直线与圆锥曲线的位置关系

－一￣＇ｉ．＇Ｌ。：Ｚ７—２２２．．照　，．　咚　直线与圆锥曲线的　文／王鹗陈安心　例１　已知椭圆　＋等＝１（ａ＞ｂ＞Ｏ）的离心率ｅ＝　，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为４．　（１）求椭圆的方程．　（２）设直线Ｚ与椭圆相交于不同的两点Ａ，Ｂ，已　知点Ａ的坐标为（一　，０），点Ｑ（Ｏ，ｙｏ）在线段ＡＢ的　垂直平分线上，且　・　＝４，求ｙｏ的值．　解（１）由　：　：　，得３ａ２：４。ｚ．由ｃ　：ａ２一　ｂ　，得ａ＝２ｂ．据题意可知，　１　ｘ２ａｘ２ｂ＝４，即ａｂ＝２．解方　程组｛　＿２，６＿１删椭圆的方程为孚世１．　【Ⅱ６＝２．　４　（２）由（１）可知点Ａ的坐标为（一２，０），且直线ｆ　的斜率必存在．设点Ｂ的坐标为（　，Ｙ　），直线ｆ的斜　率为　，则直线Ｚ的方程为ｙ＝ｋ（肼２）．于是／４，Ｂ两点　固叠塑鱼　ｆｙ＝ｋ（ｘ＋２），　的坐标满足方程组１拿＋　：１．将上述方程组消去ｙ　并整理，可得（１＋４ｋ。）　２＋１６ｋ２ｘ＋（１６ｋ２－４）＝０．由根与系　数的关系，得一　Ｆ　，．．　＝　。　＝Ｔ　．　设线段ＡＢ的中点为Ｍ，则可知点Ｍ的坐标为　／　８　２　、　、ｌ＋４ｋ　’ｌ＋４ｋ　以下分两种情况进行讨论：　①当ｋ＝Ｏ时，点Ｂ的坐标为（２，０）．线段ＡＢ的　垂直平分线为ｙ轴，于是　＝（一２，一ｙｏ），　＝（２，　）．由　・　：４，得　＝±２、／　．　②当ｋ≠０时，线段ＡＢ的垂直平分线的方程为　一ｇ　－（　＋　），令　＝０，解得ｙ０＝　．　—　＋　，　ｕ，用牛侍ｙ０　由　＝（一２，　），　＝（　ｙｌ－ｙｏ），得　・　：　一２＆－ｙｏ（ｙ　－一ｙｏ）＝—－—２　（　２－８ｋ２）＋　‘　＋ｒｉ　）＝　喾　＝４，整理得７　２－２．解得　＝±丁Ｖ－ｆ４－．　所以ｙ。：±—２ｘ　／ｉ￣．　综上可知，　：＋２Ｎ／２￣ｙ０：±—２ｖ　Ｔ一￣－．　小结　涉及弦的中点的问题，我们可以利用判　别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点　差法”解决此类问题．若知道中点，则利用“点差法”　可得出过中点弦的直线的斜率．一般情况下，利用　“点差法”计算量较小．不过，同学们在用此法解决有　关存在性的问题时．要注意结合图形和判别式加以　检验　例２如右图，已知椭圆　手＋鲁＝１（Ⅱ＞６＞０）的离心率　为孚，以该椭圆上的点和　椭圆的左，右焦点　，　为顶　、　ｊ　点的三角形的周长为４ｆ　一＋】）．一等轴双曲线的　顶点是该椭圆的焦点．设Ｐ为该双曲线上异于顶点　与其临渊羡鱼，不如退而结网。　．　——中南大学附属铁道中学　李烨　雾黧寄治；

Ｓ　啦鱼段蠛　—－＿—ＩＨ“ｘｕ毫鞋莓　Ａ　０　鞲　一　《￡臂　

●　直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考的热点、难点，常作为“把关题”出现，难　度高、区分度大．要求熟练掌握圆锥曲线的定义、性质；掌握直线与圆锥曲线相交　的弦长、弦中点以及最值、定值和参数取值范围问题的求解．　

直线与圆锥曲线的位置关系　

。江苏秦淮高级中学许明　

重点：①直线与圆锥曲线相交　的弦长、弦中点、垂直问题等，利用　“设而不求”法及韦达定理解题；②弦　长公式：斜率为ｋ的直线被圆锥曲线　截得弦ＡＢ，若Ａ（　，Ｙ　），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２），则　ＡＢ１＝　・　—　：１＝　ＩｙＬ－Ｙ２Ｉ（　≠Ｏ）．　难点：直线与圆锥曲线的位置　关系相关联的轨迹问题、定值与最　值问题．　

１．基本思路：　解题中要重视韦达定理、判别　式及“点差法”的应用，解题的主要　规律可以概括为“联立方程消元，韦　达定理求弦长．中点弦用点差法，判　别式不能忘”（通性通法）．　２．基本策略：　①直线与圆锥曲线的位置关系　一般是联立方程进行消元，“设而不　求”．在应用韦达定理解题时要充分　利用圆锥曲线的性质，还要注意变　量的取值范围．与弦中点有关的问　题宜采用“点差法”，这样更容易求　出弦所在直线的斜率．　②解决直线与圆锥曲线相交问　２６　题时，不要忽视Ａ＞Ｏ这一条件．　③在判断直线与圆锥曲线的位　置关系时，要注意数形结合、以形辅　数的方法．　④与焦点弦有关的问题，要注　意结合应用圆锥曲线的定义．　

例：１　已知直线ｚ通过抛物线　ｘ２＝４ｙ的焦点Ｆ，且与抛物线相交于　Ａ，Ｂ两点，分别过Ａ，曰两点的抛物线　的两条切线相交于　点，则／＿ＡＭＢ的　大小是一　思索本题为定值问题．可以　考虑过焦点的特殊直线；也可以考　虑通性通法．　破解法１：考虑ｙ＝ｌ与ｘ２＝４ｙ交　于Ａ（一２，１），Ｂ（２，１），Ｙ　ｌ　一１，Ｙ　Ｉ越＝　１．所以／＿ＡＭＢ：　．　２　法２：设Ｚ：ｙ＝ｋｘ＋ｌ，代入　＝４ｙ得　ｘ２－４ｋｘ一４＝０．记Ａ（　ｌ，ｙ１），Ｂ（　２，Ｙ２），　后　丢　ＡＭ＂　１　：＝　一１．所以／＿ＡＭＢ：一＂ＩＴ．　＾　例２　过点Ｐ（一１，１）作直线　与椭圆　＋　：１交于Ａ。Ｂ两点．若线　●　

高三数学第一轮复习讲义（53）

直线与圆锥曲线的位置关系（2）

一．复习目标：

1．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；

2．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法．

二．知识要点：

1．弦长公式2121221||1||1||ABkxxyyk．

2．焦点弦长：||PFed（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到相应于焦点F的准线的距离，e是离心率）

三．课前预习：

1．设直线21yx交曲线C于1122(,),(,)AxyBxy两点，

（1）若12||2xx，则||AB ．（2）12||2yy，则||AB ．

2．斜率为1的直线经过抛物线24yx的焦点，与抛物线相交于,AB两点，则||AB ．

3．过双曲线2212yx的右焦点作直线l，交双曲线于,AB两点，若||4AB，则这样的直线l有 （ ）

()A1条 ()B2条 ()C3条 ()D4条

4．已知椭圆2224xy，则以(1,1)为中点的弦的长度是 （ ）

()A32 ()B23 ()C303 ()D362

5．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率为13e，过F作直线l交椭圆于,AB两点，已知线段AB的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB ．

四．例题分析：

例1．如图，过抛物线22(0)ypxp上一定点000(,)(0)Pxyy，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy，（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求120yyy的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

第２Ｏ卷第３期　２ＯＯ６年６月　廷边教育学院学报　Ｊｏｌｌｆｎ曩１　ｏｆＹｓ．ｕｂｈｍ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｖ０Ｌ２Ｏ　Ｎｏ．３　ＪｕｌＬ　２ＯＯ６　

直线与圆锥曲线的位置关系　

翟海霞姜玉芝　（延边第二中学，吉林延吉１３３０００）　

摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是高中解析几何中的重要内容，涉及函数方程、不等式、三角等　许多知识，清晰直线与圆锥曲线的各种位置关系有助于熟练解答直线与圆锥曲线的各种类型　的习题．　关键词：直线；圆锥曲线；位置关系　中图分类号：Ｇ６３３．６３　文献标识码：Ｂ　文章编号：１６７３－－４５６４（２００６）０３－－００９６－－０５　

直线与圆锥曲线的位置关系是高中解析几何中的重要内容，它涉及函数方程、不等式、三角等许多　知识，可构成轨迹、最值、对称、范围、参数等问题，是解析几何中综合性较强、能力要求较高的内容，　也是高考的重点和热点。现结合具体实例详细讨论一下直线与圆锥曲线的位置关系。　

一、直线与圆锥曲线位置关系的基础知识　直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线的公共点的个数问题，解决的方法是转化为直　线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数问题，进而转化为讨论一元一次方程或一元二次方程解的　情况。要注意以下几点：　（１）如果方程组消去Ｙ，得到关于ｘ的方程甜　＋　＋ｃ＝Ｏ，这时要首先考虑ａ＝０或口≠Ｏ，进而考　虑△：Ｏ或△≠Ｏ两种情况。　（２）对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面：　①若ａ＝Ｏ，则此时直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，直线与抛物线的对称轴平行时，　只有一个公共点。　②若口≠Ｏ则此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，直线与抛物线相切，只有一个公共点．　（３）当直线与圆锥曲线相交（有两个公共点）时，一定要满足口≠Ｏ，Ａ＞０的条件．　另外，直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合的思想，以形助数的方法解决。　当直线与曲线有两个公共点时，一般情况主要解决有关弦长和中点弦的问题。　弦长公式：设Ａ（　。，Ｙ１）、Ｂ（　２，Ｙ２），设直线ＡＢ的斜率为ｋ，则　广＿＿　ｆ　１　ＩＡＢＩ＝√１＋尼　・√（　＋　）　－４ｘｉｘ　＝√１＋尼　Ｉ　一　Ｉ＝、／１＋　１　Ｉ　一　Ｉ