人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳

整式的乘法

同底数幂的乘积

为正整数）nmaaanmnm,(

注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）前提必须是同底数，指数才可以相加

（3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，

（4）指数都是正整数

（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即为正整数）pnmaaaapnmpnm,,(

（6）不要与整式加法相混淆。

（7）这个公式是可逆的为正整数）nmaaanmnm,(

类型一：x3·x4 = xn·x4 = ________3aa

________32aaa； 3x2·xn·x4=

252222 12nnyy ；

类型二：(1) 已知xm-n·x2n+1=x11,且ym-1·y4-n=y5,求mn2的值。

(2)若22m·8=2n ,则n=

类型三：(1)、 (- )(- )2(- )3 (2)、 -a4·(-a)4·(-a)5

(3)、 (x-y)3(y-x)(y-x)6 （4）、 201220112-)-2(）（

类型四：已知2a=3, 2b=6, 2c=12，试探究a、b、c之间的关系；

1. 幂的乘方

为正整数）nmaamnnm,()(

注意点：（1）幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。

（2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆

（3）公式的可逆性：

为正整数）nmaanmnm,()(；为正整数）nmaaamnmnnm,()()(

（4）公式的扩展:

为正整数）pnmaamnppnm,,(])[(

为正整数）,,()(])[(nmbabamnnm

类型一：(a3)5

= ; 3)(3mx ; naa32)( ;

[(a+b)2]3= ; [(a2)5]3= ;

类型二：【例1】若3y2x5,35,25求yx

【例2】若,510,410mn求,101032mn的值；

【例3】已知3344555,4b,3ac，试比较a,b,c的大小;

2. 积的乘方

为正整数）nbann(abn

注意点：（1）注意与前二个法则的区别：

（2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方为正整数）naaaaaaanmnnm(a321n321

（3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式

（4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘

（5）公式的可逆性：为正整数）nbann(abn

(6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： amn=(am)n=(an)m

类型一：________)(3ab；________)2(32ba；________)5(223ba

类型二：【例1】当ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。

【例2】若a3b2=15，求-5a6b4的值。

【例3】如果3m+2n=6，求8m·4n的值。

【例4】 （1）解方程3-2x1x1x623 （2）解方程1167431-x

【例5】已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值．

【例6】已知：2x=4y+1，27y=3x-1，求x﹣y的值

类型三：【例】计算：

20102011)99001(10099(） 31515)2(0.125

4.单项式乘法法则：

【例】

yx32 )5)(2(22xyyx )2()3(22xyxy 2232)()(baba

5.单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例】

)(cbam )532(2yxx )25(32babaab

6.多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例1】

)6)(2(xx )12)(32(yxyx ))((22bababa

【例2】：解方程与不等式

18)1)(9()2)(3(aaaa （4+3y)(4-3y)>9(y-2)(y+3)

【例3】确定参数a的值.

36)18)(2(2axxxx 36))((2axxqxpx

题型一：确定参数的值

【例】若nxxmx38x22展开式中不含3x项和2x项，求m,n的值，并写出展开式中的最后结果

练习：

后的结果的值，并写出展开式最项，求的乘积中不含和kxkxxx222333x

题型二：整式乘法的实际应用

【例1】：小明将现金x元存入银行，年利率为a，到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利率调整为b，那么一年后，小明能获得的本息总和是多少（扣除5%的利息税）

练习：一种商品进价是p元，他的价格提高10k%，再打k折，则售价是 元

【例2】：．观察下列各式：

2311 233321 23336321 23333104321

……

观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .

题型三：整式的乘法能力提升训练；

例1. 已知1582xx，求2)12()1(4)2)(2(xxxxx的值.

变式： 已知012xx，求)5()3()2)(2(2xxxxx的值．

变式： 已知)1()3)(3(1,09322xxxxxxx）求（的值.

例2. 已知012xx，求代数式3223xx的值。

变式： 已知0332xx，求代数式103523xxx的值。

变式： 已知0132xx，求代数式200973223xxx的值。

平方差和完全平方

一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，xyyxx2y2

② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4

④ 系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤ 换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥ 增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2

xyzxyzxyzxyz

2x2y2z4xy4xz