2019-2020学年福建省建瓯市第二中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)

2019-2020年高二9月月考数学纯含解析请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，314q a a =，即16312⨯=a ，解得21=a考点：等比数列的通项公式2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中, a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= （ ）A ．B ．7C ．6D ．【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，所以a 4a 5a 6＝25 故答案为25考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．3．复数11Z i =-的模为 （ ）A ．12B C D ．2【答案】B 【解析】试题分析：因为复数11Z i =-，则222111==-=i z 考点：复数的模的求法4．二项式91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是（ ）A ．84B ．-84C ．126D ．-126【答案】B 【解析】试题分析：：由于二项式的通项公式为 r r r r rr r x C xx C T 299991)1()1(--+-=-= 令9-2r=3，解得 r=3，∴展开式中x 3的系数是 （−1）3•8439-=C故答案为-84．．考点：二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=10，S 20 =30，则S 30 = （ ） A ．50 B ．60 C ．80 D ．90 【答案】D 【解析】试题分析：等差数列{a n }中，2030,1020,10s s s s s --也成等差数列，易得S 30 =90考点：等差数列性质6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：在锐角ABC ∆中，C a A c cos 3sin =,由正弦定理得，,cos sin 3sin sin C A A C =，解得3tan =C 3π=C 所以又因为3π=B ,所以ABC ∆是等边三角形，33sin 2221=⨯⨯=∆πABC s 考点：正弦定理与三角形面积公式 7．若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 【答案】B【解析】试题分析：337131231|311332131<=⨯-⨯==<x S ;12ln 1ln 2ln |ln 212<=-==x S ; 213|x e S =e e -=23>,所以213S S S <<考点：定积分8．．函数3212y x x =-在区间[1,3]-上的最大值和最小值分别为（ ）A ．18,-．54,12- C ．-．10,-【解析】试题分析：),2)(2(61262'+-=-=x x x y 令,0'=y 则2=x ，舍去）2(-当101=-=y x 时，，282-==y x 时，当,183==y x 时，比较三个数的大小，最大的是最大值，最小的是最小值，所以答案为A 考点：函数的导数与最值9．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．648 C ．328 D ．360 【答案】C 【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）． 考点：排列组合知识10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（ ）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种 【答案】D 【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有45C 种方法，二是选甲，共有35C 种方法，三是选乙，共有35C 种方法，把这3个数相加可得结果为25 考点：排列组合公式11．若a 、b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2>2ab B ．a+b ≥ C ．1a +1b D ．b a +a b ≥2 【答案】D【解析】试题分析：答案A ，b a =时可取等号，答案B b a ,均为负数时不成立，答案C ，b a ,均为负数时不成立答案D 对，也可用特殊值法 考点：基本不等式成立条件12．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：34224,2122≥++=+≥+xx x x x x x ，4273332733≥+++=+x x x x x x 成立，观察上面各式，按此规律若45ax x +≥，则正数a =（ ） A ．4 B ．5 C ．44 D ．55【解析】试题分析：观察给出的各个不等式，不难得到112x x +≥，2223x x +≥，3334x x+≥，从而第4个不等式为4445x x +≥，所以当45a x x+≥时，正数44a =，选C ．考点：寻找规律，归纳推理13．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为（ ） A ．72 B ．36 C ．52 D ．24 【答案】B 【解析】试题分析：当丙在第一或第五位置时,有2=24（种）方法;当丙在第二或第四位置时,有2=8（种）方法;当丙在第三位置时,有=4（种）方法,则不同的排法种数为24+8+4=36．考点：排列组合知识14．用数学归纳法证明“42n-1＋3n+1（n ∈N *）能被13整除”的第二步中，当n=k ＋1时为了使用归纳假设，对42k+1＋3k+2变形正确的是（ ）A ．16（42k-1＋3k+1）-13×3k+1B ．4×42k ＋9×3kC ．（42k-1＋3k+1）＋15×42k-1＋2×3k+1D ．3（42k-1＋3k+1）-13×42k-1【答案】A 【解析】试题分析：假设当时k n =，11234+-+k k 能被13整除，当时1+=k n 21234+++k k 应化成11234+-+k k 形式，所以答案为A考点：数学归纳法 15．．设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′（x ）g （x ）＋f （x ）g′（x ）> 0，且g （－3）＝0，则不等式f （x ）g （x ）<0的解集是（ ） A ．（－3,0）∪（3，＋∞） B ．（－3,0）∪（0,3） C ．（－∞，－3）∪（3，＋∞） D ．（－∞，－3）∪（0,3） 【答案】D 【解析】试题分析：解：令h （x ）=f （x ）g （x ），则h （-x ）=f （-x ）g （-x ）=-f （x ）g （x ）=-h （x ），因此函数h （x ）在R 上是奇函数．①∵当x ＜0时，h′（x ）=f′（x ）g （x ）+f （x ）g′（x ）＞0，∴h （x ）在x ＜0时单调递增，故函数h （x ）在R 上单调递增．∵h （-3）=f （-3）g （-3）=0，∴h （x ）=f （x ）g （x ）＜0=h （-3），∴x ＜-3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=-h（-3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．故答案为（-∞，-3）∪（0，3）．．考点：构造函数，函数的奇偶性单调性第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）16．a ，b ∈R ，a ＋bi ＝（1＋2i ）（1－i ）（i 为虚数单位），则a ＋b 的值为 ． 【答案】4 【解析】试题分析：因为a ，b ∈R ，a ＋bi ＝（1＋2i ）（1－i ） （i 为虚数单位），所以a ＋bi=3+i,所以⎩⎨⎧==13b a ,所以a+b=4考点：复数的乘法及复数相等的条件17．62⎛- ⎝的展开式中的第四项是________． 【答案】－160x【解析】试题分析：根据二项展开式的通项公式=-⨯⨯=)1(233364xC T x160-考点：二项展开式的通项公式 18．若2bex⎰dx ＝6，则b ＝________． 【答案】4e 【解析】 试题分析：2bex⎰=2x ln |be =2e b ln 2ln -6=,解得4e b = 考点：定积分19．设f （n ）＝1＋111123431n ⋯＋＋＋＋－（n ∈N *），则f （k ＋1）－f （k ）＝________． 【答案】111.33132k k k ＋＋＋＋ 【解析】 试题分析：=)(k f 13131211-+⋅⋅⋅+++k ,=+)1(k f 13131211-+⋅⋅⋅+++k 23113131+++++k k k ,所以，-+)1(k f =)(k f 13131211(-+⋅⋅⋅+++k )23113131+++++k k k (-)13131211-+⋅⋅⋅+++k =111.33132k k k ＋＋＋＋ 考点：寻求规律，数学归纳法20．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．【答案】2n，2)1(+n n 【解析】试题分析：设等比数列{a n }的公比q ，8216143===a a q 解得q=2， ∴a n =a 1q n-1=2×2n-1=2n，∴b n =log 2a n =log 22n=n ， ∴b 1=1，∵b n =n 是首项为1，公差为1的等差数列，2)1(2)(1+=+=n n b b n s n n 考点：等差数列和等比数列的性质和求和公式三、解答题（题型注释）21．（1）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）= *)(2)4)(3(N n n n ∈++．（2）用数学归纳法证明不等式*)(2131211N n n n∈<++++．【答案】见解析 【解析】试题分析：本题考查用数学归纳法证明等式成立，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n 0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立 试题解析：证明：（1）①当n=1时，左边=1+2+3+4=10，右边=2)41)(31(++10=左边=右边．②假设n=k 时等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=2)4)(3(++k k那么n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=2)4)(3(++k k +（k+4）=2)5)(4(++k k等式成立．综上1+2+3+…+（n+3）=*)(2)4)(3(N n n n ∈++成立．（2）证明：①当n=1时，左边=1，右边=2，∴n=1不等式成立． ②假设当n=k （k≥2）时成立，即*)(2131211N k k k∈<++++那么当n=k+1时，左边=11211131211++<++++++k k k k∵4k 2+4k ＜4k 2+4k+1，可得k k +2212+<k ，即：1212211211121122+=++<+++=+++=++k k k k k k k k k k k．这就是说n=k+1时不等式也成立．综上①②可知不等式对所有的n ∈N *考点：数学归纳法证明不等式22．（1）设0,0>>b a ，求证: .2233ab b a b a +≥+ （2）已知正数．．x 、y 满足2x+y=1，求yx 11+的最小值及对应的x 、y 值． （3）已知实数x y z 、、满足3694222=++z y x ， x y z ++的最大值及对应的x 、y 、z 值． 【答案】（1）见解析；（2）x 1y =时11x y+有最小值为3+。

建瓯市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题1．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜02．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0）C．y=x（x∈R）D．y=﹣x3（x∈R）3．已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（）A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能4．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）A．（﹣5，﹣10）B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）5．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcoscos||||->-”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 7．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96 B．48 C．24 D．08．已知等差数列的公差且成等比数列，则（）A．B．C．D．9． 下列命题中正确的是（ ）A ．复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是a=c 且b=dB ．任何复数都不能比较大小 C．若=，则z 1=z 2D ．若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2或z 1=10．若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0B ．1C ．D ．311．矩形ABCD 中，AD=mAB ，E 为BC的中点，若，则m=（ ）A．B．C ．2D ．312．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（ ）A ．2 B．C．D ．13二、填空题13．下列结论正确的是①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；②以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4；③已知命题“若函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是增函数，则m ≤1”的逆否命题是“若m ＞1，则函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是减函数”是真命题；④设常数a ，b ∈R ，则不等式ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．15．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．16．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为______．17．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．18．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S 的最小值是 ．三、解答题19．已知f （α）=，（1）化简f （α）；（2）若f （α）=﹣2，求sin αcos α+cos 2α的值．20．已知函数f （x ）=sin2x •sin φ+cos 2x •cos φ+sin （π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）（Ⅰ）求函数f （x ）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若x 0∈（，π），sinx 0=，求f （x 0）的值．21．（本小题满分12分）一直线被两直线12:460,:3560l x y l x y ++=--=截得线段的中点是P 点, 当P 点为()0,0时, 求此直线方程.22．已知p：2x2﹣3x+1≤0，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0（1）若a=，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．23．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．24．已知函数f（x）=．（1）求f（f（﹣2））；（2）画出函数f（x）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域．建瓯市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B2．【答案】D【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，故选：D3．【答案】A【解析】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），将直线与抛物线方程联立得，消去y得：x2﹣mx﹣1=0，根据韦达定理得：x1x2=﹣1，由=（x1，x12），=（x2，x22），得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB 为直角三角形．故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．4． 【答案】B 【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，故选B ．5． 【答案】A【解析】解：设AB 的中点为C ，则因为，所以|OC|≥|AC|，因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2，所以2（）2≥1，所以a ≤﹣1或a ≥1，因为＜1，所以﹣＜a ＜，所以实数a 的取值范围是，故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．6． 【答案】A.【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 7． 【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．故选B．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．8．【答案】A【解析】由已知，，成等比数列，所以，即所以，故选A答案：A9．【答案】C【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．B．实数是复数，实数能比较大小．C．∵=，则z1=z2，正确；D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．10．【答案】B【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，所以f（9）=log33=1．故选：B．【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．11．【答案】A【解析】解：∵AD=mAB，E为BC的中点，∴=+=+=+，=﹣，∵，∴•=（+）（﹣）=||2﹣||2+=（﹣1）||2=0，∴﹣1=0，解得m=或m=﹣（舍去），故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．12．【答案】C【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，可得=||||cos＜，＞=3×1×=，即有|﹣4|===．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．二、填空题13．【答案】①②④【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确，②∵y=ce kx，∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+4，∴lnc=4，∴c=e4．故②正确，③已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=e x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，即m≤e x，∵x＞0，∴e x＞1，则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误，④设f（x）=ax2﹣（a+b﹣1）x+b，则f（0）=b＞0，f（1）=a﹣（a+b﹣1）+b=1＞0，∴要使∀x＞1恒成立，则对称轴x=，即a+b﹣1≤2a，即a≥b﹣1，即不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．故④正确，故答案为：①②④14．【答案】D【解析】.15．【答案】[3,6]【解析】16．【答案】【解析】令，则所以为奇函数且单调递增，因此即点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内17．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y2=5m得到y2=m要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是y2≥1得到m≥1∵椭圆方程中，m≠5m的范围是[1，5）∪（5，+∞）故答案为[1，5）∪（5，+∞）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．18．【答案】．【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）令3﹣x=t，t∈（2，3），∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成立；故答案为：．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）f（α）===﹣tanα；…5（分）（2）∵f（α）=﹣2，∴tanα=2，…6（分）∴sinαcosα+cos2α====．…10（分）20．【答案】【解析】（本小题满分12分）φ解：（Ⅰ）f（x）=+﹣=+=）由f（x）图象过点（）知：所以：φ=所以f（x）=令（k∈Z）即：所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），则：2x0∈（π，2π）则：=sin所以=）=【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．21．【答案】16y x =-．【解析】试题分析：设所求直线与两直线12,l l 分别交于()()1122,,,A x y B x y ,根据因为()()1122,,,A x y B x y 分别在直线12,l l 上，列出方程组，求解11,x y 的值，即可求解直线的方程. 1考点：直线方程的求解. 22．【答案】【解析】解：p ：，q ：a ≤x ≤a+1；∴（1）若a=，则q ：；∵p ∧q 为真，∴p ，q 都为真；∴，∴；∴实数x 的取值范围为；（2）若p 是q 的充分不必要条件，即由p 能得到q ，而由q 得不到p ；∴，∴；∴实数a 的取值范围为．【点评】考查解一元二次不等式，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系，以及充分不必要条件的概念．23．【答案】【解析】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，V2=••2•2•2=cm3，∴V=v1﹣v2=cm3（3）证明：如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；2016年4月26日24．【答案】【解析】解：（1）函数f（x）=．f（﹣2）=﹣2+2=0，f（f（﹣2））=f（0）=0.3分（2）函数的图象如图：…单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）…由图可知：f（﹣4）=﹣2，f（﹣1）=1，函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．。

2015-2016学年某某省某某市建瓯二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．1．合集U={0，1，2，3}，∁U M={2}，则集合M=（）A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}2．命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是（）A．∀x2＞1，x≤1B．∀x2≤1，x≤1C．∃x2＞1，x≤1D．∃x2≤1，x≤13．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．255．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B．C． D．6．命题p：f（x）=x2﹣2ax+1在（1，+∞）上是增函数；命题q：f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）是减函数，则p是q的（）A．既不充分也不必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件7．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣1或1 B．﹣2或0 C．﹣2或1 D．﹣1或08．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣39．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．2010．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．设a＞0，若关于x的不等式恒成立，则a的最小值为（）A．4 B．2 C．16 D．112．若集合M，N满足M∪N=Ω，则称[M，N]是集合Ω的一组双子集拆分，规定：[M，N]和[N，M]是Ω的同一组双子集拆分，已知集合Ω={1，2，3}，那么Ω的不同双子集拆分共有（）A．16组B．15组C．14组D．13组二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（x+）dx=．14．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．15．若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．16．观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n 个等式为．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M．19．已知向量=（，﹣1），=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．20．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．2015-2016学年某某省某某市建瓯二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．1．合集U={0，1，2，3}，∁U M={2}，则集合M=（）A．{0，1，3} B．{1，3} C．{0，3} D．{2}【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题．【分析】利用全集和补集的定义，确定集合M元素的构成．【解答】解：∵合集U={0，1，2，3}，C U M={2}，∴M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合，集合M={0，1，3}，故选 A．【点评】本题考查全集和补集的定义，确定M是把全集U中的元素去掉2后，剩余元素构成的集合是解题的关键．2．命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是（）A．∀x2＞1，x≤1B．∀x2≤1，x≤1C．∃x2＞1，x≤1D．∃x2≤1，x≤1【考点】全称命题；命题的否定．【专题】规律型．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x2＞1，x＞1”的否定是：∃x2＞1，x≤1．故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．进比较基础．3．已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．z在复平面内对应的点位于第四象限．故选D．【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查．4．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7 B．15 C．20 D．25【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．5．向量，，且∥，则cos2α=（）A． B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据向量平行的条件建立关于α的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sinα=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2α的值．【解答】解：∵，，且∥，∴，即，化简得sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=故选：D【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2α的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题．6．命题p：f（x）=x2﹣2ax+1在（1，+∞）上是增函数；命题q：f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）是减函数，则p是q的（）A．既不充分也不必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2ax+1在（1，+∞）上是增函数；∴对称轴，即p：a≤1．∵f（x）=log a x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）是减函数，∴0＜a＜1，即q：0＜a＜1，∴p是q的必要不充分条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．7．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣1或1 B．﹣2或0 C．﹣2或1 D．﹣1或0【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求y=的值，分当x≥0时和当x＜0时求得输出的结果为0的x值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，∵输出的结果为0，当x≥0时，x2﹣1=0⇒x=1；当x＜0时，﹣x2﹣2x=0⇒x=﹣2，故选：C．【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．8．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域可知，当直线过点A时，截距最小，z最大，联立直线方程求出A的坐标，代入z=x﹣3y求z 得最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=x﹣3y，得．要使z最大，则直线在y轴上的截距最小．由图可知，当直线过点A时，截距最小，z最大．联立，解得，∴A（﹣2，﹣2）．则z=x﹣3y的最大值为﹣2﹣3×（﹣2）=4．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．9．二项式（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得常数项的值．【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令6﹣=0，求得r=4，故展开式中常数项为=15，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2﹣x⇒x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，考查了学生的空间想象能力及作图能力，判断几何体的特征及利用特征求外接球的半径是关键．11．设a＞0，若关于x的不等式恒成立，则a的最小值为（）A．4 B．2 C．16 D．1【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a＞0，若关于x的不等式恒成立，∴，解得a≥4．∴a的最小值为4．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式和恒成立问题，属于基础题．12．若集合M，N满足M∪N=Ω，则称[M，N]是集合Ω的一组双子集拆分，规定：[M，N]和[N，M]是Ω的同一组双子集拆分，已知集合Ω={1，2，3}，那么Ω的不同双子集拆分共有（）A．16组B．15组C．14组D．13组【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】根据题意，由Ω的子集，结合题意中“Ω的同一组双子集拆分”的定义分情况讨论其不同双子集拆分的个数，即可得答案．【解答】解：∵Ω={1，2，3}，其子集是φ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，{1}分别与{1，2，3}，与{2，3}，共两组，同理{2}分别与{1，2，3}，与{1，3}两组，{3}分别与{1，2，3}，与{1，2}，共两组；{1，2}分别与{1，2，3}，与{2，3}，与{1，3}，与{3}，共四组，同理与{2，3}是一组双子集拆分有四组，和{1，3}是一组双子集拆分共四组，{1，2，3}与{1，2，3}一组；但有6组重合的，所以共有20﹣6=14组，∴A的不同双子集拆分共有14组，故选C．【点评】本题考查集合的子集，关键正确理解题意中“Ω的同一组双子集拆分”的定义，其次注意不要忽视其中重复的集合．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（x+）dx=．【考点】定积分．【专题】导数的综合应用．【分析】由于，利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：原式===．故答案为．【点评】本题考查了微积分基本定理，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则f（f（））的值是= ﹣2 ．【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力．15．若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n= （﹣2）n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1=（﹣2）n﹣1经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16．观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为13+23+33+43+…+n3=（）2．【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2【点评】本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．18．如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的模；（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；向量语言表述线线的垂直、平行关系．【专题】综合题；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；（2）求出=（1，﹣1，2），=（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；（3）证明•=0，即可证明A1B⊥C1M．【解答】（1）解：以C为坐标原点，以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），∴||==．（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．∴=（1，﹣1，2），=（0，1，2），∴=3．∴||=，||=，∴cos＜，＞==，∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为．（3）证明：∵ =（﹣1，1，﹣2），=（，，0），∴•=﹣1×+1×+（﹣2）×0=0，∴⊥，即A1B⊥C1M．【点评】本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．19．已知向量=（，﹣1），=（sin2x，cos2x），函数f（x）=•．（1）若f（x）=0且0＜x＜π，求x的值．（2）求函数f（x）的单调增区间以及函数取得最大值时，向量与的夹角．【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）利用向量的数量积可得f（x）=•=sin2x﹣cos2x，由f（x）=0可求得tan2x=，而0＜x＜π，于是可求x的值；（2）依题意，可求f（x）=2sin（2x﹣），利用正弦函数的单调性质可求其单调增区间及最大值，再利用向量的数量积可求得向量与的夹角．【解答】解：（1）∵f（x）=•=sin2x﹣cos2x，∴由f（x）=0得sin2x﹣cos2x=0，即tan2x=．∵0＜x＜π，∴0＜2x＜2π，∴2x=或2x=，∴x=或x=．（2）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由上可得f（x）max=2，当f（x）=2时，由•=||•||cos＜•＞=2得：cos＜•＞==1，∵0≤＜•＞≤π，∴＜•＞=0，即f（x）取得最大值时，向量与的夹角为0．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．20．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d 和a1进而根据等差数列通项公式求得a n．（2）令=，则有a n=c1+c2+…+，a n+1=c1+c2+…++1两式相减得+1等于常数2，进而可得b n，进而根据b1=2a1求得b1则数列{b n}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则依题意可知d＞0由a2+a7=16，得2a1+7d=16①由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②由①②联立方程求得得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）令=，则有a n=c1+c2+…+a n+1=c1+c2+…++1两式相减得a n+1﹣a n=+1，由（1）得a1=1，a n+1﹣a n=2∴+1=2，即=2（n≥2），即当n≥2时，b n=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2∴b n=于是S n=b1+b2+b3+…+b n=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n≥2，．【点评】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；定义法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）根据函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a﹣当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，则f（1）=﹣2，f′（x）=﹣1，则f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（Ⅱ）f′（x）=﹣a﹣==，f （x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f′（x）=，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）当a≠0时，，即0＜a＜时，f（x）的增区间为（1，），减区间为（0，1），（，+∞）当=1，即a=时，f（x）在（0，+∞）上单调递减当＜1，即a＞或a＜0，当a＞时，f（x）的增区间为（，1），减区间为（0，），（1，+∞），当a＜0时，f（x）的增区间为（0，），（1，+∞），减区间为（，1）【点评】本题主要考查函数导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连结BD，由正三角形性质的BG⊥AD，由此能证明BG⊥平面PAD．（2）以G为原点，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由此能求出平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值．（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H，由已知条件得四边形CDGE为平行四边形，由此能证明平面DEF⊥平面ABCD．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：连结BD．因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以△ABD为正三角形．又G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面PAD．（2）解：∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．∵PG⊂平面PAD，由（1）得：PG⊥GB．又由（1）知BG⊥AD．∴PG、BG、AD两两垂直．故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系G﹣xyz，，，所以G（0，0，0），D（0，1，0），，，，设平面PCD的法向量为，∴，即令z=1，则x=﹣1，y=，∴，又平面PBG的法向量为=（0，2，0），设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为θ，则∴即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为．（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H．因为E、G分别为BC、AD的中点，∴四边形CDGE为平行四边形，∴H为CG的中点．又F为CP的中点，∴FH∥PG．由（2），得PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．又FH⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

2019-2020学年高二数学上学期第二次月考试题(11)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则前9项和9S 的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．在ABC ∆中，若3a =，1cos 2A =-，则ABC ∆的外接圆半径是（ ）A ．12 B C ．3．不等式()()120x x --≥的解集为（ ）A ．{}12x x ≤≤ B ．{1x x ≤或}2x ≥ C ．{}12x x << D ．{1x x <或}2x >4．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，1315a a a +++=L （ ） A ．124 B ．120 C ．128 D ．1215．在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 6．设,a b 是非零实数，若a b >，则一定有（ ） A ．11a b < B ．2a ab > C ．2211ab a b > D ．11a b a b->-7．在ABC ∆中，2a =，b =4A π=，则角B =（ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3π D ．56π8．设数列{}n a 满足()21*1232222n n n a a a a n -++++=∈N L ，通项公式是（ ）A ．12n a n =B ．112n n a -=C ．12n n a =D ．112n n a +=9．若221xy+=，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞- 10．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若3A π=，()1cos cos b C c A -=，2b =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．．3D 11．ABC ∆的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sin sin Cq A+的取值范围为（ ）A ．()0,+∞B ．(1,2+C ．()1,+∞D ．)112．数列{}n a 的通项公式为123n a n =-，12n n n n b a a a ++=⋅⋅，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则n S 的最大值为（ ）A ．280B ．308C ．310D ．320第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在ABC ∆中，三边a b c 、、所对的角分别为A B C 、、，若2220a b c +-=，则角C 的大小为 ．14．在数列{}n a 中，其前n 项和32n n S k =⋅+，若数列{}n a 是等比数列，则常数k 的值为 ． 15．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是 ．（答案写成集合或区间格式）16．已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，3362n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，则实数k 的取值范围 ．（答案写成集合或区间格式） 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知()211f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）当12a =时，解不等式()0f x ≤； （2）若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤.18．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长L 的取值范围.19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区1111A B C D （阴影部分）和环公园人行道组成.已知休闲区1111A B C D 的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米.（1）若设休闲区的长11A B x =米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数()S x 的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区1111A B C D 的长和宽该如何设计？20．已知数列{}n a 中，12a =，11322n nn n a a ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和.21．（1）在锐角ABC ∆中，1BC =，2B A =，求cos ACA的值及AC 的取值范围； （2）在ABC ∆中，已知2221cos cos cos A B C +=+，试判断ABC ∆的形状.22．设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.南阳一中2017秋高二第二次月考数学答案一、选择题1-5:BDADC 6-10:CACDD 11、12：BC 二、填空题 13．34π（或135°） 14．3- 15．()1,9- 16．2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题 17．解：（1）当12a =时，有不等式()25102f x x x =-+≤， ∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴不等式的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）∵不等式()()10f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当1a a >时，有01a <<，∴不等式的解集为1x a x a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； 当1a a <时，有1a >，∴不等式的解集为1x x a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭； 当1a a=时，有1a =，∴不等式的解集为{}1. 18．解:（1）∵1cos 2a C cb +=，由正弦定理得12sin cos 2sin 2sin 2R A C R C R B +=，即1sin cos sin sin 2A C CB +=，又∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos sin 2C A C =， ∵sin 0C ≠， ∴1cos 2A =， 又∵0A π<<， ∴3A π=.（2）由正弦定理得：sinsin a B b A ==c =∴1a b c =++)1sin sinB C =+ ())1sin sinB A B =++112cos 2B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∵3A π=，∴20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 故ABC ∆的周长L 的取值范围为(]2,3. 19．解：（1）由11A B x =，知114000B C x=()4000208S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()8000416080x x x=++>（2）8000041608S x x =++≥41605760+= 当且仅当800008x x=即100x =时取等号 ∴要使公园所占面积最小，休闲区1111A B C D 的长为100米，宽为40米. 20．解：（1）2n n n a b =，则1112n n n a b +++=，由题13n n b b +=+ 则13n n b b +-= ∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为3，首项为1的等差数列， ∴()131322nn a n n =+-=- ∴()322n n a n =-⋅ （2）设23124272n S =⋅+⋅+⋅++L ()()1352322n n n n --⋅+-⋅则2342124272n S =⋅+⋅+⋅++L ()()1352322n n n n +-⋅+-⋅相减得()()23123222322n n n S n +-=++++--⋅L()()2112212332221n n n -+-=+⋅--⋅-()()112324322n n n ++=+---⋅()110532n n +=-+-⋅∴()110352n n S n +=+-⋅.21．解：（1）设2A B θθ∠=⇒=，由正弦定理得sin 2sin AC BCθθ=，∴122cos cos AC ACθθ=⇒=.由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<︒ooo，又01803903060θθ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos θθ︒<<︒⇒<<∴2cos AC θ=∈.（2）由题，2222sin 2sin sin A B C -=--，∴222sin sin sin A B C =+ 由正弦定理得222a b c =+，∴ABC ∆为直角三角形.22．解：（1）由题意可得22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=，即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，2112a a a =+，所以11a =，11n a a n n =+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为12121n n n b n n ++=+=-++1111122112n n n n ++=+-++++，所以()12222n n T b b b =+++=+++L L 111111233412n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L所以12n n T b b b =+++=L 11122222n n n +-<++.。