数学中的模型和模拟

《数学模型》模拟试题1

一、填空题（每题5分，满分20分）：

1. 设开始时的人口数为0x，时刻t的人口数为)(tx，若允许的最大人口数为mx，人口增长率由sxrxr)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 .

2. 设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 .

3. 一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .

4. 设某种物资有两个产地21,AA，其产量分别为10、20，两个销地21,BB的销量相等均为15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为,a则最优运输方案与运价具有 两个特点.

二、分析判断题（每题10分，满分20分）：

1. 一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。

2. 在文字教材4.1中我们给出了营养配餐问题的数学模型

minZ=4x1+3x2

s.t.0,)3(,4256)2(,4085)1(,5051021212121xxxxxxxx

其中21,xx表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解Tx)6,2(*，试分析解决下述问题：

（1） 假如本题的目标函数不是求最小而是求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？

（2） 本题最后定解时，只用了直线（1）与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.

数学模型及模拟方法

数学模型和模拟方法是现代科学和工程领域中应用非常广泛而又重要的工具，可以帮助人们解决许多实际问题，为我们的生产、生活和科学研究提供了很大的便利。

数学模型是指用数学语言和符号描述复杂现象的一种工具。这种工具可以将现实中的问题抽象化为更简单的数学问题，进而对这些抽象化的问题进行研究和分析。数学模型可以是确定性的或随机的，可以是线性或非线性的，可以是静态的或动态的。不同类型的数学模型适用于不同类型的问题，人们需要根据具体的问题情况选择合适的数学模型。

数学模拟方法是指利用计算机或实验室设备对数学模型进行实验和测试的一种工具。与传统的理论分析相比，数学模拟方法具有可以处理更为复杂的问题和更为精确的计算结果的优点。利用数学模拟方法，人们可以更快地掌握和了解实际问题，更准确地预测和模拟真实情况。数学模拟方法还可以帮助人们在设计产品、优化流程、制定政策、研究自然现象等方面发挥更大的作用。

在实际应用中，数学模型和模拟方法可以被应用于很多领域，如工程、物理学、化学、生物学、经济学、社会学等。下面我将以建筑工程为例，介绍如何应用数学模型和模拟方法解决实际问题。

在建筑工程中，人们需要考虑很多因素，如建筑结构的安全性、抗震性、承重能力、节能性等。这些因素的分析需要复杂的计算和分析方法。例如，为了评估一个建筑结构的抗震能力，可以使用非线性动力分析模型。这个模型可以将建筑物的结构分解为许多小单元，然后考虑它们之间的相互作用。在计算中，可以采用数值方法来求解这个模型，例如有限元方法或有限差分方法。通过这种方法，可以预测建筑物在地震或其他自然灾害中的表现，并进一步改进结构设计。

除此之外，数学模型和模拟方法还可以应用于建筑物的节能分析。在这种情况下，人们需要考虑建筑物的能量平衡、空气流动和热传递等因素。为了建立一个全面的数学模型，需要将建筑物拆分为许多缩小的元件，并考虑它们之间的相互作用。这个模型可以被用来优化建筑物的设计和建筑材料的选择，从而进一步减少能源消耗。

在小学阶段，学生的思维能力都处在初级阶段，对一些数学问题只能是从表面来理解，还不能形成具体的系统的模型思想，因此，培养他们的这种思想非常重要，这样更能使他们找到学习数学的兴趣。

一、探索规律

在课堂上，我经常会出一些相关联类型的题让学生去探索、去发现规律。规律，是模型的基础，模型，是做题方法的通式。只有用简单的类型题去激发学生，才能是学生逐渐产生探索心里，发现问题的规律，然后逐渐生成模型思想。具体步骤我是要求学生这样做的：（1）认真观察，寻找规律。（2）写出问题的规律。（3）写出对应体的规律（4）举出例子，证明你的结论。

二、由简单到复杂，由具体到抽象。

引导学生处理问题时，通常从简单的问题开始，让学生逐渐熟练题型，然后逐步走向比较复杂的题型，一步步引导学生，是他们有具体的题型逐步转化为一种模型思想。从而找出解决本类为题的方法。也就是从具体的例子开始，逐步转化为抽象的模型，让学生对本类问题形成一个比较抽象的思维模型。

三、从观察与理解到想象与归纳

这类问题在图形方面表现的尤其明显，通常是先让学生观察周围生活中的相关物体，是学生找出它们的共同规律，然后逐步画出这类图形。当然在这过程中学生理解是不可忽缺的，只有理解，才能真正去抽象他，才能到达更高层次的模型思想。当有具体图形逐步转化出公式、符号等时，再让他们进行想象理解与推导，以巩固所总结的规律。

四、直观形象与具体抽象相结合

在出现一些比较抽象的数学模型时，学生经常无法下手去做，这时就要求学生将比较复杂的模型思想转化为简单的日常生活实例，从而去理解与应用它。只有直观形象的事物才可以是学生理解，只有理解才能转化为数学模型思维，数学模型思维又是学生生活与实践的总结，两者必须相互结合，才能做到使用的最佳效果。

数学模型的概念及分类

2.1数学模型的概念

数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模型。系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的补充手段，是预测和决策的重要工具，是推进科技发展的依据。数学的抽象化、公理化的概念和方法，体系十分严谨。数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理。数学模型既然是对所研究的实际对象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素，因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。

2.2数学模型的分类

常见的数学模型分类有以下几种：

按数学模型的功能可分为定量的和定性的。

按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。

按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。

按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。

按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。

按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型，……

按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型．，工程系统模型，……

按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等。

2.3数学模型的特点

第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构，这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。