数量关系之三集合容斥问题解题技巧

三集合容斥原理华图教育梁维维我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。

之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。

三集合容斥原理公式：三者都不满足的个数。

总个数-=+---++=||||||||||||||||CBACBCABACBACBA有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。

【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。

它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。

且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。

问阴影部分的面积是多少?( )A.15B.16C.14D.18【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。

近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。

【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。

如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）A. 148B. 248C. 350D. 500【解析】本题属于容斥原理问题。

设三种上网方式都使用的客户有X个，则使用两种上网方式的客户有(352－X )个，根据题意1258＋1852＋932=3190＋2×（352－X）＋3X,解得X=148，因此答案选择A选项。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。

集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式：三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下：(陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。

A.20B.18C.17D.15E.14F.13G.12H.10解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。

接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目：(广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。

参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。

那么参加该次运动会的总人数为( )。

A.75B.82C.88D.95解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。

三者容斥问题公式三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。

三者容斥问题有一个基本公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。

三者容斥问题的推导为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。

如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。

如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。

我们可以用下面的方法来计算：首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。

如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。

但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。

其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。

如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。

即63−4−7−6−7−5−7=27。

但是这个数又小于A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。

最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。

如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。

即27+7=34。

综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|三者容斥问题的应用三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。

2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。

近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。

根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：=A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。

因此，本题答案为A 选项。

二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。

【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 Cx B A名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（）A.5名B.6名C.7名D.4名【答案】B【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。

于是有仰12 2 2 34 3蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。

因此，本题答案为B选项。

容斥问题应用题解题技巧及公式容斥原理是一种组合数学中常用的计数方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。

常见的应用有如下几种情况：
1.求集合的并：当求两个集合的并集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。

公式为|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，其中|A∪B|表示A和B的并集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∩B|表示A和B的交集大小。

2.求集合的交：当求两个集合的交集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。

公式为|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|，其中|A∩B|表示A和B的交集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∪B|表示A和B的并集大小。

3.求不满足某个条件的情况：当求满足某个条件的情况时，可以使用容斥原理来求不满足该条件的情况。

假设有n个事件，A1到An，分别表示这些事件，那么不满足任何一个事件的情况数目为S =
∑|Ai| - ∑|Ai∩Aj| + ∑|Ai∩Aj∩Ak| - ... +/-
|A1∩A2∩...∩An|。

其中|Ai|表示事件Ai发生的情况数目，
|Ai∩Aj|表示事件Ai和Aj同时发生的情况数目，依此类推。

在应用容斥原理解题时，需要注意对问题进行合理的划分，避免出现重复计数或者漏计的情况。

同时，需要对问题进行适当的拓展和转化，以便更好地利用容斥原理解决更复杂的计数问题。

数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011-08-30 09:29 作者：罗姮来源：华图教育分享到： 1在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。

究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。

其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。

本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。

一、三集合标准型公式集合A、B、C，满足标准型公式：三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。

另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。

例1、某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（）（2009年浙江公务员考试行测试卷第55题）A、1人B、2人C、3人D、4人答案：B 各类条件明确给出，直接使用公式法。

三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。

例2、如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。

它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。

且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。

问图中阴影部分的面积为多少（）？（2009年国家公务员考试行测第116题）A、14B、15C、16D、17答案：C 直接使用三集合标准型公式，=290-(64+180+160-24-70-36)，根据尾数法得，尾数为6，选C。

二、三集合整体重复型公式三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。

三集合容斥两个公式的用法容斥原理是一种集合论中常用的计数技巧，它通过巧妙地组合集合的交集和并集来解决计数问题。

在这篇文章中，我们将介绍三集合容斥原理的基本概念和用法，并通过两个具体的例子来说明容斥原理的运用。

一、三集合容斥原理的基本概念在集合论中，我们经常会遇到要计算若干个集合的并集和交集中元素个数的问题。

三集合容斥原理就是针对三个集合进行计数的一种技巧。

假设有三个集合A、B和C，我们希望计算它们的并集和交集中元素的个数。

根据容斥原理，可以得到如下公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C||X| 表示集合X中元素的个数，A ∪ B 表示集合A和B的并集，A ∩ B表示集合A和B的交集。

二、三集合容斥原理的两个具体例子接下来，我们通过两个具体的例子来说明三集合容斥原理的用法。

1. 例子一：三个班级学生参加数学竞赛，其中A班有40名学生，B班有35名学生，C 班有30名学生。

如果A班有12名学生参加了英语竞赛，B班有10名学生参加了英语竞赛，C班有8名学生参加了英语竞赛，而且有3名学生同时参加了数学竞赛和英语竞赛。

那么参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数是多少？根据容斥原理，我们可以利用上面的公式来计算参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|= 40 + 35 + 30 - 12 - 10 - 8 + 3= 78参加了数学竞赛或者英语竞赛的学生总数是78人。

2. 例子二：某餐馆供应三种果汁，分别是橙汁、苹果汁和西瓜汁。

一天内统计发现，有30人点了橙汁，25人点了苹果汁，20人点了西瓜汁，同时有7人点了橙汁和苹果汁，6人点了橙汁和西瓜汁，5人点了苹果汁和西瓜汁，而且有2人同时点了三种果汁。

三集合容斥原理三大公式三集合容斥原理三大公式，是数学上重要的计算方法，经常被广泛应用于求解复杂的数学问题。

它被用于对无限个相互独立的可列集合之间的元素及其关系进行计算。

这三大公式可以帮助我们理清思路，算出结果，这也是它有价值的地方。

其中，第一个公式是“容斥原理”，也叫容斥式，它描述的是当一组不相交的集合的总长度比其他集合的总长度之和要短时，可以用它们的并集去表示其他集合的总长度之和。

实际上，容斥式反映的是当集合的总数越多时，它的表示的总长度会越短。

容斥式概括为：∑(-1)^n*U(n)=U(1)U(2)U(n)其中，U(n)表示第n个集合的总长度，n表示所有集合的总数。

第二个公式是“马尔可夫超限定理”，也叫马尔可夫不等式，它表明，对于一组无限长度的相互独立的集合，其总长度与第一个集合的总长度之和之差，是与其其他集合总长度有关的。

它表示，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更加紧密，也说明其他集合的总长度比第一个集合的总长度要长。

马尔可夫超限定理如下：∑(-1)^n*U(1)U(n)≤U(1)-U(2)U(3)U(n)其中，U(1)表示第一个集合的总长度，U(n)表示所有集合的总长度之和。

最后一个公式是“希尔伯特定理”，也叫希尔伯特不等式，它表明，一组无限长度的相互独立的集合，其并集的总长度是与其他集合的总长度有关的。

它提出，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更紧密，也就是其他集合的总长度比并集的总长度要长。

希尔伯特定理的表达式为：U(1)U(2)U(n)≤∑U(n)它表示，第一个集合的总长度乘以其他集合的总长度之和，不能大于所有集合的总长度之和。

三集合容斥原理三大公式是求解复杂问题的重要工具，能够帮助我们准确理清思路，算出结果。

对它深入了解，将有助于我们正确理解复杂的数学问题及其解法，扩大视野，拓宽认知。

三集合容斥原理常识型公式说到数学，有些人就像见了鬼一样，立马想跑。

然而，今天咱们聊的这个“三集合容斥原理”，其实一点都不神秘，反而还挺有趣的！就像是你在一次聚会上遇见了三个不同的小团体，而你又想知道一共来了多少人。

嘿，这可不简单，得好好算一算了。

1. 什么是三集合容斥原理？1.1 简单说说首先，我们得明白啥叫集合。

你可以把它想象成一个装满不同玩具的箱子，比如说有汽车、玩偶和积木。

每个玩具都是一个元素，而整个箱子就是一个集合。

三集合容斥原理就是用来计算这些集合之间重叠部分的公式。

举个例子，如果你有三个集合A、B 和C，分别表示三种玩具，你想知道它们总共有多少个不重复的玩具。

哦，这可就要用到我们的“容斥”啦！1.2 公式来啦简单的说，公式就是这样的：|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| |A cap B| |A cap C| |B cap C| + |A cap B cap C| 。

看起来是不是有点复杂？别着急，这其实就像是在告诉你，要把所有的玩具都数一遍，然后再减去那些重叠的部分。

最后再加上那些三者都有的玩具。

哎，真是让人觉得数学就像一场“玩具大战”呢！2. 生活中的应用2.1 举个例子想象一下，你和朋友们一起去参加一个大型派对，大家都带了自己的食物。

A代表带了沙拉的朋友，B是带了披萨的朋友，C是带了蛋糕的朋友。

你想知道到底有多少种食物，而不想重复计算那些重叠的部分。

要是A、B、C都带了个披萨，你是不是就得减去这份重叠的披萨啊！2.2 数一数于是你就开始数，发现A带了10种，B带了15种，C带了8种。

然后，你发现A 和B重叠了3种，A和C重叠了2种，B和C重叠了4种，最后还有A、B、C都有的那一份披萨。

按照我们的公式，一算下来，哇！你发现派对上的食物种类居然有29种！这可让你兴奋得像孩子一样，心里想着：今晚可真是吃个痛快呀！3. 为什么它这么重要？3.1 理论基础容斥原理其实是组合数学中的一块基石。

三集合容斥问题公式
三集合容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C−A∩B−B∩C−C∩A+A∩B∩C。

这个公式可以用来解决涉及到三个集合的容斥问题，例如：假设有100人
参加了三个兴趣小组，要计算至少参与一项、至少参与两项、以及全部都参与的人数。

具体应用如下：
1. A+B+T=至少参与一项的总人数（无重叠）；
2. A+2B+3T=至少参与一项的总人数（含重叠部分）；
3. B+3T=至少参与两项的总人数（含重叠）；
4. T=全部都参加的人数；
5. B=a+b+c，表示仅参加了两个兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分
总和（不含中间的T区域）；
6. T=全部都参加的人数。

通过以上公式和数据，可以计算出至少参与一项、至少参与两项、以及全部都参与的人数。

三容斥的标准式和非标准式
三集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。

解释分析：
因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC 两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。

容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

三集合容斥问题的核心公式如下：
1.标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

2、非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。

3、列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

行测备考三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。

这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。

数量关系之三集合容斥问题在最近几年的公务员考试中，考察了相关的三集合容斥问题，对于这样的一个问题，华图教研中心提醒你，在复习三集合容斥问题时一定不能停留在表面，一定要从实质上理解它，因为现在在考察容斥问题时，考的比较细致。

但是题目难度并不是很大，只要能够掌握它的实质，熟练运用我们的解题方法，那么这种问题肯定能够轻松应对。

一浅识三集合容斥问题对于三集合容斥问题，一定要弄清楚它题目的关键词语及问法。

A+B+C-AB-AC-BC-ABC=总数-三个条件都不满足的情形A+B+C-满足两个条件-2满足三个条件=总数-三个条件都不满足的情形二真题回放1.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【华图解析】根据题意，“按规定每人至多可投考两个职位”则表明这次招聘中不存在有人报考三个职位的情形，共有42人报名，也表明不存在一个人是三个职位都不报考的情形。

故可以直接代入三集合的标准形公式即可。

22+16+25-8-6-x=42 x=7，故选择A选项。

2.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。

如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?( )A. 148B. 248C. 350D. 500【华图解析】设三种上网方式都使用的客户有x个，则使用两种上网方式的就有352-x,根据三集合容斥问题的公式，可以得到1258+1852+932-(352-x)—2x=3542 解得x=148 故答案选择A3. 某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。

三集合容斥原理公式三集合容斥原理是概率论中一个重要的计算方法，用来求解多个事件的概率问题。

它基于集合的概念，在概率计算中起到很大的作用。

下面将详细介绍三集合容斥原理的概念和公式，并且通过实例进行说明。

在概率论中，我们常常需要计算多个事件同时发生的概率。

例如，假设有三个事件A、B、C，我们想要知道同时发生A、B、C这三个事件的概率是多少。

如果每个事件的概率都已知，我们可以通过直接计算来得到答案。

但是当事件的数量更多时，这样的计算会变得非常繁琐和复杂。

三集合容斥原理可以帮助我们简化多事件概率的计算。

它的基本思想是将多个事件的概率表示为各个事件概率之和减去各个事件交集的概率之和，再加上各个事件的交集交集的概率之和。

具体而言，对于三个事件A、B、C，三集合容斥原理的公式可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) -P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(C)表示事件C发生的概率。

P(A∩B)表示事件A 和事件B同时发生的概率，P(A∩C)表示事件A和事件C同时发生的概率，P(B∩C)表示事件B和事件C同时发生的概率。

P(A∩B∩C)表示事件A、B和C同时发生的概率。

通过这个公式，我们可以将三个事件的概率问题转化为计算各个事件和交集的概率问题。

这样就能够简化计算过程，提高计算效率。

下面给出一个实例来说明三集合容斥原理的应用。

假设我们有一个班级，里面有40个学生。

其中，有20个学生会打篮球，15个学生会踢足球，10个学生会打乒乓球。

现在我们想要知道至少会打一项球类运动的学生有多少人。

我们可以将打篮球的学生集合表示为A，踢足球的学生集合表示为B，打乒乓球的学生集合表示为C。

则至少会打一项球类运动的学生集合可以表示为A∪B∪C。

根据三集合容斥原理的公式，我们可以计算出至少会打一项球类运动的学生数量为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|其中，|A|表示打篮球的学生数量，|B|表示踢足球的学生数量，|C|表示打乒乓球的学生数量。

巧用公式秒解容斥原理题型-2023国家公务员考试行测解题技巧在行测考试中，数量关系科目有许多的解题技巧、方法和公式。

尤其是利用公式法解题，只需大家把握公式，考试时直接套用公式，就可以快速精确地解题。

比如数量关系中常考的一种题型容斥原理，就可以用公式法解题。

今日我们就一起来学习一下用公式法解决三集合容斥原理的题目。

三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种：1、三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－满意条件1和2的个数－满意条件1和3的个数－满意条件2和3的个数＋三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数；2、三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－“只”满意两个条件的个数－2×三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数。

那么下面我们一起看几个例题，应用一下公式法去求解三集合容斥原理。

【例1】某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别支配了三场讲座。

该机关共有139人，有42人报名参与第一场讲座，51人报名参与其次场讲座，88人报名参与第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参与两场讲座的有30人。

问没有报名参与其中任何一场讲座的有多少人？A.12B.14C.24D.28答案：A【解析】第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。

其次步，设没有报名参与其中任何一场讲座的有x人。

依据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42＋51＋88－30－2×12＝139－x，解得x＝12。

（或者使用尾数法解题）因此，选择A选项。

【例2】某班参与学科竞赛人数40人，其中参与数学竞赛的有22人，参与物理竞赛的有27人，参与化学竞赛的有25人，只参与两科竞赛的有24人，参与三科竞赛的有多少人？A.2B.3C.5D.7答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。

其次步，设参与三科竞赛的有x人，依据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。

三集合标准容斥非标准
首先，我们来了解一下三集合标准容斥的概念。

三集合标准容斥是指在计算三个集合的并集时，使用容斥原理进行计算。

容斥原理是指对于集合A、B、C的并集，我们可以通过容斥原理来计算其大小，即|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A ∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这个公式就是三集合标准容斥的基本公式，通过这个公式我们可以计算出三个集合的并集的大小。

接下来，我们来讨论三集合非标准容斥的方法。

在实际问题中，我们经常会遇到一些特殊情况，这就需要我们对容斥原理进行一些调整。

比如，当我们需要计算三个集合的交集的补集时，就需要使用非标准容斥的方法。

非标准容斥的计算方法和标准容斥类似，只是在计算过程中需要注意一些特殊情况的处理。

通过非标准容斥的方法，我们可以更灵活地处理一些特殊情况，从而得到更准确的计算结果。

除了上述两种方法外，我们还需要了解三集合标准非标准容斥的结合运用。

在实际问题中，我们经常会遇到既需要使用标准容斥又需要使用非标准容斥的情况。

这就需要我们灵活地运用这两种方法，结合起来进行计算。

通过结合运用标准容斥和非标准容斥的方法，我们可以更准确地解决一些复杂的计算问题。

总结起来，三集合标准容斥非标准是概率论中重要的计算方法，通过这种方法我们可以更准确地计算三个集合的并集、交集的补集等问题。

在实际问题中，我们需要灵活地运用标准容斥和非标准容斥的方法，结合起来进行计算，从而得到更准确的结果。

希望本文对大家理解三集合标准容斥非标准有所帮助。

3个集合容斥问题和解问题1：某班有学生50人，其中参加数学竞赛的有20人，参加物理竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有5人。

问有多少人参加了竞赛？解：1.使用三集合容斥原理公式：A+B-A∩B=总人数。

2.代入已知数据：A=数学竞赛人数=20，B=物理竞赛人数=15，A∩B=既参加数学竞赛又参加物理竞赛的人数=5。

3.计算总人数：20+15-5=30。

问题2：某学校共有学生800人，其中男生480人，女生320人。

问该校男女生的比例是多少？解：1.直接使用比例计算公式：男女比例=男生人数/女生人数。

2.代入已知数据：男生人数=480，女生人数=320。

3.计算比例：480/320=1.5。

问题3：某公司有员工100人，其中技术部门有30人，市场部门有20人，销售部门有50人。

问这三个部门的人数比例是多少？解：1.直接使用比例计算公式：部门比例=部门人数/总人数。

2.代入已知数据：技术部门人数=30，市场部门人数=20，销售部门人数=50。

3.计算比例：技术部门比例=30/100=30%，市场部门比例=20/100=20%，销售部门比例=50/100=50%。

集合容斥问题是一种计数问题，当几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。

例如，在幼儿园的小朋友准备六一儿童节的表演节目时，参加合唱的有20个，参加舞蹈的有12个，参加朗诵的有25个，既参加合唱又参加舞蹈的有6个，既参加舞蹈又参加朗诵的有9个，既参加合唱又参加朗诵的有14个，三个节目都参加的有3个，三个节目都不参加的有2个。

在这个问题中，就涉及到了集合容斥问题。

一、概述集合容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，常用于解决各种计数问题。

它的基本思想是通过对不同集合的交集和并集进行计算，从而得到所需计数的结果。

在集合容斥原理的应用中，有一类特殊问题是求解满足某些条件的非标准型a+b+c=总数的问题。

本文将就这一类问题展开讨论。

二、基本概念在应用集合容斥原理解决a+b+c=总数的问题时，我们首先需要了解几个基本概念：1. 集合：在该问题中，集合通常代表满足某种条件的对象的集合。

集合A表示满足条件A的对象的集合，集合B表示满足条件B的对象的集合，集合C表示满足条件C的对象的集合。

2. 交集：两个集合的交集指的是同时属于这两个集合的对象组成的集合。

在集合容斥原理中，交集的计算是重要的一步。

3. 并集：两个集合的并集指的是属于其中任意一个集合的对象组成的集合。

在集合容斥原理中，并集的计算也是必不可少的。

三、集合容斥原理的应用在解决a+b+c=总数的问题时，我们可以将集合A、B、C分别代表满足条件A、B、C的对象的集合。

根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A|表示集合A的大小，|A ∩ B|表示集合A和B的交集的大小，依此类推。

根据这个公式，我们可以通过分别计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，进而求解满足a+b+c=总数的问题。

四、示例分析为了更好地理解集合容斥原理在求解a+b+c=总数的问题中的应用，我们以一个具体的例子进行分析。

假设有一组数{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，我们希望找出其中满足以下条件的数字组合：a+b+c=15。

我们可以将集合A表示满足条件a的数字的集合，集合B表示满足条件b的数字的集合，集合C表示满足条件c的数字的集合。

根据集合容斥原理，我们可以得到如下公式：总数 = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|我们逐一计算集合A、B、C的大小，以及它们的交集的大小，得到最终满足条件的数字组合。

2012年备考数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。

究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。

其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。

本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。

一、三集合标准型公式集合A、B、C，满足标准型公式：==总数-三者都不满足的个数三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。

另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。

【例题1】（浙江-行测-2009-55）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（）A.1人B.2人C.3人D.4人【答案】B。

各类条件明确给出，直接使用公式法。

三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。

【例题2】（国家-行测-2009-116）如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。

它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。

且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。

问图中阴影部分的面积为多少（）？A.14B.15C.16D.17【答案】C。

直接使用三集合标准型公式，=-()=290-(64+180+160-24-70-36)，根据尾数法得，尾数为6，选C。

二、三集合整体重复型公式三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。

特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时，使用整体重复型公式。

集合容斥问题是一类计数问题，这类问题的特点是可能会涉及多个集合的交集、并集等运算，以及去重的过程。

在解决集合容斥问题时，可以采用以下步骤：1. 明确问题的要求和条件：弄清楚问题是要计算什么集合的交集、并集或者其他运算，以及各个集合的元素数量和属性等条件。

2. 画出容斥图：通过图形的方式将各个集合的元素关系表示出来，有助于直观地理解问题。

3. 确定集合数：根据问题描述，确定需要处理的集合数量，以及每个集合的元素数量和属性等。

4. 运用公式计算：根据问题的要求和条件，选择合适的公式进行计算。

如果涉及多个集合的交集、并集等运算，需要注意去重的过程。

5. 整合答案：将计算结果整合起来，得出最终答案。

例如，假设有三个兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，那么三个兴趣小组都参加的人数是多少人？解法：1. 明确问题的要求和条件：要求计算三个兴趣小组都参加的人数。

2. 画出容斥图：略。

3. 确定集合数：三个兴趣小组对应的集合分别为A、B、C，每个集合的元素数量需要分别确定。

4. 运用公式计算：根据容斥问题的公式，可以得到三个集合的容斥关系公式为：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C。

将已知条件代入公式中计算可得：55+65+70=190，而至少参与一项的总人数（无重叠）为：55+65+70-31-40-25=199人。

因此，三个兴趣小组都参加的人数为：199-190=9人。

5. 整合答案：三个兴趣小组都参加的人数为9人。