2017年福建省普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．平面向量()2,1=a ，(),2m =-b ，若a 与b 共线，则m 的值为（ ） A ．1- B ．4- C ．1 D ．43．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（ ）A B ．2C D ．54．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅ ”的充要条件是 A ． 2a >- B ．2a ≤- C ．1a >- D ．1a ≥-5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于A ．0B ．8C ．144D ．1627．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <，有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12．523)1(xx +展开式的常数项是 ．13．圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．若圆C 被直线0x y -=截得的弦长为22,则圆C 的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m 的最大值是 .15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈， 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)17. (本小题满分13分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥. （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BCBN的值；若不存在，说明理由．18. (本小题满分13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）． 19. (本小题满分13分)已知12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P 满足12PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=．（ⅰ）试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题满分14分)设函数)(x f 的图象是由函数21cos sin 3cos )(2-+=x x x x g 的图象经下列两个步骤变换得到： （1）将函数)(x g 的图象向右平移12π个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象；（2）将函数()h x 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2m m <<倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数)(x f 的图象． （Ⅰ）求)(x f 的表达式；（Ⅱ）判断方程x x f =)(的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列}{n a 满足)(,011n n a f a a ==+，试探究数列}{n a 的单调性，并加以证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量11⎛⎫⎪-⎝⎭在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101m M 变换下得到的向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求曲线02=+-y x y 在矩阵1M-对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C的参数方程为1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=．（Ⅰ）若93b a -+<，求x 的取值范围； （Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．2017年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．4 ； 12．10； 13．()2224x y -+=； 14．43； 15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②……………………………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③………………………………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-.………………………………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,……………………………………………9分 所以222sin sin sin A C B +=.……………………………………………10分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.……………………………………………13分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，……………………………………………8分 因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………………12分所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………13分17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．解法一：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………2分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥．……………………………………3分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥．……………………………………4分（Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D(1,1,0)M ．∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．………………6分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =， 则⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=，∴点M 到平面ACD的距离n MCd MC⋅== ．……………………………………………8分（Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．……………………9分设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-， ∴(12,2,1)AN λλ=--，又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=且直线AN 与平面ACD 所成角为60，∴0sin 60AN n AN n⋅==，……………………………………………11分 可得01282=-+λλ， ∴2141-==λλ或（舍去）． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时41=BC BN ．…………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由已知条件可得AD A ⊥B，AB AD ==121=⋅=∆AD AB S ABD ． 由（Ⅰ）知BD A CD 平面⊥，即CD 为三棱锥C-ABD 的高，又CD=2， ∴3231=⋅=∆-ABD ABD C S CD V ， 又∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，…………………………6分 ∴312121===---ABD C ADC B ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ， 设点M 到平面ACD 的距离为d ，则1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22.…………………………………8分 （Ⅲ）同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，………………………………6分 由已知条件可得AD A ⊥B ，由（Ⅰ）知CD AB ⊥， 又AD CD D = ，∴ CD AB A 平面⊥， ∴点Ｂ到平面ACD 的距离等于线段AB 的长． ∵2=AB ，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………………………………………8分 （Ⅲ）同解法一．18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．…………………6分因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分（Ⅲ）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则9()10P A =.………………9分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且9(2,)10B ξ . 所以2299()()(1)(0,1,2)1010kk k P k C k ξ-==-=，…………………………………………11分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………12分11881012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=（天）,或92 1.810E nP ξ==⨯=（天）. ……………………13分19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之和为定值 所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆．…………………………………………2分又a =1c =，所以1b =，故所求方程为2212x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=．…………………………5分（ⅰ）可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，依题意，0∆>，则 122412kn x x k +=-+，121222()212ny y k x x n k +=++=+， 从而可得点C 的坐标为2242(,)1212kn n k k -++，12OCk k =-． 因为12AB OC k k ⋅=-，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．……………………………8分（ⅱ）若AB x ⊥轴时，(1,),(1,22A B --,由0OA OB OC ++= ， 得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意． 因此直线AB 的斜率存在．……………………………9分由（ⅰ）可知，当直线AB 过点1F 时, 有n k =，点C 的坐标为22242(,)1212k kk k-++． 代入2222x y +=得，4222221682(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，所以2k =±． ……………………………11分（1）当2k =时，由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =-．故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高1224h =⨯=，所求等腰三角形的面积11248S =⨯⨯=． （2）当2k =时，又由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =， 同理可求直线AB 、OC 与x． 综合（1）（2），直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8．…………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++= 得：1230x x x ++=，1230y y y ++=．………………………5分（ⅰ）因为点11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以有：221122x y +=，222222x y +=，两式相减，得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=， 从而有1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+． 又123y y y +=-，33OC y k x =， 所以12AB OC k k ⋅=-，即直线AB 与OC 的斜率之积为定值．………………………………8分 （ⅱ）同解法一．20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.解:(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x g x x x x x +=-=+- …………………2分1cos 22sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭…………………………3分 ()sin h x x ∴=,…………………………4分()sin 1f x m x =+.…………………………5分(Ⅱ)方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………6分理由如下：由(Ⅰ)知()sin 1f x m x =+，令()()sin 1F x f x x m x x =-=-+,因为()010F =>,又因为102m <<,所以3102222F m πππ⎛⎫=-+<-< ⎪⎝⎭. 所以()0F x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭至少有一个根. …………………………7分 又因为()'1cos 1102F x m x m =-<-<-<, 所以函数()F x 在R 上单调递减,所以函数()F x 在R 上有且只有一个零点，即方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)因为()110,sin 1,n n n a a f a m a +===+211,a a =>所以又3 sin11a m =+，因为012π<<，所以0sin11<<，所以321a a >=． 由此猜测1(2)n n a a n ->≥,即数列{}n a 是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明:,n N ∈且2n ≥时,10n n a a ->≥成立.(1)当2n =时,211,0a a ==,显然有210a a >≥成立.(2)假设(2)n k k =≥时,命题成立，即10(2)k k a a k ->≥≥．…………………………12分 则1n k =+时,()1sin 1k k k a f a m a +==+， 因为102m <<，所以()111sin 11122k k k a f a m a m π--==+<+<+<． 又sin x 在()0,2π上单调递增，102k k a a π-≤<<，所以1sin sin 0k k a a ->≥，所以1sin 1sin 1k k m a m a -+>+，即111sin sin 1()0k k k k a m a f a a +-->+==≥，即1n k =+时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，,n N ∈且2n ≥时, 1n n a a ->成立.故数列{}n a 为单调递增数列. …………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．解：（Ⅰ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111101m m ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011m ，即m =1．…………………………………………3分（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………4分 设曲线02=+-y x y 上任意一点(,)x y 在矩阵1M -所对应的线性变换作用下的像是(,)x y ''.由1101x x x y y y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……………………………………………5分 所以,x y x y y '-=⎧⎨'=⎩得,x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩代入曲线02=+-y x y 得2y x ''=．………………………6分 由(,)x y 的任意性可知,曲线02=+-y x y 在矩阵1M -对应的线性变换作用下的曲线方程为x y =2. ………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(,)4π得点M 的直角坐标为(,4)４，所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．…………………………………………3分（Ⅱ）由曲线C的参数方程1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为普通方程为2)1(22=+-y x ，……………………………5分圆心为(1,0),A，半径为r =由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25-=-r MA ．…………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由29a b +=得92b a -=，即|6|2||b a -=． 所以93b a -+<可化为33a <，即1a <，解得11a -<<．所以a 的取值范围11a -<<．…………………………………………4分（Ⅱ）因为,0a b >， 所以23332()()32733a ab a b z a b a a b +++==⋅⋅≤===，…………………………………6分 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27．…………………………………………7分。
