高思竞赛数学导引 五年级第十九讲 工程问题学生版

第十九讲行程问题中的变速行程问题是小学应用题中很重要的一部分，从同学们刚刚接触行程问题开始，同学们已经学习了很多类型的行程问题，例如：火车问题、流水行船问题、环形路线问题等．几年的积累，相信同学们已经对行程问题已经有了一定的认识．但我们仅仅见识到了行程问题中的冰山一角，我们以后还会在学习数学和物理的过程中，更深入的了解行程问题的本质．行程问题来源于生活．在现实的生活中，不可能以同样的速度一直朝同一个方向走，经常会出现变向和变速的情况．我们将利用两次课的时间来深入的研究一下这类问题．首先我们来介绍一个概念——平均速度．平均速度是一种特殊的速度，它衡量的是一段时间内物体在所有路程上运动的平均快慢程度，体现在公式中：=总路程平均速度总时间．关于平均速度，尤其值得大家注意的是平均速度不是速度的平均．比如：在一段长为480米的跑道上，前一半路程速度为每秒4米，后一半路程速度为每秒6米，那么平均速度就为：()48024042406 4.8/÷÷+÷=米秒，而速度的平均为：()4625/+÷=米秒，这两个值是不等的．例1． 邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3千米/时，下坡的速度是6千米/时，请问： （1） 邮递员去村里的平均速度是多少？ （2） 邮递员返回时的平均速度是多少？ （3） 邮递员往返的平均速度是多少？ 「分析」一定严格按照平均速度的公式解题．练习1、阿瓜要去小高家玩．一共要走1200米，前400米阿瓜的速度是5米/秒，后面800米的速度是2.5米/秒．那么他全程的平均速度是多少？例2．如图所示，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边爬行，在三条边上它每分钟分别爬行60厘米、20厘米、30厘米．蚂蚁由A 点开始，如果顺时针爬行一周，平均速度是多少？如果顺时针爬行了一周半，平均速度又是多少？ 「分析」对于等边三角形的边长，不妨采用设数法．练习2、如果例题中的这只蚂蚁逆时针爬行2周半，平均速度是多少？在很多行程问题中，我们并不能一下子弄清楚整个过程，特别是在运动过程中有变向和变速的时候，那就需要分段来考虑整个过程．下面就来看一个这样的问题．例3．男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图所示，坡顶为A ，坡底为B ）．两人同时从A 点出发，在A 、B 之间不停地往返奔跑．已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米．请问：两人第一次迎面相遇的地点离A 点多少米？第二次迎面相遇的地点离A 点多少米？ 「分析」本题可采用分段计算，一些速度发生变化或方向发生变化的位置可作为分段计算的线索．练习3、在30世纪的某一天，卡莉娅和墨莫两人在地球和火星间进行往返旅行．如果卡莉娅从地球飞向火星的速度是300万公里/天，而从火星返回地球的速度是400万公里/天；墨莫从地球飞向火星的速度是200万公里/天，而从火星返回的速度是300万公里/天．现两人同时从地球出发，在地球和火星间往返，请问两人第二次迎面在太空中相遇时距离地球多少万公里？（已知地球和火星间的距离约为6000万公里）通过例题3，我们对于变速和变向问题有了基本的解题思路，那就是分段考虑．分段考虑就是把一个大的问题进行分割，化整为零，各个击破．将复杂的问题简单化，不仅在行程问题中，在很多其他的问题中都有应用，特别是对于一些过程复杂的问题具有很好的效果．例4．在一条南北走向的公路上有A 、B 两镇，A 镇在B 镇北面4.8千米处．甲、乙两人分别同时从A 镇、B 镇出发向南行走，甲的速度是每小时9千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动过程中始终不改变方向，而乙向南走3分钟后，便转身往回走2分钟，接着按照先向南走3分钟，再向北走2分钟的方式循环运动．请问：两人相遇的地点距B 镇多少千米？「分析」注意分析两人路程差的变化规律．B练习4、在东西方向上的A、B（A地在B的西面）两地相距6千米．甲乙分别同时从A、B两地出发向东走，甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时6千米．甲在运动的过程中始终不改变方向，而乙向东走了2分钟后，便转身往回走1分钟，再转向东走2分钟，再转身走1分钟，……，那么甲、乙两人相遇的地点距B地多远？例5．龟兔赛跑，全程1.04千米．兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千米．乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，……．请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？「分析」首先可确定乌龟到达终点的时间，然后再确定兔子到达终点的时间，两个时间直接对比即可得出答案．例6．如图所示，正方形边长是1200米，甲、乙两人于8:00同时从A，B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，且两人每到达一个顶点都需要休息1分钟．求甲从出发到第一次看见乙所用的时间．可看见乙．田径比赛——障碍跑障碍跑作为田径项目，始于英国．它和越野跑可算是一对“孪生兄弟”．越野跑是从儿童游戏脱胎而来的．有人设想把越野跑搬到运动场上来．于是，运动场上出现了篱笆、栅栏、水坑等人工障碍物．1837 年，在英国乐格比高等学校里，首创了一种叫做“障碍跑”的比赛项目．从此，这项活动在英国普遍开展起来．随后又相继传到其他国家，这才逐渐被人们所接受．19世纪，障碍跑在英国兴起．最初在野外进行，跨越的障碍是树枝、河沟，各障碍间的距离也长短不一，19世纪中叶开始在跑道上进行．有研究报告指出：19世纪时障碍跑的距离不统一，具有很大的随意性，短的440码，长的可达3英里．1900年第2届奥运会首次设立障碍跑，分2500米和4000米两个项目．从1904年第3届奥运会起将障碍跑的距离确定为3000米，并沿用至今．全程必须跨越35次障碍，其中包括7次水池．障碍架高91.1~91.7厘米，宽3.96米，重80~100公斤．4 00米的跑道可摆放5个障碍架，各障碍架的间距为80米．运动员可跨越障碍架，也可踏上障碍架再跳下，或用手撑越．国际田联直到1954年才开始承认其世界纪录．作业1. 如图所示，一个蜗牛从A 点出发沿着一个三角形的三边爬行，速度如图所示（单位：厘米/分），那么这个蜗牛顺时针爬行一周的平均速度是多少厘米/分？顺时针爬行一周半的平均速度是多少厘米/分？2. 小山羊去山上吃草，前一半路程速度为每秒4米，后一半路程开始跑步，速度为每秒6米．那么整段路程的平均速度是多少米/秒？3. 山谷和森林相距2000米，小老虎从森林出发去山谷，速度为5米/秒．它每走120米都会休息10秒钟，那么走完全程一共需要多少秒？4. 如图，B 地是AC 两地的中点，AC 之间的距离是12千米．人在AB 上的速度是3千米/时，在BC 上的速度是2千米/时．现在甲、乙二人分别从A 、C 两地同时出发，几时几分后两人相遇？5. 在一条河的相距24千米的两个码头A 、B 之间，客船和货船同时从上游的A 码头出发，在A 、B 之间不停的往返运动．已知，水速是每小时2千米，客船的速度是每小时6千米，货船的速度是每小时4千米，那么两船第一次迎面相遇的地点距离A 码头多少千米？第二次迎面相遇的地点距离A 码头多少千米？AC第十九讲 行程问题中的变速例题：例7． 答案：（1）3.6千米/时；（2）4.5千米/时；（3）4千米/时详解：（1）去的时候，上坡路走了1234÷=小时，下坡路走了661÷=小时．根据平均速度的定义，平均速度为(126)(41) 3.6+÷+=千米/时．（2）返回的时候，上坡路走了632÷=小时，下坡路走了1262÷=小时．根据平均速度的定义，平均速度为(126)(22) 4.5+÷+=千米/时．（3）往返的平均速度为(126)2(54)4+⨯÷+=千米/时．例8． 答案： 30厘米/分；133117厘米/分 详解：设等边三角形边长为60厘米，则平均速度为603(60606020+6030)30⨯÷÷+÷÷=厘米/分．如果顺时针爬行了一周半，平均速度为13180 1.5(6+6060+3020)3117⨯÷÷÷=厘米/分．例9． 答案：96米；3517米详解： 如图所示，男运动员到达B 点的时候用了24秒，这时女运动员走了72米距离B 点48米．然后两人做一个相遇运动，会在()48338÷+=秒后相遇，这时两人距离A 点是96米．男运动员跑到A 点，又用了32秒，而女运动员跑到B 点需要8秒，可知当男运动员走到A 点的时候，女运动员又向上走了24秒，走了48米，距离A 点还有72米．然后两人又做一个相遇运动，会在7272(52)7÷+=秒后相遇，可计算出这时两人相距A 点3517米．例10． 答案：0.96千米详解：如图所示，甲每分钟可以走150米，乙每分钟可以走100米．每过5分钟，甲都向南走750米，乙只向南走100米，那么每5分钟，两人的距离都拉近650米，48006507250÷=，所以在5735⨯=分钟以后，两人相距250米．此时，甲继续向南，乙向南走3分钟，这3分钟两人的距离拉近了()1501003150-⨯=米，这时两人相距100米．甲继续向南，而乙则返回往北走，两人在()1001501000.4÷+=分钟后相遇，那么甲总共走了3530.438.4++=分钟，共走了38.41505760⨯=米，所以相遇地点距离B 地57604800960-=米，即0.96千米．例11． 答案：420种详解：首先可以计算出乌龟用时111.040.6115÷=小时，合104分钟．兔子跑的时间为1.0440.26÷=小时，合15.6分钟．1234515++++=，可知兔子休息了5次，休息了51575⨯=分钟，共用时A第2次相遇15.67590.6+=分钟，兔子比乌龟先到达10490.613.4-=分钟．例12． 答案：65分钟详解：甲若追上乙至少要多走一个边长，至少用时120012010060÷-=（）分钟．甲每走120012010÷=分钟，休息一分钟，60分钟内至少休息5次，共用时65分钟．乙每走120010012÷=分钟，休息一分钟，60分钟内至少休息4次，共用时64分钟，第65分钟恰好也在休息，因此甲恰好可以看见乙． 练习：1. 答案：3米/秒简答：()12004005800 2.53÷÷+÷=米/秒．2. 答案：12931厘米/分 简答：仍设等边三角形边长为60厘米，逆时针爬行两周用时12分钟，逆时针爬行半周用时60303020 3.5÷+÷=分钟，平均速度为1180 2.5(12 3.5)2931⨯÷+=厘米/分．3. 答案：2250万公里简答：做法同例3，分段计算．4. 答案：1200米简答：做法同例4，以3分钟为周期． 作业1. 答案：40；54013简答：设边长为120厘米，()36024340÷++=厘米/分；()5405402432213÷++++=厘米/分．2. 答案：4.8简答：设全长为24米，平均速度为()2432 4.8÷+=米/秒．3. 答案：560简答：小老虎走路的时间是400秒．20001201680÷=，一共要休息16次，即160秒．一共需要560秒．4. 答案：2小时30分简答：出发2小时后，甲到达中点处，乙距离中点还有2千米．再过0.5小时两人相遇，所以一共2小时30分钟．5. 答案：21.6；11.2简答：分段计算即可．。

学习-----好资料第6讲和差倍分问题内容概述在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义。

解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。

典型问题兴趣篇5，其余都是手榴弹。

由于遇上敌军伏枚弹药送到前线，其中炮弹占了1、运输连要将450923，而手榴弹只剩下击，炮弹损失了，送到是还剩多少枚弹药？582、学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。

1，但可乐的数量却没有改变。

如果此时饮料还剩果汁已经减少了872瓶，那一个小时后，5么可乐的数量是多少瓶？11，黄球占总球数的，绿、口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。

其中红球占总球数的334个。

口袋里一共有几个球？球比黄球多505，现在已完成计划的、游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。

4如果再生产340台，总121，原计划生产多少台？产量就超过计划的8更多精品文档．学习-----好资料11，第二天完成了剩下部分的，前5、一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的53 56个。

请问：这批零件共有几个？两天一共完成了1，第二车间的人数、红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的621，第三车间有105是第一、三车间人数和的人。

求该厂工人的总数。

311，丙桶中的水比甲桶中的少。

7、甲桶中的水笔乙桶中的多请问：乙、丙两桶哪桶水多？55如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？35，竹林占圆形的6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的，正方形和圆形、图847的公共部分是水池。

已知竹林的面积比草地的面积少450平方米。

问：水池的面积是多少平方米？3阿奇的科普书数量是小悦的。

后来小悦送给阿奇11、阿奇和小悦都有很多科普书，9本书84后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的。

原来阿奇比小悦少多少本书？7更多精品文档．学习-----好资料2，后来又来了12、课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的10个女生，使得女93，操场上现在有多少名同学？生人数达到男生人数的7拓展篇1、等候公共汽车的人整齐地排列成一列，阿奇也在其中。

学习-----好资料第8讲直线形计算二内容概述进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T七；初步学习添加辅助线酌分析方法．典型问题兴趣篇1．如图8-1，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？的面积DEC的3倍，三角形3DC的倍，AC是EC8-33．如图，在三角形ABC中，BC是的面积是多少平方厘米？3平方厘米．请问：三角形ABC是的面积为倍，三角形ABC的ED是AD2是4．如图8-4，EBC上靠近C的三等分点，且BDE 的面积是多少平方厘米？36平方厘水．三角形边上靠近日点的四等AB20BEC的面积等于平方厘米，E是所示，5．如图8-5已知三角形的面积是多少平方厘米？平行四边形分点，三角形AEDDECF的面积是多少平方厘米？BOC的面积为36，三角形AOD8．三角形的面积为，已知平行四边形．如图68-6ABCD的面积为多少？更多精品文档．学习-----好资料7．如图8-7，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？8．如图8-8，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三的长是多少？的边BE角形的5倍．三角形ABE平方厘米715厘米，结果面积增加了8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3和9．如图．原正方形的面积为多少平方厘米？（阴影部分）厘米，四边形的周，D点到四条边的垂线都是410．如图8-10，四边形ABCD内有一点D 长是36厘米，四边形的面积是多少平方厘米？拓展篇平方、20、8、12、1691．如图8-11，有个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4 4个长方形的面积分别是多少平方米？米．其余倍，三是AE的3的中点，中三角形8-12ABC的面积是180平方厘米，D是BCAD2．图ABE角形的面积是多少平方厘米？6AE=3EDCD=3DF，，而且三角形BFC的面积为ABCD3．如图8-13，在四边形中，已知的面积是多少？平方厘米．大四边形ABCD7平方厘米，四边形BEDF的面积为的面积倍后得到三角形ABCABC，三角形1DEF8-144．如图，把三角形的各边向外延长为1的面积是多少？．三角形DEF更多精品文档．学习-----好资料面积AECABCD的面积是三角形是AB边上靠近A点的三等分点，梯形5．如图8-15，E 倍．请问：梯形的下底长是上底长的几倍？的5平方厘米，红色三角形的面积是9，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，8-166．如图那么蓝色三角形的面10平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是积是多少平方厘米？个等分点与正方3等分，然后将这8．图8-17中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都7个空白的三角形，阴影部分的总面个阴影的四边形和4形内部的某一点P相连接，形成4 积是多少？平方厘米，35是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为8-188．如图，在梯形ABCD中，E 平方厘米．三角形的面积为13BCE的面积为多少平方厘米？三角形ABD三．ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4和正方形8-199．在图中，正方形ADEB 角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？边平行12AB厘米、8厘米的正方形构成，有一条与厘米、是由边长分别为．图108-2010 BFEF 的直线将此图形分成面积相等的两部分，那么的长度为多少厘米？更多精品文档．学习-----好资料11．(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？(2)如8-21中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少了65平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？长边上，直角边AC，E点恰好在AB12.如图8-22，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF 12厘米．正方形的边长为多少厘米？厘米，BC长20超越篇厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的96，三角形ABC的每边长都是1．如图8-23和CF的长度之和．四个三角形．请求出CEABCD如果的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH.-242．如图8 ，把四边形ABCD 5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？的面积是IMABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段3．图8-25中BM 的长度是多少厘米？将五边形EFGHI分成面积相等的两部分．线段边．若边的中点，MD、BCEC都垂直于ABMABC-26．如图48 ，在钝角三角形中，为平方厘米，则三角形的面积是三角形BDE3ABC的面积是多少？更多精品文档．学习-----好资料5．在图8 -27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？BC= 24，AB=18AC= 30（分米），（分米）．如图68-28，直角三角形ABC的三边长分别为的边长是多少厘米？（厘米）．问正方形BFEGAC（分米），ED垂直于，且ED= 95突三百回合大战后，两人不分胜负．争夺武林盟主的地位，7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速的一声，飞镖被劈成了两半，如瞠”抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较5图8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为小的那部分残片占到整体面积的几分之几？的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外，将三个边长为．如图88-30l两个正方形的中心．请问：图中阴影部分的面积是多少？更多精品文档．。

第22讲牛吃草问题与钟表问题内容概述牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系．典型问题兴趣篇1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问：(1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？4．有一座时钟现在显示上午10点整，问：(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 答案：11832分7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问：(1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？(2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．请问：这个时候的标准时间是多少？拓展篇1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了，请问：(1)如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？(2)要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？2．进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？3．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？4．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和25公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃50天？5．一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：(1)多少分钟后，时针与分针第一次重合？(2)再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？6．在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？7．小悦晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同，请问：小悦出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？8．图22-1中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈，从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？9．小明上了一节课，时间不到l小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？10．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央，请问：这时是6点几分？11．(1)小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，小悦把钟校准，并把闹铃定在第二天早上6点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？(2)阿奇的手表比标准时间每小时慢4分钟．一天早上8点，阿奇将表校准，试问：当这只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？12．如图22.2所示，某科学家设计了一只怪钟，这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟．当这只钟显示5点时，实际上是中午12点．问：当这只钟第一次显示6点75分时，实际上是什么时间？超越篇1．第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完．在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？2．钟面上会出现时针与分针重合的情况，也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况．请问：(1)距5点最近的“时针与分针重合”的时刻是几点几分？(2)距5点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是几点几分？3．现在的时间在10点与11点之间，如果在6分钟后表的分针的位置恰好与3分钟前时针的位置方向相反，那么现在的时间是几点几分？4．某工厂的一只不准的时钟需要69分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次，工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作一小时付给工资4元，如果超出规定时间就算加班，加班每小时付给工资6元．如果一个工人照此钟工作8小时，他实际上应得到工资多少元？5．有两只旧钟，分别对它们进行观测，发现一只钟的分针与时针重合一次用64分钟，另一只钟的分针与时针重合一次用66分钟，现在把两只钟都在标准时间0:00校准．试问：当它们再次出现在钟面上同一位置，且分针与时针重合（不一定都指向12点），是几天几小时几分钟之后？6．费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹钟却比标准时间每小时慢30秒．在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？7．如图22—3所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃掉了）．老农先带着一群牛在1号草地上吃草，两天后把1号草地上的草全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）．之后他让一半牛在2号草地上吃草，另一半在3号草地上吃草，结果又过了6天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把31的牛放在阴影草地上吃草，而剩下的牛放在4号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完，如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？8．有一只表没有秒针，而且时针和分针无法辨别，在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间，但有时也会出现两种可能，使你判断不出正确的时间，请问：从中午12时到夜里12时这段时间会遇到多少次无法判断的情况?。

如图，AC的长度是AD的45，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半．请问：AE是AB的几分之几？ABCDE 41S∆ABC=5份S∆ADE=2份S∆BD E=3份AE:EB=2：3AEAB=25三角形ABC 并且 试求 。

15BF AB =，11,,34AE AC CD BC ==A B C D EF S DEF S ABC S∆AEF=45×13=415 S∆BD F=15×34=320 S∆DEC =14×23=161−415−320−16=512如图，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上．（1）当水箱像图4-4这样倾斜，水箱中水流出15 ，这时AB 长多少厘米？（2）如图4-5，当水箱这样倾斜到AB 的长度为8厘米后，再把水箱放平，如图4-6，这时水箱中水的深度是多少厘米？(1) 20×(1−25)=12厘米 （2） 20−8÷20=35倒出=310整体 310×20=6 20-6=14厘米如图，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是2，三角形ACF 的面积是4。

请问：三角形ABC 的面积是多少？C A E BD F S∆ABE =8-2=6 BD:EB=1：3 S∆ACE =8-4=4 BD:EB=1：1 S∆BCE S∆DFE =12×34=38 S∆BCE =38×8=316-2-4-3=7如图，3个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为6，求三角形ABC的面积．C DA BEF图4-16CB:EB=1：2S∆ABC=13×6×6×2÷2=12图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。

6 7 52÷13×6=24 24-6=1852÷13×7=28 28-7=2118 21图中四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O 点，如果三角形ABD 的面积是30平方厘米，三角形ABC 的面积是48平方厘米，三角形BCD 的面积是50平方厘米。

第4讲包含与解除内容概述有重叠局部酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进展协助分析，弄清文氏图中每局部的含义；结合文氏图理解两个对象与三个对象酌容斥原理；敏捷处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题．典型问题爱好篇1．暑假里，小悦与冬冬一起探讨“金陵十八景”．他们发觉十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．假如小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？2．在一群小挚友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小挚友有多少人？3．五年级一班45个学生参与期末考试，成果公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成果得满分的有多少人？4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合局部的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的局部的面积为2．请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的局部的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的局部的面积是多少？6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参与的人数分别是54人、46人、36人．同时参与体育小组与音乐小组的有4人，同时参与体育小组与书法小组的有7人，同时参与音乐小组与书法小组的有10人，三组都参与的有2人．光明小学五年级参与课外活动的一共有多少人？8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进展调查，结果发觉：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A与C的有48种，同时含维生素A与E的有36种，同时含维生素C与E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？10．学校实行棋类竞赛，分为象棋、围棋与军棋三项，每人最多参与其中两项．依据报名的人数，学校确定对象棋的前9名、围棋的前10名与军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？拓展篇1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，假如每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参与数学小组，有18人参与航模小组，有10人两个小组都参与．那么只参与了这两个小组之一的学生共有多少人？3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？4．渔乡小学实行长跑与游泳竞赛，共305人参与．参与长跑竞赛的有150名男生与90名女生，参与游泳竞赛的有120名男生与70名女生，有110名男生两项竞赛都参与了，请问：只参与游泳竞赛而没有参与长跑竞赛的女生有多少人？5．森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜与青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜．假如三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？6．三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只．张经理与王经理都买过的有17只，王经理与李经理都买过的有13只，李经理与张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？7．唐僧西天取经共经验了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙与尚一起渡过了62难，同时与孙悟空与猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空与沙与尚一起渡过了61难，同时与猪八戒与沙与尚一起渡过了60难．请问：师徒四人共同渡过的有多少难？8．培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？9．五年级一班有46名学生参与数学、语文、文艺三项课外小组．其中有24人参与了数学小组，20人参与了语文小组，既参与数学小组又参与语文小组的有10人．参与文艺小组的人数是既参与数学小组又参与文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参与的人数的7倍，既参与文艺小组也参与语文小组的人数等于三项小组都参与的人数的2倍．求参与文艺小组的人数．10．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有33本、44本与55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？11五年级三班有50名学生，参与语文竞赛的有28人，参与数学竞赛的有22人，参与英语竞赛的有20人．假如每人最多参与两科竞赛，那么该班未参与竞赛人数最多可能有多少人？12．甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事．已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事．请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)假如每个人都是从某一个故事开场，按依次连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？超越篇1．森林里住着100只小白兔，但凡不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜．其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？2．育才小学匦展上展出了很多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画．其他年级的画共有多少幅？3．巨人学校有105名男生与75名女生参与数学竞赛，有95名女生与85名男生参与作文竞赛．已知该校一共有280名学生参与了竞赛，其中只参与数学竞赛的男生人数与只参与作文竞赛的女生人数一样．请问：只参与数学竞赛的女生有多少人？4．冬冬与爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片．回家后，冬冬先把全部有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最终把剩下的照片放到爸爸的相册里，爸爸认为应当把全部有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬与妈妈的相册里一共拿出了37张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬与爸爸的相册里全部有自己像的45张照片都拿出来放到了自己的相册．请问：原委是妈妈与冬冬的合影多，还是爸爸与冬冬的合影多？多几张？5．一次测验共有5道试题．测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的同学做对第5题．假如做对3道或3道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？6．五年级一班有22人参与语文竞赛，32人参与数学竞赛，27人参与英语竞赛，其中同时参与语文竞赛与数学竞赛的有12人，同时参与语文竞赛与英语竞赛的有14人，同时参与数学竞赛与英语竞赛的有15人．请问：五年级一班参与竞赛的总人数最少是多少？7．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问：(1)恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？(2)恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？8．一根1.8米长的木棍，从左端开场每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，每隔7厘米划一个刻度，假如按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？。

第12讲余数内容概述驾驭余数的概念与基本性质，驾驭除以某些特别数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题爱好篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4. 4个运动员进行乒乓球竞赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间竞赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：竞赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发觉最终一包不够17个．请问：最终一包有多少个零件？6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？7．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？10．100多名小挚友站成一列，从第一人起先依次按1，2，3，…，11的依次循环报数，最终一名同学报的数是9；假如按1，2，3，…，13的依次循环报数，那么最终一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小挚友？拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．2．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？3．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最终一包不够19个．请问：最终一包有多少个零件？4．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？5．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？7．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？8．刘叔叔养了400多只兔子，假如每3只兔子关在一个笼子里，那么最终一个笼子里有2只；假如每5只兔子关在一个笼子里，那么最终一个笼子里有4只；假如每7只兔子关在一个笼子里，那么最终一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？9． 123123123123123个除以99的余数是多少？10．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最终一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．12．用61和90分别除以某一个数，除完后发觉两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，假如这个数大于1，那么这个数是多少？超越篇1．从l 依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899.这个多位数除以11的余数是多少？2．算式72008777777个⨯⨯⨯++⨯+计算结果的末两位数字是多少？3．算式20077531⨯⨯⨯⨯⨯ 计算结果的末两位数字是多少？4．有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：假如10根一包，最终还剩9根；假如9根一包，最终还剩8根；假如依次以8、7、6、5根为一包，最终分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出全部的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知.0000940909421717!21CD AB 那么四位数ABCD 是多少？8．有一些自然数n ，满意：2n - n 是3的倍数，3n - n 是5的倍数，5n - n 是2的倍数，请问：这样的，n 中最小的是多少？。

第19讲工程问题掌握工作总量、工作效率、工作时间作基本“单位1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化、总量变化等各种形式的问题；学会解决“水池注水”形式的问题．爱好篇1．甲、乙两辆车运一堆煤，假如只用甲车运，15小时可以运完；假如只用乙车运，10小时可以运完．请问：(1)假如两车一起运，多少小时可以运完？(2)假如甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？2．一项工作，甲单独做20天可以完毕，乙单独做30天可以完毕，现在两人合做，用16天就完毕了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？3．假如甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完毕；假如乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，所有工程才完毕了一半，请问：甲队单独完毕这项工程需要多少天？4．一项工程，甲单独做要6小时完毕，乙单独做要10小时完毕．假如按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作1小时后互换，那么需要多少小时才干完毕任务？5．有一批工人做某项工程，原计划4天完毕．假如增长6人，只需要3天就能完毕．现在人数不仅没有增长，反而减少了9人，求完毕这项工程需要的天数．6．甲、乙两队分别在A 、B 两块地植树，B 地需要植树的数量是A 地的两倍，已知甲队单独在A 地植树需要12天完毕，乙队单独在B 地植树需要30天完毕．现在甲、乙两队分别在A 、B 两地同时开始，当甲队做完后便去B 地和乙队共同工作．请问：两队要用多少天才干种完树？7．一水池装有一个进水管和一个排水管．假如单开进水管，5小时可将空池灌满；假如单开排水管，7小时可将整池水排完．现在先打开进水管，2小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？8．蓄水池有甲、乙、丙三个进水管．假如想灌满整池水，单开甲管需10小时，单开乙管需12小时，单开丙管需15小时．上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满，问：甲管在何时被关闭？9．师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分派3000元报酬．假如按照原定计划，师傅应当得到1800元，但开始工作前有一名徒弟生病住院，最后是师傅和另一名徒弟完毕了所有工作．假如两个徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得到多少元？10．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完毕这项工程的具体情况是：甲、乙两人合做6天完毕了工程的31；因甲半途有事，由乙、丙合做2天，完毕了余下工程的41；之后三人合做5天完毕了这项工程．假如按完毕工作量的多少来付酬，每人应得多少元？拓展篇1．一条公路，甲队单独修需20天完毕，乙队单独修需30天完毕，请问：(1)假如甲、乙两队合做，共需要多少天完毕？(2)假如甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多少天？2．有一批资料需要复印，甲复印机单独复印要11小时，乙复印机单独复印要13小时．现在甲、乙两台复印机同时工作，由于互相有些干扰，两台机器每小时共少印28张，结果用6小时15分钟印完，请问：这批资料共有多少张？3．有一条公路，甲队单独修需20天，乙队单独修需30天，丙队单独修需40天，现在让三个队合修，但中间甲队撤出去到此外工地，结果用了12天才把这条公路修完．请问：当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完毕？4．甲、乙两人共同完毕一件工作．假如甲、乙两人合做2天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定期间完毕；假如甲单独做需要18天完毕；假如乙单独做，则要超过规定期间3天才干完毕．求完毕这件工作规定的天数．5．一项工程，乙单独做要14天完毕；假如第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做…一两人这样轮流做，需要9天竣工；假如第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做…一两人这样轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？6．甲、乙、丙三队要完毕A ，B 两项工程．B 工程的工作量比A 工程的工作量多41，已知甲队单独完毕A 工程要40天，乙、丙两队单独完毕B 工程分别需要60天、75天．开始时甲队做A 工程，乙、丙两队共同做B 工程；几天后，又调丙队与甲队共同完毕A 工程，剩下乙队单独做B 工程，结果两个工程同时完毕．请问：丙队与乙队合做了多少天？7．俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草收割贮存起来，冬季当作牲畜的饲料，大草地的面积恰好为小草地面积的2倍．这一年有一些割草人去草地割草，上午他们都在大草地里干活，午后这些人平均提成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚收工时（上、下午工作时间相同）恰好刚收割完；另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天．工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音刚落，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？8．蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需12小时注满水，单开乙管需18小时注满水．现规定10小时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？9．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流人．为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部队规定在2.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？10．某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时，水池中原有一些水，假如甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；假如甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问：水池中原有水多少立方米？11．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来届时起，每分钟来的观众人数同样多．假如开3个入场口，9时9分就不再有人排队；假如开5个入场口，9时5分就没有人排队．请问：第一个观众到达的时间是8时多少分？12．如图19-1，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．假如打开A 孔、关闭B孔，通过20分钟可将水箱注满；假如关闭A孔，打开B孔，通过22分钟可将水箱注满，假如两个孔都打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？超越篇1．甲工程队每工作5天必须休息l 天，乙工程队每工作6天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需62天（含休息），乙工程队单独做需51天（含休息）．请问：甲、乙两队合作完毕这项工程需要多少天？2．一水箱有甲、乙、丙三根进水管，假如只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；假如只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满，已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍．请问：该水箱注满时可容纳多少吨水？3．甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A 机器需要6小时才干完毕任务，用B 机器效率减少60%，乙用B 机器需要10小时才干完毕任务，用A 机器效率提高20%．假如甲用A 机器、乙用B 机器同时开始工作，半途某一时刻互换机器，最后恰好同时完毕任务，求甲、乙完毕任务所用的时间．4．甲、乙、丙三个工程队要完毕一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率的比进行分派，但是若干天之后，甲队由于种种因素退出，把甲队剩下工程的31交给乙队完毕，32交给丙队完毕．假如仍然要准时完毕该工程，乙队就必须将工作效率提高20%，丙队则必须提高30%．问：甲、乙、丙本来的工作效率之比是多少？假如工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到2700元，乙队得到6300元，那么丙队可以得到多少元？5．有一个长方体的容器，侧面有一个小洞，假如水面超过了小洞，那么容器内的水将会以一定的速度向外流出，现在打开1个水龙头向容器内注水，注到一半的时候用了80分钟，又过了100分钟容器内恰好注满水．已知水龙头注水的速度是小洞漏水速度的1.5倍．试问：假如用2个龙头一起向容器内注水，需要多少分钟可以注满？6．有甲、乙两个容积相同的空立方体水箱，在它们的侧面上分别有排水孔A 和B. A 孔和B 孔与底面的距离分别是水箱高度的65和21，且在排水时速度相同．现在以相同的速度一起向两水箱注水，并通过管道使A 孔排出的水直接流入乙箱，这样通过70分钟后，甲、乙两水箱恰好同时被注满．试问：假如以上述的速度向乙箱注水，乙箱从空到满需要多少分钟？7．有一个正方体水箱，在某个侧面相同高度的地方开有3个大小相同的出水孔，用一个进水管给空水箱灌水．假如3个出水孔全关闭，需要30分钟将水箱注满；假如打开1个出水孔，需要多用2分钟将水箱注满；假如打开2个出水孔，则需要35分钟将水箱注满．请问：当3个出水孔全开的时候，多少分钟可以将水箱注满？8．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完毕一半时前来帮忙，待工程完毕65时拜别，结果恰好按计划完毕任务，其中乙做了工程总量的一半；假如丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟310天完毕；假如全由甲单独做，就会比计划提前6天完毕．已知乙的工作效率是丙的3倍．请问：原计划工期是多少天？。

高思竞赛数学导引五年级第二十三讲计数综合二学生版高思竞赛数学导引五年级第二十三讲计数综合二学生版第23讲计数综合二（学生版）内容详述涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式．典型问题兴趣篇1．同时能够被6、7、8、9相乘的四位数存有多少个？2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问：(1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？(2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？3．在所有由1、3、5、7、9中的3个相同数字共同组成的三位数中，存有多少个就是3的倍数？4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？6.如果称要被8相乘或者所含数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中存有多少个“吉利数”？7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？8存有一些四位数的4个数字分别就是2个相同的奇数和2个相同的偶数，而且不所含数字0，这样的四位数存有几个？9．把2021、2021、2021、2021、2021这5个数分别填人图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？10．从1至7中挑选出6个数字插入图23.2的的表，使相连的两个方框内，下面的数字比上面小，右边的数字比左边小．恳请先得出一种填法，然后考量一共存有多少种填法？拓展篇1．分子大于6，分母大于20的最珍真分数共计多少个？2．从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问：(1)要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？(2)要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？3，小明的衣服口袋中存有10张卡片，分别写下着1，2，3，?，10.现从中掏出两张卡片，使卡片上两个数的乘积能够被6相乘，这样的挑选法共存有多少种？（备注：9无法倒转当做6去采用，6也无法倒转当做9去采用）4．六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被11整除的六位数？5．三个2，两个1和一个0可以共同组成多少个相同的六位数？谋所有符合条件的六位数的和．6.有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789.请问：此列数中的第100个数是多少？7.存有一些三位数的相连两位数字为2和3，比如132、235等等，这样的三位数一共存有多少个？8．在图23―3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？9.在1000，1001，…，2000这1001个自然数中，可以找出多少对相连的自然数，满足用户它们相乘时不位次？10．将1至7分别填入图234中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种相同的填法？11．在图23。

第16讲构造认证一内容概述各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满意全部要求，有时应从简洁情形入手找寻规律．本讲的论证问题，一般采纳奇偶性或整阵性的分析方法．典型问题爱好篇1．如图16-1，用1×2与1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少须要地板砖多少块？2．国际象棋的皇后可以限制她所在的横线、竖线与斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3的棋盘限制了．为了限制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？3．图16-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，假如仅挪动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应当怎样挪动？请在图中表示出挪动的方法．4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应当如何装？5．把正方体的全部棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？6．请在9，8，…，3，2，l的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能变更数的依次），使得结果是1．能否使得结果是0呢？7．如图16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之与都是奇数？假如能，请写出一种填法；假如不能，请说明理由，8．四位同学进展了一次乒乓球单打竞赛，当竞赛进展了若干场后，体育老师问他们分别竞赛了多少场．这四位同学答复分别比了1、2、3、3场．老师说：“你们确定有人记错了．”请问：老师是怎么知道的呢？9．有四个算式：口+口=口，口－口=口，口×口=口，口÷口=口，假如每一个算式中都至少有1个偶数与1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？假如没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？10．有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，…，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之与．拓展篇1．图16-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，假如仅挪动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应当怎样挪动？请在图中表示出挪动的方法．2．小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，都不必再分割蛋糕．这7块蛋糕的重量分别是多少？3．有4颗外形完全一样的珍宝，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍宝比真的要轻，请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍宝？假如是9颗珍宝里有1颗假的呢？请设计出方案.4．图16-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线，用它可以一次量出从1至6厘米中随意整数厘米的长度．右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中随意整数厘米的长度．5．请将8个1，8个0填人图16-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之与都是奇数．6．有一列自然数，其中随意3个相连的数之与都不小于6，而随意4个相连的数之与都小于8．这个数列最多能有几项？7．用7个一样的数字并且适当运用加、减号，可以计算出1000，例如1111 - 111=1000.试用8个一样的数字（并且适当运用加号、减号）来计算1000.8．有12根小木棍，长度分别为l，2，3，4，…，12厘米．(1)能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；(2)能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．9．(1)请在l，2，3，…，19，20的相邻两个数之间填入“+”或者“一”（不能变更数的依次），使得结果是0．(2)能否在1，2，3，…，20，21的相邻两个数之间填人“+”或者“一”（不能变更数的依次），使得结果是0．10．有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关限制，每次操作可以拉动其中的2个开关以变更相应灯泡的亮暗状态，能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？11．桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5，然后冬冬在反面也分别写上l、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之与，再把5个与相乘．问：冬冬能否找到一种写法，使得最终的乘积是奇数？为什么？12．将一个三位数变更三个数字的依次之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数与原来的三位数之与能不能等于999，假如能，请举出例子；假如不能，请说明理由．超越篇1．桌上放有5枚硬币，第一次翻动其中l枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，第四次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最终全部的硬币都翻过来？假如桌上放有6枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最终全部的硬币都翻过来？2．甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息．他们之间通过传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告知乙，乙也把自己所知道的全部信息告知甲，请你设计一种方案，使得只需打4次，就可以使得每个人都知道其他全部人的信息．3．天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放人物品与砝码，当天平平衡时，我们可以依据砝码的重量来知道物品的重量．(1)在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中．至少须要打算多少个砝码，才能保证一次称出l至20克之间的随意整数克的物品？(2)在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少须要打算多少个砝码，才能保证一次称出l至32克之间的随意整数克的物品？4．如图16-9所示，18个孩子站在24个方格中，每格最多站1人，要使得每行每列站的孩子数都是偶数．请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可）．5．如图16-10所示，有3个3x3的方格表，每个都已经填入了9个整数．假如将表中同一行或同一列的3个数加上一样的整数称为一次操作，问：(1)下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中9个数都变为一样的数？若有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；(2)是否有某些方格表可以通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明理由．6．(1)能否将1、2、3、4、5围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？(2)能否将1、2、3、4、5、6、7围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？7．旅店如今有9个单人间，10名旅客可能人住．这10名旅客每次有9个人同时人住，管理员想事先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪9个人人住，总能正好人住这9个房间，而且不用找别人借钥匙，请问：最少须要多少把钥匙？8．如图16-11，在五角星图案中共有10个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的三角形共有10个．如今将自然数1至10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的与称为此三角形的“特征值”．请问：(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；(2)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被3整除．能则举出例子，不能请说明理由．。

第24讲抽屉原理二内容概述抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子．典型问题兴趣篇1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。

5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，一定有两个数差1．6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数．10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1．拓展篇1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的．2．任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等．3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？4．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？5．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于1007最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？6．如果在1，2，…，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？7．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？8．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？9．请说明：任意5个数中必有3个数的和是3的倍数．10．任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。