【最新人教A版】高中选修数学【选修2-1】3.1.3课时同步练习(含答案)
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- 1 - 第3章 3.1.3
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析： 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B.
答案： B
2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量AB′→与BC′→的夹角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析： BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，
∴∠D′AB′＝60°，∴〈AB′→，BC′→〉＝60°.
答案： C
3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析： 如右图所示，
设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，
∵CB→·CD→＝(a－b)·(c－b)
＝a·c－b·c－a·b＋b2
＝b2>0.
同理BC→·BD→>0，DB→·DC→>0.故选B.
答案： B
4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为( )
A.13 B.43
C.33 D.23
解析： ∵AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，
∴|AC1→|＝AB→＋AD→＋AA1→2 - 2 - ＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，
∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°.
∴|AC→|＝1＋4＋9＋＋
＝23.故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋BC→·AD→＋CA→·BD→＝________.
解析： 设AB→＝b，AC→＝c，AD→＝d，
则CD→＝d－c，BD→＝d－b，BC→＝c－b.
原式＝0.
答案： 0
6．已知|a|＝32，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________.
解析： m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16
＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，
∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，
∴λ＝－32.
答案： －32
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，
- 3 - 求下列向量的数量积：
(1)AD→·DB→；(2)AD→·BC→；(3)GF→·AC→；
(4)EF→·BC→.
解析： (1)|AD→|＝a，|BD→|＝a，〈AD→，DB→〉＝120°，
所以AD→·DB→＝|AD→||DB→|cos 120°＝－12a2.
(2)因为BC→＝AC→－AB→，
所以AD→·BC→＝AD→·(AC→－AB→)＝AD→·AC→－AD→·AB→，
又因为|AD→|＝a，|BC→|＝a，〈AD→，AC→〉＝〈AD→，AB→〉＝60°，
所以AD→·BC→＝12a2－12a2＝0.
(3)因为点F，G是AD，DC上的点，
所以GF→＝23CA→＝－23AC→，
所以GF→·AC→＝－23AC2→，
因为AC2→＝a2，
所以GF→·AC→＝－23a2.
(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以EF→＝13BD→，
所以EF→·BC→＝13BD→·BC→，
结合图形可知〈BD→，BC→〉＝60°，
所以EF→·BC→＝13BD→·BC→＝13×a×a×cos 60°＝16a2.
8．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝12|ND|，求|MN|.
解析： ∵MN→＝MB→＋BC→＋CN→
＝23AB→＋(AC→－AB→)＋13(AD→－AC→)
＝－13AB→＋13AD→＋23AC→. - 4 - ∴MN→·MN→
＝(－13AB→＋13AD→＋23AC→)·(－13AB→＋13AD→＋23AC→)
＝19AB2→－29AD→·AB→－49AB→·AC→＋49AC→·AD→＋19AD→2＋49AC2→
＝19a2－19a2－29a2＋29a2＋19a2＋49a2＝59a2.
故|MN→|＝MN→·MN→＝53a.
即|MN|＝53a.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a.
(1)用向量法求A1B和B1C的夹角；
(2)用向量法证明A1B⊥AC1；
(3)用向量法求AC1的长度．
解析： (1)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，
所以|A1B→|＝|B1C→|＝2a.
因为A1B→＝AB→－AA1→，
B1C→＝A1D→＝AD→－AA1→，
所以A1B→·B1C→＝(AB→－AA1→)·(AD→－AA1→)＝a2，
所以cos〈A1B→，B1C→〉＝a22a·2a＝12，
即A1B和B1C的夹角为60°；
(2)证明：因为AC1→＝AB→＋AA1→＋AD→，
A1B→＝AB→－AA1→，
所以AC1→·A1B→＝0，A1B⊥AC1；
(3)由(2)知，AC1→＝AB→＋AA1→＋AD→，
所以AC1→2＝(AB→＋AA1→＋AD→)2＝3a2，
所以|AC1→|＝AC1＝3a.
