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。

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不等式的放缩技巧

不等式的放缩技巧

数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1 设求证.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n .2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=，，2121)1(+=++<+<k k k k k k )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放2b a ab +≤1)1(+<+k k k 2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n 过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，等的各式及其变式公式均可供选用。

3,2=n例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为bxa x f 211)(⋅+=54)1(=f )(x f ，求证：（02年全国联赛山东预赛题）21.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠∙->+-=+=n f f x x f xx x x.2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n例3 已知为正数，且，试证：对每一个，b a ,111=+ba *∈N n .（88年全国联赛题）1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 简析 由得，又，故111=+b a b a ab +=42)11)((≥++=++abb a b a b a ，而，4≥+=b a ab nn nr r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(令，则nnnb a b a n f --+=)()(=，因为，倒序相加得)(n f 1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C in ni n C C -==，)(2n f )()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ 而，则1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r rrn n n b a b a ab b a b a ab b a=)(2n f ))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++，所以，即对每一个，⋅-≥)22(n 12+n )(n f ⋅-≥)22(n n 2*∈N n .1222)(+-≥--+n n n n n b a b a 例4 求证.),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- 简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C 32112222112-++++=-n n =，原结论成立.nn n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> 212-⋅n n 2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得)0,0(>>>++>m a b ma mb ab>-⋅⋅122563412n n =+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn 即⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n .12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n法2 利用贝努利不等式的一个)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 特例(此处)得12121)1211(2-⋅+>-+k k 121,2-==k x n =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。

不等式放缩技巧十法

不等式放缩技巧十法

不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。

对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。

二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。

对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。

三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。

对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。

四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。

大学中常用不等式放缩技巧

大学中常用不等式放缩技巧

大学中常用不等式,放缩技巧大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0&lt;a&lt;1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ai bi)2≤∑ai2∑bi24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp (0&lt;p&lt;1)(a+b)p≥ap+ bp (p&gt;1)6:(1+x)n≥1+nx (x&gt;-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n&lt;1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n&gt;√n;3：n！&lt;【(n+1/2)】n4：nn+1&gt;(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！&gt;｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n&lt;4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。

数列不等式放缩技巧

数列不等式放缩技巧

数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，简称放缩。

在高考数列不等式中，常常伴随着类似形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。

【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩；技巧积累：(1)；(2)（3）(4)(5)(6)(7)②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。

2、放缩的注意事项①熟练掌握裂项技巧，如：，这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。

③可以只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项）。

【例题讲解】1、通项公式的放缩1、（2013广东理）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求数列的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.2、求证:3、（2012广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.2、递推式的放缩1、已知,求证:当时,2、已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3、加强命题1、数列中，，对任何，都有。

（1）求通项公式；（2）证明：对任何，4、利用不等式或函数放缩1.设,求证解析: 此数列的通项为，，即2、设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.解析:（过程略）.证明（II）：由知，∵，∴.∵当时，，∴.证明（Ⅲ）：由知.∴恰表示阴影部分面积，显然④∴.【课后练习】1、（2014广东文）设各项为正数的数列的前和为,且满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有2、(2014新课标2理)已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.3、已知,,求证:.4、已知数列中，。