山东省德州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
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数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.把正确答案涂在答题卡上．
1.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
由，得，则，即的共轭复数对应的点位于第一象限.故选A.
2.设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为，，且
，即，所以.故选A.
3.已知直线：，：，若：；，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
因为直线：，：，所以或，即是的必要不充分条件.故选C.
点睛：本题考查两条直线平行的判定；由直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若将一般式化成斜截式，往往需要讨论斜率是否存在，为了避免讨论，记住以下结论：
已知直线，.
则或；
.
4.设，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A. B. -2 C. D.
【答案】A
【解析】
将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴的截距增大，由图象，得当直线过点时，取得最小值.故选A.
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
模拟执行程序可得，a=1,A=1,S=0,n=1
S=2 不满足条件S,执行循环体，n=2,a=,A=2,S=
不满足条件S，执行循环体，n=3,a=,A=4,S=
不满足条件S，执行循环体,n=4,a=,A=8,S=
满足条件S，退出循环，输出n=4
故选B
6.如图所示的阴影部分是由轴及曲线围成，在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意，得矩形区域的面积为，阴影部分的面积为，由几何概型的概率公式，得在矩形区域内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为.故选A.
7.若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意设该双曲线的标准方程为，，则且，则，即，则，即，则，所
以，即该双曲线的方程为.故选B.
点睛：本题考查双曲线的标准方程、直线和双曲线相交的中点弦问题；在处理直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用点差法进行处理，比联立方程过程简单，其主要步骤是（1）代点：且；（2）作差；（3）确定中点坐标和直线斜率的关系.
8.已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又令，所以有两个零点，因为，，所以，且当时，，
，当时，，，当时，，，选项C满足条件.故选C.
点睛：本题考查函数的解析式和图象的关系、利用导数研究函数的单调性；已知函数的解析式识别函数图象是高考常见题型，往往从定义域、奇偶性（对称性）、单调性、最值及特殊点的符号进行验证，逐一验证进行排除.
9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以所求的体积为，故选D.
10.已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，
，则该双曲线的离心率为.故选C.
11.设偶函数定义在上，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又当时，，所以在上恒成立，即在上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又，所以，即不等式的解集为.故选C.
点睛：本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”
的联系构造函数.
12.已知的定义域为，若对于，，，，，分别为某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D.
【答案】B
【解析】
由三角形的三边关系，可得“三角形函数”的最大值小于最小值的二倍，因为单调递增，无最大值和最小值，故排除A，，符合“三角形函数”的条件，即B正确，单调递增，最大值为4，最小值为1，故排除C，单调递增，最小值为1，最大值为，故排除D.故选B.
点睛：本题以新定义为载体考查函数的单调性和最值；解决本题的关键在于正确理解“三角形函数”的含义，正确将问题转化为“判定函数的最大值和最小值间的关系”进行处理，充分体现转化思想的应用.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知向量，，若向量与垂直，则__________．
【答案】-1
【解析】
因为，，所以，由向量与垂直，得，解得.
14.已知呈线性相关的变量，之间的关系如下表所示：
由表中数据，得到线性回归方程，由此估计当为时，的值为______．
【答案】
【解析】
由表格得，又线性回归直线过点，则，即，令，得.
点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用；求线性回归方程是常考的基础题型，其主要考查线性回归方程一定经过样本点的中心，一定要注意这一点，如本题中利用线性回归直线过中心点求出的值.
15.展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________．
【答案】
【解析】
令，则，即，因为的展开式的通项为，所以展开式中常数项为，即常数项为.
点睛：本题考查二项式定理；求二项展开式的各项系数的和往往利用赋值法（常赋值为）,还要注意整体赋值，且要注意展开式各项系数和二项式系数的区别.
16.已知函数 的图象关于点对称，记在区间的最大值为，且在上单调递增，则实数的最小值是__．
【答案】
【解析】
因为关于点对称，所以，又，所以，即，，
当时，,，即，令，即，当时，，即实数的最小值是.
三、解答题：本大题共6小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列的前项和为满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设．求数列前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用求得数列的递推公式，再利用等比数列的定义和通项公式进行求解；（Ⅱ）先利用对数的运算得到，再利用裂项抵消法进行求和.
试题解析:（Ⅰ）当时，∵ ①
∴ ②
①-②得：
∴；即，
又；得：，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列
∴，即，
（Ⅱ）∵，，
∴，
∴．
．
点睛：本题考查的应用、裂项抵消法；（1）利用解题时，要注意其是一个分段函数，一定要验证是否满足第二段的表达式；（2）裂项抵消法是一种常考的求和方法，适用题型主要有：①；
② ；
③.
18.已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，是中点，是的中点，是上的点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当是中点，且时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用菱形的对角线相互垂直和等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（Ⅱ）利用第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的点的坐标，求出相关直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式进行求解.
试题解析：（Ⅰ）连接，
∵底面为菱形，，
∴是正三角形，
∵是中点，∴，
又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，
∴平面平面．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，两两垂直，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则
则，，，，，
，
∴，，，
设是平面的个法向量，
则，取，得，
同理可求，平面的个法向量，
则．
观察可知，二面角的平面角为锐角
∴二面角的平面角的余弦值为．
19.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市名男生的身高服从正态分布．现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如
