利用数学模型解决问题

＝　鳓　数理化解题研究　２０１　７年９　Ｊｑ第２６期　

利用数学模型“点到圆的最值距离”　

来研究动点最值问题　

——数学解题策略剖析　

冯丽　

（江苏省苏州市相城区太平中学，江苏苏州２１５０００）　

摘要：动点问题常与几何图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质．利用点圆的最值　

距离来研究动点问题，这个点可以是在圆外，圆上，圆内．不管点在哪里，只要该点连接圆心并延长，与圆有两个交点，　

该点与远交点的距离就是最大值，与近交点的距离就是最小值，以此来构造数学模型解决动点最值问题　

关键词：动点；模型；距离；最大值；最小值；圆；直角三角形　中图分类号：Ｇ６３２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—０３３３（２０１７）２６—０００２—０３　

动点问题常与几何图形相结合，解决此类问题要灵　

活运用这些图形的特殊性质，解决这类问题时，不管是点　

动、线动、图形动都要发挥自己的想象力，不被“动”所迷，　

应在“动”中求“静”，把问题变成静态问题解决，要注意在　

运动中探究问题的本质，发现变量之间的互相依存关系．　

教学中，教材教学的背景初中的教材中并没有对动点问　

题进行独立的章节介绍，更多的是要依靠学生根据自身已有　

的知识及对知识的灵活应用的基础上，对相关问题进行思考　

解决．利用点圆的最值距离来研究动点问题，便于学生快速　

掌握解题方法，这个点可以是在圆外，圆上，圆内，不管点在哪　

里，只要该点连接圆心并延长，与圆有两个交点，该点与远交　

点的距离就是最大值，与近交点的距离就是最小值，以此来　构造数学模型解决动点最值问题如表所示：　

点的位置　数学模型　点到圆的最大值　点到圆的最小值　

一／／，、＼、一　

点Ｐ在圆外　Ｐ　ＢＰ　ＡＰ　

点Ｐ在圆上　Ｂ　㈣　ＢＰ就是　ＡＰ＝０　直径的长度　

点Ｐ在圆内　曰Ｐ　ＡＰ　

总结：通过数学模型可以发现Ｐ，Ａ，Ｂ连线经过圆心，　

点Ｐ可以在圆外、圆上、圆内，连接ＰＯ并延长交圆点Ａ和　

点Ｂ，点Ａ与点Ｐ近，ＡＰ就是点到圆的最小距离Ｉ　ＰＯ—ｒｌ，　

数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。《新课标》强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并实行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维水平、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这里首次提到了“数学模型”的概念，也明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要注重学生自主建构数学模型的过程，让学生在亲自经历、探究学习的过程中合理地建构数学模型。

针对小学生的年龄、认知特点和建构数学模型的要求，课堂上教师要通过创设问题情境，让学生在形成一些简单的数学模型的过程中，感受数学的形成，并能以此模型实行一些简单的解读与应用。这个探究的过程是最重要的，因为让学生经历了从实际问题出发，实行观察比较、分析综合、抽象概括、建构数学模型，解决数学问题，从而解决实际问题的全过程，经历了一次“微型的科研”过程。从学生学习和发展的角度看，数学建模既是学生学习数学思想的方法，也是学生学习数学知识、解决问题的一种水平，同时让学生的数学眼光、数学意识和数学素养得到提升。

这里，我们不妨从建模的角度来解读小学教材。其内容的表现以“问题情景→建立模型→解释、应用与拓展”的模式展开，这是按照建模的思路编排的。教师要从建模的角度解读教材，充分挖掘教材中蕴含的建模思想，挖掘教材内容中现实的问题情境，再将实际问题数学化，建立模型，从而解决实际问题。教材中向学生提供的教学内容是现实的、有趣的、贴近学生实际的，提出的问题是富有挑战的，而且表现的方式也是丰富多彩的。教师要很好地利用这些内容，在学生动手操作、亲自体验、交流思考、解决问题中培养学生的建模兴趣、建模意识和初步的建模方法，教师还要结合本班学生的实际情况，创造性地利用教材，让学生亲自体验建模过程。

利用数学模型解决时间问题

时间是我们生活中非常重要的因素之一。我们常常面临需要高效利用时间的问题，因此利用数学模型来解决时间问题就变得非常有意义。数学模型可以帮助我们合理安排时间，提高工作效率，实现更好的时间管理。本文将以不同情境为例，介绍如何利用数学模型解决时间问题。

1.任务调度问题

任务调度是一个常见的时间问题。假设我们有N个任务需要完成，每个任务所需的时间分别为t1，t2，t3，...，tN。我们要找到一种最佳的调度方式，使得总的完成时间最短。

为了解决这个问题，我们可以使用图论中的关键路径方法。首先，我们将每个任务作为一个节点，用有向边连接各个任务。边的权值为任务所需的时间。然后，我们可以使用拓扑排序算法找到任务的顺序，使得前驱节点的完成时间早于后继节点的开始时间。最后，我们计算节点的最早开始时间和最迟开始时间，并确定关键路径。关键路径上的节点需要被严格按照顺序执行，以保证总的完成时间最短。

2.列车时刻表安排问题

在列车运行管理中，时刻表的合理安排是非常重要的。我们需要考虑列车的出发时间、到达时间、停车时间等因素，来保证列车之间的间隔合理、运行安全。 为了解决这个问题，我们可以使用运筹学中的整数规划模型。我们将列车时刻表安排视为一个线性规划问题，设定目标函数和约束条件。目标函数可以是最小化列车之间的时间间隔或最小化整个列车运行时间。约束条件可以包括列车的出发时间、到达时间、停车时间等。

3.路线选择问题

在日常生活中，我们经常面临选择最短路线的问题。比如我们要从A地点到B地点，有多个不同的路线可供选择。我们希望找到一条最短的路线，以节省时间和能源。

为了解决这个问题，我们可以使用图论中的最短路径算法，比如迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法。我们将地点抽象成图的节点，道路抽象成边，并为边赋予权值（比如距离或时间）。然后，我们可以使用最短路径算法找到从起点到终点的最短路径，并计算出最短路径的长度。这样，我们就可以选择最短路径来解决路线选择问题。

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建立模型：小学数学“解决问题”的主旋律

作者：彭丽湘

来源：《新课程·上旬》2019年第01期

摘 要：数学建模是数学建模思想和小学数学教学相结合的产物，近年来，随着新课改的不断推进，随着对学生学习能力重视程度的提升，其重要性日渐突出。“解决问题”作为学生数学学习中的主要内容之一，同样需要建立模型来帮助学生取得事半功倍的阶梯效果，达到更理想的学习状态。鉴于此，理论联系实际，综合文献资料、理论研究、经验总结等多种研究方法，就如何在小学数学“解决问题”中建立模型进行了较为具体的分析，并给出了几点参考建议，希望能够起到抛砖引玉的促进作用。

关键词：小学数学；解决问题；建立模型；实现策略

概括来讲，建立数学模型，就是一个揭示问题本质的过程，也是一个利用数学语言来模拟现实模型的过程。在实际进行数学学习的过程中，学生会遇到很多问题，一个问题也会有很多的变式，单靠题海战术，不掌握问题的本质是很难达到理想的学习效果的，往往是费力而不讨好。所以，对于还处在数学学习初级阶段的小学生来说，我们有意识地引导他们利用数学模型来解决一些数学问题，能够让学生感受到数学学习的轻松和容易，也就更愿意积极主动地参与其中，最终收获更理想的学习效果。

一、问题情境中感知模型

问题情境的创设能够让学生更加精力集中地参与学习，并能够受到特定积极氛围的影响，达到更有效的学习效果。所以，对于对数学模型不是非常熟悉的小学生来说，我们需要通过创设特定的情境来让他们对数学模型有整体的感知，对建立数学模型有初步的意识，从而为其今后建立和应用模型奠定基础。

例如，我在教学相遇问题时就创设了一个生活情境。即在课堂上，邀请两位同学在黑板的两边同时相向而行，让这两位同学多走几次，之后，问其他的同学发现了什么，此时学生就回答道：他们俩在中间碰到了，他们两个人在面对面走，他们两个人在背对背走……借着同学们的这些回答，我引入了相遇问题中的同时出发、相向而行、相背而行、途中相遇的问题，这样一来，学生对此问题也就理解得更加深刻，认识到了这是一个数学模型，在此基础上，我带领学生建立相遇问题的数学模型，学生当然积极参与。