一元微积分

考 研 数 学 强 化 讲 义

白 云 霄

第一章 函数、极限、连续

(一)函数

一、 函数的解析式

二、 函数的性质

三、 几种特殊函数

（1）()[]fxx；

（2）()sgnfxx：sgnxx与x的关系；

（3）分段函数；

（4）复合函数；

题型1 求函数表达式

例1 设12()()1xfxfxx，1()[()]nnfxffx，1,2,n

求1150();limsin();()nnnfxnfxfxdx

例2 设()fx是周期为2的偶函数，当(2,3)x时，2()fxx.

求当(2,0)x时，()fx的表达式.

例3 设2()lim2()2nnnnxfxx，0x，求()fx的表达式.

例4 已知xxxeef，且01f，求xf

例5 已知,,()()(),(0)2xyfxfyfxyf，求xf

题型2 函数奇偶性

例1．设xfxF，则下列结论正确的是 （ ）

（A）若xf为奇函数，则xF为偶函数

（B）若xf为偶函数，则xF为奇函数

（C）若xf为周期函数，则xF为周期函数

（D）若xf为单调函数，则xF为单调函数

例2．求11251lndxxxeexxIxx

题型3 判别函数的有界性

例1 设()(,)fxC，且lim()xfxA，证明：()(,)fxB.

例2设2()1xfxx，220()xxtfxetedt，判别()fx的有界性.

（二）极限

极限的定义

极限的性质

极限的运算法则

极限的计算

极限的应用

1．求极限的方法

1) 洛必达法则；00；；*0；；1；00；0

2) 等价无穷小因子代换；

3) 无穷小与有界量之积为无穷小

4) 重要极限

5) 导数的定义

6) 夹逼准则

7）定积分的定义

基本公式：1011limdxxfnkfnnkn [如果存在]

7) 单调有界原理

8）泰勒公式：当0x时，nnxxonxxxe!!212

例：求32021limxxxexx用332!3!21xoxxxex（最后一项比3x高阶无穷小）原式61)(6lim3330xxoxx，这样比用洛比达法则简单

121253!121!5!3sinnnnxonxxxxx

nnnxonxxxx2242!21!4!21cos

nnnxonxxxxx1321321ln

121215312153arctannnnxonxxxxxnnaxoxnnaaaxaaaxx!11!21112

题型1 研究数列{}nx的极限

例1 设1112,2,1,2,nnxxnx，证明{}nx收敛并求

例2 设1112,2,1,2,nnxxnx，证明{}nx收敛并求limnnx

题型2 n项和的极限

常用到的方法有：夹逼准则；定积分定义；级数求和.

例1 证明22212lim()12nnnnnnnnn收敛

例2设数列22(1)1nnknxk ，则limnnx

例2 证明11112nnnn收敛

例3 极限(1)(2)()limnnnnnnn；求nknknn122lim

例5 证明2121lim1nnkknn收敛

例6

证明261limnnkknkn收敛

例7 证明1sinlim1nnkknnk收敛

题型3 多项乘积的极限

常用到的方法有：乘以某个因子，引发连锁反应；取对数后再求极限.

例8 （1）当1x时，求22lim(1)(1)(1)nnxxx

（2）当0x时，求limcoscoscos242nnxxx

题型4 未定式的极限

00型，常用到的方法有：（1）等价无穷小代换；（2）分解因式或根式有理化后消去零因子；（3）洛必达法则；（4）利用麦克劳林展开式；

例9 （1）20112limxxxx

（2）0ln(1)lim(1cos)sinxxxxxx

（3）12020sin()limxxtdtx

（4）设函数)(xf连续，0)0(f，求xxxdttxfxdttftx000)()()(lim

型，常用到的方法有：（1）抓大头法；（2）洛必达法则；

例10 （1）22411limsinxxxxxx

（2）3435ln()limln()xxxxxx

（3）[]lim1xxxx

（4）2220(1)limxtxxtedtx

型（合并、提取、代换）

例11 22201coslim()sinxxxx 332lim(21)xxxx

21lim[ln(1)]xxxx

0型（下放）

lim[arctan]41xxxx

1121lim(22)nnnn

1 000型

例12 2limtan()4nnn sin0limxxx 0lim(cos)xxx

21lim(tan)nnnn tan01lim()xxx

题型5求分段函数的极限

例1 求下列函数在分段点处的极限

2sin2 <0() >01cosxxxfxxxx　

例3 求1402sinlim1xxxexxe

题型6 求极限的反问题

例3（1）当0x时，34sinsincosxxxx 与nx是同阶无穷小，则n

（2）已知33lim(1)0xxaxb时，求,ab

（3）已知54lim[(42)](0)cxxxxA），求,cA

（4）设xf在,0内可导，0xf，1limxfx，且满足xhhexfhxxf110lim，求xf。

（5）已知30sin6()lim0,xxxfxx求20()6limxfxx

（6）已知320sin3()lim()0,xxfxxx求(0),(0),(0),fff20()3limxfxx

（三）连续

例1 （1）讨论1,1()cos,12xxfxxx的连续性

（2）讨论2()lim2()2nnnnxfxx，0x的连续性

（3）已知02(),0(),0xtftdtxFxxcx，其中()fx有连续导数，且(0)0f.试确定c，使得()Fx连续.

例2 确定函数的间断点及其类型

（1）2ln()32xfxxx

（2）111xxfxe

例3（1）求xfxxxnnn11lim22的间断点，并判别其类型。

（2）求xfxtxtxxtsinsinsinsinlim的间断点，并判别其类型。

例4 设xf在ba,上连续，且aaf，bbf，

证明：xxf在ba,内至少有一个根。

例5设()[,]fxCab，()()fafb.

证明：存在[,]ab，使得()()2baff

例6 设()[0,1]fxC，(0)(1)ff.

证明：存在[0,1]，使得1()()5ff

第二章 导数与微分

题型1 利用导数定义的题目

命题的特点：

① 若()Fx表达式中含有抽象函数记号()，只知道()连续，却没有告诉()是否可导，则求()Fx导数时必须用导数定义求导；

② 求分段函数在分段点处的导数时，必须用导数定义求导；例如表达式中含有绝对值的函数，一定要先去掉绝对值再求导.

③ 某一些函数在某一点处的导数用定义计算有时也相当方便.

例1 设0()fx存在，求下列极限：

① 000(3)()limxfxxfxx； ②000(3)()limxfxxfxxx；

例2 设()fx在(,)有定义，对任意的x，恒有(1)2()fxfx；当[0,1]x时，2()(1)fxxx.试判断(0)f是否存在.

解 22(1)(2),[1,0)()2(1),[0,1]xxxxxfxxxx

例3设1,0()10,0xxxfxex，试判断(0)f是否存在.

例4 设()()()fxabxabx，其中()x在xa可导，求(0)f.

例5设()x在xa连续，且()0a，

讨论22()()()fxxax在xa的连续性及可导性.

例5 设()fx在(,)内二阶可导，(0)0f，(),0()(0),0fxxgxxfx，求()gx.

例6设Fxgxx，x在xa处连续，但又不可导，又'ga存在，则0ga是Fx在xa处可导的（ ）条件.

（A）充要； （B）充分非必要；

（C）必要非充分； （D）非充分非必要

例6 设32()3fxxxx，则使得()(0)nf存在的最高阶数n为

例7 设23()(2)fxxxxx，判别()fx不可导点的个数.

例9设()fx在(0,)内有定义，且满足()()()fxyfxfy，

(1)0fa，求()fx.

例10设fx在,上定义，且'00faa，又,x

,y有1fxfyfxyfxfy，求fx.

题型2 求复合函数的导数

例1 设232(),()arcsin,32xyffxxx求0xdydx.

例2 设()sin2xfx，求[()],{[()]},{[()]}ffxffxffx.

例3 做变换tanuy，txe，