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高考数学经典常考题型第12专题-复合函数零点问题

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第12专题训练 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =,()t g x =,且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集,那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数,称y 是x 的复合函数,记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序,一层层求出函数值。

例如：已知()()22,x f x g x x x ==-,计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解,则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到求出x 的值。

例如：已知()2xf x =,()22g x x x =-,若()0g f x =⎡⎤⎣⎦,求x解：令()t f x =,则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =⇒=⇒=,则x ∈∅当()2222xt f x =⇒=⇒=,则1x =综上所述：1x =由上例可得,要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根,则需要先将()f x 视为整体,先求出()f x 的值,再求对应x 的解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ,若存有0x D ∈,使得()00f x =,则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于()f x 的方程,观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应,将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数,再根据个数与()f x 的图像特点,分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应,从而确定()i f x 的取值范围,进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩,若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ,则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ,满足()0y f x =的x 的个数分别为2个(000,1y y >≠)和3个(01y =),已知有3个解,从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根,而另一根为1或者是负数。

所以()1i f x =,可解得：1230,1,2x x x ===,所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是( )A.3B.4C.5D.8思路：可将21x -视为一个整体,即()21t x x =-,则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =,则只需作出()21t x x =-的图像,然后统计与1t =与2t =的交点总数即可,共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--,关于x的方程2()()0f x a f x b ++=(,a b R ∈)恰有6个不同实数解,则a 的取值范围是 .思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=,故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩, 则()f x 的图像如图,由图像可知,若有6个不同实数解,则必有()()122,02f x f x =<<,所以()()()122,4a f x f x -=+∈,解得42a -<<- 答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩,则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为( )A.6B.7C.8D.9 思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解,得()()1211,23f x f x ==-,只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。

由奇函数可先做出0x >的图像,2x >时,()()122f x f x =-,则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。

正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。

通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小专题训练有话说：在作图的过程中,注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。

例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ,且()11f x x =,则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是( )A.3B.4C.5D.6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根,观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同,所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==,其中()111f x x =,若12x x <,可判断出1x 是极大值点,2x 是极小值点。

且()()2211f x x x f x =>=,所以()1y f x =与()f x 有两个交点,而()2f x 与()f x 有一个交点,共计3个；若12x x >,可判断出1x 是极小值点,2x 是极大值点。

且()()2211f x x x f x =<=,所以()1y f x =与()f x 有两个交点,而()2f x 与()f x 有一个交点,共计3个。

综上所述,共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+,若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根,则实数b 的取值范围是( )A.()2,0-B.()2,1--C.()0,1D.()0,2 思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像(如图),因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ,若要出七个根,则()()()121,0,1f x f x =∈,所以()()()121,2b f x f x -=+∈,解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=,若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A. ()1,22,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ C.11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx ef x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,分析()f x 的图像以便于作图,0x ≥时,()()'1x f x x e -=-,从而()f x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,()11f e=,且当,0x y →+∞→,所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时,()()'1x f x x e -=-,所以()f x 在(),0-∞单调递减。

由此作图,从图像可得,若恰有4个不等实根,则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中,()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而将问题转化为根分布问题,设()t f x =,则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()21g t t mt m =-+-,则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩,解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小专题训练有话说：本题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过度析函数的单调性和关键点来实行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。

例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断准确的是( )A. 当0a >时,有4个零点；当0a <时,有1个零点B. 当0a >时,有3个零点；当0a <时,有2个零点C. 无论a 为何值,均有2个零点D. 无论a 为何值,均有4个零点思路：所求函数的零点,即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数,先作出()f x 的图像,直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线,但需要对a 的符号实行分类讨论。

当0a >时,图像如图所示,先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=,而()1f x 有两个对应的x ,()2f x 也有两个对应的x ,共计4个；当0a <时,()f x 的图像如图所示,先拆外层可得()12fx =,且()12f x =只有一个满足的x ,所以共一个零点。

结合选项,可判断出A 准确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩,则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦(a 为正实数)的实数根最多有___________个思路：先通过度析()(),f x g x 的性质以便于作图,()()'23632fx x x x x =-=-,从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增,在()0,2单减,且()()01,23f f ==-,()g x 为分段函数,作出每段图像即可,如图所示,若要实数根最多,则要优先选择()f x 能对应x 较多的情况,由()f x 图像可得,当()()3,1f x ∈-时,每个()f x 可对应3个x 。

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高考函数-复合函数的零点-含答案

高考函数-复合函数的零点-含答案


结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像
复合函数零点问题(综合)

复合函数零点问题(综合)

复合函数零点问题1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如下图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是( )A．1 B. 2 C. 3 D. 42、已知函数1)(-=xxf，关于x的方程0)()(2=+-kxfxf，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为________________.3、定义在R的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=2 1221xxxxf，若关于x的函数h（x）=f2（x）+af（x）+有22222于x的方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A B C34⎧⎫⎤⎨⎬⎥⎩⎭⎦D34⎧⎫⎫⎨⎬⎪⎩⎭⎭5的零点分别为123,,x x x，则（）A．123x x x<< B．213x x x<< C．231x x x<< D．312x x x<<-af(x)-a-ag(x)a-a6、设函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且()()x f x f -=+22，当[]0,2-∈x 时，()122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f ，若在区间()6,2-内关于x 的方程()()02log =+-x x f a ()10≠>a a 且有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B ． ()4,1 C ． ()8,1 D ．()∞+，8 7、已知)(x f 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数)()12(2x f x f y -++=λ只有一个零点，则实数λ的值是 （ ） A8，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，()()12f x f x =，则()()122x f x f x -的取值范围为 （ ）A ．．．．【命题意图】复合函数的零点问题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【零点问题的处理步骤】（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象；（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围；（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值．。

专题：复合函数的零点

专题：复合函数的零点

1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。

6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。

复合函数零点(题)

复合函数零点(题)

复合函数零点类型一：直接作图1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为类型二：与二次函数结合1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.2、已知函数，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______.3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________4、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)45.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是________.6.已知函数22()||1()x x f x x e m x e m R =++∈有四个零点，则m 的取值范围为________.7、设定义域为R 的函数lg 1,1(x)0, x 1x x f ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程[]2(x)(x)0f bf c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）.b 0 A <且c>0 .b 0 B >且c<0 .b 0 C <且c=0 .b 0 D ≥且c=0 8、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。