PI控制器.
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1 PI控制原理
1.1 比例（P）控制
比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。在信号变换过程中，P控制器值改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大了控制器增益k，可以提高系统的开环增益，减小的系统稳态误差，从而提高系统的控制精度。控制器结构如图1：
图1
1.2 比例-微分控制
具有比例-微分控制规律的控制器称PI控制器，其输出信号m(t)同时成比例的反应出输入信号e(t)及其积分，即：
tidtteTktketm0)()()( （1）
式（1）中，k为可调比例系数；iT为可调积分时间常数。PI控制器如图2所示。
图2
在串联校正时，PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响。只要积分时间常数iT足够大，PI控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱，在控制工程中，PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。 kr(t)
-
c(s) e(t) m(t)
)11(sTkiR(s)
-
C(s) E(s) M(s)
2 2 P和PI控制参数设计
2.1 初始条件：
反馈系统方框图如图3所示。K(s)D1（比例P控制律），sKK(s)DI2（比例积分PI控制律），)6s)(1s(1sG1s(s)，)2s)(1s(1G2(s)
2.2 P控制器设计
2.2.1 比例系数k的设定
由题目给出的初始条件知，当G(s)=(s)1G，未加入D(s）校正环节时，系统开环传递函数为：
6)1)(s-s(s1s(s)H(s)G
sss651s23 （2）
又系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为：
)6)(1(11)6)(1(1)(sssssssss
155123ssss （3）
则系统的闭环特征方程为：D(s)=15523sss=0. 按劳斯判据可列出劳斯表如表1： )s(D G(s) R Y e +
-
图3
3
3s 1 -5
2s 5 1
1s 524 0
0s 1 0
表1
由于劳斯表第一列符号不相同，所以系统不稳定，需要校正。
由任务要求得，当D(s)=D1(s),G(s)=G1(s)时，即加入P控制器后，系统开环传递函数为：
6)1)(s-s(s1)k(s(s)H(s)G （4）
其闭环传递函数为： ksksskkss)6(5)(23 （5）
则系统的闭环特征方程为：D(s)=0)6(523kskss 按劳斯判据可列出劳斯表如表2：
3s 1 K-6
2s 5 k
1s 5304k 0
0s k 0
表2
要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正，即：
03040kk （6）
所以系统稳定的条件为k>7.5.
当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数：
4 )()(lim0psHsGKs （7）
由式（4）得系统为1型系统，所以PK= ∞
所以稳态误差：
0111)(PssKRe
(8)
2.2.2 加入P控制器后系统动态性能指标计算
1）k取不同值时的特征根
由式（5）得系统稳定的条件为k>7.5。下面对k分别取7.5、15、30来讨论分析系统的动态性能指标。
当k=7.5时系统的闭环特征方程为：
05.75.15)(23ssssD （9）
通过MATLAB求得系统特征根，其程序如下：
den=[1,5,1.5,7.5]
roots(den)%求系统特征根
其运行结果如下：
ans =
-5.0000
-0.0000 + 1.2247i
-0.0000 - 1.2247i
即求得其特征根分别为：1s=-5，2s=j1.2247，31s=-j1.2247,。其中有两个极点在虚轴上，系统临界稳定。
同理通过调用MATLAB中的roots函数即可分别求得k=15，k=20时的特征根。
K=15时，特征根为：1s=-3.6608，2s=-0.6696+j1.9103，31s=-0.6696-j1.9103。
K=30时，特征根为：1s=-1.6194，2s=-1.6903 -j 3.9583，31s=-1.6903 -j 3.9583。
2）k取不同值时的单位阶跃响应
由式（7）得当k=7.5时其闭环传递函数为：
5.75.155.75.7)(231sssss （10）
5 当k=15时闭环传递函数为：
15951515)(232sssss （11）
当k=30时闭环传递函数为：
302453030)(233sssss （12）
用MATLAB求系统的单位阶跃响应，绘制出不同k值时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：
num1=[7.5,7.5];
den1=[1,5,1.5,7.5];
t1=0:0.1:15;
y1=step(num1,den1,t1);
num2=[15,15];
den2=[1,5,9,15];
y2=step(num2,den2,t1);
num3=[30,30];
den3=[1,5,24,30];
y3=step(num3,den3,t1);
plot(t1,y1,'r.',t1,y2,'--g',t1,y3,'b'),grid
程序运行后输出曲线图如图4：
6
3）分别讨论不同k值时的系统动态性能指标
如图2知当k=7.5时系统单位阶跃响应为无阻尼振荡。
当k=15时系统传递函数为式（11），下面借助LTIViewer计算本控制系统单位阶跃响应时的性能指标。
MATLAB程序如下：
num=[15,15];
den=[1,5,9,15];
step(num,den);
sys=tf(num,den);
ltiview;
程序运行后在弹出的LTIViewer框中导入sys函数，然后对绘制的曲线进行相应的设置后可以得到阶跃响应的各项指标点，效果图如图5所示：
当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下：
上升时间：........................................str373.0
峰值时间：.........................................stp24.1
超调量：..............................................%7.89%p 图4 051015-1-0.500.511.522.53 k=7.5k=15k=30
7 调节时间：.......................................... st65.6s（0.05）
当k=30时系统传递函数为式（12），同理，通过MATLAB绘出单位阶跃响应曲线图如图6所示。
上升时间：........................................str24.0
峰值时间：.........................................stp72.0
超调量：..............................................%2.68%p
调节时间：.......................................... st69.2s（0.05） 图5 Step ResponseTime (sec)Amplitude012345678900.20.40.60.811.21.41.61.82System: sysPeak amplitude: 1.9Overshoot (%): 89.7At time (sec): 1.24System: sysRise Time (sec): 0.373System: sysSettling Time (sec): 6.65System: sysFinal Value: 1
8 2.2.3加入P控制器后系统动态性能分析：
由式（2）得系统为含一个积分环节的三阶系统，在未加入P控制器之前通过劳斯判据得系统处于不稳定状态。当加入适当的P控制器即比例环节后即可改善系统的稳定性。同时根据图4以及不同k值时的暂态系能指标可知通过增大控制器的开环增益可提高系统对阶跃信号的响应速度，降低系统的超调量，缩短系统的调节时间。从而提高了系统的跟踪性能和稳定性。 Step ResponseTime (sec)Amplitude00.511.522.533.5400.20.40.60.811.21.41.61.8System: sysPeak amplitude: 1.68Overshoot (%): 68.2At time (sec): 0.72System: sysRise Time (sec): 0.24System: sysSettling Time (sec): 2.69图6
