江苏省苏州市2019-2020学年高三上学期期初调研数学试题
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
一、填空题
1．已知集合{1,3}A =，{3,9}B =，则A B =_____.
2．如果复数2()3bi b R i
-∈+的实部与虚部互为相反数，则b 等于_____. 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______.
4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_________.
5．根据如图所示的伪代码，当输入的,a b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为______.
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的两条渐近线的方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为_______．
7．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为_____．
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为_____. 9．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当[0,)x ∈+∞时，
sin ,[0,1)()(1),[1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则56f π⎛⎫--= ⎪⎝⎭
_______. 10．已知在ABC ∆中，1AC =，3BC =.若O 是该三角形内的一点，满足
()()0OA OB CA CB +⋅-=，则CO AB ⋅=_____.
11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+=__________．
12
．已知点A B 、是圆22:4O x y +=上任意两点，且满足AB =点P 是圆
22:(4)(3)4C x y +++=上任意一点，则||PA PB +的取值范围是______.
13．设实数1a ≥，若不等式||2x x a a -+≥，对任意的实数[1,3]x ∈恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是_____.
14．在ABC ∆中，若
tan tan 3tan tan A A B C +=，则sin A 的最大值为_____.
二、解答题
15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点P 是棱AC 的中点.
（1）求证：1AB //平面1PBC ；
（2）求证：平面1PBC ⊥平面11AAC C .
16．已知函数7()sin sin 412f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；
（2）当[0,]x π∈时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值.
17．已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，在直线
上存在点P ,使得PAB
△为等边三角形,求k 的值.
18．某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B 两点，30BAC ︒∠=，小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇.（水流速度忽略不计）
（1）若4v =，2AB km =，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进(0)m m t <<小时后，再游泳匀速直线追赶小船.已知运动员在岸边跑步的速度为4千米小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值.
19．已知函数()(),ln x
f x e
g x x ==．
（1）设()()2
h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间； （2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点()()
00,A x g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()11f x a x
--＜成立． 20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当3
n ≥时，1n n S b +>，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，*N n ∈.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；
（3）将数列{}n a 、11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面：当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，23
1b b ，2a ，3a ，34
1b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式. 21．设变换T 是按逆时针旋转
2
π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标； （2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
22．已知直线的参数方程为11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为cos sin x a y a θθ
=⎧⎨=⎩（0a >，θ为参数），点P 是圆C 上的任意一点，若点P
到直线的距离的最大值为1，求实数a 的值.
23．已知x 、y 、z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z
≥＋＋＋＋ 24．设集合{}1,0,1M =-，集合 {}12,,
,,1,2,,n n i A x x x x M i n =∈=⋯，集合n A 中满足条件 “121n x x x m ≤++
+≤”的元素个数记为n m S . （1）求22S 和4
2S 的值；
