复变函数复习提纲

(完整版)复变函数知识点总结

复变函数知识点总结

1. 复数与复变函数

- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。

- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。

2. 复变函数的运算规则

- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。

- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。

- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。

3. 复变函数的解析表示

- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。

- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。

- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -

z_0)^(-n))。

4. 复变函数的性质

- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。

- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。

- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。

- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。

5. 复变函数的应用

- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。

- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。

- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。

6. 复变函数的计算方法

- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。

- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。

- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。

以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！

复变函数教案

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

新疆财经大学教案

课程名称： 复变函数

任课班级： 应用数学系06级

任课教师： 热西旦·湖加

应用数学系 信息与计算数学 教研室

二○○九＿二○一○学年第 一 学期

课 程 教 案 概 貌

课 程 单 元 教 案（单元 1 ）

本单元 §复数及其几何表示 姓名 热西旦·湖加 职称 讲师 总学时 54

使用教材 《复变函数》（第四版），余家荣编着，高等教育出版社出版

课程

教学

目的 复变函数是数学的最重要的分支之一，同时在数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）以及在自然科学的其他领域（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）都有着重要的应用。本课程仅涉及复变函数的最基本的内容，它一方面为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。

学

时

分

配 章次 章 名 学时

一 复数及复平面 6

二 复变函数 9

三 复变函数的积分 6

四 级数 12

五 留数 6

六 保形映射 12

教学内容

复数域，复平面，复球面及无穷大

教学目的 掌握复数的各种表示法及其相互转化、会用复数的各种表示进行运算、理解复球面及无穷大

教学重点 用复数的各种表示法进行运算

教学难点 复数的辐角、复球面及无穷大

教学方法 课堂理论教学为主，以习题课为辅助教学

作业、思考题、讨论题 P13 1，2 ，3，4，5

课后阅读材料 1.《复变函数论》．钟玉泉编着．高等教育出版社

2. 《复变函数内容、方法与技巧》．孙清华, 孙技大学出版社

3. 《复变函数学习指导书》．钟玉泉编着．高等教育出版社

本单元小节（含学生课堂纪律、教学内容完成情况、教学体会等）

复变函数教学大纲

Prepared on 24 November 2020 复变函数教学大纲

课程名称：复变函数 课程编码：

英文名称：Complex Analysis

学 时：48 学 分：3

适用专业：信息与计算科学 课程类别：任选

课程性质：学科基础课

先修课程：数学分析 高等代数 空间解析几何

教 材：复变函数论 （钟玉泉 第三版 高等教育出版社）

一、课程性质与任务

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，它不仅在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）有着广泛应用，而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。

二、课程教学的基本要求 复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。

本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。

1 复变函数与积分变换第一课

一、复数的加减乘除

举例：

①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i

=5+7i

②(3+4i)−(2+3i)=(3−2)+(4−3)i

=1+i

③(2+3i)×(3+4i)=2×3+2×4i+3i×3+3i×4i

=6+8i+9i−12

=−6+17i

④ 2+3i = (2+3i)(3−4i) = 6−8i+9i+12 = 18+i = 18+ 1 i

3+4i (3+4i)(3−4i) 32−(4i)2 9+16 25 25

二、求复数的实部与虚部

例 1：已知z=9−10i，试求 Re(z)，Im(z)。Re(z)=9，Im(z)=−10

例 2：已知z=3+3i，w= − ，试求Re(w)，Im(w)。 +

w=z−1=3+3i−1=2+3i=18+ 1 i

z+i 3+3i+i 3+4i 25 25 2 Re(w)=18，Im(w)= 1 25 25

三、求某复数的共轭复数

例 1：已知z=9−10i，试求 。z=9+10i

例 2：已知z=3+3i，试求 − 。 +

z−1 = 3+3i−1 =2+3i=18+ 1 i

z+7i 3−3i+7i 3+4i 25 25

四、求模、辐角和辐角主值

例 1：已知z=1+i，试求z 的模、辐角、辐角主值。

∵ Re(z)=1，Im(z)=1

∴ |z|=√12 + 12=√2

∵ arg(z)∈(−π,π] 3 ∴ arg(z)=π 4

Arg(z)=π+2kπ，k=0,±1,±2··· 4

例 2：已知 w=−2+2i，试求 w 的模、辐角、辐角主值。

∵ Re(w)=−2，Im(w)=2

∴ |w|=√(−2)2 + 22=2√2

∵ arg(w)∈(−π,π]

∴ arg(w)=3π 4

Arg(w)=3π+2kπ，k=0,±1,±2··· 4

有关模、辐角、辐角主值的运算 4 五、复数的开方