新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业：1.1 第1课时 集合的含义

第一章 1.1 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是( C )
①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④3的所有近似值．
A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①③
[解析] ①④不符合集合中元素的确定性．故选C ． 2．若集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( C ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A
D ．a ＝A
[解析] 由题意知A 中只有一个元素a ，∴0∉A ，a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不应该用“＝”，故选C ．
3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．
4．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－x 2所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
[解析] ∵x 2＝|x |，－x 2＝－|x |，故当x ＝0时，这几个实数均为0；当x >0时，它们分别是x ，－x ，x ，x ，－x ；当x <0，它们分别是x ，－x ，－x ，－x ，x .最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
5．设x ∈N ，且1
x ∈N ，则x 的值可能是( B )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．0或1
[解析] ∵－1∉N ，∴排除C ；0∈N ，而1
0无意义，排除A 、D ，故选B ．
6．如果集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( B )
A ．2
B ．2或4
C ．4
D ．0
[解析] ∵a ∈A ，∴当a ＝2时，6－a ＝4，∴6－a ∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2，∴6－a ∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0，∴6－a ∉A ，故a ＝2或4.
二、填空题
7．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__∉__A ，广州__∈__A (填“∈”或“∉”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，点(2,7)与点集P 的关系为(2,7)__∈__P (填“∈”或“∉”)．
[解析] 直线y ＝2x ＋3上的点的横坐标x 和纵坐标y 满足关系：y ＝2x ＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x ＝2时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P .
9．已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x 的值为__－1__. [解析] 因为x 2∈A ，所以x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x ，
解得x ＝－1,0,1.经检验，只有x ＝－1时，满足集合元素的互异性． 三、解答题
10．记方程x 2－x －m ＝0的解构成的集合为M ，若2∈M ，试写出集合M 中的所有元素． [解析] 因为2∈M ，所以22－2－m ＝0，解得m ＝2.解方程x 2－x －2＝0，即(x ＋1)(x －2)＝0，得x ＝－1或x ＝2.故M 含有两个元素－1,2.
11．由a ，b
a ，1组成的集合与由a 2，a ＋b,0组成的集合是同一个集合，求a 2 020＋
b 2 020的
值．
[解析] 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得b
a ＝0，即
b ＝0，此时
两集合中的元素分别为a,0,1和a 2，a,0，因此a 2＝1，解得a ＝－1或a ＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a ＝－1，且b ＝0，所以a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋0＝1.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如果a 、b 、c 、d 为集合A 的四个元素，那么以a 、b 、c 、d 为边长构成的四边形可能是( D )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a 、b 、c 、d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为
( B )
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0或2或3
[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2，或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B ．
3．(多选题)已知集合A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( BC ) A ．－2∈A B ．－11∉A C ．3k 2－1∈A
D ．－34∉A
[解析] 令3k －1＝－2，解得k ＝－13，－1
3∉Z ，
∴－2∉A ； 令3k －1＝－11，
解得k ＝－103，－10
3∉Z ，∴－11∉A ；
∵k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；
令3k －1＝－34，解得k ＝－11，－11∈Z ， ∴－34∈A ．故选BC ．
4．(多选题)已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy
|xy |可能的取值组成的集合为A ，则下列
判断错误的是( ACD )
A ．3∈A ，－1∉A
B ．3∈A ，－1∈A
C ．3∉A ，－1∈A
D ．3∉A ，－1∉A
[解析] 当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3； 当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； 当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； 当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1. 所以3∈A ，－1∈A ．故选ACD ． 二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则17__∈__A ；－5__∉__A ；17__∈__B ．
[解析] 令3k ＋2＝17，得k ＝5,5∈Z ，所以17∈A ；令3k ＋2＝－5，得k ＝－73，－7
3∉Z ，
所以－5∉A ；令6m －1＝17，得m ＝3,3∈Z ，所以17∈B ．
6．若1－a
1＋a
∈A ，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为
[解析] 由题意，得1－a
1＋a
＝a ，
∴a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，∴a ＝－1±2.
7．(2019·江苏泰州期末)集合A 中含有两个元素x 和y ，集合B 中含有两个元素0和x 2，若A ，B 相等，则实数x 的值为__1__，y 的值为__0__.
[解析] 因为集合A ，B 相等，所以x ＝0或y ＝0.
①当x ＝0时，x 2＝0，此时集合B 中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1，由①知x ＝0应舍去，经检验，x ＝1符合题意， 综上可知，x ＝1，y ＝0. 三、解答题
8．已知集合A 中含有两个元素a －3和2a －1. (1)若－2是集合A 中的元素，试求实数a 的值；
(2)－5能否为集合A 中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A 中的元素， 所以－2＝a －3或－2＝2a －1. 若－2＝a －3，则a ＝1，
此时集合A 含有两个元素－2,1，符合要求； 若－2＝2a －1，则a ＝－12
，
此时集合A 中含有两个元素－7
2，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a 的值为1或－1
2
.
(2)不能．理由：若－5为集合A 中的元素，则a －3＝－5或2a －1＝－5.
当a －3＝－5时，解得a ＝－2，此时2a －1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a －1＝－5时，解得a ＝－2，此时a －3＝－5显然不满足集合中元素的互异性． 综上，－5不能为集合A 中的元素． 9．已知集合A ＝{x |x ＝m ＋2n ，m ，n ∈Z }． (1)试分别判断x 1＝－2，x 2＝
1
2－2
，x 3＝(1－22)2与集合A 的关系； (2)设x 1，x 2∈A ，证明：x 1·x 2∈A ．
[解析] (1)x 1＝－2＝0＋(－1)×2，因为0，－1∈Z ，所以x 1∈A ；
x2＝
1
2－2
＝
2＋2
2＝1＋
1
2×2，因为1∈Z，但
1
2∉Z，所以x2∉A；
x3＝(1－22)2＝9－42＝9＋(－4)×2，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．
(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋2n1，x2＝m2＋2n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，所以x1·x2＝(m1＋2n1)(m2＋2n2)
＝m1m2＋2(m2n1＋m1n2)＋2n1n2
＝(m1m2＋2n1n2)＋2(m2n1＋m1n2)．
因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．
由Ruize收集整理。

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